Tekst źródłowy strony Mechanika klasyczna

'''Mechanika klasyczna''' – dział [[mechanika|mechaniki]] opisujący ruch ciał ([[kinematyka]]), wpływ oddziaływań na ruch ciał ([[Dynamika (fizyka)|dynamika]]) oraz badanie równowagi ciał materialnych ([[statyka]]){{r|Biał}}. Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu ([[zasady dynamiki Newtona|zasadach dynamiki]]) sformułowanych przez [[Isaac Newton|Isaaca Newtona]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3939150 | tytuł = mechanika klasyczna | data dostępu = 2021-12-08}}</ref>, dlatego też jest ona nazywana „mechaniką Newtona” ([[Matematyczne zasady filozofii naturalnej|''Principia'']]). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu{{r|Taylor}}.

Do końca [[XIX wiek|XIX]] wieku była uznawana za teorię dokładną, na początku [[XX wiek|XX]] wieku okazała się niepoprawna w niektórych sytuacjach. W celu wyjaśnienia niezgodności powstały nowe działy mechaniki:
* [[Szczególna teoria względności|mechanika relatywistyczna]] wraz z jej teoriami – [[ogólna teoria względności|ogólną teorią względności]] i [[szczególna teoria względności|szczególną teorią względności]], opisujące zachowanie się obiektów poruszających się z prędkością porównywalną z prędkością światła w próżni,
* [[mechanika kwantowa]], opisująca zachowanie się mikroskopijnych obiektów ([[cząsteczka|cząsteczki]], [[atom]]y, [[cząstka elementarna|cząstki elementarne]]).

Wymienione teorie w pewnym sensie obalają mechanikę klasyczną, choć są zbudowane na jej bazie pojęciowej i ją uzupełniają. Mimo to mechanika klasyczna jest nadal bardzo użyteczna, ponieważ:
* jest prostsza w stosowaniu niż inne teorie,
* z pewnymi przybliżeniami może być stosowana w szerokim zakresie,
* stanowi podstawę pojęciową dla innych teorii.

Mechanika klasyczna może być używana do opisu ruchu zarówno obiektów rozmiaru makroskopowych (np. piłka, samochód), w tym obiektów astronomicznych (np. [[Planeta|planety]], [[galaktyka|galaktyki]]), jak i obiektów mikroskopijnej wielkości (np. [[cząsteczka|cząsteczek]] organicznych, a nawet – w dużym przybliżeniu i w ograniczonym zakresie – do cząstek elementarnych). Przykładowo: równanie ruchu [[elektron]]u, wynikające z mechaniki klasycznej, poprawnie opisuje działanie [[mikroskop elektronowy|mikroskopu elektronowego]]; dopiero do wyjaśnienia ograniczeń rozdzielczości tego mikroskopu potrzeba odwołania do mechaniki kwantowej, a wyjaśnienie działania mikroskopu elektronowego z użyciem samych pojęć mechaniki kwantowej byłoby trudne.

W ostatnich latach wzrastającym zainteresowaniem cieszy się dział mechaniki klasycznej o nazwie [[dynamika nieliniowa]]. Kluczowym pojęciem jest tu [[Chaos (matematyka)|chaos]], a głównym narzędziem – nieliniowe [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowe]] i iteracyjne.

== Podsumowanie ==
Chociaż mechanika klasyczna jest z grubsza zgodna z innymi „klasycznymi” teoriami, takimi jak klasyczna [[elektrodynamika]] i [[termodynamika]], to pewne sprzeczności odkryte pod koniec XIX wieku są wyjaśniane przez współczesną fizykę. Przykładowo klasyczna elektrodynamika mówi, że [[prędkość światła]] w próżni jest stała dla wszystkich obserwatorów – jest to sprzeczne z mechaniką klasyczną, w wyniku czego powstała [[szczególna teoria względności]].

W mechanice klasycznej można wydzielić poddziedziny:
* [[kinematyka]] – opisująca ruch jako zagadnienie geometryczne,
* [[statyka]] – zajmująca się ciałami nie poruszającymi się i warunkami pozostania ciał w spoczynku (równowadze),
* [[Dynamika (fizyka)|dynamika]] – opisująca ruch ciał oraz zmiany ruchu ciał pod wpływem oddziaływań.

