Tekst źródłowy strony Metoda zmiennych instrumentalnych

[[Plik:Instrumental variables - Zmienne instrumentalne.svg|alt=Graf skierowany z czterema elementami: instrument I wpływa przyczynowo na objaśnienie X, które wpływa z kolei na skutek Y. Towarzyszy im zakłócenie Z, wpływające i na X, i Y.|mały|Model przyczynowy związku zmiennej objaśniającej X i objaśnianej Y, w obecności [[Zmienna zakłócająca|zmiennej zakłócającej]] Z, i zmiennej instrumentalnej I.]]
'''Metoda zmiennych instrumentalnych''' – [[quasi-eksperyment]]alna technika [[Wnioskowanie statystyczne|statystycznej analizy]] danych we [[Wnioskowanie przyczynowe|wnioskowaniu przyczynowym]], która pozwala na przeciwdziałanie błędom [[Estymacja|estymacji]] wprowadzanym przez [[Zmienna zakłócająca|zmienne zakłócające]], dzięki temu że pomocniczo wykorzystuje zmienność zewnętrznych czynników wolnych od ich wpływu – tzw. '''zmiennych instrumentalnych'''<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Joshua Angrist, Jörn-Steffen Pischke |rozdział = 4. Instrumental Variables in action |tytuł = Mostly harmless econometrics: an empiricist’s companion |data = 2009 |data dostępu = 2019-03-22 |isbn = 9780691120348 |miejsce = Princeton |wydawca = Princeton University Press |oclc = 231586808}}</ref><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Joshua D Angrist, Alan B Krueger |tytuł = Instrumental Variables and the Search for Identification: From Supply and Demand to Natural Experiments |czasopismo = Journal of Economic Perspectives |data = 2001-11 |data dostępu = 2019-03-22 |issn = 0895-3309 |wolumin = 15 |numer = 4 |s = 69–85 |doi = 10.1257/jep.15.4.69 |język = en}}</ref>.

Bezpośredni związek przyczynowy [[Zmienna objaśniająca|zmiennej objaśniającej]] i [[Zmienna objaśniana|objaśnianej]] może być trudny do wyodrębnienia, jeśli w modelu przyczynowym zjawiska obecne są skorelowane z nimi obiema zmienne zakłócające. Obserwowana współzmienność ([[Zależność zmiennych losowych|korelacja]]) może być w skrajnych przypadkach wręcz zupełnie „pozorna” – to znaczy, może istnieć naprawdę, ale wynikać w całości z przyczynowego wpływu zmiennych zakłócających, a nie postulowanej zmiennej objaśniającej. Jest to charakterystyczny przykład tzw. [[Problem pominiętych zmiennych|problemu pominiętych zmiennych]]<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":2">{{Cytuj |autor = Judea Pearl, Dana Mackenzie |rozdział = 7. Beyond Adjustment: The Conquest of Mount Intervention |tytuł = The book of why: the new science of cause and effect |data = 2018-05-15 |data dostępu = 2019-03-22 |isbn = 9780465097609 |wydanie = First edition |miejsce = New York, NY |s = sekcja „The curious case(s) of Dr. Snow” |oclc = 1003311466}}</ref>.

Prawidłowo wybrana zmienna instrumentalna jest silnie związana ze zmienną objaśniającą, ale niezależna od zmiennych zakłócających. Pozwala dzięki temu na zidentyfikowanie i odizolowanie tej części współzmienności badanych czynników, która jest [[Prawdopodobieństwo warunkowe|warunkowo niezależna]] od zakłóceń. Omija konieczność realizowania – nie zawsze możliwego z powodów praktycznych lub etycznych – randomizowanego eksperymentu kontrolnego. Stosowne zmienne instrumentalne mogą także pomóc w [[Analiza danych|analizie danych]] z eksperymentów, w których doszło do nielosowego wykruszania się uczestników<ref name=":0" /><ref name=":1" />.

== Przykład ==
Przegląd historii techniki dokonany przez [[Joshua Angrist|Angrista]] i [[Alan Krueger|Kruegera]] przypisał jej pierwsze zastosowanie i matematyczny opis [[Phillip Wright|Phillipowi]] i [[Sewall Wright|Sewallowi Wrightowi]] w latach 1920 w pracy dla [[Brookings Institution]] (ówcz. ''Institute of Economics'') poświęconej oszacowaniu [[Elastyczność podaży|elastyczności podaży]] i [[Elastyczność popytu|popytu]] produktów rolniczych. Nazwę narzędzia wprowadził w 1945 statystyk [[Olav Reiersøl]]<ref name=":1" />. [[Judea Pearl|Pearl]] uznaje jednak za wcześniejsze użycie i interesujący przykład metody pochodzące z ok. 1854 analizy lekarza [[John Snow|Johna Snowa]] dotyczące epidemii [[Cholera|cholery]] w Londynie<ref name=":2" />.

