Tekst źródłowy strony Macierz

{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[Macierz (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
[[Plik:Matris.png|mały|Macierz składająca się elementów rozmieszczonych w <math>\color{green}m</math> poziomych wierszach i <math>\color{maroon}n</math> pionowych kolumnach: element w drugim wierszu i pierwszej kolumnie macierzy oznaczony jest symbolem <math>a_{{\color{green}2}{\color{maroon}1}}</math> (zob. ''[[#Wprowadzenie i oznaczenia|Wprowadzenie i oznaczenia]]'').]]

W matematyce '''macierz''' to układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy<ref>{{Encyklopedia PWN|tytuł=Macierz|id=3935742|data dostępu=2021-07-21}}</ref>.

W [[Algebra liniowa|algebrze liniowej]] macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu [[Układ równań liniowych|układów równań liniowych]], co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji [[Układ równań|układów równań]] tego rodzaju z wieloma niewiadomymi<ref group="uwaga">Zasadniczo nazwy niewiadomych w poszczególnych równaniach kodowane są za pomocą ich pozycji w tablicy – zwykle kolejne równania (jak w zwyczajowej notacji) znajdują się w kolejnych wierszach, z kolei każdej niewiadomej odpowiada wybrana kolumna.</ref>. Macierze pozwalają również na reprezentowanie [[Przekształcenie liniowe|przekształceń liniowych]], czy [[Forma dwuliniowa|form dwuliniowych]] w sposób umożliwiający przeprowadzanie obliczeń. Ponieważ wiele przekształceń geometrycznych (jak na przykład obroty przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> wokół początku układu współrzędnych) są przekształceniami liniowymi, macierze znajdują zastosowanie w [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]] i [[Grafika komputerowa|grafice komputerowej]]<ref group="uwaga">Typowymi przykładami mogą być [[współrzędne jednorodne]] punktów świata przedstawionego, na których operuje się za pomocą wybranych macierzy przekształceń, czy [[kwaterniony]] w reprezentacji macierzowej służące przede wszystkim modelowaniu trójwymiarowych obrotów w sposób niewyróżniający żadnego kierunku (w obu przypadkach zwykle czterowymiarowe).</ref>.

Przykładami macierzy reprezentujących przekształcenia liniowe są pojawiające się w [[Analiza wielowymiarowa|analizie wielowymiarowej]] [[macierz Jacobiego|macierze Jacobiego]]. Przykładami macierzy reprezentujących formy dwuliniowe są [[macierz Hessego|macierze Hessego]] w analizie wielowymiarowej oraz [[Macierz kowariancji|macierze kowariancji]] w [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] i [[Statystyka matematyczna|statystyce]]. Przykładem macierzy której wprowadzenie nie jest motywowane reprezentowaniem żadnego naturalnego przekształcenia liniowego, czy formy kwadratowej jest [[macierz incydencji]] w [[Teoria grafów|teorii grafów]]<ref group="uwaga">Oczywiście z macierzą incydencji, tak jak z każdą macierzą, można stowarzyszyć przekształcenie liniowe przez nią reprezentowane. Przekształcenie to nie pełni jednak żadnej istotnej roli w teorii grafów.</ref>.

Oprócz wymienionych powyżej dziedzin macierze są wykorzystywane także w [[Teoria reprezentacji|teorii reprezentacji]], [[Kryptologia|kryptografii]], czy [[Elektronika|elektronice]] – część z tych użyć omówiono w [[#Zastosowania|Zastosowaniach]]. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań w ramach [[Algebra liniowa|algebry liniowej]] i [[Teoria macierzy|teorii macierzy]].

Elementy z których złożona jest macierz nazywamy współczynnikami macierzy. Aby zdefiniować operacje na macierzach takie jak suma dwóch macierzy lub iloczyn dwóch macierzy należy założyć, że współczynniki rozważanych macierzy należą do pewnego [[Pierścień (matematyka)|pierścienia]]. Popularnym mocniejszym założeniem jest wymaganie, by współczynniki macierzy należały do pewnego [[Ciało (matematyka)|ciała]]. Jeszcze mocniejszym założeniem (niewymagającym znajomości abstrakcyjnego pojęcia ciała) jest przyjęcie, że [[zbiór]] dozwolonych współczynników <math>K</math> jest (w zależności od potrzeb):
* liczbami wymiernymi <math>\mathbb Q,</math>
* liczbami rzeczywistymi <math>\mathbb R,</math> lub
* liczbami zespolonymi <math>\mathbb C.</math>

: ''W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego [[Ciało (matematyka)|ciała]] <math>K,</math> o ile nie zaznaczono inaczej.''

== Wprowadzenie i oznaczenia ==
[[Plik:Matrix Columns.svg|thumb|Kolumny macierzy]]
[[Plik:Matrix Rows.svg|thumb|Wiersze macierzy]]
[[Plik:Matrix Diagonal.svg|thumb|Główna przekątna macierzy]]
Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się ''wierszem'', a pionowy – ''kolumną'' macierzy. Dane wpisane w macierz nazywa się jej ''elementami'', ''współczynnikami'' lub ''wyrazami''; każdy element można jednoznacznie zidentyfikować, podając jego ''wskaźniki'' lub ''indeksy'' – zwykle w tej kolejności: numer wiersza i kolumny macierzy, w której stoi. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest ''typem'' macierzy – często liczby te oddziela się znakiem <math>\times.</math> Wyrazy macierzy otacza się przeważnie nawiasami okrągłymi<ref>Za A. Cayley, ''A Memoir on the Theory of Matrices'' (1855), [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath&cc=umhistmath&idno=abs3153.0002.001&frm=frameset&view=pdf&seq=488 w formacie.pdf].</ref> lub kwadratowymi (w starszych pozycjach można znaleźć podwójne kreski<ref>Za A. Cayley, ''Mémoire sur les Hyperdéterminants'', „Crelle Journal” '''30''' (1846), [http://dz1.gdz-cms.de/no_cache/dms/load/img/?%5BTI%5D=a%3A5%3A%7Bi%3A0%3Bs%3A6%3A%22268173%22%3Bi%3A1%3Bs%3A6%3A%22268182%22%3Bi%3A2%3Bs%3A6%3A%22268192%22%3Bi%3A3%3Bs%3A6%3A%22268201%22%3Bi%3A4%3Bs%3A6%3A%22268169%22%3B%7D&IDDOC=268169 w formacie.pdf]{{martwy link}}</ref>, co dziś może być źródłem pomyłek, np. z [[wartość bezwzględna|wartością bezwzględną]] [[wyznacznik]]a bądź [[norma macierzowa|normą]] macierzy; zob. ''[[#Ujęcie algebraiczne i uogólnienia|Ujęcie algebraiczne i uogólnienia]]''); stąd napisy
: <math>\begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{pmatrix}</math>

oznaczają te same macierze – w dalszej części artykułu stosowane będą nawiasy kwadratowe. W ten sposób powyższa macierz złożona jest z 4 wierszy i 3 kolumn, tzn. jest typu <math>4 \times 3.</math> Liczba <math>9</math> występuje w tej macierzy dwukrotnie: na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny – innymi słowy element macierzy o wskaźnikach <math>1,1</math> lub <math>3,2</math> to <math>9.</math> Ostatnia (trzecia) kolumna składa się z elementów <math>7, 7, 2, 5</math> w tej właśnie kolejności.

Nie ma ogólnie przyjętej metody oznaczania macierzy, przy czym trendy podlegały zmianom w czasie. Sposób oznaczania typu nie jest ustalony – zwykle bywa zapisywany oddzielnie (jak w tym artykule). W artykule przyjęto konwencję stosowania tych samych liter [[Alfabet łaciński|alfabetu łacińskiego]] na oznaczenie macierzy i jej elementów – dużych (pogrubionych, prostych) do oznaczenia macierzy i małych (pochylonych), o ile są [[skalar (matematyka)|skalarami]], ze wskaźnikami w [[indeks dolny|indeksie dolnym]] (zwykle, choć spotyka się oznaczenia ze wskaźnikami w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów; wśród innych sposobów zapisu można wymienić również notację funkcyjną, zob. ''[[#Definicja|Definicja]]'') na oznaczenie jej elementów. Tak więc elementy macierzy oznaczonej literą <math>\mathbf A</math> będą zapisywane symbolicznie jako <math>a_{i,j},</math> gdzie <math>i,j</math> jest wskaźnikiem elementu leżącego na przecięciu <math>i</math>-tego wiersza i <math>j</math>-tej kolumny, lub jeśli nie wprowadza to niejasności, <math>a_{i\,j}</math> lub po prostu <math>a_{ij}</math> – taki element (współczynnik, wyraz) nazywa ''ogólnym''. Macierz złożoną z elementów <math>a_{ij}</math> oznacza się, otaczając wyraz ogólny nawiasami okrągłymi, <math>(a_{ij}),</math> lub (jak w tym artykule) kwadratowymi, <math>[a_{ij}].</math> W ten sposób macierz <math>[a_{ij}]</math> będzie oznaczana <math>\mathbf A,</math> tzn.
: <math>\mathbf A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ a_{31} & a_{32} & \ldots & a_{3m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \end{bmatrix}.</math>

Macierz o liczbie kolumn równej liczbie wierszy nazywa się ''kwadratową'' – wspomnianą wspólną liczbę kolumn i wierszy nazywa się wtedy ''stopniem'' tej macierzy; macierze niebędące kwadratowymi nazywa się dla wyróżnienia ''prostokątnymi''. Jeśli macierz jest kwadratowa, to:
* ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się ''główną przekątną'' (''główną diagonalą'' lub często po prostu ''przekątną'' bądź ''diagonalą'') macierzy kwadratowej;
* przekątne leżące nad lub pod główną przekątną nazywa się odpowiednio ''nadprzekątną'' lub ''podprzekątną'' macierzy;
* przekątną, której wiersz rośnie od pierwszego do ostatniego, a kolumna maleje od ostatniej do pierwszej nazywa czasem ''przeciwprzekątną'' lub ''antyprzekątną''.

Pojęcia te uogólnia się niekiedy na dowolne macierze prostokątne.

Dla macierzy
: <math>\mathbf M = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \\ 5 & 0 & 3 \end{bmatrix}</math>

stopnia <math>3</math> jej główną przekątną jest ciąg elementów <math>m_{11}, m_{22}, m_{33}</math> równych odpowiednio <math>0, 6, 3,</math> a antyprzekątną – ciąg złożony z elementów <math>m_{13}, m_{22}, m_{31}</math> równych kolejno <math>1, 6, 5.</math> Jej nadprzekątną i podprzekątną tworzą odpowiednio pary elementów <math>m_{12}, m_{23}</math> i <math>m_{21}, m_{32}</math> równych kolejno <math>2, 4</math> oraz <math>1, 0.</math>

''Podmacierz'' danej macierzy to dowolny układ jej elementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy i kolumn sam tworzący macierz; w szczególności podmacierze (kwadratowe) zawierające kolejne wiersze i kolumny o tych samych wskaźnikach, poczynając od pierwszego, nazywa się ''podmacierzami głównymi''; innymi słowy są to podmacierze kwadratowe zawierające pewną liczbę początkowych wyrazów głównej przekątnej. ''[[Macierz klatkowa]]'' to macierz, w której wprowadzono podział elementów na grupy kolejnych wierszy i kolumn – obrazowo czyni się to, prowadząc poziome i pionowe linie między wierszami i kolumnami macierzy, dzieląc ją na podmacierze nazywane ''klatkami''. Podział ten umożliwia traktowanie macierzy klatkowej jako macierzy, której elementami są inne macierze (klatki); podobnie macierze klatkowe można zestawiać z „pasujących” macierzy.

