Tekst źródłowy strony Metryka Schwarzschilda

'''Rozwiązanie Schwarzschilda''' – rozwiązanie [[równanie Einsteina|równań Einsteina]] [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]], opisujące [[pole grawitacyjne]] (ściślej: [[Tensor metryczny|metrykę]] czasoprzestrzeni) na zewnątrz i wewnątrz sferycznie symetrycznego, nie rotującego ciała, jak [[gwiazda]], [[planeta]] czy [[czarna dziura]]. Daje ono również dobre przybliżenie dla pola grawitacyjnego w pobliżu wolno obracających się ciał, takich jak [[Ziemia]] czy [[Słońce]].

Zgodnie z [[twierdzenie Birkhoffa|twierdzeniem Birkhoffa]], rozwiązanie Schwarzschilda jest najbardziej ogólnym sferycznie symetrycznym rozwiązaniem próżniowym równań pola Einsteina. Zostało ono znalezione przez [[Karl Schwarzschild|Karla Schwarzschilda]] w [[1915]] roku, zaledwie miesiąc po ogłoszeniu ogólnej teorii względności przez [[Albert Einstein|Einsteina]]. Było to pierwsze ścisłe rozwiązanie równań pola Einsteina, nie licząc trywialnego rozwiązania dla [[czasoprzestrzeń Minkowskiego|czasoprzestrzeni bez materii i energii]].

Czarna dziura Schwarzschilda jest scharakteryzowana wyłącznie przez swoją masę – nie posiada [[ładunek elektryczny|ładunku elektrycznego]] ani [[moment pędu|momentu pędu]]. Taka czarna dziura zwana jest statyczną czarną dziurą. Jest ona otoczona przez sferyczną powierzchnię, zwaną [[horyzont zdarzeń|horyzontem zdarzeń]], o promieniu wprost proporcjonalnym do masy czarnej dziury (zwanym [[promień Schwarzschilda|promieniem Schwarzschilda]]). Dowolne [[Zapadanie grawitacyjne|zapadające]] się ciało obdarzone masą, nieposiadające momentu pędu i ładunku, po osiągnięciu promienia grawitacyjnego staje się czarną dziurą Schwarzschilda. W ogólnej teorii względności nie ma ograniczeń na masę czarnej dziury tego typu, przy czym spodziewane jest istnienie dolnej granicy ze względu na [[mechanika kwantowa|efekty kwantowe]].

== Opis matematyczny ==
Rozwiązanie Schwarzschilda przedstawia metrykę czasoprzestrzeni wokół symetrycznego obiektu, która dla przestrzennych [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędnych sferycznych]] ma postać:
:: <math>c^2 {d \tau}^2
= \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2
- \frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}}
- r^2 \left(d\theta^2
+ \sin^2\theta \, d\varphi^2\right),</math>

gdzie:
: <math>\tau</math> – [[czas własny]],
: <math>c</math> – [[prędkość światła]] w próżni,
: <math>t</math> – czas (współrzędna czasowa) mierzony przez stacjonarnego obserwatora znajdującego się w nieskończoności,
: <math>r</math> – współrzędna radialna,
: <math>\theta</math> – współrzędna azymutalna,
: <math>\varphi</math> – współrzędna zenitalna,
: <math>r_s</math> – [[promień Schwarzschilda]] obiektu, zależny od jego masy <math>M,</math>
:: <math>r_s = \frac{2GM}{c^2},</math>
: <math>G</math> – newtonowska [[stała grawitacji]].

Rozwiązanie Schwarzschilda jest relatywistycznym odpowiednikiem pola grawitacyjnego wokół masywnej cząstki punktowej w klasycznej newtonowskiej teorii grawitacji<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Ehlers |imię = J. |tytuł = Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes |czasopismo = Classical and Quantum Gravity |rok = 1997 |strony = A119–A126 |doi = 10.1088/0264-9381/14/1A/010 |wolumin = 14}}</ref>.

W praktyce stosunek <math>r_s</math> jest właściwie zawsze bardzo mały, stosunek ten jest znaczący jedynie dla supergęstych obiektów zwartych, takich jak czarne dziury czy [[gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowe]].

Metryka Schwarzschilda jest rozwiązaniem równań pola Einsteina w pustej przestrzeni, co oznacza, że '''dotyczy ono wyłącznie obszaru „na zewnątrz” ciała obdarzonego masą.''' Innymi słowy, dla obiektu o promieniu <math>R,</math> rozwiązanie Schwarzschilda dotyczy tylko obszaru o <math>r>R.</math> W celu opisania pola grawitacyjnego również wewnątrz danego ciała, rozwiązanie to należy połączyć (zszyć) w <math>r=R</math> z odpowiednim rozwiązaniem dla części wewnętrznej.

=== Rozwiązanie wewnętrzne ===
Metryka Schwarzschilda wewnątrz sferyczno-symetrycznej nierotującej masy o stałej gęstości <math>\rho_0</math> i promieniu <math>r_0</math> przedstawia się następująco:
:: <math>c^2 {d \tau}^2
= \left(\frac{3}{2}\sqrt{1 - K{r_0}^2}
- \frac{1}{2}\sqrt{1 - Kr^2} \right)^2 c^2 dt^2
- \frac{dr^2}{1 - K{r}^2}
- r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right),</math>

gdzie stała <math>K</math> jest dana przez:
:: <math>K = \frac{8\pi G\rho_0}{3c^2}.</math>

== Zobacz też ==
* [[linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda]]
* [[wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda]]
* '''inne metryki:'''
** [[metryka Kerra]] – dla rotujących czarnych dziur pozbawionych ładunku elektrycznego
** [[metryka Kerra-Newmana]] – dla rotujących czarnych dziur obdarzonych ładunkiem elektrycznym
** [[metryka Reissnera–Nordströma]] – dla nierotujących czarnych dziur obdarzonych ładunkiem elektrycznym
* '''inne:'''
** [[rozmaitość riemannowska]]
** [[rozmaitość pseudoriemannowska]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} [http://casa.colorado.edu/~ajsh/schwp.html More about the Schwarzschild Geometry] na [http://casa.colorado.edu/~ajsh/ Andrew Hamilton’s website], casa.colorado.edu [dostęp 2024-08-22].

{{Czarne dziury}}
{{Ogólna teoria względności}}

[[Kategoria:Rozwiązania ogólnej teorii względności]]