Tekst źródłowy strony Matematyka

[[Plik:Euclid.jpg|mały|Fragment obrazu ''[[Szkoła Ateńska]]'' [[Rafael Santi|Rafaela Santiego]] (XVI wiek); [[cyrkiel]] trzyma [[Euklides]], grecki matematyk z III wieku p.n.e.]]
[[Plik:The Mathematical Institute at Oxford University.jpg|mały|Siedziba Instytutu Matematyki [[Uniwersytet Oksfordzki|Uniwersytetu Oksfordzkiego]] w [[Anglia|Anglii]]. Na ziemi znajduje się [[parkietaż Penrose’a]]; ten układ figur opisał po raz pierwszy jeden z pracowników tej placówki – Sir [[Roger Penrose]].]]

'''Matematyka''' (z [[łacina|łac.]] ''mathematicus'', od [[język grecki|gr.]] μαθηματικός ''mathēmatikós'', od μαθηματ-, μαθημα ''mathēmat-, mathēma'', „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν ''manthánein'', „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z [[język gocki|goc.]] ''mundon'', „baczyć, uważać”) – [[nauka]] zaliczana do grupy [[Nauki formalne|formalnych]], inaczej [[Rozumowanie dedukcyjne|dedukcyjnych]] lub [[A priori|apriorycznych]], a także do [[Nauki ścisłe|nauk ścisłych]] i definiująca tę grupę – matematyka stanowi ich fundament. Dotyczy ona ścisłych [[konkluzja|wniosków]] z przyjętych [[przesłanka|założeń]]<ref>{{encyklopedia PWN|id = 3938552|tytuł=matematyka|data dostępu=9 lutego 2009}}</ref> – prawidłowości [[rozumowanie|rozumowania]], podobnie jak [[logika]], jednak matematyka się z nią nie pokrywa. Ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej; muszą być czynione w naukach ścisłych, [[technika|technice]] i zdarzają się w [[nauki humanistyczne|naukach humanistycznych]], przez co zakres matematyki stale się powiększa razem z tymi naukami.

W pewnym sensie matematyka istnieje od czasów [[Prehistoria|prehistorycznych]], ponieważ już ludy [[paleolit]]yczne posługiwały się pojęciem [[Liczba|liczby]] i podstawami [[Arytmetyka elementarna|arytmetyki elementarnej]]. [[Starożytność]] to pojawienie się:
* właściwych, ściśle rozumianych dyscyplin matematycznych jak [[teoria liczb]], ścisła [[geometria]], zręby [[Algebra|algebry]] oraz podstawy [[Logika|logiki]], pierwotnie zaliczanej do [[Filozofia|filozofii]];
* matematycznego [[Nauki przyrodnicze|przyrodoznawstwa]] jak ilościowa [[fizyka]] i [[astronomia]].

[[Średniowiecze]] i wczesna [[nowożytność]] to narodziny nowych dyscyplin jak [[kombinatoryka]], [[analiza matematyczna]] i [[Teoria prawdopodobieństwa|probabilistyka]], jednak pozostawała to nauka oparta na pojęciach liczby i [[Przestrzeń (fizyka)|przestrzeni rozumianej fizycznie]]. Pozostaje to prawdą o większości [[Matematyka elementarna|matematyki elementarnej]] nauczanej w [[Szkoła podstawowa|szkołach podstawowych]] i [[Szkoła średnia|średnich]], ale w XIX wieku matematyka wykroczyła poza te pojęcia, kiedy:
* powstały [[logika matematyczna]], [[teoria mnogości]] i [[algebra abstrakcyjna]];
* geometrię zdefiniowano na nowo, w oderwaniu od przestrzeni fizycznej.

[[Matematyka wyższa]] bada i klasyczne przedmioty tej nauki, i obiekty bardziej abstrakcyjne, zdefiniowane odrębnie; przykłady to wspomniane trzy działy oraz [[topologia]].