Jeżeli dane są macierze: <math>\mathbf A, \mathbf B, \mathbf C, \mathbf D</math> odpowiednio typów <math>(n, m),\ (n, k),\ (l, m),\ (l, k),</math> to można z nich zestawić macierz klatkową
: <math>\begin{bmatrix} \frac{\mathbf A\, |\, \mathbf B}{\mathbf C\, |\, \mathbf D} \end{bmatrix}.</math>

== Podstawowe działania ==
{{osobny artykuł|dodawanie macierzy|o1=dodawanie|mnożenie przez skalar|mnożenie macierzy|o3=mnożenie|macierz transponowana|o4=transpozycja|operacje elementarne}}
Macierze <math>\mathbf A = [a_{ij}]</math> i <math>\mathbf B = [b_{ij}]</math> uważa się za ''równe'', jeśli mają ten sam typ i równe odpowiadające sobie elementy, tzn. dla każdej możliwej pary <math>i, j</math> zachodzi <math>a_{ij} = b_{ij}.</math>

[[Plik:Matrix multiplication diagram 2.svg|thumb|Schematyczne przedstawienie iloczynu <math>\mathbf{AB}</math> macierzy <math>\mathbf A</math> oraz <math>\mathbf B.</math>]]
''Sumę'' macierzy <math>\mathbf A</math> i <math>\mathbf B</math> definiuje się „po współczynnikach”, tzn. za pomocą wzoru
: <math>\mathbf{A + B} = [a_{ij} + b_{ij}]</math> dla wszystkich <math>i, j.</math>

''Mnożenie przez skalar'' macierzy <math>\mathbf A</math> oraz liczby <math>c</math> również definiuje się „po współczynnikach”, czyli
: <math>c\mathbf A = [ca_{ij}]</math> dla dowolnych <math>i, j.</math>

Działanie ''mnożenia macierzy'' można określić na wiele sposobów<ref group="uwaga">Niegdyś do rozwiązywania [[#Układy równań liniowych|układów równań liniowych]] stosowało się (wprowadzone przez polskiego astronoma [[Tadeusz Banachiewicz|Tadeusza Banachiewicza]]) tzw. ''[[krakowian]]y'', czyli macierze z działaniem mnożenia podobnym do iloczynu Cauchy’ego, w którym dany element jest sumą iloczynów kolejnych elementów kolumn (a nie kolumny i wiersza) – w szczególności nie jest ono [[przemienność|przemienne]], ani [[łączność (matematyka)|łączne]]. Podejście to upraszcza jednak wiele wzorów, usprawnia obliczenia numeryczne przy obliczeniach ręcznych i z zastosowaniem komputerów z [[pamięć sekwencyjna|pamięcią sekwencyjną]] oraz ułatwia sprawdzanie obliczeń poprzez [[suma kontrolna|sumy kontrolne]]; zob. też [[mnożenie macierzy]].</ref>, najczęściej jednak „mnożenie macierzy” oznacza tzw. ''iloczyn Cauchy’ego macierzy'' (zob. [[#Przekształcenia liniowe|przekształcenia liniowe]]): dla macierzy <math>\mathbf A</math> typu <math>m \times n</math> oraz <math>\mathbf B</math> typu <math>n \times p</math> dany jest on jako taka macierz <math>\mathbf C</math> typu <math>m \times p,</math> oznaczana <math>\mathbf{AB},</math> dla której
: <math>c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}</math> dla dowolnych <math>i, j.</math>

Mnożenie to jest [[łączność (matematyka)|łączne]], ale nie jest [[przemienność|przemienne]]; ponadto jest ono obustronnie [[Rozdzielność|rozdzielne]] względem dodawania, a do tego zgodne z mnożeniem przez skalar.

''Przestawienie'' bądź ''transpozycja'' danej macierzy <math>\mathbf A,</math> tzn. zamiana jej kolumn i wierszy miejscami (z zachowaniem kolejności) pozwala na zwięzłe przedstawienie wielu jej własności; macierz ''transponowaną'' lub ''przestawioną'' względem macierzy <math>\mathbf A</math> definiuje się jako macierz
: <math>\mathbf A^\mathrm T = [a_{ji}]</math> dla wszystkich <math>i, j,</math>

przy czym <math>(\mathbf{AB})^\mathrm T = \mathbf B^\mathrm T \mathbf A^\mathrm T</math> oraz <math>\left(\mathbf A^\mathrm T\right)^\mathrm T = \mathbf A.</math>

''Operacjami elementarnymi'' na macierzy nazywa się operacje: zamiany miejscami dwóch wierszy macierzy, pomnożenia jednego z wierszy przez liczbę różną od zera oraz dodania wiersza macierzy do innego jej wiersza. ''Macierz elementarna'' to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszach<ref group="uwaga">Macierz elementarna jest ''macierzą przekształcenia liniowego'', którym jest operacja elementarna, por. [[#Przekształcenia liniowe|macierz przekształcenia liniowego]].</ref>. Podobnie definiuje się operacje elementarne na kolumnach danej macierzy.

== Macierze prostokątne ==
=== Układy równań liniowych ===
{{osobny artykuł|układ równań liniowych|operacje elementarne}}
Układ <math>n</math> [[równanie liniowe|równań liniowych]] o <math>m</math> zmiennych postaci
: <math>\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1m}x_m = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2m}x_m = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \ldots + a_{nm}x_m = b_n \end{cases}</math>

można zapisać w postaci równania macierzowego
: <math>\mathbf{AX} = \mathbf B,</math>

dla danych macierzy <math>\mathbf A = [a_{ij}],</math> nazywanej ''macierzą główną'' układu, <math>\mathbf X = [x_j]</math> oraz <math>\mathbf B = [b_i].</math> Macierz klatkową postaci <math>[\mathbf A|\mathbf B]</math> nazywa się ''macierzą uzupełnioną'' lub ''rozszerzoną'' układu.

W celu uzyskania rozwiązania układy równań liniowych przekształca się za pomocą operacji elementarnych, które zachowują zbiór rozwiązań układu; odpowiadają im operacje elementarne na wierszach macierzy, których przykładanie można postrzegać jako mnożenie lewostronne macierzy uzupełnionych układu przez macierze elementarne (mnożenie prawostronne odpowiada operacjom elementarnym na kolumnach macierzy).

=== Przekształcenia liniowe ===
{{osobny artykuł|przekształcenie liniowe|macierz przekształcenia liniowego|rząd macierzy}}
[[Plik:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|Wektory zapisane jako kolumny macierzy typu <math>2 \times 2</math> odpowiadają bokom równoległoboku o wspólnym wierzchołku w zerze otrzymanego z kwadratu jednostkowego.]]
Każda macierz <math>\mathbf A</math> typu <math>m \times n</math> opisuje przekształcenie liniowe <math>\mathrm A</math> [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]] <math>K^n</math> w <math>K^m</math> odwzorowujące wektor <math>\mathbf x</math> w wektor <math>\mathrm A(\mathbf x).</math> Przekształceniu temu odpowiada mnożenie macierzy <math>\mathbf A</math> typu <math>m \times n</math> przez macierz <math>\mathbf X</math> typu <math>n \times 1</math> o tych samych współczynnikach, co wektor <math>\mathbf x,</math> dając w wyniku macierz <math>\mathbf{AX}</math> typu <math>m \times 1</math> o współczynnikach identycznych z tymi w wektorze <math>\mathrm A(\mathbf x).</math> Odwrotnie: każde przekształcenie liniowe <math>\mathrm A\colon K^n \to K^m</math> zadaje macierz <math>\mathbf A = [a_{ij}]</math> typu <math>m \times n</math> przy czym <math>a_{ij}</math> to <math>i</math>-ta współrzędna wektora <math>\mathrm A(\mathbf e_j),</math> gdzie <math>\mathbf e_j = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)</math> jest wektorem o współrzędnych równych zeru poza <math>j</math>-tą współrzędną równą jedynce. Przekształcenie <math>\mathrm A</math> jest więc reprezentowane przez macierz <math>\mathbf A,</math> zaś <math>\mathbf A</math> jest macierzą przekształcenia liniowego <math>\mathrm A.</math>

W ten sposób układ równań liniowych <math>\mathbf{AX} = \mathbf B</math> można traktować jako problem opisu przekształcenia liniowego <math>\mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b,</math> gdzie
* istnienie rozwiązań jest tożsame z istnieniem wektora <math>\mathbf x</math> spełniającego <math>\mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b</math> (czyli należeniem <math>\mathbf b</math> do [[Obraz (matematyka)|obrazu]] <math>\mathrm A</math>),
* jednoznaczność rozwiązań jest równoważna [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowości]] przekształcenia <math>\mathrm A</math> (czyli [[trywialność (matematyka)|trywialności]] jego [[jądro (algebra)|jądra]]).

Podejście to tłumaczy często stosowane nazwy ''wektor zmiennych'' i ''wektor wyrazów wolnych'' odpowiednio macierzy <math>\mathbf X</math> i macierzy <math>\mathbf B,</math> którym odpowiadają wektory <math>\mathbf x</math> oraz <math>\mathbf b.</math> W ogólności macierze odpowiednio typu <math>m \times 1</math> oraz <math>1 \times n</math> (jednokolumnowe i jednowierszowe) nazywa się zwykle [[przestrzeń współrzędnych#Macierze|''wektorami kolumnowymi'' i ''wektorami wierszowymi'']].

Przykładowo macierz rzeczywistą <math>\mathbf A = \left[\begin{smallmatrix} a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right]</math> można postrzegać jako przekształcenie [[kwadrat jednostkowy|kwadratu jednostkowego]] w [[równoległobok]] o wierzchołkach <math>(0, 0);\ (a, b);\ (a + c, b + d);\ (c, d).</math> Równoległobok na ilustracji obok otrzymano poprzez przemnożenie macierzy <math>\mathbf A</math> kolejno przez macierze <math>\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right],</math> co odpowiada przykładaniu przekształcenia <math>\mathrm A</math> do wektorów wskazujących wierzchołki kwadratu jednostkowego.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
| [[Powinowactwo osiowe|Powinowactwo względem osi poziomej]] o <math>m = \tfrac{5}{4}</math>
| [[Symetria osiowa|Symetria względem osi pionowej]]
| [[Przekształcenie ekwiafiniczne]] o <math>r = \tfrac{3}{2}</math>
| [[Jednokładność]] o skali <math>\tfrac{3}{2}</math>
| [[Obrót]] o kąt miary <math>30^\circ</math>
|-
| <math>\begin{bmatrix} 1 & \tfrac{5}{4} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix} \tfrac{3}{2} & 0 \\ 0 & \tfrac{2}{3} \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix} \tfrac{3}{2} & 0 \\ 0 & \tfrac{3}{2} \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}\cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix}</math>
|-
|width=20%| [[Plik:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
|width=20%| [[Plik:Flip map.svg|150px]]
|width=20%| [[Plik:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
|width=20%| [[Plik:Scaling by 1.5.svg|125px]]
|width=20%| [[Plik:Rotation by pi over 6.svg|125px]]
|-
|colspan=5| Tabela przedstawia macierze stopnia 2 z odpowiadającymi im przekształceniami płaszczyzny: niebieska kratka zawierająca pewien kształt jest przekształcana na zieloną; czarny punkt oznacza [[początek (matematyka)|początek przestrzeni]].
|}

Definicja standardowego mnożenia macierzy jest dobrana tak, by we [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości]] przekształceń liniowych i macierzy składaniu pierwszych odpowiadało mnożenie drugich: jeśli przekształceniu <math>\mathrm B\colon K^m \to K^p</math> odpowiada macierz <math>\mathbf B</math> typu <math>p \times m,</math> to złożeniu <math>\mathrm B \circ \mathrm A\colon K^n \to K^p</math> odpowiada wtedy macierz <math>\mathbf{BA}</math> typu <math>p \times n,</math> gdyż działaniu <math>(\mathrm B \circ \mathrm A)(\mathbf x) = \mathrm B(\mathrm A(\mathbf x))</math> odpowiada mnożenie macierzy <math>(\mathbf{BA})\mathbf X = \mathbf B(\mathbf{AX}).</math>

Z tego powodu macierz <math>\mathbf A</math> traktuje się zwykle jak odpowiadające mu przekształcenie liniowe <math>\mathrm A,</math> a wektory <math>\mathbf x</math> utożsamia się z ich macierzami <math>\mathbf X;</math> w związku z tym spotyka się często zapis <math>\mathbf{Ax}</math> oznaczający działanie przekształcenia liniowego na wektorze <math>\mathbf x;</math> zapis <math>\mathrm A \mathbf x</math> jest nieco bardziej formalny zważywszy na własność liniowość przekształcenia.

''Rzędem'' macierzy <math>\mathbf A</math> nazywa się ''rząd'' odpowiadającego jej przekształcenia liniowego <math>\mathrm A,</math> czyli [[baza (przestrzeń liniowa)|wymiar]] jego [[Obraz (matematyka)|obrazu]], tzn. największą liczbę [[liniowa niezależność|liniowo niezależnych]] wierszy bądź kolumn macierzy (liczba niezależnych równań w układzie równań liniowych). [[Twierdzenie o rzędzie]] mówi, że suma wymiaru jądra i rzędu macierzy jest równa liczbie jej kolumn.

== Macierze kwadratowe ==
{{osobny artykuł|przekształcenie liniowe#Endomorfizmy|o1=endomorfizm|macierz przekształcenia liniowego#Endomorfizmy|o2=macierz endomorfizmu|podprzestrzeń liniowa|macierz odwrotna|ślad (algebra liniowa)|o5=ślad}}
Przekształcenie liniowe przestrzeni liniowej <math>K^n</math> (albo dowolnej innej) w siebie nazywa się jej ''endomorfizmem liniowym''; macierz endomorfizmu jest zawsze kwadratowa. Przestrzenie liniowe, które zawierają się w innych przestrzeniach liniowych, nazywa się ich ''podprzestrzeniami'' (liniowymi); przykładami podprzestrzeni dowolnej przestrzeni są ''podprzestrzeń niewłaściwa'', czyli ona sama, oraz ''podprzestrzeń zerowa/trywialna'', czyli zawierają wyłącznie [[wektor zerowy]] (por. [[przykłady przestrzeni liniowych]]). Można więc powiedzieć, że endomorfizm przekształca przestrzeń w pewną jej podprzestrzeń – jest to kluczowa, a zarazem znamienna własność tych przekształceń liniowych.