== Opis ruchu ==
Podstawowym pojęciem wprowadzanym w mechanice klasycznej jest [[punkt materialny]], który jest obiektem o zaniedbywalnie małych rozmiarach oraz posiadający masę. Ruch punktu materialnego jest scharakteryzowany przez kilka parametrów liczbowych (lub wektorów): jego położenie, masę i siłę działającą na niego. Każdy z tych parametrów zostanie opisany poniżej.

W rzeczywistości obiekty, które opisuje mechanika klasyczna zawsze mają niezerowy rozmiar. Prawdziwy [[punkt materialny]], np. [[elektron]] prawidłowo jest opisywany przez mechanikę kwantową. Obiekt o niezerowym rozmiarze ma bardziej skomplikowane zachowanie niż hipotetyczny punkt materialny, ponieważ jego wewnętrzny układ może ulec zmianie – np. podczas lotu piłka może obracać się wokół własnej osi, zmieniając w wyniku tego swój ruch. Jakkolwiek będziemy w stanie użyć naszych rezultatów dla punktu materialnego, aby studiować takie obiekty, traktując je jako zbiorowy obiekt, zbudowany z oddziałujących na siebie punktów materialnych, można pokazać, że takie zbiorowe obiekty zachowują się jak punkt materialny. W omawianym przykładzie piłkę traktujemy jako punkt materialny.

=== Położenie i wielkości pochodne ===
Położenie punktu materialnego jest określane względem wybranego punktu odniesienia (O) znajdującego w przestrzeni. Wybrany punkt wraz z innymi ciałami z nim związanymi nazywamy [[układ odniesienia|układem odniesienia]]. Punktowi materialnemu w konkretnym układzie współrzędnych (opisanym przez wektory jednostkowe <math>\mathbf{e}_i\; i=1,2,3</math>) przyporządkowujemy współrzędne <math>x^i</math>
:: <math>\mathbf{x}(t) = \sum_{i=1}^3 x^i(t) \mathbf{e}_i=x^i(t) \mathbf{e}_i.</math>

Wprowadza się pojęcie „ciało fizyczne” lub krótko „ciało” oznaczające dowolny obiekt będący punktem materialnym lub złożony z punktów materialnych.

Położenie ciała definiowane jest jako wektor <math>\mathbf{x}(t),</math> ciało nie musi być nieruchome, więc położenie zmienia się w czasie (jest funkcją czasu <math>(t)</math>).

Prędkość opisuje szybkość zmiany położenia w czasie, jest definiowana jako pochodna położenia po czasie (oznaczana również przez kropkę)
:: <math>\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{x}}{dt} = v^i \mathbf{e}_i = \frac{dx^i}{dt} \mathbf{e}_i = \dot{x}^i \mathbf{e}_i.</math>

Prędkość też zazwyczaj nie jest stała dlatego do opisu jej zmian wprowadza się przyspieszenie, czyli szybkość zmiany prędkości, jest zdefiniowana
:: <math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2 x^i}{dt^2}\mathbf{e}_i.</math>

Zmiana wektora przyspieszenia może dotyczyć zmiany jego wartości lub kierunku bądź obydwu.

=== Pojęcie siły i druga zasada dynamiki Newtona ===
[[Zasady dynamiki Newtona|Druga zasada dynamiki Newtona]] wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z [[Siła|siłą]]. Jeżeli <math>m</math> jest masą <math>v</math> prędkością punktu materialnego, a <math>F</math> jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to druga zasada dynamiki Newtona głosi, że szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile działającej na to ciało, co można wyrazić wzorem:
:: <math>\mathbf{F} =\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d(m \mathbf{v})}{dt}.</math>

Wartość <math>\mathbf{p}=m \mathbf{v}</math> jest nazywana [[pęd (fizyka)|pędem]] i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

Kiedy masa <math>m</math> jest stała w czasie, druga zasada dynamiki Newtona może zostać zapisane w prostszej formie:
:: <math>\mathbf{F} = m \mathbf{a},</math>

gdzie: <math>a</math> – przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

Nie zawsze masa jest niezależna od czasu, np. masa rakiety na paliwo chemiczne zmniejsza się w miarę zużywania się paliwa. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

Druga zasada dynamiki Newtona wymaga podania siły <math>F,</math> która jest miarą oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.
:: <math>\mathbf{F}_\mathrm{R} = -\lambda \mathbf{v},</math>

gdzie:
: <math>\lambda</math> – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała,
: minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).

Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci funkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do II prawa Newtona, otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane [[dynamiczne równanie ruchu|dynamicznym równaniem ruchu]]
:: <math>m \frac{d^2 x^i}{dt^2} = F^i(\mathbf{x}(t), t).</math>

Dla przykładu, załóżmy, że [[Tarcie (fizyka)|tarcie]] jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:
:: <math>m\frac{d^2 x^i}{dt^2} = -\lambda \frac{dx^i}{dt}.</math>

Równanie to można scałkować otrzymując
:: <math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{- \lambda t / m},</math>

gdzie <math>v_0</math> jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym <math>(t=0).</math> Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.

==== Cząstka swobodna ====
Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym
:: <math>m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=0.</math>

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych
:: <math>x^i \to {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0,</math>
:: <math>t \to t'=t+t_0.</math>

Właściwe transformacje Galileusza to:
:: <math>x^i \to {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0,</math>
:: <math>t \to t'=t+t_0,</math>

tworzących [[grupa Galileusza|grupę Galileusza]]. Są one [[symetria|symetrią]] równania Newtona dla cząstki swobodnej.

Grupa '''transformacji Galileusza''' parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z [[twierdzenie Noether|twierdzeniem Noether]], gdy grupa ta jest [[symetria|symetrią]] równań ruchu [[Układ fizyczny|układu fizycznego]] odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania, np. [[energia|energii]] z translacji w czasie, [[pęd (fizyka)|pędu]] z translacji w przestrzeni, [[moment pędu|momentu pędu]] z symetrii obrotowej i pędu [[Środek masy|środka masy]] z transformacji właściwej generowanej przez v.

Z [[Transformacja Galileusza|transformacji Galileusza]] wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy <math>\vec{u}=\frac{d\vec{x}}{dt},</math> <math>\vec{u'}=\frac{d\vec{x'}}{dt},</math> z właściwej transformacji Galileusza różniczkując, otrzymujemy
:: <math>\vec{u'}=\vec{u}+\vec{v}.</math>

=== Formalizm Lagrange’a ===
Równania ruchu Newtona można wyprowadzić w formalizmie Lagrange’a z zasady ekstremum [[funkcjonał]]u nazywanego całką działania <math>S[\mathbf{x}(t)].</math> Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange’a
:: <math>L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t)</math>
:: <math>S[\mathbf{x}(t)] = \int\limits_{t_0}^{t_1} dt L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t).</math>

Warunek na ekstremum tego [[funkcjonał]]u (δS=0) generuje równania Eulera-Lagrange’a
:: <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}^i} = \frac{\partial L}{\partial x^i}.</math>

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako
:: <math>p^i=\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}^i},</math>

a siłę jako
:: <math>F^i(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t) = \frac{\partial L}{\partial x^i}.</math>

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange’a jako
:: <math>L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t) = \frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2-U(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t).</math>

Szczególną grupą są [[siła zachowawcza|siły zachowawcze]] – mogą być one wyrażane jako [[gradient (matematyka)|gradient]] funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:
:: <math>\mathbf{F} = -\nabla U</math>

lub
:: <math>\mathbf{F}^i = -\frac{\partial{U}}{\partial x^i} = -\partial_i U.</math>

Niezwykle ważną w zastosowaniach cechą formalizmu Lagrange’a jest niezmienniczość [[równania Eulera-Lagrange’a]] względem wyboru układu współrzędnych. Fakt ten nie jest prawdziwy dla sformułowania Newtona, którego forma <math>\mathbf F = m\mathbf a</math> ma miejsce tylko we współrzędnych kartezjańskich. Niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a umożliwia dobór współrzędnych dopasowanych do symetrii badanego układu mechanicznego lub jego więzów. Redukuje się w ten sposób liczbę stopni swobody problemu lub eliminuje z obliczeń konieczność rozważania sił więzów.