Prehistoryczne korzenie matematyki dotyczą problemów praktycznych i z czasem [[matematyka stosowana]] wytworzyła szereg dyscyplin powiązanych z różnymi obszarami [[Kultura|kultury]] jak [[nauki empiryczne]], [[technika]], [[sztuka]], [[sport]] czy [[polityka]]. Obecnie standardem w naukach eksperymentalnych jest potwierdzanie istnienia obserwowanych zależności za pomocą metod [[statystyka|statystyki]], będącej działem matematyki. Pomaga to odróżnić rzeczywiste zależności od przypadkowej zbieżności. [[Leonardo da Vinci]] stwierdził w ''[[Traktat o malarstwie|Traktacie o malarstwie]]:'' „Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie”. Z drugiej strony najpóźniej w [[Starożytna Grecja|starożytnej Grecji]] zapoczątkowano matematyczne [[badania podstawowe]] znane jako [[matematyka czysta]] lub teoretyczna. Bywa uważana za formę [[sztuka|sztuki]]<ref group="uwaga">Patrz cytaty w sekcji [[#Definicje i wizje|Definicje i wizje]].</ref>; niektóre z jej wyników z czasem znalazły  zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich [[fizyka]] lub [[informatyka]].

Matematyka wywarła też wpływ na [[Filozofia|filozofię]] i [[Religia|religię]], np. inspirując ruch [[Pitagorejczycy|pitagorejczyków]] i [[platonizm]]; rozwój logiki i innych [[Podstawy matematyki|podstaw matematyki]] dostarczył nowych narzędzi [[Ontologia|ontologii]], [[Metafizyka klasyczna|metafizyce]], [[Epistemologia|epistemologii]] i [[Filozofia języka|filozofii języka]], zainspirował pewne idee w [[Filozofia umysłu|filozofii umysłu]], a matematyka najpóźniej w starożytności się stała przedmiotem refleksji znanej jako [[filozofia matematyki]]. Jednym z jej zagadnień jest status osiągnięć matematyków; bywają zaliczane do odkryć przez większość stanowisk [[Realizm epistemologiczny|realistycznych]], według których nauka ta opisuje [[rzeczywistość]] obiektywną, niezależną od ludzkiego [[umysł]]u. Przedstawiciele innych doktryn<ref group="uwaga">Przykłady to średniowieczny [[konceptualizm]], nowożytny [[Intuicjonizm (matematyka)|intuicjonizm]] i przeczący realizmowi [[nominalizm]].</ref> klasyfikują te prace raczej jako [[Wynalazek|wynalazki]]{{fakt|data=2023-08}}. Innym przedmiotem sporu jest związek matematyki z logiką, choć badania z XIX i XX wieku przekreśliły tradycyjny [[logicyzm]] próbujący redukować [[Aksjomat|założenia]] matematyki do [[Prawa logiczne|praw logicznych]].

Matematyka bywa nazywana królową nauk; na ich tle wyróżnia się:
* samodzielnością i niezależnością od innych badań, choć korzysta z osiągnięć techniki;
* wyjątkowo rozległym wpływem;
* [[Pewność|pewnością]] rezultatów, rzadko podlegających rewizji.

== Definicje i wizje ==
* [[Paul Dirac]] stwierdził: „Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji i nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie”<ref>''Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field.'' {{cytuj książkę|nazwisko=Davis|imię=P.J.|nazwisko2=Hersh|imię2=R.|tytuł=The Mathematical Experience|miejsce=Boston|wydawca=Birkhäuser|rok=1981}}</ref>.
* [[Benjamin Peirce]] nazwał ją „nauką, która wyciąga właściwe wnioski”<ref>''The science that draws necessary conclusions.''; za: Peirce, s. 97.</ref>.
* [[Henri Poincaré]] określił matematykę jako „sztukę nadawania takich samych nazw różnym rzeczom”<ref>''Mathematics is the art of giving the same name to different things.''; za: {{cytuj książkę|nazwisko=Bell|imię=E.T.|tytuł=Men of Mathematics 2|rok=1965|wydawca=Pelican Books|strony=609}}</ref>. 
* [[David Hilbert]] uznał, że „sztuka uprawiania matematyki zawiera się w znajdowaniu szczególnych przypadków, które zawierają w sobie zalążki uogólnień”<ref>''The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.''; za: {{cytuj książkę|nazwisko=Rose|imię=N.|tytuł=Mathematical Maxims and Minims| miejsce=Raleigh N C|rok=1988}}</ref>.
* Poeta [[William Wordsworth]] stwierdził: „Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję”<ref>''[Mathematics] is an independent world created out of pure intelligence.''; za: {{cytuj książkę|nazwisko=Wordsworth|imię=William|tytuł=Prelude; VI. Cambridge and the Alps; Oxford Anthology of English Literature, tomy I-II. Frank Kermode i John Hollander (red.)|rok=1973|wydawca=Oxford University Press}}</ref>.
* [[Nikołaj Łobaczewski]] uznał, że „Nie ma gałęzi matematyki, choćby nie wiem jak abstrakcyjnej, która pewnego dnia nie zostałaby zastosowana do zjawisk realnego świata”<ref>{{cytuj książkę|nazwisko=Rose|imię=N.|tytuł=Mathematical Maxims and Minims| miejsce=Raleigh N C|rok=1988}}</ref>. 
* [[Immanuel Kant]] stwierdził: „Matematyka jest najjaskrawszym przykładem, jak czysty rozum może skutecznie rozszerzać swoją domenę bez jakiejkolwiek pomocy doświadczenia”<ref><!--''The science of mathematics presents the most brilliant example of how pure reason may successfully enlarge its domain without the aid of experience.''; za:-->''The Mathematical Intelligencer'', t. 13, nr 1, Winter 1991.</ref>.