''[[Macierz diagonalna|Macierzą diagonalną]]'' nazywa się macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej. Często zapisuje się ją jako <math>\operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})</math> gdzie <math>n</math> jest jej stopniem. Macierze kwadratowe o elementach nad (odp. pod) przekątną główną równych zeru nazywa się ''[[macierz trójkątna|dolnotrójkątnymi]]'' (odp. ''[[macierz trójkątna|górnotrójkątnymi]]''); macierze jednocześnie dolno- i górnotrójkątne są diagonalne. Macierz trójkątną mającą na głównej przekątnej jedynki nazywa się ''[[macierz unitrójkątna|unitrójkątną]]''. ''Śladem'' <math>\mathrm{tr}(\mathbf A)</math> macierzy <math>\mathbf A</math> nazywa się sumę jej elementów na głównej przekątnej, przy czym <math>\mathrm{tr}(\mathbf{AB}) = \mathrm {tr}(\mathbf{BA})</math> oraz <math>\mathrm{tr}\left(\mathbf A^\mathrm T\right) = \mathrm{tr}(\mathbf A).</math>

Macierze postaci <math>\operatorname{diag}(a, a, \dots, a)</math> nazywa się ''[[macierz skalarna|macierzami skalarnymi]]''. Macierz skalarną <math>\mathbf I = \operatorname{diag}(1, 1, \dots, 1)</math> nazywa się ''[[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]]''. Jeżeli
: <math>\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf I,</math>

gdzie wszystkie powyższe macierze są kwadratowe ustalonego stopnia, to macierz <math>\mathbf B</math> jest wyznaczona jednoznacznie – nazywa się ją ''macierzą odwrotną'' do <math>\mathbf A</math> i oznacza symbolem <math>\mathbf A^{-1},</math> o macierzy <math>\mathbf A</math> mówi się zaś wtedy, że jest ''odwracalna''.

=== Wyznacznik ===
{{osobny artykuł|wyznacznik|orientacja (matematyka)|o2=orientacja|równoległościan wielowymiarowy}}
[[Plik:Determinant Example.png|thumb|Macierz nad strzałką reprezentuje przekształcenie liniowe <math>\mathrm f</math> przestrzeni <math>\mathbb R^2</math> w siebie, które odwzorowuje wektory <math>\mathbf x_1, \mathbf x_2</math> rozpinające niebieski kwadrat na wektory <math>\mathrm f(\mathbf x_1), \mathrm f(\mathbf x_2)</math> rozpinające zielony równoległobok; jej wyznacznik wynosi <math>-1,</math> co oznacza, że pole powierzchni zielonego równoległoboku jest równe polu powierzchni niebieskiego kwadratu, lecz przekształcenie zamienia kolejność wektorów, czyli zmienia ich orientację na przeciwną: z lewoskrętnej na prawoskrętną – innymi słowy zmienia [[kąt skierowany|kąt zorientowany]] na przeciwny (zob. strzałka między wektorami).]]
''Wyznacznikiem'' <math>\det(\mathbf A)</math> lub <math>|\mathbf A|</math> macierzy kwadratowej <math>\mathbf A</math> nazywa się liczbę kodującą pewne właściwości przekształcenia <math>\mathrm A,</math> reprezentowanego przez tę macierz: jego [[wartość bezwzględna]] jest równa (w <math>\mathbb R^2</math>) [[pole powierzchni|polu powierzchni]] [[Obraz (matematyka)|obrazu]] [[kwadrat jednostkowy|kwadratu jednostkowego]], tzn. pewnego [[równoległobok]]u, lub (w <math>\mathbb R^3</math>) [[objętość|objętości]] obrazu [[sześcian jednostkowy|sześcianu jednostkowego]], tzn. pewnego [[równoległościan]]u<ref group="uwaga">Ogólnie: <math>n</math>-wymiarowej objętości (mierze) obrazu [[przedział wielowymiarowy|<math>n</math>-wymiarowej kostki]] (<math>n</math>-wymiarowego prostopadłościanu/przedziału jednostkowego), tzn. pewnego [[równoległościan wielowymiarowy|<math>n</math>-wymiarowego równoległościanu]].</ref>, a znak mówi o orientacji przekształcenia – jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie zachowuje orientację<ref group="uwaga">Tzn. [[permutacja|permutuje]] wektory bazy uporządkowanej (bądź rozpinające <math>n</math>-wymiarowy równoległościan) za pomocą nieparzystej liczby [[transpozycja (matematyka)|transpozycji]].</ref>; macierz o wyznaczniku jednostkowym reprezentuje [[przekształcenie równopolowe]].

Macierz o zerowym wyznaczniku nazywa się ''osobliwą'' lub ''zdegenerowaną'' (przekształcenie „spłaszcza” bądź „skleja”), w przeciwnym przypadku nazywa się ją ''nieosobliwą'' lub ''niezdegenerowaną''. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa, co ma z kolei miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd jest maksymalny, czyli równy jej stopniowi. Stąd układ równań liniowych o kwadratowej macierzy głównej ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana macierz ma niezerowy wyznacznik<ref group="uwaga">Ogólny przypadek wykorzystujący pojęcie rzędu opisuje [[twierdzenie Kroneckera-Capellego]].</ref> (zob. ''[[Układ równań liniowych#Charakteryzacja|układ równań liniowych: charakteryzacja rozwiązań]]''). Wyznaczniki stosuje się także do rozwiązywania układów równań liniowych metodą [[wzory Cramera|wzorów Cramera]], gdzie iloraz wyznaczników dwóch powiązanych macierzy kwadratowych jest równy wartości każdej ze zmiennych układu.

Wyznacznik macierzy stopnia drugiego dany jest wzorem
: <math>\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc.</math>

Wyznacznik macierzy stopnia trzeciego można obliczyć za pomocą ''[[reguła Sarrusa|reguły Sarrusa]]'', podczas gdy ''wzór Leibniza'' (znany również jako permutacyjna definicja wyznacznika) uogólnia te wzory na macierze dowolnych stopni. [[Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)|Twierdzenie Cauchy’ego o wyznacznikach]] mówi, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, <math>\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf A) \det(\mathbf B).</math> Dodanie wielokrotności dowolnego wiersza do innego (kolumny do innej) nie zmienia wartości wyznacznika; zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika na przeciwny (zob. [[operacje elementarne#Własności|własności operacji elementarnych]]). Korzystając z tych operacji, dowolną macierz można przekształcić w macierz dolno- lub górnotrójkątną, a wyznacznik tego rodzaju macierzy jest równy iloczynowi elementów na przekątnej głównej (w szczególności jest to prawda dla macierzy diagonalnych).

[[Rozwinięcie Laplace’a]] umożliwia wyrażenie wyznacznika za pomocą ''[[minor]]ów'', tzn. wyznaczników podmacierzy głównych (twierdzenie to umożliwia rekurencyjne zdefiniowanie wyznacznika począwszy od wyznacznika macierzy stopnia pierwszego jako jej jedynego elementu, czy nawet wyznacznika macierzy zerowego stopnia równego z definicji jedności<ref group="uwaga">Zob. sekcję ''[[#Macierze nieskończone i puste|Macierze puste]]''.</ref>). Minory podmacierzy głównej (tzn. zawierające elementy głównej przekątnej) nazywa się ''minorami głównymi''; gdy minor główny zawiera kolejne, począwszy od pierwszego, elementy głównej przekątnej, nazywa się go ''wiodącym minorem głównym''. Wśród wszystkich niezerowych minorów tej macierzy istnieje choć jeden o największym stopniu; rząd macierzy wyznaczony jest przez stopień tego minora (nie przekracza więc liczby jej wierszy, czy kolumn). Każdy niezerowy minor macierzy stopnia równego jej rzędowi nazywa się ''minorem bazowym'' tej macierzy. Wiele wyników algebry liniowej daje się zwięźle wyrazić w języku minorów za pomocą tzw. ''[[macierz dołączona|macierzy dołączonej]]'' (bądź [[#Podstawowe działania|przestawionej]] względem niej ''macierzy dopełnień algebraicznych'') zbudowanej z tzw. ''dopełnień algebraicznych'' definiowanych jako minory ustalonego znaku.

=== Niezmienniczość i zagadnienie własne ===
Każdy endomorfizm <math>\mathrm A</math> odwzorowuje całą przestrzeń, na której jest określony, w siebie (na mocy definicji endomorfizmu); podobnie zawsze odwzorowuje on w siebie podprzestrzeń zerową (wprost z definicji przekształcenia liniowego). W ogólności może on jednak odwzorowywać daną podprzestrzeń w niemającą z nią związku, zupełnie inną podprzestrzeń. Informacja o tym, które z podprzestrzeni są <math>\mathrm A</math>-''niezmiennicze'', czyli odwzorowywane przez <math>\mathrm A</math> w siebie, może ułatwić zrozumienie tego jak przekształcenie <math>\mathrm A</math> działa na całej przestrzeni poprzez badanie jak działa na niezależnych od siebie podprzestrzeniach składowych<ref group="uwaga">Chodzi o podprzestrzenie, których (wewnętrzna) [[Suma prosta przestrzeni liniowych|suma prosta]] daje całą przestrzeń; zob. [[Przekształcenie liniowe#Endomorfizmy|twierdzenie o endomorfizmie]].</ref>. W kontekście macierzy podprzestrzenie niezmiennicze mogą ułatwić ich rozkład (zob. ''[[#Rozkłady macierzy|Rozkłady macierzy]]'')<ref group="uwaga">Może to być szczególnie widoczne po wybraniu odpowiedniej bazy.</ref>.

Jako najprostsze i niosące przy tym istotną informację, szczególnie interesujące są jednowymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze opisywane przez kierunek jednego (niezerowego) wektora <math>\mathbf v</math> nazywanego ''wektorem własnym'' danego endomorfizmu. Oznacza to, że jest on przekształcany przez endomorfizm <math>\mathrm A</math> na pewną swoją wielokrotność: <math>\mathrm A(\mathbf v) = \lambda \mathbf v.</math> Liczbę <math>\lambda</math> nazywa się ''wartością własną'' (stowarzyszoną z wektorem <math>\mathbf v</math>) danego endomorfizmu <math>\mathrm A;</math> w zapisie macierzowym równanie to przyjmuje postać
: <math>\mathbf{AV} = \lambda \mathbf V,</math>

gdzie <math>\mathbf A</math> jest macierzą reprezentującą <math>\mathrm A,</math> zaś <math>\mathbf V</math> jest macierzą współczynników wektora <math>\mathbf v</math> (w tej samej ustalonej bazie). Powyższe równanie można przekształcić do równoważnej postaci <math>\mathbf{AV} - \lambda \mathbf V = \boldsymbol \Theta,</math> czyli zapisać w formie układu równań liniowych, <math>(\mathbf A - \lambda \mathbf I) \mathbf V = \boldsymbol \Theta,</math> gdzie <math>\mathbf I</math> jest [[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]]. Ze względu na niezerowość <math>\mathbf V</math> równanie to jest rozwiązalne, gdy macierz <math>(\mathbf A - \lambda \mathbf I)</math> jest [[macierz odwrotna|nieodwracalna]] lub (równoważnie) [[wyznacznik|osobliwa]], tzn.
: <math>\det (\mathbf A - \lambda \mathbf I) = 0.</math>

Funkcja skalarna <math>\mathrm p_\mathbf A(t) = \det (\mathbf A - t \mathbf I)</math> jest [[wielomian]]em stopnia <math>n</math> nazywanym ''wielomianem charakterystycznym'' macierzy <math>\mathbf A;</math> wielomian ten ma co najwyżej <math>n</math> różnych pierwiastków, którymi są wartości własne macierzy<ref group="uwaga">Ponadto <math>\mathrm p_\mathbf A(t) = t^n - a_1 t^{n-1} + \ldots + (-1)^n a_n,</math> gdzie <math>a_i</math> oznacza sumę wszystkich minorów głównych <math>i</math>-tego stopnia danej macierzy (por. [[wzory Viète’a]]); w szczególności <math>a_1 = \mathrm tr(\mathbf A)</math> oraz <math>a_n = \det(\mathbf A)</math> (oraz <math>a_0 = 1,</math> zob. [[#Macierze nieskończone i puste|macierz pusta]]).</ref>. Zgodnie z [[twierdzenie Cayleya-Hamiltona|twierdzeniem Cayleya-Hamiltona]] dla macierzy <math>\mathbf A</math> spełnione jest równanie macierzowe <math>p_\mathbf A(\mathbf A) = \boldsymbol \Theta;</math> przykładowo jeśli <math>\mathbf A = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right],</math> to <math>\mathrm p_\mathbf A(t) = t^2 - 5t - 2,</math> skąd <math>\mathrm p_\mathbf A(\mathbf A) = \mathbf A^2 - 5\mathbf A - 2\mathbf I,</math> czyli np. <math>\mathbf A^2 = 5\mathbf A + 2\mathbf I</math> (zob. ''[[#Rozkłady macierzy|Rozkłady macierzy]]'' i ''[[#Aspekty numeryczne|Aspekty numeryczne]]'')

Każda z wartości własnych opisuje przekształcenie wzdłuż wektorów własnych – tak wyznacznik, będący iloczynem wartości własnych<ref group="uwaga">W szczególności: macierz jest nieosobliwa, jeśli wszystkie jej wartości własne są różne od zera.</ref>, jak i ślad, równy sumie wartości własnych, stanowią istotną informację o rodzaju przekształcenia liniowego: ślad może być interpretowany jako [[nieskończenie małe|nieskończenie mała]] zmiana objętości (jako [[Pochodna funkcji|pochodna]] wyznacznika będącego [[wielomian]]em, zob. [[wzór Jacobiego]]), podczas gdy dodatni znak wyznacznika mówi o tym, czy przekształcenie jest złożeniem parzystej liczby [[Symetria figury|symetrii]]<ref group="uwaga">W przypadku dwuwymiarowym – [[symetria osiowa|symetrii osiowych]], w przypadku trójwymiarowym – [[symetria płaszczyznowa|symetrii płaszczyznowych]], w ogólności – [[Symetria figury|symetrii względem hiperpłaszczyzny]].</ref> (zachowuje [[orientacja (matematyka)|orientację]]), a jego [[wartość bezwzględna|moduł]] opisuje przyrost wzdłuż każdego z wektorów własnych przekształcenia (tzn. jego bezwzględną zmianę pola bądź objętości).

