Tekst źródłowy strony Manewr transferowy Hohmanna

'''Manewr transferowy Hohmanna''' – manewr ekonomicznej zmiany [[orbita|orbity]] kołowej [[statek kosmiczny|statku kosmicznego]] na wyższą lub niższą, przez dwukrotne użycie silników. Statek wykonujący taki manewr porusza się po, tzw. '''orbicie transferowej Hohmanna'''.

== Nazwa manewru ==
Nazwa pochodzi od nazwiska [[Walter Hohmann|Waltera Hohmanna]], [[Niemcy|niemieckiego]] naukowca, który opublikował założenia tego manewru w [[1925]]. W literaturze [[Związek Socjalistycznych Republik Radzieckich|radzieckiej]] i [[Rosja|rosyjskiej]] używana jest również nazwa '''manewr transferowy Hohmanna-Wietczinkina'''. Drugie nazwisko pochodzi od radzieckiego matematyka, [[Władimir Wietczinkin|Władimira Petrowicza Wietczinkina]], który zaprezentował ten manewr podczas swoich wykładów o podróżach międzyplanetarnych w latach 1921–1925.

== Opis manewru ==
[[Plik:Hohmann transfer orbit.svg|thumb|250px|Manewr transferowy Hohmanna na wyższą orbitę]]

=== Podwyższanie orbity ===
Trajektoria lotu podczas manewru ma kształt połówki [[Elipsa|elipsy]] (2 na rysunku) [[styczność|stycznej]] zarówno do opuszczanej [[orbita|orbity]] kołowej (1 na rysunku), jak i do orbity docelowej (3 na rysunku). Elipsa ta jest nazywana '''orbitą transferową Hohmanna'''. Przejście z jednej orbity na drugą jest inicjowane poprzez pierwsze odpalenie silnika (ΔV na rysunku), co powoduje podwyższanie aktualnej orbity. Gdy statek dociera na wysokość orbity docelowej, następuje drugie odpalenie silnika (ΔV′ na rysunku). Ma ono na celu dostosowanie [[prędkość|prędkości]] do [[prędkość orbitalna|prędkości orbitalnej]] wymaganej przez orbitę docelową i zmniejszenie jej [[ekscentryczność (fizyka)|mimośrodu]]. Obydwa impulsy nie muszą zostać wykonane podczas tego samego obiegu orbity – statek może przez pewien czas krążyć po orbicie transferowej.

=== Obniżanie orbity ===
Manewr transferowy Hohmanna pozwala także na sprowadzenie statku z wyższej orbity kołowej na niższą. W takim wypadku różnica leży jedynie w zwrocie wektora ciągu, [[siła ciągu]] musi zmniejszać prędkość statku. Spowolnienie lotu powoduje bowiem obniżenie orbity. Drugi impuls powoduje dostosowanie prędkości statku do prędkości wymaganej na nowej niższej orbicie i zmniejszenie jej mimośrodu.

=== Wpływ siły ciągu silników ===
Manewr Hohmanna przewiduje impulsową zmianę [[prędkość|prędkości]] w celu nadania statkowi [[orbita|orbit kołowych]], przeważnie więc używa się do niego silników o dużym [[Silnik rakietowy#Ciąg|ciągu]] (w celu minimalizacji ilości zużywanego paliwa). Silniki o małym ciągu mogą wykonać manewr Hohmanna w przybliżeniu, poprzez stopniowe powiększanie początkowej orbity. Wymaga to jednak [[delta-v]] do 141% większego niż przy wykorzystaniu dwóch silnych impulsów. Jest również bardziej czasochłonne.

=== Ekonomiczność ===
Manewr Hohmanna jest manewrem niemal zawsze najbardziej ekonomicznym, jeśli chodzi o zużycie paliwa. Jednym z przypadków, gdy tak nie jest, to gdy [[półoś wielka]] [[orbita|orbity]] docelowej jest ponad 12 razy większa niż półoś wielka orbity pierwotnej. Wtedy bardziej opłacalny staje się [[manewr dwueliptyczny]].