== Główne działy ==<!--do tej sekcji prowadzi link z [[MSC 2000]]-->
Matematyka jest dynamiczną symbiozą dziedzin, działów czy teorii, które przenikają się oraz zależą jedne od drugich. Powstają wciąż nowe teorie, stare obumierają, a czasem znowu wracają do życia<ref group="uwaga">Bogate teorie matematyczne są w stanie modelować w zasadzie całą matematykę. Bywa, że pewne działy nawzajem zawierają się w sposób całkiem naturalny. W geometrii można definiować geometrycznie algebrę, a w algebrze – algebraicznie geometrię. To powoduje pewną dowolność każdej klasyfikacji. Są też działy będące pomostami, jak [[algebra topologiczna]] (nie mylić z [[topologia algebraiczna|topologią algebraiczną]]), która, formalnie mówiąc, zawiera zarówno topologię, jak i algebrę.</ref>. Matematyka wymyka się klasyfikacji lub zmusza do tworzenia klasyfikacji wciąż na nowo.

[[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne]] prowadzi klasyfikację gałęzi matematyki, w których prowadzone są aktywne badania naukowe. Ta klasyfikacja jest uaktualniana co pewien czas, aby odzwierciedlić zmiany w zainteresowaniach matematyków – od stycznia 2020 obowiązuje wersja określana jako MSC 2020 (''Mathematics Subject Classification 2020'')<ref>{{Cytuj | tytuł = 2020 Mathematics Subject Classification | data = 2022 | język = en | archiwum = https://web.archive.org/web/20221218033603/https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html}}</ref>. MSC jest używane przez wiele [[Czasopismo naukowe|czasopism]] matematycznych oraz baz danych w rodzaju ''[[Mathematical Reviews]]''. Klasyfikacja ta obejmuje opisane poniżej główne gałęzie matematyki, z których każda jest dalej dzielona. Łącznie zawiera ona ponad 5000 szczegółowych dziedzin matematyki i dziedzin z matematyką związanych. Każda dziedzina ma przypisany pięcioznakowy kod.

=== Logika i podstawy ===
Podstawy matematyki definiują język matematyki, sposoby przeprowadzania dowodów matematycznych, metody budowania jej struktur i teorii oraz określają własności jej podstawowych obiektów, takich jak [[zbiór]].
* 03Bxx [[Logika matematyczna|Logika ogólna]]
* 03Cxx [[Teoria modeli]]
* 03Dxx [[Teoria obliczeń]] i [[teoria rekursji]]
* 03Exx [[Teoria mnogości]]
* 03Fxx [[Teoria dowodu]], [[Konstruktywizm w filozofii matematyki|matematyka konstruktywna]], [[metamatematyka]]
* 03Gxx [[Logika algebraiczna]]
* 03Hxx Niestandardowe modele