Przykładowo dla endomorfizmów opisanych w sekcji ''[[#Przekształcenia liniowe|Przekształcenia liniowe]]'' wektory <math>[1, 0];\ [0, 1]</math> są wektorami własnymi symetrii, przekształcenia ekwiafinicznego i jednokładności z wartościami własnymi odpowiednio <math>(-1, 1);\ (3/2, 2/3);\ (3/2, 3/2).</math> Poglądowo oznacza to, że w przekształceniach tych łatwo można wyróżnić część działającą „w poziomie” i „w pionie”: w symetrii to kierunek „poziomy” zostaje odbity, a „pionowy” zachowany; jednostkowy iloczyn wartości własnych (tj. wyznacznik) w przekształceniu ekwiafinicznym wskazuje zachowanie pola powierzchni, z kolei równe wartości własne dla jednokładności oznaczają, że skalowanie odbywa się w każdym z kierunków w tym samym stopniu. Jedynym wektorem własnym powinowactwa jest <math>[1, 0]</math> o podwójnej wartości własnej <math>1;</math> poglądowo oznacza to, że w przekształceniu zachowywany jest tylko kierunek „poziomy” (pojedynczy wektor własny), przy czym odległości między punktami w tym kierunku również są zachowane (jednostkowa stowarzyszona wartość własna). Wektory i wartości własne przytoczonych obrotów nie wyrażają się za pomocą [[liczby rzeczywiste|wielkości rzeczywistych]]<ref group="uwaga">Wykorzystując do opisu tych przekształceń [[liczby zespolone]], okazuje się, że wektorami własnymi danego obrotu stowarzyszonymi z wartościami własnymi <math>\cos 30^\circ \pm i\sin 30^\circ</math> są <math>[1, i];\ [1, -i].</math> Biorąc pod uwagę, że mnożenie przez [[jednostka urojona|jednostkę urojoną]] <math>i</math> oznacza obrót o <math>90^\circ</math> (w ustalonym kierunku, umownie „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara”), a ogólniej dana (niezerowa) liczba zespolona to obrót o ustalony kąt (argument/faza) połączony ze skalowaniem o ustalony współczynnik (moduł/amplituda), wartości własne o jednostkowym module można interpretować jako zachowujące pole, zaś ich argument wskazuje kąt obrotu, z kolei wektory własne wskazują zachowane kierunki w przestrzeni trzeciego wymiaru (jako że muszą mieć one postać <math>[\mp iz, z]</math> dla dowolnej liczby zespolonej <math>z</math>): kierunek prostopadły do „poziomego” i „pionowego” (por. [[płaszczyzna zespolona]], [[liczby zespolone#Reprezentacja macierzowa|liczby zespolone: reprezentacja macierzowa]], [[kwaterniony]], [[iloczyn wektorowy]]).</ref>.

=== Symetria i określoność ===
{{osobny artykuł|forma dwuliniowa|forma kwadratowa|macierz dodatnio określona|o3=określoność}}
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0 0 1ex 1ex; width: 1px;"
|-
|colspan="2"| Macierz <math>\mathbf A;</math> określoność; stowarzyszona forma kwadratowa <math>Q_\mathbf A(x, y);</math> wektory spełniające <math>Q_\mathbf A(x, y) = 1;</math> wykres <math>Q_\mathbf A(x, y) = z.</math>
|-
| <math>\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & -\tfrac{1}{4} \end{bmatrix}</math> || <math>\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{4} \end{bmatrix}</math>
|-
| nieokreślona || dodatnio określona
|-
| <math>\tfrac{1}{4} x^2 - \tfrac{1}{4} y^2</math> || <math>\tfrac{1}{4} x^2 + \tfrac{1}{4} y^2</math>
|-
| [[Plik:Hyperbola2.png|100px]]<br>[[Hiperbola (matematyka)|Hiperbola]] || [[Plik:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|100px]]<br>[[Elipsa]]
|-
|colspan="2"| [[Plik:Hyperbolic vs elliptic paraboloid.png|200px]]<br>Paraboloidy:<br>[[paraboloida hiperboliczna|hiperboloiczna]] i [[paraboloida eliptyczna|eliptyczna]]
|}

Macierz kwadratową <math>\mathbf A</math> równą swojemu [[macierz transponowana|przestawieniu]], <math>\mathbf A = \mathbf A^\mathrm T,</math> nazywa się ''[[macierz symetryczna|symetryczną]]''; jeśli jest ona równa przeciwności swojego przestawienia, <math>\mathbf A = -\mathbf A^\mathrm T,</math> to nazywa się ją ''[[macierz antysymetryczna|antysymetryczną]]''. W przypadku macierzy zespolonych symetrię macierzy zastępuje się często jej ''[[Sprzężenie hermitowskie macierzy|hermitowskością]]'' (samosprzężonością), tzn. rozpatruje się <math>\mathbf A = \mathbf A^\star,</math> gdzie gwiazdka oznacza ''sprzężenie hermitowskie'' macierzy, tzn. złożenie przestawienia macierzy ze [[sprzężenie zespolone|sprzężeniem zespolonym]] jej elementów.

Każdej ''formie dwuliniowej'' <math>B\colon K^n \times K^n \to K</math> można przyporządkować macierz kwadratową <math>\mathbf B = [B_{ij}]</math> stopnia <math>n,</math> gdzie <math>B_{ij} = B(\mathbf e_i, \mathbf e_j),</math> a <math>\{\mathbf e_i\}</math> jest [[baza standardowa|standardową bazą]] [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]] <math>K^n.</math> Jeśli macierz <math>\mathbf B</math> jest symetryczna (albo samosprzężona w przypadku zespolonym), to może być ona postrzegana jako macierz ''formy kwadratowej'' <math>Q(\mathbf x) = B(\mathbf x, \mathbf x).</math> Przyłożeniu formy dwuliniowej <math>B</math> do pary wektorów <math>\mathbf x, \mathbf y</math> odpowiada wówczas mnożenie <math>\mathbf X^\mathrm T \mathbf{BY},</math> skąd obliczeniu wartości formy kwadratowej <math>Q</math> dla wektora <math>\mathbf x</math> odpowiada wówczas mnożenie <math>\mathbf X^\mathrm T \mathbf{BX},</math> gdzie <math>\mathbf X, \mathbf Y</math> są [[przestrzeń współrzędnych#Macierze|macierzami jednokolumnowymi]] zawierającymi współczynniki wektorów <math>\mathbf x, \mathbf y.</math>

Formę kwadratową <math>Q</math> nazywa się ''dodatnio'' lub ''ujemnie określoną'' albo ''nieokreśloną'', jeżeli dla wszystkich niezerowych wektorów <math>\mathbf x</math> forma <math>Q(\mathbf x)</math> przyjmuje odpowiednio wyłącznie wartości dodatnie, ujemne, bądź obu znaków. Jeśli forma przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne albo niedodatnie, to nazywa się ją odpowiednio ''określoną nieujemnie'' albo ''niedodatnio'' (''półokreśloną dodatnio'' bądź ''ujemnie''); w ten sposób forma jest ''nieokreślona'' wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest określona ani nieujemnie, ani niedodatnio; forma mająca (choć jedną) wartość własną równą zeru nazywa się ''osobliwą'' (''zdegenerowaną'') w przeciwnym przypadku nazywa się ją ''nieosobliwą'' (''niezdegenerowaną''). Określoność macierzy <math>\mathbf B</math> definiuje się jako określoność reprezentowanej przez nią formy kwadratowej <math>Q</math> (czyli odpowiadającej jej formy dwuliniowej <math>B</math>); identycznie ma się rzecz ze zdegenerowaniem. Terminy dotyczące określoności form przenoszą się wprost na odpowiadające im macierze; osobliwość formy odpowiada wtedy osobliwości jej macierzy (co można również sprawdzić za pomocą wyznacznika lub rzędu).

[[Twierdzenie spektralne]] mówi, że rzeczywiste macierze symetryczne i zespolone macierze hermitowskie są ''[[diagonalizacja|diagonalizowalne]]'', tzn. istnieje taka [[baza (przestrzeń liniowa)|baza]], nazywana ''[[wektory i wartości własne|bazą własną]]'', w której dowolny wektor można przedstawić w postaci [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] wektorów własnych. Innymi słowy istnieje baza, w której dana forma kwadratowa ma [[macierz diagonalna|macierz diagonalną]], przy czym jej główna przekątna zawiera wartości własne stowarzyszone z wektorami bazy własnej – określoność formy kwadratowej (dwuliniowej), czy też jej macierzy, można zatem definiować za pomocą (znaków) jej wartości własnych (tzw. [[kryterium Sylvestera]] określoności<ref group="uwaga">W innej postaci: jeśli <math>D_i</math> oznacza wiodący minor główny, to wartości własne <math>\lambda_i = D_i/D_{i-1};</math> zgodnie z sekcją ''[[#Macierze nieskończone i puste|Macierze puste]]'', <math>D_0 = 1.</math></ref>). W szczególności diagonalizowalna jest macierz standardowego [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]] dowolnej przestrzeni współrzędnych, przy czym w bazie standardowej ma ona postać macierzy jednostkowej, co oznacza, że iloczyn skalarny jest dodatnio określoną formą dwuliniową na tej przestrzeni; stąd jego działanie definiuje się zwykle w zapisie macierzowym wzorem <math>\mathbf X^\mathrm T \mathbf Y,</math> z kolei stowarzyszona z nim forma kwadratowa definiuje kwadrat standardowej [[przestrzeń unormowana|normy]] tej przestrzeni.

== Aspekty numeryczne ==
{{Zobacz też|złożoność obliczeniowa|algorytm numerycznie stabilny|o2=stabilność numeryczna}}
Oprócz własności teoretycznych macierzy i ich związków z różnymi dziedzinami wiedzy z praktycznego punktu widzenia ważne jest efektywne i dokładne przeprowadzanie obliczeń na macierzach – dział matematyki obejmujący tę problematykę nazywa się [[numeryczna algebra liniowa|numeryczną algebrą liniową]]. Zasadniczymi elementami są ''złożoność obliczeniowa'' i ''stabilność numeryczna'' algorytmu realizującego obliczenia. Zwykle stosuje się algorytmy wprost implementujące dane zagadnienie bądź różnorakie [[algorytm iteracyjny|podejścia iteracyjne]], np. wektor własny można znaleźć, wskazując [[ciąg (matematyka)|ciąg]] wektorów [[granica ciągu|zbiegający]] do tego wektora własnego.

Wyznaczenie ''złożoności algorytmu'' polega na wskazaniu górnego ograniczenia lub oszacowań liczby potrzebnych dodawań i mnożeń skalarów do wykonania danego algorytmu, np. mnożenia macierzy. Standardowe mnożenie dwóch macierzy typu <math>n \times n</math> z definicji wymaga <math>n^3</math> mnożeń, gdyż dla każdego z <math>n^2</math> elementów macierzy potrzeba <math>n</math> mnożeń. Klasyczny [[algorytm Strassena]] jest efektywniejszy niż opisany wyżej „naiwny” algorytm: potrzebuje jedynie ok. <math>n^{2{,}807}</math> mnożeń; aby przyspieszyć obliczenia uwzględnia się również cechy i własności urządzenia liczącego. W praktyce często dostępna jest dodatkowa wiedza o postaci macierzy – ważnym przypadkiem są [[macierz rzadka|macierze rzadkie]], tzn. macierze, których większość elementów jest zerami. Istnieją dla nich specjalnie przystosowane algorytmy, np. [[metoda gradientu sprzężonego]] rozwiązywania układów równań liniowych <math>\mathbf{AX} = \mathbf B</math> dla macierzy rzadkiej <math>\mathbf A.</math>

Intuicyjnie algorytm jest ''numerycznie stabilny'', jeśli małe odchylenia argumentów (np. błędy zaokrągleń) nie prowadzą do dużych odchyleń wyników; przykładowo obliczanie macierzy odwrotnej z [[Rozwinięcie Laplace’a|rozwinięcia Laplace’a]], tzn. wzoru <math>\mathbf A^{-1} = \mathbf A^\mathrm D/\det \mathbf A</math> (gdzie <math>\mathbf A^\mathrm D</math> oznacza [[macierz dołączona|macierz dołączoną]] do <math>\mathbf A</math>), może prowadzić do znaczących błędów zaokrągleń, gdy wyznacznik macierzy jest bardzo mały (co do wartości bezwzględnej). Do oceny [[wskaźnik uwarunkowania|uwarunkowania]] problemów algebry liniowej, jak powyższe obliczanie odwrotności macierzy, stosuje się [[norma macierzowa|normy macierzy]]; przykładowo opracowano algorytmy [[#Rozkłady macierzy|rozkładu macierzy]], które umożliwiają uniknięcie złego uwarunkowania, np. [[rozkład Schura]].

