Tekst źródłowy strony Matematyka ubezpieczeniowa

{{dopracować|przypisy=2025-01}}
'''Matematyka ubezpieczeniowa''' (aktuariat, nauki aktuarialne, matematyka aktuarialna) – dział [[Matematyka stosowana|matematyki stosowanej]] obejmujący zagadnienia m.in. [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]], [[Statystyka|statystyki]], [[Matematyka finansowa|matematyki finansowej]], [[Metoda numeryczna|metod numerycznych]] i koncentrujący się na zastosowaniach w dziedzinie [[Ubezpieczenie (umowa)|ubezpieczeń]].

== Historia aktuariatu ==
Matematyka ubezpieczeniowa jako dyscyplina matematyki powstała w [[XVII wiek|XVII w.]] wraz ze wzrostem zapotrzebowania na długoterminowe ubezpieczenia na życie. Koniecznym było oszacowanie wysokości składek w sposób zapewniający pokrycie przyszłych świadczeń. Aby to uczynić niezbędne było stworzenie matematycznego modelu demograficznego opisującego długość trwania ludzkiego życia jako [[Zmienna losowa|zmienną losową]]. Konieczność uwzględnienia czynnika [[Inflacja|inflacji]] wymusiła powstanie takich pojęć jak wartość obecna przyszłych przepływów finansowych. W [[XX wiek|XX w.]] matematyka ubezpieczeń życiowych została wzbogacona o modele dla nowych produktów ubezpieczeniowych takich jak [[Emerytura|emerytury]] i ubezpieczenia zdrowotne jakie wtedy się pojawiły.

== Matematyka ubezpieczeń życiowych ==
{{wikibooks|Matematyka ubezpieczeń życiowych}}
W matematyce ubezpieczeń życiowych głównym [[ryzyko|ryzykiem]] jest możliwość [[Śmierć|zgonu]]. Ubezpieczenia życiowe mają zwykle charakter wieloletni. W związku z tym w rozważaniach tych wprowadza się [[Demografia|model demograficzny]], w którym rozważa się długość trwania życia jako [[Zmienna losowa|zmienną losową]]. Głównym czynnikiem wpływającym na [[rozkład prawdopodobieństwa]] zgonu jest wiek danego osobnika. Dalsza długość trwania życia wpływa zarówno na długość okresu opłacania składek ubezpieczeniowych, jak i na moment, w którym nastąpi wypłata świadczenia, i tym samym na czas oprocentowania rezerw ubezpieczeniowych.

[[Niepełnosprawność|Inwalidztwo]], utrata możliwości zarobkowania, [[choroba]] wymagająca długotrwałego kosztownego leczenia, a także inne porównywalne zdarzenia losowe mogą być czasem podobnie dotkliwe dla rodziny ubezpieczonego jak jego śmierć. Zakłady ubezpieczeń na życie oferują obecnie ubezpieczenia uwzględniające również i takie zdarzenia losowe<ref>Jedna firma ubezpieczeniowa nie może oferować jednocześnie ubezpieczeń na życie (Dział I) i ubezpieczeń majątkowych (Dział II), jednak załącznik do ustawy o działalności ubezpieczeniowej, wyliczając ryzyka z poszczególnych działów precyzuje, że do ubezpieczeń działu I zalicza się również ubezpieczenia wypadkowe i chorobowe, jako uzupełnienie pozostałych ubezpieczeń z tego działu. ({{Dziennik Ustaw|2003|124|1151}}).</ref>. Aby móc zajmować się takimi ubezpieczeniami niezbędny jest matematyczny model uwzględniający wystąpienie jednego z kilku zdarzeń będących podstawą wypłaty świadczenia w odpowiedniej dla danej szkody wysokości. Jest to ''model szkodowości wielorakiej'' ([[język angielski|ang.]] ''multiple decrement model'').

Oprócz kalkulacji składek niezmiernie istotnym zagadnieniem jest kalkulacja rezerw, jakie w danym momencie zgromadzone są na pokrycie świadczeń dla danego ubezpieczonego. Wysokość tych rezerw ma znaczenie w przypadku konwersji (zmiany warunków) [[Polisa|polisy ubezpieczeniowej]] (np. przekształcenie w polisę bezskładkową).