=== Algebra ===
[[Algebra]] to dział matematyki zajmujący się [[algebra ogólna|strukturami algebraicznymi]], [[struktura porządkowa|porządkowymi]], [[relacja (matematyka)|relacjami]] i uogólniający rozmaite własności [[działanie algebraiczne|działań]] wspólne dla różnych zbiorów, w których działania takie mogą być przeprowadzane.
* 05-xx [[Kombinatoryka]] i [[teoria grafów]]
* 06-xx [[Struktura porządkowa|Porządki]], [[Krata (matematyka)|kraty]], [[Algebra Boole’a|algebry Boole’a]], uporządkowane struktury algebraiczne. Często zaliczane są one do teorii mnogości, jednak MSC inaczej je klasyfikuje<ref group="uwaga">Tradycyjnie, teoria zbiorów uporządkowanych była (już u [[Georg Cantor|Cantora]]) działem teorii mnogości; w szczególności monografia [[Wacław Sierpiński|Sierpińskiego]], ''Cardinal and ordinal numbers'', w połowie o uporządkowaniach (liniowych), należy do teorii mnogości, a nie do algebry, mimo pewnych algebraicznych akcentów.</ref>.
* 08-xx Ogólne systemy [[algebra]]iczne
* 11-xx [[Teoria liczb]]
* 12-xx [[Ciało (matematyka)|Teoria ciał]] i [[wielomian]]ów
* 13-xx [[Pierścień przemienny|Pierścienie]] i [[algebra przemienna|algebry przemienne]]
* 14-xx [[Geometria algebraiczna]]
* 15-xx [[Algebra liniowa]] i n-liniowa; teoria [[macierz]]y
* 16-xx [[Pierścień (matematyka)|Pierścienie]] i [[Algebra nad ciałem|algebry łączne]]
* 17-xx Niełączne pierścienie i algebry
* 18-xx [[Teoria kategorii]], [[algebra homologiczna]]
* 19-xx [[K-teoria|''K''-teoria]]
* 20-xx [[Teoria grup]] i jej uogólnienia
* 22-xx Grupy [[topologia|topologiczne]], [[grupa Liego|grupy Liego]]

=== Analiza ===
[[Analiza matematyczna]] bada [[Pochodna funkcji|pochodne]], [[całka|całki]], [[miara (matematyka)|miary]], sumy [[szereg (matematyka)|szeregów]], [[równanie różniczkowe|równania różniczkowe]] i inne pojęcia związane najogólniej mówiąc z przechodzeniem do [[granica (matematyka)|granicy]].
* 26-xx Teoria [[funkcja rzeczywista|funkcji rzeczywistych]]
* 28-xx [[Teoria miary|Teoria miary i całki]]
* 30-xx [[Funkcje zmiennej zespolonej]]
* 31-xx [[Teoria potencjału]]
* 32-xx Funkcje wielu zmiennych zespolonych i przestrzenie analityczne
* 33-xx [[Funkcje specjalne]]
* 34-xx [[Równanie różniczkowe zwyczajne|Równania różniczkowe zwyczajne]]
* 35-xx [[Równanie różniczkowe cząstkowe|Równania różniczkowe cząstkowe]]
* 37-xx [[Teoria układów dynamicznych]] i [[Proces ergodyczny|ergodyczności]]
* 39-xx [[Równanie różnicowe|Równania różnicowe]] i [[równanie funkcyjne|równania funkcyjne]]
* 40-xx [[Ciąg (matematyka)|Ciągi]], [[szereg (matematyka)|szeregi]]
* 41-xx [[Aproksymacja]]
* 42-xx [[Transformacja Fouriera|Analiza Fouriera]]
* 43-xx Abstrakcyjna [[analiza harmoniczna]]
* 44-xx [[Transformacje całkowe]], [[rachunek operatorów]]
* 45-xx [[Równanie całkowe|Równania całkowe]]
* 46-xx [[Analiza funkcjonalna]]
* 47-xx [[Teoria operatorów]]
* 49-xx [[Rachunek wariacyjny]] i [[optymalizacja]]
* 49-xx [[Analiza zespolona]] i [[twierdzenie podstawowe Cauchy’ego]]

=== Geometria ===
[[Geometria]] zajmowała się kolejno [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniami euklidesowymi]], [[geometria sferyczna|sferycznymi]], [[przestrzeń afiniczna|afinicznymi]] i [[przestrzeń rzutowa|rzutowymi]], [[geometria hiperboliczna|hiperbolicznymi]], ogólniej [[Rozmaitość riemannowska|rozmaitościami Riemanna]] i w końcu stała się dziedziną badającą dla wybranych [[funkcja|przekształceń]] ich [[niezmiennik przekształcenia|niezmienniki]], od najprostszych, takich jak [[odległość]], [[pole powierzchni]], [[miara kąta]], przez bardziej zaawansowane, jak [[krzywizna krzywej|krzywizna]], [[punkt stały]], czy [[wymiar (matematyka)|wymiar]].
* 51-xx [[Geometria]]
* 52-xx Geometryczne pojęcie [[zbiór wypukły|wypukłości]], [[Wielokomórka|wielotopy]], [[geometria dyskretna]]
* 53-xx [[Geometria różniczkowa]]