== Ujęcie algebraiczne i uogólnienia ==
{{anchor|Przestrzeń macierzy}}

=== Definicja ===
{{Zobacz też|funkcja|iloczyn kartezjański|para uporządkowana}}
Niech <math>m, n</math> będą dodatnimi [[liczby całkowite|liczbami całkowitymi]], zaś <math>\langle c \rangle</math> oznacza zbiór liczb <math>\{1, \dots, c\}</math> kolejnych liczb całkowitych<ref group="uwaga">Definicję tę można rozszerzyć o tzw. ''[[#Macierze nieskończone i puste|macierze puste]]'': wystarczy, by zbiór wskaźników był [[zbiór pusty|pusty]].</ref>, a <math>X</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym zbiorem]]. '''Macierzą''' nazywa się funkcję
: <math>\mathbf A\colon \langle m \rangle \times \langle n \rangle \to X,</math>

gdzie <math>\langle m \rangle \times \langle n \rangle</math> oznacza iloczyn kartezjański zbiorów <math>\langle m \rangle</math> i <math>\langle n \rangle.</math> Parę uporządkowaną <math>(m, n),</math> oznaczaną zwykle symbolem <math>m \times n,</math> nazywa się ''typem'' macierzy <math>\mathbf A,</math> jej argumenty (elementy [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]]) – ''indeksami'' lub ''wskaźnikami'', zaś wartości (elementy [[Obraz (matematyka)|obrazu]]) – ''współczynnikami'', ''elementami'' lub ''wyrazami''; o macierzy <math>\mathbf A</math> mówi się też wtedy, że jest ''określona nad'' zbiorem <math>X.</math> Na podobieństwo [[ciąg (matematyka)|ciągów]], czy [[wektor]]ów funkcję <math>\mathbf A(i, j) = a_{ij}</math> oznacza się zwykle symbolicznie
: <math>\mathbf A = [a_{ij}],</math>

gdzie element <math>a_{ij}</math> i nazywa się ''wyrazem'', ''współczynnikiem'' bądź ''elementem ogólnym'' macierzy; zwyczajowo pierwszą i drugą współrzędną wyrazu nazywa się odpowiednio jego ''wierszem'' i ''kolumną''. Ustalenie pierwszej bądź drugiej współrzędnej funkcji <math>\mathbf A</math> definiuje macierze odpowiednio typu <math>1 \times n</math> bądź <math>m \times 1</math> nazywane ''wierszem'' bądź ''kolumną'' macierzy <math>\mathbf A;</math> dokładniej: <math>i</math>-tym ''wierszem'', odpowiednio <math>j</math>-tą ''kolumną'', macierzy <math>\mathbf A</math> nazywa się macierze dane wzorami <math>\mathbf A_i\colon \{i\} \times \langle n \rangle \to X,</math> bądź odpowiednio <math>\mathbf A^j\colon \langle m \rangle \times \{j\} \to X,</math> przy czym nie ma ogólnie przyjętej notacji dotyczącej wierszy, czy kolumn danej macierzy<ref group="uwaga">Przestrzenie <math>\{s\} \times Z</math> oraz <math>Z \times \{t\}</math> można w [[transformacja naturalna|naturalny]] sposób [[izomorfizm|utożsamiać]] z przestrzenią <math>Z</math> poprzez rzuty; w tym wypadku chodzi o utożsamienie wektorów postaci <math>(s, z), (z, t)</math> przy ustalonych <math>s, t</math> oraz skalara <math>z.</math></ref> – macierze te nazywa się często [[przestrzeń współrzędnych#Macierze|''wektorami wierszowymi'' bądź ''kolumnowymi'']], co wyjaśniono w [[#Przekształcenia liniowe|osobnej sekcji]].

Aby zaznaczyć typ macierzy często dodaje się go wyżej w pewnej formie za nawiasem, np. w indeksie dolnym: <math>[a_{ij}]_{m \times n}</math> lub <math>[a_{ij}]_\underset{j = 1, \dots, n}{i = 1, \dots, m}.</math> Zbiór wszystkich macierzy typu <math>m \times n</math> nad zbiorem <math>X</math> oznacza się symbolicznie <math>\mathrm M_{m \times n}(X),</math> czy <math>\mathrm{Mat}_{m \times n}(X),</math> opuszczając niekiedy typ macierzy lub zbiór jej współczynników, jeśli są znane z kontekstu lub <math>X^{m \times n}, X^m{}_n;</math> w szczególności <math>X^1{}_n</math> oraz <math>X^m{}_1</math> utożsamia się&nbsp;z [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeniami współrzędnych]] <math>X_n</math> oraz <math>X^m</math> wektorów wierszowych i kolumnowych{{odn|Cieciura|2001|s=94}}{{odn|Zakrzewski|2000|s=33}} (w tej notacji łatwiej śledzić wymiar przestrzeni przy przekształceniach, jednak jest ona niezgodna z notacją potęgową [[iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] dla przestrzeni).

=== Klasy macierzy a wybór bazy ===
{{osobny artykuł|baza (przestrzeń liniowa)|o1=baza przestrzeni liniowej|macierz przekształcenia liniowego|forma dwuliniowa#Macierz formy|o3=macierz formy dwuliniowej}}
W zbiorze macierzy <math>\mathrm{Mat}_{m \times n}</math> można wprowadzić wiele różnych [[relacja równoważności|relacji równoważności]] [[Rozbicie zbioru|dzielących]] ten zbiór na rozłączne klasy:
* ''równość'', <math>\mathbf A = \mathbf B,</math> definiowana wzorem <math>a_{ij} = b_{ij}</math> dla wszystkich <math>i, j;</math>
* ''podobieństwo'', <math>\mathbf A \sim \mathbf B,</math> mające miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna <math>\mathbf P</math> spełniająca <math>\mathbf P^{-1} \mathbf{AP} = \mathbf B;</math><ref>{{odn|ref=nie|Sołtysiak|1999|s=88}}, Definicja 5.9.</ref><ref>{{odn|ref=nie|Sołtysiak|1999|s=88}}, Lemat 5.16.</ref>
* ''przystawanie'', ''kongruencja'', ''sprzężenie'', <math>\mathbf A \cong \mathbf B,</math> dane warunkiem istnienia takiej macierzy odwracalnej <math>\mathbf P,</math> dla której <math>\mathbf P^\mathrm T \mathbf{AP} = \mathbf B;</math>
* ''równoważność'', <math>\mathbf A \simeq \mathbf B</math> zachodząca wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją macierze odwracalne <math>\mathbf P, \mathbf Q,</math> że <math>\mathbf P^{-1} \mathbf{AQ} = \mathbf B;</math>
* ''równoważność względem operacji elementarnych na wierszach'' (odp. ''kolumnach'') lub krótko: ''równoważność elementarna'' (zwykle dla operacji na wierszach), określona wymaganiem istnienia skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach (odp. kolumnach), które przekształcałyby daną macierz w drugą

Na relację podobieństwo, czy przystawania można nakładać dodatkowe warunki, np. wymagać, by macierze <math>\mathbf P</math> i <math>\mathbf Q</math> były [[macierz ortogonalna|ortogonalne]] (''podobieństwo/przystawanie ortogonalne'', ''równoważność ortogonalna''), czy [[macierz unitarna|unitarne]] (''podobieństwo/przystawanie unitarne'', ''równoważność unitarna''). Podobieństwo macierzy pociąga ich równoważność. Dwie macierze są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich [[Rząd macierzy|rzędy]] są równe. Macierze równoważne elementarnie zachowują zbiór rozwiązań układów równań liniowych (równoważność względem operacji na kolumnach zachowuje [[dualność (matematyka)|dualny]] do danego układ równań liniowych); dla macierzy nad ''dobrymi'' strukturami (np. ciałem, a nawet [[pierścień ideałów głównych|pierścieniem ideałów głównych]]) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.
<div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><math>\begin{matrix} V & \xrightarrow{\quad\ \mathrm T\ \quad} & W\\ \Bigg\updownarrow & & \Bigg\updownarrow \\ K^n & \xrightarrow[\mathrm T_A^B]{\qquad\quad} & K^m \end{matrix}</math><div class="thumbcaption">[[Diagram przemienny]] przedstawienia przekształcenia liniowego: górna strzałka symbolizuje przekształcenie liniowe niezależnie od wyboru bazy, pionowe strzałki oznaczają izomorfizmy między przestrzeniami liniowymi a przestrzeniami współrzędnych, dolna strzałka oznacza przekształcenie liniowe przedstawione w bazach wyznaczonych przez wspomniane izomorfizmy<ref group="uwaga">Dolne „piętro” diagramu można zastąpić przekształceniem w postaci macierzy <math>\mathbf T_A^B</math> między [[przestrzeń współrzędnych#Macierze|macierzowymi przestrzeniami współrzędnych]] <math>\mathrm{Mat}_{n \times 1}</math> i <math>\mathrm{Mat}_{m \times 1}</math> wektorów kolumnowych bądź <math>\mathrm{Mat}_{1 \times n}</math> i <math>\mathrm{Mat}_{1 \times m}</math> wektorów wierszowych.</ref><ref group="uwaga">Z punktu widzenia [[Teoria kategorii|teorii kategorii]] [[Kategoria (matematyka)|kategorie]] skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych i przestrzeni macierzy nad wspólnym ciałem są [[Równoważność kategorii|równoważne]]; kategoria skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych jest równoważna z [[Podkategoria|podkategorią]] skończeniewymiarowych przestrzeni współrzędnych.</ref>.</div></div></div>
W ogólności macierz może reprezentować przekształcenie liniowe między dowolnymi przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru z ustalonymi ''bazami'', czyli poprzez wybranie w nich „[[układ współrzędnych|układów współrzędnych]]”, tzn. wskazanie [[izomorfizm]]ów [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]] i [[Funkcja|przeciwdziedziny]] z odpowiednimi [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeniami współrzędnych]]. Otóż przekształcenie liniowe <math>\mathrm T</math> przestrzeni liniowej <math>V</math> wymiaru <math>n</math> w przestrzeń liniową <math>W</math> wymiaru <math>n</math> z bazami odpowiednio <math>A = (\mathbf a_j)_j</math> oraz <math>B = (\mathbf b_i)_i</math> może być opisane dla każdego <math>j = 1, \dots, n</math> wzorem
: <math>\mathrm T(\mathbf a_j) = \sum_{i=1}^m t_{ij} \mathbf b_i,</math>

a więc poprzez zapisanie w macierzy <math>\mathbf T_A^B = [t_{ij}]</math> kolumnowo obrazów wektorów bazy <math>A</math> w bazie <math>B.</math>

Przynależność macierzy do ustalonej klasy oznacza, iż przedstawienia we współrzędnych (wyrażone za pomocą macierzy) danego rodzaju przekształceń są ''niezależne od wyboru bazy'': macierze danego przekształcenia liniowego w różnych bazach mogą być różne, jednak zawsze są równoważne; podobnie ma się rzecz z endomorfizmami liniowymi przestrzeni liniowej z ustaloną bazą – macierze kwadratowe danego endomorfizmu są do siebie podobne; wreszcie wybór bazy dla przestrzeni liniowej w przypadku form dwuliniowych (często symetrycznych bądź hermitowskich form kwadratowych) umożliwia zapisanie ich w postaci macierzy kwadratowych ([[macierz symetryczna|symetrycznych]] bądź [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|hermitowskich]]), przy czym macierze tej samej formy są przystające (podobnie ma się rzecz z formami i [[macierz antysymetryczna|macierzami antysymetrycznymi]]). [[Wyznacznik]] i [[wektory i wartości własne|wartości własne]] macierzy równoważnych są równe, zatem są one [[niezmiennik]]ami przekształceń liniowych; [[twierdzenie o bezwładności form kwadratowych|twierdzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych]] mówi, iż liczba oraz znaki wartości własnych macierzy przystających o rzeczywistych współczynnikach są równe, co oznacza, że są one niezmiennikami rzeczywistych form kwadratowych (symetrycznych form dwuliniowych). We wszystkich przypadkach macierze <math>\mathbf P, \mathbf Q</math> pełnią rolę macierzy zmiany bazy (tzw. „macierze przejścia” z jednej bazy do innej).