== Obliczenia ==
[[Plik:Total energy during Hohmann transfer.png|thumb|upright=1.2|Bilans całkowitej energii mechanicznej przy przejściu Hohmanna z niższej orbity o promieniu wyjściowym <math>r_p</math> do wyższej orbity o promieniu końcowym <math>r_a</math>]]

Całkowita [[Energia mechaniczna]] ciała o masie m okrążającego ciało o masie M jest sumą jego [[energia kinetyczna|energii kinetycznej]] i [[energia potencjalna|potencjalnej]], przy założeniu, że m jest zaniedbywalnie małe w porównaniu do M (czyli m << M), równa się połowie [[pole grawitacyjne|potencjału grawitacyjnego]] w najdalszym punkcie [[orbita|orbity]] ciała m – w odległości [[półoś wielka|półosi wielkiej]]:
:: <math>E=\frac{1}{2}m v^2 - \frac{GM m}{r} = \frac{-G M m}{2 a}.</math>

Rozwiązując powyższe równanie można dojść do, tzw. [[równanie zachowania energii orbitalnej|równania zachowania energii orbitalnej]]:
:: <math>v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right),</math>
: gdzie:
:* <math>v</math> – [[prędkość]] orbitującego ciała [m],
:* <math>\mu = GM</math> – tzw. [[standardowy parametr grawitacyjny]] ciała okrążanego (M),
:* <math>r</math> – odległość między ciałem orbitującym a okrążanym,
:* <math>a</math> – półoś wielka orbity ciała krążącego.

Zmiana prędkości wymagana do manewru Hohmanna wynosi:
:: <math>\Delta v_P
= \sqrt\frac{\mu}{r_1}
  \left( \sqrt\frac{2 r_2}{r_1+r_2} - 1 \right)</math> ← dla impulsu w [[Apsyda (astronomia)|perycentrum]] [[Elipsa|elipsy]] łączącej obie orbity (początkową i docelową),
:: <math>\Delta v_A
= \sqrt\frac{\mu}{r_2}
  \left( 1 - \sqrt\frac{2 r_1}{r_1+r_2}\,\! \right)</math> ← dla impulsu w [[Apsyda (astronomia)|apocentrum]] tejże elipsy,
: gdzie:
:* <math>r_1</math> – [[Promień (geometria)|promień]] niższej orbity i [[odległość perycentrum]] orbity transferowej Hohmanna,
:* <math>r_2</math> – promień wyższej orbity i odległość apocentrum orbity transferowej Hohmanna.

Najmniejszy wymagany czas potrzebny na zmianę orbit (niezależnie w jakim kierunku: z niższej na wyższą czy z wyższej na niższą) określa [[Prawa Keplera#Trzecie prawo Keplera|trzecie prawo Keplera]]:
:: <math>t_H
= \tfrac12 \sqrt\frac{4\pi^2 a^3_H}{\mu}
= \pi \sqrt\frac {(r_1 + r_2)^3}{8\mu},</math>
: gdzie:
:* <math>a_H</math> – długość półosi wielkiej orbity transferowej Hohmanna.

Czas ten jest równy połowie [[Okres (fizyka)|okresu]] orbity transferowej.

=== Przykład ===
Dla [[orbita geostacjonarna|orbity geostacjonarnej]] <math>r_2</math> = 42 164 km; dla [[orbita|orbity]] o wysokości 300 km, <math>r_1</math> = 6 678 km (odległość liczymy od [[Środek masy|wspólnego środka masy]] układu Ziemia – satelita, który leży niemalże w środku Ziemi).

[[Prędkość]] związana z orbitą większą wynosi 3,07 km/s, a z mniejszą, 7,73 km/s. Dla orbity eliptycznej (transferowej) waha się od 1,61 km/s w [[apsyda (astronomia)|apogeum]], do 10,15 km/s w [[perygeum]].