==== Topologia ====
[[Topologia]] (zwana początkowo ''geometria situs'', „geometrią położenia” lub ''analysis situs'', „analizą położenia”) w oryginalnym sformułowaniu jest nauką badającą te właściwości przestrzeni, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich należy na przykład [[genus|liczba otworów]], jakie znajdują się w danej bryle geometrycznej.
* 54-xx [[Topologia|Topologia ogólna]]
* 55-xx [[Topologia algebraiczna]], [[teoria homologii]], [[teoria homotopii]]
* 57-xx [[Rozmaitość topologiczna|Rozmaitości topologiczne]] i [[kompleksy komórkowe]], [[Węzeł (teoria węzłów)|teoria węzłów]]
* 58-xx [[Analiza globalna]], [[analiza na rozmaitościach]]

=== Matematyka dyskretna ===
Często (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do [[zbiór przeliczalny|zbiorów przeliczalnych]]. Do [[Matematyka dyskretna|matematyki dyskretnej]] zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC)
* [[kombinatoryka]]
* [[kryptologia]]
* [[logika matematyczna]]
* [[programowanie liniowe]]
* [[teoria gier]] (pewne działy)
* [[teoria grafów]]
* [[teoria informacji]] (elementarna jej część)
* [[teoria liczb]] (po części)
* [[teoria matroidów]]
* [[Węzeł (teoria węzłów)|teoria węzłów]] (częściowo)
* [[teoria konfiguracji]]
* [[geometria skończona]]
* [[algorytmika]]
* [[Złożoność obliczeniowa|teoria złożoności]]

=== Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa ===
[[Statystyka]] zajmuje się wnioskowaniem o całej [[populacja statystyczna|populacji]] nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. [[próba statystyczna|próby statystycznej]]).
* 60-xx [[Teoria prawdopodobieństwa|Rachunek prawdopodobieństwa]] i [[proces stochastyczny|procesy stochastyczne]]
* 62-07 [[Analiza danych]]
* 62-09 [[Metody graficzne statystyki]]
* 62Cxx [[Teoria decyzji]]
* 62D05 [[Dobór próby|Teoria próbkowania]]
* 62Exx [[Rozkład prawdopodobieństwa|Rozkłady prawdopodobieństwa]]
* 62Fxx [[Teoria estymacji]]
* 62Gxx [[Statystyka nieparametryczna]]
* 62Hxx [[Analiza danych wielowymiarowych]]
* 62Jxx [[Metody liniowe statystyki]]
* 62Kxx [[Eksperyment statystyczny|Projektowanie eksperymentów]]
* 62Lxx Metody sekwencyjne statystyki
* 62Mxx Wnioskowanie z [[proces stochastyczny|procesów stochastycznych]]
* 62Nxx [[Analiza przeżycia]]
* 62Pxx Zastosowania statystyki

=== Matematyka stosowana ===
[[Matematyka stosowana]] jest nauką rozwijającą aparat matematyczny na potrzeby innych nauk i techniki.
* 65-xx [[Analiza numeryczna]]
* 68-xx [[Informatyka]] matematyczna, [[teoria obliczeń]], [[algorytm]]y, [[Złożoność obliczeniowa|teoria złożoności]]
* 70-xx Mechanika cząstek i układów
* 74-xx Mechanika ciał deformowalnych
* 76-xx Zastosowania matematyki w [[Mechanika płynów|mechanice płynów]]
* 78-xx Zastosowania matematyki w [[Optyka|optyce]] i [[Oddziaływanie elektromagnetyczne|elektromagnetyzmie]]
* 80-xx Zastosowania matematyki w [[Termodynamika klasyczna|termodynamice klasycznej]]
* 81-xx [[Mechanika kwantowa]]
* 82-xx [[Mechanika statystyczna]], budowa [[Materia (fizyka)|materii]]
* 83-xx [[Teoria względności]]
* 85-xx Zastosowania matematyki w [[Astronomia|astronomii]] i [[astrofizyka|astrofizyce]]
* 86-xx Zastosowania matematyki w [[Geofizyka|geofizyce]]
* 90-xx [[Badania operacyjne]], [[programowanie matematyczne]]
* 91-xx [[Teoria gier]], [[ekonomia]], [[nauki społeczne]]
* 92-xx [[Biomatematyka]] i matematyka w innych naukach przyrodniczych
* 93-xx [[Teoria systemów]], [[teoria sterowania]]
* 94-xx [[Teoria informacji]], [[Przetwarzanie sygnałów|teoria sygnałów]], [[korekcja błędów]], [[teoria obwodów]], [[zbiór rozmyty|zbiory rozmyte]]
* 97-xx [[Edukacja]] matematyczna
* 98-xx [[Geometria wykreślna]]
* 99-xx [[Rachunek wyrównawczy]]