=== Rozkłady macierzy ===
{{osobny artykuł|rozkład macierzy|diagonalizacja|metoda eliminacji Gaussa|algorytm Bareissa}}
Wspomniana w sekcji ''[[#Symetria i określoność|Symetria i określoność]]'' diagonalizacja będąca przedstawieniem macierzy w postaci macierzy diagonalnej (podobnej do danej, zob. [[#Klasy macierzy a wybór bazy|poprzednią sekcję]]) jest w istocie jedną z wielu innych metod ''rozkładów macierzy'', czyli przekształcania macierzy do przystępniejszych postaci (nazywanych zbiorczo ''postaciami normalnymi'' bądź ''kanonicznymi''); zasadniczą cechą tych rozkładów jest [[niezmiennik|zachowywanie pewnych własności]] danych macierzy, np. wyznacznika, rzędu, czy odwrotności, które łatwo odczytać z uzyskanej postaci bądź możliwość algorytmicznego uproszczenia konkretnych operacji na macierzach określonego rodzaju.

''[[Metoda LU|Rozkład LU]]'' macierzy polega na przedstawieniu jej w postaci iloczynu [[macierz trójkątna|macierzy trójkątnych]]: dolnej (<math>\mathbf L,</math> od ang. ''lower'') i górnej (<math>\mathbf U,</math> od ang. ''upper''). Wyznaczenie tego rozkładu znacząco upraszcza rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą tzw. ''podstawień w przód'' i ''wstecz''; podobnie łatwo uzyskać z tej postaci odwrotność macierzy trójkątnych. Pokrewnym poprzedniemu algorytmem jest ''eliminacja Gaussa'': przekształca daną macierz do [[macierz schodkowa|postaci schodkowej]]. Obie metody można opisać za pomocą składania danej macierzy przez odpowiednie [[operacje elementarne|macierze elementarne]] odpowiadające [[Permutacja#Zapis macierzowy|permutacjom wierszy]] i dodawaniu wielokrotności danego wiersza do innego. ''[[Rozkład według wartości osobliwych]]'' wyraża dowolną macierz jako iloczyn <math>\mathbf{UDV}^\star</math> trzech macierzy: [[macierz unitarna|unitarnych]] <math>\mathbf U, \mathbf V</math> oraz [[macierz diagonalna|diagonalnej]] <math>\mathbf D,</math> gdzie <math>\mathbf V^\star</math> oznacza [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|macierz sprzężoną hermitowsko]] (w przypadku zespolonym; [[macierz transponowana|przestawioną]] w przypadku rzeczywistym) do <math>\mathbf V.</math>

[[Plik:Jordan blocks.svg|thumb|Macierz w postaci Jordana; klatki oznaczone szarym kolorem to tzw. ''klatki Jordana'' (puste miejsce oznacza zero); odpowiadają one [[#Niezmienniczość i zagadnienie własne|podprzestrzeniom niezmienniczym]] wyznaczanym przez [[#Macierze kwadratowe|endomorfizm]] [[#Przekształcenia liniowe|opisywany za pomocą tej macierzy]] (zob. ''[[#Klasy macierzy a wybór bazy|Klasy macierzy i wybór bazy]]'').]]
''Rozkład według wartości własnych'' bądź ''diagonalizacja'' to rozkład danej macierzy <math>\mathbf A</math> na iloczyn <math>\mathbf{VDV}^{-1}</math> macierzy diagonalnej <math>\mathbf D</math> i odwracalnej <math>\mathbf V</math> (macierz, którą można przedstawić w tej postaci nazywa się ''diagonalizowalną''). Ogólną metodą rozkładu, która jest możliwa do przeprowadzenia dla dowolnej macierzy, jest ''rozkład Jordana'' przekształcający daną macierz do [[postać Jordana|postaci (normalnej) Jordana]], tzn. macierzy, której jedynymi niezerowymi elementami są znajdujące się na głównej przekątnej wartości własne <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> macierzy <math>\mathbf A</math> oraz być może elementy jednostkowe znajdujące się na nadprzekątnej głównej (zob. rysunek obok). W rozkładzie według wartości własnych <math>n</math>-tą potęgę macierzy <math>\mathbf A</math> (tzn. <math>n</math>-krotne mnożenie macierzy przez siebie) można obliczyć według wzoru:
: <math>\mathbf A^n = \left(\mathbf{VDV}^{-1}\right)^n = \mathbf{VDV}^{-1} \ldots \mathbf{VDV}^{-1} = \mathbf V \mathbf D^n \mathbf V^{-1},</math>

a potęgę macierzy diagonalnej oblicza się, podnosząc do potęgi elementy z jej przekątnej głównej – jest to znacznie prostsza operacja niż potęgowanie macierzy <math>\mathbf A</math> w postaci wyjściowej. Potęgowanie macierzy jest umożliwia zdefiniowanie [[eksponenta macierzy|eksponenty macierzy]] <math>\exp \mathbf A,</math> która podobnie do [[funkcja wykładnicza|eksponenty]] rzeczywistej czy zespolonej znajduje wiele zastosowań: rozwiązywanie [[równanie różniczkowe liniowe|liniowych równań różniczkowych]], obliczanie [[logarytm macierzy|logarytmów]] macierzy, czy ich pierwiastków.

=== Współczynniki, algebra i grupy macierzy ===
{{Zobacz też|ciało (matematyka)|o1=ciało|pierścień (matematyka)|o2=pierścień|pełna grupa liniowa|grupa Liego|algebra Liego}}
Choć w definicji zbiór współczynników nie ma żadnej wyróżnionej struktury, to moc zastosowań metod macierzowych wynika z dodatkowej struktury algebraicznej określonej w tym zbiorze, która umożliwia zdefiniowanie podstawowych działań na macierzach, co skutkuje wprowadzeniem konkretnej struktury algebraicznej w zbiorze macierzy ustalonego typu, czy rodzaju. W artykule skupiono się na ciałach (którymi są np. zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], czy [[liczby zespolone|zespolonych]]), choć uprawianie algebry liniowej za pomocą teorii macierzy możliwe jest już w przypadku zastosowania pierścieni (np. zbioru [[liczby całkowite|liczb całkowitych]]).

Zbiór macierzy <math>\mathrm{Mat}_{m \times n}</math> tworzy [[grupa (matematyka)|grupę]] ze względu na [[dodawanie macierzy]] z ''[[macierz zerowa|macierzą zerową]]'' <math>\boldsymbol \Theta</math> złożoną z samych zer pełniącą rolę [[element neutralny|elementu neutralnego]]; jeśli dodawanie w zbiorze współczynników jest [[przemienność|przemienne]] (z definicji w ciele lub [[pierścień przemienny|pierścieniu przemiennym]]), to jest ona [[Grupa przemienna|abelowa]]. Dołączenie [[mnożenie przez skalar|mnożenia przez skalary]] czyni z grupy <math>\mathrm{Mat}_{m \times n}</math> [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] ([[baza (przestrzeń liniowa)|wymiaru]] <math>mn</math>) w przypadku, gdy zbiór skalarów ma strukturę ciała lub [[moduł (matematyka)|moduł]] ([[moduł wolny|wolny]] rangi <math>mn</math>), jeśli skalary tworzą pierścień<ref group="uwaga">Za bazę można wybrać zbiór macierzy, których elementami są jedna jedynka i same zera.</ref>. Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym określa się analogicznie jak w przypadku ciał, jednak działanie to nie ma wówczas tak dobrych własności.

Zbiór macierzy kwadratowych stopnia <math>n</math> tworzy [[pierścień (matematyka)|nieprzemienny pierścień z jedynką]] ze względu na mnożenie nazywany ''pierścieniem macierzy''; uwzględniając strukturę przestrzeni liniowej (modułu) macierze kwadratowe danego stopnia są [[algebra nad ciałem|nieprzemienną algebrą nad ciałem z jedynką]] ([[algebra (teoria pierścieni)|nieprzemienną algebrą nad pierścieniem]]). [[Macierz odwrotna|Macierze odwrotna i odwracalna]] są elementami [[element odwrotny|odwrotnym]] i [[element odwracalny|odwracalnym]] w algebrze macierzy kwadratowych; zbiór macierzy odwracalnych ustalonego stopnia tworzy ze względu na [[mnożenie macierzy]] ''ogólną'' lub ''pełną grupę liniową'' <math>\mathrm{GL}_n</math> [[zbiór generatorów grupy|generowaną]] przez [[operacje elementarne|macierze elementarne]]. ''Grupami macierzowymi'' nazywa się właśnie [[podgrupa|podgrupy]] ogólnej grupy liniowej (z działaniem mnożenia); jest nią np. ''szczególna'' lub ''specjalna grupa liniowa'' <math>\mathrm{SL}_n</math> składająca się z macierzy odwracalnych o wyznaczniku jednostkowym ([[podgrupa normalna]] generowana przez operację elementarną dodawania wiersza pomnożonego przez odwracalną liczbę do innego w przypadku ciał). Każda grupa skończona jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z grupą macierzową, można się o tym przekonać, rozpatrując [[reprezentacja regularna|reprezentację regularną]] [[Grupa permutacji|grupy symetrycznej]]. Ogólne grupy można badać za pomocą dobrze znanych grup macierzy, które zostały dość dobrze poznane dzięki [[teoria reprezentacji|teorii reprezentacji]].

Jeżeli pierścień współczynników macierzy kwadratowej jest [[pierścień przemienny|przemienny]], to możliwe jest zdefiniowanie jej [[wyznacznik]]a<ref group="uwaga">W przypadku, gdy pierścień nie jest przemienny, zwykle nie można przedstawić sensownej definicji; niekiedy jednak jest to możliwe, np. [[wyznacznik Dieudonnégo]] dla [[Pierścień z dzieleniem|pierścieni z dzieleniem]] i jego uogólnienie, [[funktor Dieudonnégo]], na [[Algebra centralna prosta|algebry centralne proste]].</ref>. Niezerowość wyznacznika dla macierzy określonych nad ciałami należy zamienić w przypadku pierścieni na warunek jego [[element odwrotny|odwracalności]]. Ze [[wzory Cramera|wzorów Cramera]] (własności [[macierz dołączona|macierzy dołączonej]]) wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

Nad (przemienną) [[pierścień ideałów głównych|dziedziną ideałów głównych]] [[moduł (matematyka)|podmoduł]] [[moduł wolny|modułu wolnego]] jest wolny, a jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. W związku z tym owocne jest dla macierzy <math>\mathbf A</math> typu <math>m \times n</math> nad dziedziną ideałów głównych <math>R</math> rozważanie podmodułów modułów <math>\mathrm{Mat}_{m \times 1}(R)</math> oraz <math>\mathrm{Mat}_{1 \times n}(R)</math> generowanych odpowiednio przez kolumny i wiersze macierzy <math>\mathbf A.</math> Podmoduły te mają równe rangi, a ich wspólną wartość nazywa się ''rzędem'' macierzy <math>\mathbf A.</math> Rząd <math>\mathbf A</math> jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora i jest równy rzędowi tej samej macierzy nad [[ułamek#Ciało ułamków|ciałem ułamków]] pierścienia <math>R;</math> rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy i kolumn.

Ponieważ macierze można traktować jak („długie”) wektory (najczęściej nad pewnym ciałem, takim jak np. [[liczby rzeczywiste]], czy [[liczby zespolone]]), to w wielu przypadkach możliwe jest wprowadzenie przeróżnych [[algebra ogólna|struktur algebraicznych]], czy [[przestrzeń topologiczna|topologicznych]] na różnego rodzaju przestrzeniach macierzy, co wynika stąd, iż zbiór macierzy ustalonego ''typu'' tworzy skończeniewymiarową [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] z działaniami na macierzach (traktowanych jak wektory, tzn. [[działanie określone punktowo#Działanie określone po współrzędnych/składowych|wprowadzonymi „po wskaźnikach”]]) – każda z tych przestrzeni ma identyczną strukturę z [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenią współrzędnych]] nad tym ciałem. Dla macierzy nad ciałami liczb rzeczywistych, czy zespolonych można przykładowo wprowadzić strukturę [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] z jej naturalnymi strukturami, a nawet pójść krok dalej: wprowadzić strukturę [[algebra Liego|algebry Liego]], co w dalszym stopniu zwiększa liczbę zastosowań teorii macierzy.