== Matematyka ubezpieczeń majątkowych ==
Matematyka ubezpieczeń majątkowych obejmuje modele matematyczne ubezpieczeń działu II. Do podstawowych zagadnień należy modelowanie rozkładu łącznej wartości szkód w [[Model ryzyka łącznego|modelu ryzyka łącznego]] lub [[Model ryzyka indywidualnego|indywidualnego]]. Wysokość składki musi być tak ustalona, aby łączna wartość wypłaconych świadczeń nie przekroczyła łącznej wartości wpłaconych składek. Ponieważ rozkłady prawdopodobieństw występujących w tych modelach są często jedynie przybliżeniem rzeczywistych rozkładów, w matematyce ubezpieczeń majątkowych mają zastosowanie metody aproksymacyjne.

W zakres matematyki ubezpieczeń majątkowych wchodzi również teoria ruiny. W przypadku tego modelu składki ustala się na takim poziomie, aby w długofalowym horyzoncie prawdopodobieństwo ruiny ubezpieczyciela nie przekroczyło z góry zadanego poziomu.

Innym zagadnieniem matematyki ubezpieczeń majątkowych jest [[podział ryzyka]] pomiędzy ubezpieczonego a ubezpieczyciela, a także często reasekuratora. Polega to na ustaleniu, w jakim stopniu szkoda jest pokrywana przez poszczególne strony kontraktu ubezpieczeniowego i jak taki podział wpływa na rozkład prawdopodobieństwa dla wypłat przy zadanym rozkładzie szkód.

== Notacja aktuarialna ==
[[Plik:Actuarial notation.svg|thumb|Przykład interpretacji oznaczenia aktuarialnego<br>
1. Jednorazowa składka netto za ubezpieczenie jednostkowe (kwota świadczenia jest równa 1)<br>
2. płatnego w momencie śmierci<br>
3. dla osoby <math>x</math>-letniej, na <math>n</math> lat<br>
4. ubezpieczenie na życie<br>
5. odroczone na <math>m</math> lat<br>
6. z podwójnym oprocentowaniem]]
Na potrzeby opisu różnych zagadnień matematyki ubezpieczeniowej stworzony został rozbudowany system oznaczeń nazywany notacją aktuarialną. Zapis ten opiera się na umownych symbolach literowych i systemie indeksów dolnych i górnych, umieszczanych po obu stronach symbolu podstawowego.

Przykłady podstawowych oznaczeń:
{| class="wikitable" |
!Zapis
!Znaczenie
|-
|<math>{}_t p_x</math>
|Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku <math>x</math> przeżyje <math>t</math> lat
|-
|<math>{}_t q_x</math>
|Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku <math>x</math> nie przeżyje <math>t</math> lat
|-
|<math>{}_{s|t}q_x</math>
|Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku <math>x</math> przeżyje <math>s</math> lat i umrze w ciągu następnych <math>t</math> lat
|-
|<math>A_x</math>
|Wartość obecna ubezpieczenia dla osoby w wieku <math>x</math> z kwotą świadczenia 1 wypłacaną na koniec roku śmierci
|-
|<math>\ddot{a}_x</math>
|Wartość obecna dożywotniej renty dla osoby w wieku <math>x</math> z kwotą wypłat 1 wypłacaną na początku każdego roku
|-
|<math>a_x</math>
|Wartość obecna dożywotniej renty dla osoby w wieku <math>x</math> z kwotą wypłat 1 wypłacaną na końcu każdego roku
|}

== Aktuariusze ==
{{osobny artykuł|Aktuariusz}}
Osoba zajmująca się zawodowo matematyką ubezpieczeniową jest nazywana [[aktuariusz]]em. Osoba taka w firmie ubezpieczeniowej odpowiada za wycenę zobowiązań wobec klientów oraz konstrukcję produktów tak, by oczekiwany poziom rezerw oraz strumień przyszłych przepływów pieniężnych zapewnił pokrycie tych zobowiązań.