=== Badania okołomatematyczne ===
MSC wyróżnia także dziedziny, które zajmują się samą matematyką jako przedmiotem swojego zainteresowania.
* 00-xx Badania ogólne, [[filozofia matematyki]], [[rozrywka matematyczna]]
* 01-xx [[Historia matematyki]], [[biografia|biografie]] matematyków

== Struktura formalna ==
<!--aksjomat, wnioskowanie, twierdzenie, dlaczego matematycy przywiązują taką wagę do ścisłości.
notacja matematyczna, akapit o niesprzeczności.--><!--Matematykę można rozpatrywać na kilku poziomach:
* poziom metajęzyka, na którym definiowane są reguły wnioskowania, podstawy logiki formalnej i ogólnie prawa, jakimi rządzi się cała matematyka. Cała matematyka na tym poziomie sprowadza się do żonglerki symbolami metajęzyka. Gdyby porównać matematykę do malarstwa, ten poziom odpowiadałby pędzlom, farbom, sztalugom...
* poziom formalny. Aby teoria matematyczna była poprawna, musi dawać się przetłumaczyć na formalizmy. Nawet najpiękniejszy obraz nie istnieje, dopóki ktoś go fizycznie nie namaluje.
* poziom [[struktura matematyczna|struktur matematycznych]], na którym rozważa się całe przestrzenie matematyczne, czyli zbiory oraz relacje pomiędzy ich elementami. Na obrazie mamy krajobraz, pewną kompozycję oraz relacje między przedstawionymi osobami.
* poziom na którym dostrzegane są analogie pomiędzy czasem bardzo dalekimi działami matematyki. Właśnie ta umiejętność uogólniania i znajdowania zaskakujących analogii wyróżnia wybitne dzieła matematyczne. W malarstwie odpowiada to estetycznym wrażeniom pozwalającym inaczej ocenić dzieła artysty i wyrobnika.
[[Stefan Banach]] powiedział „Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty, matematyk wybitny – analogie między faktami, zaś matematyk genialny – analogie między analogiami.”{{fakt}}
-->
[[Plik:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique.jpg|thumb|Matematyk formalnie rozwiązujący problem]]
Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. Jeśli rozumowanie matematyczne jest poprawne, to przy poprawnych założeniach istnieje pewność otrzymania poprawnych wniosków. Jeśli w rozumowaniu jest jakakolwiek nieścisłość, takiej gwarancji nie ma. Stąd wynika olbrzymi nacisk, kładziony w matematyce na ścisłość rozumowania. W utrzymaniu tej ścisłości pomaga omawiany dalej formalizm logiczny oraz [[zapis matematyczny]].

Nie znaczy to, że w matematyce wyobraźnia, głębia, czy intuicja nie są ważne. Matematyka nie może sensownie istnieć bez aparatu formalnego, ale formalizm tworzy tylko ramy dla inwencji i twórczego myślenia matematyka, podobnie jak gramatyka języka tworzy ramy dla inwencji pisarza. Formalizm, choćby w praktyce tylko przybliżony, jest metodą obiektywnego porozumiewania się matematyków. Można używać do omawiania pojęć matematycznych zwykłego języka naturalnego, jednak ma to sens tylko tak długo, jak długo da się taki opis jednoznacznie przetłumaczyć na formalizm (nawet jeśli to tłumaczenie nie jest w praktyce wykonane).