Jeśli współczynniki należą do ciała liczb rzeczywistych lub zespolonych, to ogólna grupa liniowa ma strukturę ''grupy Liego'' (wymiaru równemu stopniowi macierzy w przypadku rzeczywistym i dwukrotnie większemu w przypadku zespolonym), tzn. mnożenie i odwracanie macierzy są [[funkcja ciągła|ciągłe]] (w [[przestrzeń euklidesowa|topologii euklidesowej]] macierzy traktowanych jako „długie” wektory<ref group="uwaga">Tzn. w dowolnym [[izomorfizm]]ie <math>\mathrm{Mat}_n(K) \to K^{n^2}.</math></ref>). Ponadto jest [[rozmaitość algebraiczna|otwartą rozmaitością afiniczną]] w przestrzeni wszystkich macierzy ustalonego stopnia (jej [[zbiór pusty|niepustym]] [[zbiór otwarty|podzbiorem otwartym]] w [[Spektrum pierścienia|topologii Zariskiego]]), a nawet [[rozmaitość różniczkowalna|rozmaitością różniczkową]] (tego samego wymiaru). ''Algebra Liego'' <math>\mathfrak{gl}_n</math> odpowiadająca tej grupie, tzn. struktura oddająca intuicję [[nieskończenie małe|nieskończenie małych]] przekształceń tych grup (por. ''[[pochodna Liego]]''), składa się ze wszystkich macierzy kwadratowych tego samego stopnia z [[Komutator (matematyka)|komutatorem]] pełniącym rolę ''nawiasu Liego''; algebra Liego <math>\mathfrak{sl}_n</math> specjalnej grupy liniowej (będącą [[rozmaitość algebraiczna|podrozmaitością]] ogólnej grupy liniowej) zawiera wszystkie macierze kwadratowe ustalonego stopnia o zerowym śladzie.

=== Macierze nieskończone i puste ===
Rozpatruje się również macierze o nieskończonej liczbie wierszy i/lub kolumn – formalnie wystarczy, iż dla dowolnych elementów indeksujących wiersze i kolumny istnieje dobrze określony element macierzy ([[zbiór indeksów|zbiory indeksów]] nie muszą być nawet podzbiorami [[liczby naturalne|liczb naturalnych]]). Analogicznie jak w przypadku skończonym można zdefiniować dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar, czy przestawienie macierzy, choć mnożenie macierzy wymagać może określenia nieskończonego sumowania do zdefiniowania elementów iloczynu. Jeśli macierz nieskończona ma opisywać przekształcenie liniowe, to jej wszystkie kolumny muszą mieć skończoną liczbę niezerowych elementów. Wynika to stąd, iż dla macierzy <math>\mathbf A</math> reprezentującej przekształcenie liniowe <math>\mathrm A\colon V \to W,</math> z ustalonymi bazami dla przestrzeni liniowych, każdy wektor przestrzeni może być zapisany jednoznacznie jako (skończona) [[kombinacja liniowa]] wektorów bazowych, a więc jako macierz jednokolumnową („wektor kolumnowy”) <math>\mathbf X,</math> w której tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Wówczas kolumny <math>\mathbf A</math> zawierają kolejne obrazy w przekształceniu <math>\mathrm A</math> macierzy jednokolumnowych odpowiadających obrazom wektorów bazowych przestrzeni <math>V</math> w bazie przestrzeni <math>W,</math> co ma sens wyłącznie wtedy, gdy kolumny te mają skończenie wiele niezerowych elementów. Nie ma jednakże ograniczenia na liczbę wierszy macierzy <math>\mathbf A,</math> otóż w iloczynie <math>\mathbf{AX}</math> pojawia się tylko skończenie wiele niezerowych współczynników macierzy jednokolumnowej <math>\mathbf X,</math> przez co każdy z elementów tego iloczynu, nawet jeśli jest dany jako nieskończona suma iloczynów, zawiera tylko skończenie wiele różnych od zera elementów, skąd wynika, iż jest on dobrze określony. Co więcej, oznacza to utworzenie kombinacji liniowej kolumn macierzy <math>\mathbf A,</math> która efektywnie zawiera wyłącznie skończenie wiele z nich, stąd ponieważ każda kolumna zawiera tylko skończenie wiele niezerowych elementów, to i wynik ma ich tyle. Iloczyn dwóch macierzy danego typu jest również dobrze określony (z zastrzeżeniem równości zbiorów indeksujących odpowiednio wiersze i kolumny tych macierzy), jest tego samego typu i odpowiada złożeniu przekształceń liniowych.

Macierze nieskończone wykorzystuje się do opisu operatorów na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]], gdzie narzuca się dodatkowe ograniczenia ze względu na [[szereg (matematyka)|zbieżność odpowiednich sum]] oraz [[funkcja ciągła|ciągłość]] przekształceń. Z ogólnego punktu widzenia macierze jednak zaciemniają ogląd – z tego powodu częściej korzysta się z abstrakcyjnych, potężniejszych metod [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]].

''Macierz pusta'' to macierz, której liczba wierszy lub kolumn jest równa zeru. Ułatwiają one rozważania teoretyczne dotyczące [[przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|zerowej przestrzeni liniowej]], np. jeśli macierz <math>\mathbf A</math> jest typu <math>3 \times 0,</math> a macierz <math>\mathbf B</math> jest typu <math>0 \times 3,</math> to ich iloczyn <math>\mathbf{AB}</math> jest [[macierz zerowa|macierzą zerową]] typu <math>3 \times 3</math> odpowiadającą przekształceniu zerowemu pewnej trójwymiarowej przestrzeni liniowej w siebie, podczas gdy iloczyn <math>\mathbf{BA}</math> jest macierzą typu <math>0 \times 0.</math> Nie ma ustalonej notacji dotyczącej macierzy pustych, choć większość [[system algebry komputerowej|systemów algebry komputerowej]] umożliwia ich tworzenie i prowadzenie obliczeń z ich udziałem. Wyznacznik macierzy typu <math>0 \times 0</math> wynosi jeden, co wynika z obecności [[iloczyn pusty|iloczynu pustego]] występującego we wzorze Leibniza na wyznacznik. Wartość ta jest zgodna z faktem służącym często charakteryzacji wyznacznika, iż [[funkcja tożsamościowa|przekształcenie tożsamościowe]] z dowolnej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej w siebie ma wyznacznik 1. Istnienie macierzy stopnia zerowego jest niezbędne w rozważaniach [[teoria kategorii|teoriokategoryjnych]] – macierze nad ustalonym ciałem tworzą [[kategoria addytywna|kategorię addytywną]], która musi zawierać [[obiekty początkowy i końcowy|obiekt zerowy]], tu: macierze puste.

=== Tensory ===
{{osobny artykuł|tensor}}
Macierze wielowskaźnikowe to macierze z dowolną liczbą wskaźników indeksujących elementy takiej macierzy – macierze zerowskaźnikowe to opisane wyżej macierze puste, jednowskaźnikowe mogą być utożsamiane z wektorami lub ciągami, dwuwskaźnikowe to macierze opisane w tym artykule (również nieskończone), macierze trójwskaźnikowe można wyobrażać sobie jako uszeregowane w kratkach prostopadłościanu (być może nieskończonego). Formalnie macierz <math>r</math>-wskaźnikowa o elementach ze zbioru <math>X</math> to funkcja <math>\boldsymbol A\colon \langle n_1 \rangle \times \ldots \times \langle n_r \rangle \to X.</math>
{{sekcja stub}}

== Zastosowania ==
Macierze znalazły mnóstwo zastosowań, tak w matematyce, jak i w naukach przyrodniczych – niektóre z nich wykorzystują jedynie zwarty sposób zapisu zbioru liczb w postaci tablicy. Przykładowo w [[teoria gier|teorii gier]] i [[ekonomia|ekonomii]] ''[[Funkcja wypłat|macierz wypłat]]'' koduje wypłatę gracza w zależności od jego wyboru spośród (skończonego) zbioru możliwości. W [[text mining|eksploracji tekstu]] i automatycznym kompilowaniu [[tezaurus]]ów korzysta się z ''[[macierz dokument-słowo|macierzy częstości dokument-słowo]]'' (albo ''macierzy częstotliwości słowo-dokument''; ang. ''document-term [frequency] matrix'', ''DTM'' albo ''term-document [frequency] matrix'', ''TDM''), np. [[TFIDF|tf-idf]], do śledzenia częstości pewnych słów w kilku dokumentach.

[[Liczby zespolone]] można przedstawić za pomocą szczególnych macierzy rzeczywistych typu <math>2 \times 2</math> za pomocą odwzorowania
: <math>a + bi \leftrightarrow \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix},</math>

w którym dodawanie i mnożenie liczb zespolonych oraz macierzy odpowiadają sobie wzajemnie. Przykładowo [[macierz obrotu|macierze obrotu]] stopnia <math>2</math> odpowiadają mnożeniu przez liczbę zespoloną o [[wartość bezwzględna|module]] <math>1</math> (por. ''[[#Przekształcenia liniowe|Przekształcenia liniowe]]''). Podobnej interpretacji można dokonać dla [[kwaterniony|kwaternionów]].

Wczesne techniki [[szyfr]]owania (np. [[szyfr Hilla]]) można opisać za pomocą macierzy, jednakże oznacza to, że kody te są względnie łatwe do złamania (z powodu ich liniowej natury). W [[grafika komputerowa|grafice komputerowej]] macierze wykorzystuje się do reprezentowania obiektów oraz ich [[przekształcenie afiniczne|przekształceń afinicznych]] – przykładem może być [[rzut (algebra liniowa)|rzut]] trójwymiarowego obiektu na dwuwymiarowy ekran uwzględniający teoretyczną pozycję ''obserwatora'' (''kamery''). Macierze nad [[pierścień wielomianów|pierścieniami wielomianów]] są istotnym elementem opisu w [[teoria sterowania|teorii sterowania]].

W [[chemia|chemii]] macierze wykorzystuje się na wiele sposobów – w szczególności, ze względu na wykorzystanie [[mechanika kwantowa|teorii kwantów]], do opisu [[wiązanie chemiczne|wiązań między cząsteczkami]] i [[spektroskopia|spektroskopii]]. Przykładami są ''[[macierz nakładania]]'' (ang. ''overlap matrix'') i ''[[macierz Foka]]'' wykorzystywane do rozwiązywania [[równania Roothaana|równań Roothaana]] w celu uzyskania [[orbital molekularny|orbitali cząsteczkowych]] za pomocą [[metoda Hartree-Focka|metody Hartree’ego-Foka]].

=== Teoria grafów ===
{{Zobacz też|teoria grafów}}
[[Plik:Labelled undirected graph.svg|thumb|150px|Nieskierowany graf o macierzy sąsiedztwa <math>\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]</math>]]
Jednym z fundamentalnych obiektów teorii grafów jest ''[[macierz sąsiedztwa]]'' skończonego [[graf (matematyka)|grafu]] – zapisana jest w niej informacja o tym, które wierzchołki grafu są połączone krawędzią. Innym sposobem opisu takiego grafu jest ''[[macierz incydencji]]'' parująca wierzchołki i krawędzie. Macierze zawierające tylko dwie różne wartości (0 i 1 oznaczające przykładowo „tak” i „nie”) nazywa się ''[[macierz logiczna|macierzami logicznymi]]''. Z kolei ''[[macierz odległości]]'' (lub ''kosztów'') zawiera informację o wzajemnych odległościach krawędzi. Pojęcia te stosuje się do opisu rozmieszczenia ([[topologia|topologii]]) [[serwis internetowy|witryn internetowych]] połączonych [[hiperłącze|odnośnikami]], czy miastami połączonymi za pomocą dróg; jeśli sieć dróg nie jest zbyt gęsta, to macierze są zwykle ''[[macierz rzadka|rzadkie]]'', tzn. zawierają mało niezerowych elementów. Dla tego rodzaju macierzy istnieją odpowiednio przystosowane algorytmy stosowane w [[teoria sieci|teorii sieci]].

=== Analiza i geometria ===
{{Zobacz też|równanie różniczkowe cząstkowe|o2=równania różniczkowe cząstkowe}}
''[[Macierz Hessego]]'' [[funkcja różniczkowalna|funkcji różniczkowalnej]] o wartościach skalarnych (tzw. [[pole skalarne|pola skalarnego]]) <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R</math> składa się z [[Pochodna funkcji|drugich pochodnych]] funkcji <math>f</math> względem osi współrzędnych, tzn.
: <math>\mathbf H_f = \left[\frac {\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right]_{ij}.</math>

[[Plik:Saddle point.png|thumb|left|W [[punkt siodłowy|punkcie siodłowym]] <math>(x, y) = \color{red} (0, 0)</math> funkcji <math>f(x, y) = x^2 - y^2</math> macierz Hessego <math>\left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{smallmatrix}\right]</math> jest [[Określoność formy|nieokreślona]]]]
Koduje ona informację o lokalnym wzroście funkcji: dla danego [[punkt krytyczny (matematyka)|punktu krytycznego]] <math>\mathrm x = (x_1, \dots, x_n),</math> czyli punktu, w którym znikają pierwsze [[pochodna cząstkowa|pochodne cząstkowe]] <math>\partial f/\partial x_i</math> funkcji <math>f,</math> przyjmuje ona [[Ekstremum funkcji|minimum lokalne]], o ile macierz Hessego jest [[Określoność formy|dodatnio określona]] (i [[Ekstremum funkcji|maksimum lokalne]], gdy jest ona [[Określoność formy|ujemnie określona]]). W celu znalezienia minimów i maksimów funkcji kwadratowych blisko związanych z formami kwadratowymi stowarzyszonymi z macierzami (zob. ''[[#Symetria i określoność|Określoność]]'') stosuje się [[programowanie kwadratowe]].

