Tekst źródłowy strony Macierz sprzężona

{{Dopracować|źródła=2016-09}}
'''Macierz sprzężona''' do [[macierz]]y <math>A</math> – macierz oznaczana <math>\overline A,</math> której każdy element jest [[Sprzężenie zespolone|liczbą sprzężoną]] do odpowiadającego mu elementu macierzy <math>A.</math>

== Definicja formalna ==
'''Sprzężeniem macierzy''' nazywamy odwzorowanie
: <math>\overline {\;\cdot\;}: M_{n \times m}(\mathbb C) \to M_{n \times m}(\mathbb C)</math>

takie, że dla danej macierzy <math>A</math> zachodzi
: <math>A=(a_{ij}) \mapsto \overline A = (\overline {a_{ij}}).</math>

== Przykład ==
: <math>A=\begin{bmatrix}
2+3i & 1-2i & -1+2i \\
0 & -2 & 3+2i \\
-i & 2-i & 2+i
\end{bmatrix} \mapsto \overline A = \begin{bmatrix}
2-3i & 1+2i & -1-2i \\
0 & -2 & 3-2i \\
i & 2+i & 2-i
\end{bmatrix}</math>

== Własności ==
Zachodzą następujące własności:
* <math>A,B \in M_{n\times m}(\mathbb C) \implies \overline{A+B}=\overline A + \overline B</math>
* <math>a\in \mathbb C \implies\overline{a\cdot A}=\overline a \cdot \overline A</math>
* <math>A\in M_{n\times m}(\mathbb C)\land B\in M_{m\times p}(\mathbb C)\implies \overline{A \cdot B}=\overline A \cdot \overline B</math>
* <math>\overline A^{-1}=\overline{A^{-1}}</math> dla macierzy odwracalnej <math>A</math>
* <math>A\in M_{n\times m}(\mathbb R)\implies \overline A = A</math>
* <math>\det\overline A = \overline{\det A}</math> dla <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb C)</math>

== Zobacz też ==
* [[macierz hermitowska]]
* [[macierz transponowana]]
* [[sprzężenie hermitowskie macierzy]]

{{Macierz}}

[[Kategoria:Działania na macierzach]]