Wymagane zmiany prędkości przy manewrze Hohmanna wyniosą więc:
* 3,07 – 1,61 = 1,46 km/s,
* 10,15 – 7,73 = 2,42 km/s.

Razem, 3,88 km/s.

=== Maksymalna wartość ΔV ===
Największa zmiana prędkości ([[delta-v]]) przy manewrze Hohmanna (53,6% pierwotnej prędkości orbitalnej) potrzebna jest, gdy promień [[orbita|orbity]] docelowej jest 15,6 razy większy od promienia orbity początkowej (rzeczywisty pierwiastek równania <math>x^3-15x^2-9x-1=0</math>). Dla wyższych orbit końcowych ΔV maleje i dąży do wartości prędkości początkowej razy <math>\sqrt{2}-1,</math> czyli 41,4% pierwotnej prędkości orbitalnej.

== Zmiana orbity wraz ze zmianą ciała centralnego ==
Użycie manewru Hohmanna przy zmianie [[orbita|orbity]] i jednoczesnej zmianie okrążanego ciała implikuje dodatkowe problemy. Dla przykładu, rozważymy statek kosmiczny lecący z [[Ziemia|Ziemi]] do [[Mars]]a. Już na początku statek będzie miał pewną [[prędkość]] związaną z ruchem wokół Ziemi – prędkość ta nie będzie brana pod uwagę, gdy statek będzie wchodził na orbitę transferową (okołosłoneczną). Aby okrążać Marsa, statek będzie również wymagał pewnej prędkości, ale na pewno mniejszej, niż potrzebna do dalszego orbitowania wokół [[Słońce|Słońca]]. Najkorzystniej będzie zmniejszyć prędkość statku i pozwolić [[pole grawitacyjne|polu grawitacyjnemu]] Marsa na „pochwycenie” statku. Dzięki temu ilość energii potrzebnej przy obu impulsach będzie zminimalizowana. Przy takim locie decydujące znaczenie będzie miało wzajemne położenie obu planet – statek i planeta docelowa muszą spotkać się <u>w tym samym punkcie</u> ich własnych orbit (okołosłonecznych) <u>w tym samym czasie</u>. Dlatego też przy lotach międzyplanetarnych tak ważne jest tzw. [[okno startowe]].

Manewr transferowy Hohmanna pozwala statkom kosmicznym przejść z [[niska orbita okołoziemska|niskiej orbity okołoziemskiej]] (LEO) na [[orbita geostacjonarna|orbitę geostacjonarną]] w około 5 godzin (mówimy wtedy, że statek podróżuje po [[geostacjonarna orbita transferowa|geostacjonarnej orbicie transferowej]]); z LEO do [[Księżyc]]a w około 5 dni; z Ziemi do Marsa w około 260 dni.

Przemieszczanie się na dalsze odległości z użyciem manewru Hohmanna jest bardzo czasochłonne, dlatego loty do dalszych planet odbywają się zwykle przy udziale [[asysta grawitacyjna|asysty grawitacyjnej]], używanej czasem wielokrotnie, i tzw. [[międzyplanetarna sieć transportowa|międzyplanetarnej sieci transportowej]].

== Bibliografia ==
* [http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm Mechanika orbitalna] {{lang|en}}
* ''Classical Dynamics of Particles and Systems''; S. Thornton, J. Marion; Brooks Cole, 2003, {{ISBN|0-534-40896-6}}.
* {{Cytuj |autor = Fernand Verger |tytuł = The Cambridge encyclopedia of space |data = 2003 |isbn = 0-521-77300-8 |inni = Isabelle Sourbès-Verger; Raymond Ghirardi; Stephen Lyle; Paul Reilly |miejsce = Cambridge, UK |wydawca = Cambridge University Press |oclc = 49650047}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Astronautyka]]