W obrębie państw [[Unia Europejska|Unii Europejskiej]] aktuariusz uprawniony do wykonywania zawodu w jednym z krajów wspólnoty (a także w: [[Islandia|Islandii]], [[Norwegia|Norwegii]] i [[Szwajcaria|Szwajcarii]]) może nabyć pełne uprawnienia zawodowe w innym z wyżej wymienionych krajów, pod warunkiem:
* zgłoszenia się aktuariusza do krajowego stowarzyszenia w kraju docelowym, oraz
* odbycia 12-miesięcznego stażu aktuarialnego w kraju docelowym bądź zdania dodatkowych egzaminów lub testów w kraju docelowym.
Krajowe stowarzyszenia aktuarialne same określają dokładne reguły postępowania w zakresie wszystkich powyższych punktów.

== Aktuariat w Polsce ==
W Polsce, by zostać wpisanym do rejestru aktuariuszy<ref>{{cytuj stronę |url =http://www.knf.gov.pl/rynek_ubezpieczen/aktuariusze/Rejestr_aktuariuszy/index.html |tytuł =Rejestr aktuariuszy |opublikowany=Komisja Nadzoru Finansowego| język=pl |data dostępu =2008-08-31}}</ref>, wymagane są (prócz złożenia z pozytywnym wynikiem egzaminów aktuarialnych<ref>''Ogłoszona treść rozporządzenia Ministra Finansów w sprawie zakresu obowiązujących tematów egzaminów aktuarialnych oraz trybu przeprowadzania tych egzaminów'' ({{Dziennik Ustaw|2003|211|2054}}).</ref> przy [[Komisja Nadzoru Finansowego|Komisji Nadzoru Finansowego]]): wykształcenie wyższe, poświadczenie niekaralności (wyciąg z [[Krajowy Rejestr Karny|KRK]]) oraz udokumentowany dwuletni staż zawodowy pod kierunkiem aktuariusza.

Każdy zakład ubezpieczeń, zgodnie z Ustawą z dnia 22 maja 2003 r. o działalności ubezpieczeniowej<ref>''Ustawa z dnia 22 maja 2003 r. o działalności ubezpieczeniowej'' ({{Dziennik Ustaw|2003|124|1151}}).</ref> ma obowiązek powołania aktuariusza.

Organizacją zrzeszającą aktuariuszy w [[Polska|Polsce]] jest [[Polskie Stowarzyszenie Aktuariuszy]] utworzone w 1991 roku i kontynuujące działalność Polskiego Instytutu Aktuariuszy przerwaną przez II wojnę światową. Stowarzyszenie jest członkiem [[International Actuarial Association|Międzynarodowego Stowarzyszenia Aktuarialnego]] (ang. International Actuarial Association lub IAA), a także członkiem Groupe Consultatif Actuariel Europeen zrzeszającego organizacje aktuarialne w Europie.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Bowers |imię = Newton L. |nazwisko2 = Gerber |imię2 = Hans U. |nazwisko3 = Hickman |imię3 = J.C. |nazwisko4 = Jones |imię4 = D.A. |nazwisko5 = Nesbit |imię5 = C.J. |tytuł = Actuarial mathematics |data = 1986 |wydawca = Society of Actuaries |miejsce = Itasca, Ill. |isbn = 0-938959-10-7 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Gerber |imię = Hans U. |autor link = |tytuł = Life insurance mathematics |data = 1990 |wydawca = Springer-Verlag |miejsce = Berlin |isbn = 0-387-52944-6 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Otto |imię = Wojciech |tytuł = Ubezpieczenia majątkowe |wydanie = 1 |wydawca = Wydawnictwa Naukowo-Techniczne |miejsce = Warszawa |rok = 2004 |część = I |tytuł części = Teoria ryzyka |seria = Matematyka w ubezpieczeniach |isbn = 83-204-2887-4 |język = pl}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Skałba |imię = Mariusz |autor link = Mariusz Skałba |tytuł = Ubezpieczenia na życie |data = 1999 |wydawca = Wydawnictwa Naukowo-Techniczne |miejsce = Warszawa |isbn = 83-204-2460-7 |język = pl}}

{{Matematyka stosowana}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Matematyka ubezpieczeniowa| ]]