Formalna struktura matematyki wygląda następująco:
* Wybierany jest tzw. ''alfabet'' złożony ze skończonej liczby rozróżnialnych znaków (np. liter, cyfr, znaków matematycznych itp.).
* Tworzony jest [[język (logika)|język formalny]], na który składają się ''[[słowo (matematyka)|słowa]]'' złożone ze znaków alfabetu.
* Słowa tworzą ''wyrażenia'', w tym ''[[Zdanie logiczne|zdania]]''. Praktyczne teorie powinny pozwalać na mechaniczne (algorytmiczne) sprawdzanie, które ciągi symboli tworzą poprawnie zbudowane zdania oraz mieć jednoznaczną, dającą się algorytmicznie rozpoznać składnię<ref group="uwaga">Metamatematyka zajmuje się jednak także niealgorytmicznymi językami, a nawet językami z nieskończoną liczbą symboli.</ref>.
* Formalne języki służą za podstawę teoriom formalnym (wciąż ogólniejszym od matematycznych). ''Teoria formalna'' oprócz języka wprowadza pojęcie ''[[twierdzenie|twierdzenia]]'' (specjalny rodzaj zdań poprawnie zbudowanych) i ''reguł dowodzenia''.
* Jedną z teorii formalnych jest ''[[logika matematyczna]]''. Te z formalnych teorii, które zawierają logikę matematyczną, nazywane są ''teoriami matematycznymi''. Większość teorii matematycznych zawiera też teorię [[teoria mnogości|mnogości]]. Wraz z logiką matematyczną (klasyczną) przychodzi formalne pojęcie prawdy, które można zdefiniować na wiele sposobów.
* [[Teoria (logika)|Teorią matematyczną]] nazywany jest formalnie dowolny niesprzeczny zbiór zdań. W praktyce z symboli języka formalnego wydziela się tzw. ''[[pojęcie pierwotne|pojęcia pierwotne]]''<ref group="uwaga">Formalnie są one [[słowo (matematyka)|słowami]], czyli ciągami symboli (bez przerywników).</ref>. Na tym etapie o pojęciach pierwotnych nic jeszcze nie wiadomo. Na przykład pojęciami pierwotnymi dwuwymiarowej [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] są [[punkt (geometria)|punkt]], [[prosta]] i [[relacja (matematyka)|relacja]] [[incydencji]] („punkt leży na prostej”, bądź „prosta zawiera punkt” – bez wyróżniania prostej, czy punktu).
* Zwykle budowana jest tzw. ''[[aksjomat]]yka'', czyli wyróżniany jest zestaw zdań zwanych ''aksjomatami'', mówiących o relacjach między pojęciami pierwotnymi<ref group="uwaga">Zbiór twierdzeń może być bogaty, nawet gdy zbiór aksjomatów jest pusty. (Istnieje wymiana pomiędzy bogactwem aksjomatów i reguł dowodzenia; dwie teorie w pewnym sensie mogą być równoważne, gdy jedna ma silniejsze aksjomaty, a druga silniejsze reguły dowodzenia).</ref>. Dla geometrii euklidesowej jednym z aksjomatów jest zdanie: „[[Postulat Euklidesa|Przez każde dwa punkty można przeprowadzić prostą]]”.
* Używając reguł wnioskowania, można rozpoczynając od aksjomatów ''dowodzić'' rozmaitych twierdzeń danej teorii.
* Teoria nie musi (i nie może) w żaden sposób odnosić się do innych cech pojęć pierwotnych niż te, które zostały wyrażone przez aksjomaty lub z nich wynikają. Jeśli jakieś pojęcia zostaną zdefiniowane w taki sposób, aby podstawione w miejsce pojęć pierwotnych teorii spełniały jej aksjomaty – operacja ta nazywa się ''interpretacją'' – twierdzenia teorii będą prawdziwe także dla tych nowo zdefiniowanych pojęć. Taki zestaw interpretacji pojęć pierwotnych nazywany jest ''[[struktura matematyczna|modelem]]'' danej teorii. Modelem płaskiej geometrii euklidesowej jest np. [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjański układ współrzędnych]] (ściślej tzw. [[Przestrzeń euklidesowa#Przestrzeń kartezjańska|przestrzeń kartezjańska]]), gdzie punkt interpretowany jest jako [[para uporządkowana|para]] [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] (zwanych [[Układ współrzędnych|współrzędnymi]]), prosta – jako zbiór punktów <math>P = (x, y)\overline{a}</math> spełniających dla pewnych punktów <math>A = (x_A, y_A)</math> oraz <math>B = (x_B, y_B)</math> [[równanie]] <math>(y_A - y_B)(x - x_B) - (x_A - x_B)(y - y_B) = 0,</math> natomiast relację incydencji interpretuje się jako [[zbiór|relację przynależności do tego zbioru]].
* Powyżej teoria matematyczna była opisywana z bardzo formalnego punktu widzenia, tzn. przez pryzmat operacji na symbolach matematycznych. Matematycy jednak zwykle nie wyobrażają sobie matematyki w ten sposób. Rozumują raczej w kategoriach przestrzeni i struktur, składających się z pewnego zbioru elementów (np. liczb) oraz działań i relacji między nimi (np. [[częściowy porządek|relacje porządku]] i [[Działanie algebraiczne|działania algebraiczne]]). Zbiory wraz z różnego rodzaju powiązaniami pomiędzy ich elementami zwane są właśnie ''[[struktura matematyczna|strukturami]]'' lub ''[[przestrzeń (matematyka)|przestrzeniami]]''. Na poziomie formalnym pojęcia te są synonimami pojęcia modelu, jednak koncepcyjnie podejście to ułatwia skoncentrowanie się na bardziej uchwytnych obiektach (elementach przestrzeni), niż na formalnych manipulacjach symbolami.