=== Energia układu fizycznego ===
[[Siła]] F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, [[praca (fizyka)|praca]] wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:
:: <math>\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}.</math>

Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δW<sub>total</sub> jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że
:: <math>\delta W_\mathrm{total} = \delta T,</math>

gdzie <math>T</math> jest [[Energia kinetyczna|energią kinetyczną]]. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:
:: <math>T = \frac{m \mathbf{v}^2}{2} = \frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2.</math>

Dla obiektów złożonych z wielu punktów materialnych, energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów materialnych. Zatem
:: <math>\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = -\nabla U \cdot \delta \mathbf{r} = -\delta U</math>
:: <math>\Rightarrow - \delta U = \delta T</math>
:: <math>\Rightarrow \delta (T + U) = 0.</math>

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia
:: <math>E=T+U = \frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2 + U</math>

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie [[energia]], a [[zasada zachowania energii]] jest najważniejszą zasadą zachowania w fizyce.

=== Formalizm Hamiltona ===
Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd {<math>x^i, p^i</math>}. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz [[stan kwantowy]] w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]] lub [[hamiltonian]]em. Definiujemy ją jako
:: <math>H(x, p, t) = \sum_i p_i v^i(x, p, t) - L(x, v(x, p, t), t).</math>

Dla cząstek w polu potencjału <math>U</math>
:: <math>H(x, p, t) = \frac{p^2}{2m}+U(x, t).</math>

Równania Lagrange’a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu
:: <math>\frac{dp^i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x^i} = -\frac{\partial U}{\partial x^i} = F^i</math>
:: <math>\frac{dx^i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p^i}.</math>

Definiując [[Nawias Poissona|nawiasy Poissona]]
:: <math>[A,B]=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial x^i}\frac{\partial B}{\partial p^i} - \frac{\partial B}{\partial x^i}\frac{\partial A}{\partial p^i}\right)</math>

zmianę dowolnej wielkości fizycznej <math>F(x,p)</math> z czasem można przedstawić jako
:: <math>\frac{dF}{dt} = -[H,F] + \frac{\partial F}{\partial t}.</math>

Jeżeli wielkość fizyczna <math>F</math> jawnie nie zależy od czasu
:: <math>\frac{\partial F}{\partial t}=0,</math>

to będzie zachowana (jest stałą ruchu), gdy
:: <math>\frac{dF}{dt}=0 \to [H,F]=0</math>

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy <math>[A,B] = 0.</math>

Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie
:: <math>[x^i, p^j] = \delta_{ij}.</math>

W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości ([[zasada nieoznaczoności]]).

== Przypisy ==
<references>
<ref name="Taylor">Taylor J.R., Rączka P., ''Mechanika klasyczna'', Tom 1 i 2, PWN, Warszawa 2006.</ref>
<ref name="Biał">[[Grzegorz Białkowski]], ''Mechanika klasyczna – Mechanika punktu materialnego i bryły sztywnej'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1975.</ref>
</references>

== Bibliografia ==
* Rosu, Haret C., [http://arxiv.org/abs/physics/9909035 „Classical Mechanics”]. Physics Education. 1999. [arxiv.org: physics/9909035].

== Linki zewnętrzne ==
{{Commonscat|Classical mechanics}}
* {{Pismo Delta | url = temat/fizyka/mechanika/2016/08/28/Mechanika_analityczna/ | autor = Szymon Charzyński, [[Krzysztof Turzyński]] | tytuł = Mechanika analityczna | data = wrzesień 2016 | data dostępu = 2021-10-04}}
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/mechanics-classical/v-1 Mechanics, classical]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-08].

{{Mechanika klasyczna}}
{{Działy fizyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Mechanika klasyczna| ]]