W czasie epidemii cholery w 1854 mechanizmy odpowiedzialne za szerzenie się chorób były jeszcze bardzo słabo znane. Popularna pozostawała [[Miazmatyczna teoria chorób|teoria miazmy]], doszukująca się przyczyn większości zaraz w [[Morowe powietrze|morowym powietrzu]]. Choć w przypadku niektórych patogenów przewidywania i zalecenia płynące z tej teorii okazywały się skuteczne, cholera przenosi się głównie przez zanieczyszczoną wodę pitną, i wymaga zupełnie innych interwencji. Powierzchowna analiza danych nie ułatwiała jednak dostrzeżenia prawdziwych zależności, bo chorobie tej faktycznie towarzyszyła często zaduch i bieda<ref name=":2" /><ref name=":3">{{Cytuj |autor = Paweł Kawalec |rozdział = Nieeksperymentalne ustalenie przyczyny – studium przypadku |tytuł = Przyczyna i wyjaśnianie: studium z filozofii i metodologii nauk |data = 2006 |data dostępu = 2019-03-24 |isbn = 8373633626 |miejsce = Lublin |wydawca = KUL |oclc = 162507559 |url = https://philarchive.org/archive/KAWPIW}}</ref>.

Snow zauważył, że choć nie jest w stanie bezpośrednio powiązać ognisk cholery z jakością wody (a tym bardziej w sposób, który jednoznacznie odróżniałby ją od jakości powietrza), to może spróbować zidentyfikować rożne kategorie jakości wody poprzez porównanie firm wodociągowych. Odkrył dzięki temu, że konkurujące ze sobą firmy dostarczają wodę do większości dzielnic miasta – niezależnie od „jakości powietrza”, biedy, i innych postulowanych alternatywnych wyjaśnień – i jedna z nich jest szczególnie związana z występowaniem cholery. Okazało się, że jej ujęcie wody leży w niewielkiej odległości w dół [[Tamiza|Tamizy]] od dużego odpływu ścieków miejskich<ref name=":2" /><ref name=":3" />.

== Opis matematyczny ==
W standardowej [[Regresja liniowa|regresji liniowej]] [[Metoda najmniejszych kwadratów|metodą najmniejszych kwadratów]] ({{w języku|en|OLS}}), jeśli <math>X</math> to [[macierz]] obserwacji zmiennych objaśniających, a <math>e</math> to wektor błędu oszacowania, [[estymator]] efektu<ref name=":0" /><ref name=":1" />:
: <math>\widehat\beta_\mathrm{OLS} = (X'X)^{-1} X'y = (X'X)^{-1} X'(X \beta + e) = \beta + (X'X)^{-1} X'e</math>

jest nieobciążony i odpowiada asymptotycznie prawdziwemu efektowi przyczynowemu tylko jeśli spełniony jest szereg założeń – między innymi o braku korelacji <math>X</math> i <math>e</math> (tj. o braku systematycznego efektu zmiennych zakłócających)<ref name=":0" />.

Aby uzyskać mniej obciążoną wartość parametru <math>\beta,</math> technika zmiennych instrumentalnych wprowadza dodatkową macierz obserwacji <math>Z</math> instrumentów (IV), które są wysoce skorelowane z <math>X,</math> ale nie z <math>e{:}</math>
: <math>\widehat\beta_\mathrm{IV} = (Z'X)^{-1} Z'y.</math>

O ile korelacja instrumentu i błędu jest rzeczywiście zerowa, <math>Z'e = 0,</math> a wymiary macierzy <math>Z</math> i <math>X</math> pozwalają na pełną wzajemną identyfikację, to estymator zmiennych instrumentalnych i hipotetyczny parametr <math>\beta</math> są asymptotycznie równe:
: <math>\widehat\beta_\mathrm{IV} = (Z'X)^{-1} Z'y = (Z'X)^{-1} Z'X \beta + (Z'X)^{-1} Z'e \to \beta.</math>

Możliwe są także warianty, w których liczba instrumentów jest mniejsza lub większa od liczby zmiennych objaśniających, oraz nieparametryczne wersje metody.

== Interpretacja i zastrzeżenia ==
W przypadku słabej identyfikacji instrumentów czy [[Heterogeniczność|heterogeniczności]] efektów precyzja uzyskanego oszacowania może być niska, i nie uprawniać do generalizacji na populacje różne od występujących w badaniu<ref name=":0" /><ref>{{Cytuj |autor = Guido W. Imbens, Joshua D. Angrist |tytuł = Identification and Estimation of Local Average Treatment Effects |czasopismo = Econometrica |data = 1994 |data dostępu = 2019-03-22 |issn = 0012-9682 |wolumin = 62 |numer = 2 |s = 467–475 |doi = 10.2307/2951620 |jstor=2951620}}</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Ekonometria]]
[[Kategoria:Modelowanie statystyczne]]