W praktyce matematycy nie przejmują się zanadto powyższym formalizmem podczas rozszerzania danej teorii (a więc, formalnie, tworzenia nowej). Poprawne (w sensie praktycznym) dowody matematyczne są jednak w odczuciu matematyków sprowadzalne do dowodów formalnych. Obecnie rozwija się formalizację matematyki opartą na metodach informatycznych, która pozwala na pełny formalny zapis dowodów dający się stosować w praktyce<ref group="uwaga">Krok w tym kierunku uczynił [[Andrzej Trybulec]], twórca systemu komputerowego sprawdzającego dowody formalne; zob. [[System Mizar|Mizar]].</ref>.

Chociaż działalność matematyczna polega na tworzeniu nowych pojęć matematycznych i dowodzeniu twierdzeń na temat pojęć już znanych, to taka definicja nie oddałaby wszelakich niuansów uprawiania matematyki. Jak stwierdził [[Gian-Carlo Rota]]: „Często słyszymy, że matematyka sprowadza się głównie do «dowodzenia twierdzeń». Czy praca pisarza sprowadza się głównie do «pisania zdań»?”<ref>Przedmowa do {{cytuj książkę|nazwisko=Davis|imię=P.|nazwisko2=Hersh|imię2=R.|tytuł=The Mathematical Experience|miejsce=Boston: Birkhäuser|rok=1981}}</ref>

== Historia matematyki ==
{{osobny artykuł|historia matematyki}}

== Dydaktyka matematyki ==
{{osobny artykuł|dydaktyka matematyki}}

== Filozofia matematyki ==
{{osobny artykuł|filozofia matematyki}}

== Sztuka ==
{{osobny artykuł|matematyka a estetyka}}

== Zobacz też ==
* [[lista symboli matematycznych]]
* [[dyskalkulia]] – zaburzenie zdolności matematycznych

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
{{Siostrzane projekty
 |commons = Category:Mathematics
 |słownik = matematyka
 |źródła = Matematyka
 |cytaty = Matematyka
 |news =
 |books = Kategoria:Matematyka
 |species =
 |wikiwerek =
}}
; Polskojęzyczne
* [http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/ FAQ grupy] [[googlegroups:pl.sci.matematyka|pl.sci.matematyka]]
** [http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node29.html Duża lista stron związanych z matematyką]
** [http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node20.html Lista naukowych czasopism matematycznych dostępnych online]
** [http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node30.html Oprogramowanie statystyczne]
* [http://www.matematyka.pl/ Polskie forum Matematyczne – Matematyka.pl]
* [http://wydawnictwa.ptm.org.pl/ Polskie Towarzystwo Matematyczne – Czasopisma]
* {{otwarty dostęp}} [[Karolina Głowacka]] i [[Mateusz Hohol]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=6o889J5YxJc Umysł matematyczny: dlaczego ludzie potrafią całkować, a szympansy nie?]'', kanał „Radio Naukowe” na [[YouTube]], 21 października 2021 [dostęp 2023-09-20].

; Anglojęzyczne
* {{Cytuj stronę | url = http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/ | tytuł = The Mathematical Atlas – A Gateway to Modern Mathematics | opublikowany = math.niu.edu | archiwum = https://web.archive.org/web/20050930233008/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/ | zarchiwizowano = 2005-09-30}} – przegląd działów współczesnej matematyki według MSC w pomysłowej formie i na profesjonalnym poziomie
* [http://gams.nist.gov/ GAMS], [http://www.netlib.org/ NetLib] – przewodniki po oprogramowaniu matematycznym
* [http://www.ams.org/msc/pdfs/classifications2010.pdf Baza publikacji matematycznych]
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematics Mathematics]'', Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].

{{Działy matematyki}}
{{Nauki przyrodnicze i ścisłe}}
{{Klasyfikacja dziedzin i dyscyplin naukowych w Polsce}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Matematyka| ]]