Inną macierzą często stosowaną w ujęciu geometrycznym problemów analitycznych jest ''[[macierz Jacobiego]]'' przekształcenia różniczkowalnego <math>\mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m.</math> Jeśli <math>f_1, \dots, f_m</math> oznaczają składowe <math>\mathrm f,</math> to macierz Jacobiego można zdefiniować jako
: <math>\mathbf J_\mathrm f = \left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right]_{ij}.</math>

Jeśli <math>n > m</math> i rząd macierzy Jacobiego przyjmuje swoją maksymalną wartość <math>m,</math> to z [[twierdzenie o funkcji odwrotnej|twierdzenia o przekształceniu odwrotnym]]<ref group="uwaga">Bądź z [[Funkcja uwikłana#Twierdzenie o funkcji uwikłanej|twierdzenia o przekształceniu uwikłanym]].</ref> <math>\mathrm f</math> jest lokalnie [[funkcja odwrotna|odwracalna]] w tym punkcie.

[[Równanie różniczkowe|Równania różniczkowe]] cząstkowe można sklasyfikować za pomocą macierzy współczynników operatorów różniczkowych najwyższego rzędu danego równania. Dla [[równanie różniczkowe cząstkowe eliptyczne|eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych]] macierz ta jest dodatnio określona, co ma decydujący wpływ na zbiór możliwych rozwiązań badanego równania.

Ważną metodą rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych opisujących złożone układy fizyczne jest [[metoda elementów skończonych]], w której rozwiązanie jest przybliżane za pomocą funkcji kawałkami liniowych, gdzie kawałki dostatecznie drobne; metodę można następnie przedstawić w postaci równania macierzowego (zob. też [[metoda sztywności]]).
{{clear}}

=== Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka ===
{{Zobacz też|teoria prawdopodobieństwa|statystyka}}
[[Plik:Markov chain.png|thumb|280px|Dwa różne łańcuchy Markowa; wykres przedstawia liczbę cząsteczek (ok. 1000) w stanie „2”. Obie wartości graniczne można wyznaczyć z macierzy przejścia, którymi są <math>\color{red} \left[\begin{smallmatrix} 0{,}7 & 0 \\ 0{,}3 & 1 \end{smallmatrix}\right]</math> oraz <math>\left[\begin{smallmatrix} 0{,}7 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}8 \end{smallmatrix}\right].</math>]]
''[[Macierz stochastyczna|Macierze stochastyczne]]'' to macierze, których wiersze odpowiadają [[wektor prawdopodobieństwa|wektorom prawdopodobieństwa]], tzn. elementy wierszy sumują się do jedności. Macierze stochastyczne definiują [[łańcuch Markowa|łańcuchy Markowa]] o skończonej liczbie stanów. Wiersz macierzy stochastycznej opisuje rozkład prawdopodobieństwa następnego położenia danej cząstki w stanie odpowiadającym temu wierszowi. Własności łańcucha Markowa takie jak [[stan pochłaniający|stany pochłaniające]], tzn. stany, które dana cząstka kiedyś osiągnie, można odczytać z wartości własnych macierzy przejścia. Ze względu na pokrewieństwo łańcuchów Markowa o skończonej liczbie stanów z grafami o skończonej liczbie wierzchołków do opisu pierwszych stosuje się metody opracowane dla drugich (zob. ''[[#Teoria grafów|Teoria grafów]]'').

W statystyce również korzysta się z wielu rodzajów macierzy – [[statystyka opisowa]] zajmuje się przykładowo opisem zbiorów danych, które można często przedstawić w postaci macierzowej przez uprzednie zmniejszenie liczby danych. ''[[Macierz kowariancji]]'' koduje [[kowariancja|wariancję wzajemną]] kilku [[zmienna losowa|zmiennych losowych]]. Kolejnym przykładem jest [[metoda najmniejszych kwadratów]], w której przybliża się skończoną liczbę punktów <math>(x_1, y_1), \dots, (x_k, y_k)</math> [[funkcja liniowa|funkcją liniową]]
: <math>y_i = ax_i + b, \quad i = 1, \dots, k;</math>

metodę tę można opisać w języku macierzy, opierając się na [[rozkład według wartości osobliwych|rozkładzie według wartości osobliwych]] macierzy.

''[[Macierz losowa|Macierze losowe]]'' to macierze zawierające liczby losowe podlegające odpowiedniemu [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkładowi prawdopodobieństwa]], np. [[macierzowy rozkład normalny|macierzowemu rozkładowi normalnemu]]. Ich zastosowania wykraczają poza rachunek prawdopodobieństwa – stosuje się je od [[teoria liczb|teorii liczb]] po [[fizyka|fizykę]].

=== Symetrie i przekształcenia w fizyce ===
{{Zobacz też|symetria w fizyce}}
Przekształcenia liniowe i związane z nimi [[Symetria figury|symetrie]] odgrywają we współczesnej fizyce kluczową rolę. Przykładowo w [[kwantowa teoria pola|kwantowej teorii pola]] [[cząstka elementarna|cząstki elementarne]] klasyfikuje się jako reprezentacje [[grupa Lorentza|grupy Lorentza]] [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]], dokładniej: względem ich zachowania w działaniu [[grupa spinowa|grupy spinowej]]. Konkretne reprezentacje, w tym ''[[macierze Pauliego]]'', czy ogólniejsze ''[[macierze gamma]]'', są integralną częścią opisu [[Fermiony|fermionów]] zachowujących się jak [[spinor]]y. Dla trzech najlżejszych [[kwark]]ów istnieje grupowa reprezentacja wykorzystująca [[specjalna grupa unitarna|specjalną grupę unitarną]] <math>\mathrm{SU}(3);</math> do obliczeń wykorzystuje się dogodne reprezentacje macierzowe znane jako ''[[macierze Gell-Manna]]'', które stosuje się także do opisu [[cechowanie (fizyka)|grupy cechowania]] <math>\mathrm{SU}(3)</math> tworzącej podstawę współczesnego opisu silnych oddziaływań jądrowych, [[chromodynamika kwantowa|chromodynamiki kwantowej]]. Z kolei ''[[macierz Cabibbo-Kobayashiego-Maskawy]]'' wyraża fakt, iż podstawowe stany kwarków, istotne dla [[oddziaływanie słabe|oddziaływań słabych]], nie są podstawowymi stanami kwarków definiującymi cząstki z określonymi i różnymi [[masa (fizyka)|masami]], lecz są od nich liniowo zależne.

=== Kombinacje liniowe stanów kwantowych ===
{{Zobacz też|mechanika kwantowa}}
Pierwszy model mechaniki kwantowej ([[Werner Heisenberg|Heisenberg]], 1925) przedstawiał operatory tej teorii za pomocą nieskończeniewymiarowych macierzy działających na stanach kwantowych; stąd pierwotna nazwa tej teorii to ''[[mechanika macierzowa]]''. Szczególnym przykładem jest ''[[macierz gęstości]]'' charakteryzująca stan „mieszany” układu kwantowego jako [[kombinacja liniowa|kombinację liniową]] prostych, „czystych” stanów własnych.

Inna macierz służy jako kluczowe narzędzie opisu eksperymentów rozpraszania tworzących zrąb eksperymentalnej [[fizyka cząstek elementarnych|fizyki cząstek elementarnych]]: reakcje zderzenia, takie jakie zdarzają się w [[akcelerator cząstek|akceleratorach cząstek]], gdzie nieoddziałujące na siebie cząstki pędzą ku sobie i zderzają się na małym obszarze oddziaływania, produkując nowy zestaw nieoddziałujących ze sobą cząstek, mogą być opisane za pomocą iloczynu skalarnego stanów cząsteczek wyjściowych i kombinacji liniowej stanów cząsteczek wejściowych. Kombinacja liniowa jest dana w postaci ''macierzy rozpraszania'' znanej także jako ''[[macierz S]]'', która koduje wszystkie informacje o możliwych oddziaływaniach między cząstkami.

=== Drgania swobodne ===
{{Zobacz też|drgania swobodne}}
W fizyce macierze stosuje się również do opisu liniowo sprzężonych [[ruch harmoniczny|układów harmonicznych]]. [[Kinematyczne równanie ruchu|Równania ruchu]] takich układów można opisać za pomocą macierzy, gdzie ''macierz masy'' przemnożona przez uogólnioną prędkość daje wyraz kinetyczny, a ''macierz siły'' przemnożona przez ''macierz przesunięcia'' (odpowiadającą wektorowi przesunięcia) charakteryzuje interakcje. Najlepszą metodą uzyskiwania rozwiązań jest wyznaczenie wektorów własnych układu, jego drgań swobodnych, poprzez diagonalizację równania macierzowego. Techniki tego rodzaju są istotne, gdy w grę wchodzi wewnętrzna dynamika cząsteczek: drgania wewnętrzne układu składającego się ze wzajemnie związanych atomów. Wykorzystuje się je również do opisu drgań mechanicznych i oscylacji w obwodach elektrycznych.

=== Optyka geometryczna ===
{{Zobacz też|optyka geometryczna}}
W optyce geometrycznej, która z natury jest teorią aproksymatywną, zaniedbuje się falową naturę [[światło|światła]] – w modelu tym [[promień świetlny|promienie świetlne]] rozchodzą się po [[prosta|prostych]]. Jeśli ugięcie światła przez dany przyrząd optyczny nie jest duże, działanie [[soczewka|soczewki]] czy [[zwierciadło optyczne|zwierciadła]] można wyrazić za pomocą mnożenia macierzy odpowiadającej wektorowi o dwu składowych przez macierz układu optycznego typu <math>2 \times 2</math> nazywaną ''[[macierz ABCD|macierzą ABCD]]'': elementami macierzy odpowiadającej wektorowi są nachylenie promienia i jego odległość od osi optycznej, macierz kwadratowa koduje z kolei własności urządzenia optycznego. W istocie wyróżnia się dwa rodzaje macierzy, tj. ''macierz załamania'' (lub ''refrakcji'') opisująca załamanie na powierzchni soczewki oraz ''macierz przesunięcia'' (lub ''translacji''), która opisuje przesunięcie płaszczyzny odniesienia do kolejnej płaszczyzny załamania, której opisem jest kolejna macierz załamania. Dzięki temu układ optyczny złożony z kombinacji soczewek i/lub zwierciadeł można opisać za pomocą macierzy będącej iloczynem macierzy elementów tego układu.

=== Elektronika ===
{{Zobacz też|rozwiązanie obwodu elektrycznego|elektronika}}
Tradycyjna analiza obwodów elektrycznych prowadzi do układów równań liniowych, które mogą być opisane za pomocą macierzy (np. [[metoda prądów oczkowych]], czy [[metoda potencjałów węzłowych|metoda napięć/potencjałów węzłowych]]).

Zachowanie wielu elementów elektronicznych może być opisane za pomocą macierzy: niech <math>\mathbf A</math> oznacza macierz typu <math>2 \times 1,</math> którego pierwszym elementem jest napięcie <math>v_1,</math> a drugą natężenie <math>i_1</math> wejściowe tego elementu, zaś <math>\mathbf B</math> będzie macierzą tego samego typu z kolejnymi elementami napięcia <math>v_2</math> i natężenia <math>i_1</math> wyjściowego elementu. Zachowanie elementu elektronicznego można opisać wzorem <math>\mathbf B = \mathbf{HA},</math> gdzie <math>\mathbf H</math> jest macierzą typu <math>2 \times 2</math> zawierającą [[impedancja|impedancję]] (zawadę) i [[admitancja|admitancję]] (drożność) kolejno jako elementy antyprzekątnej głównej i dwa elementy [[wymiar wielkości fizycznej|bezwymiarowe]] na przekątnej głównej. Rozwiązanie obwodu sprowadza się wówczas do mnożenia macierzy.

== Historia ==
=== Prekursorzy ===
Za pierwsze macierze można uważać [[kwadrat magiczny (matematyka)|kwadraty magiczne]] <math>3 \times 3,</math> które w [[literatura chińska|literaturze chińskiej]] pojawiają się już ok. [[650 p.n.e.]]<ref name="Swaney">Swaney, Mark. [http://www.arthurmag.com/magpie/?p=449 History of Magic Squares]{{martwy link}}</ref> Kwadraty magiczne były znane także [[Arabowie|arabskim]] matematykom, prawdopodobnie już w [[VII wiek]]u, kiedy Arabowie podbili północno-zachodnie części [[subkontynent indyjski|subkontynentu indyjskiego]], przejmując zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej – być może idea ta dotarła do nich z Chin. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w [[Encyklopedia Bractwa Czystości|Encyklopedii Bractwa Czystości]] ([[język arabski|arab.]] رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z [[Bagdad]]u około [[983]] roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim<ref name="Swaney" />.

Powstały między [[III wiek p.n.e.|III wiekiem p.n.e.]] a [[II wiek|II wiekiem n.e.]] traktat ''[[Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki]]'' (''Jiu Zhang Suan Shu'') jest pierwszym zanotowanym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania [[układ równań liniowych|układów równań liniowych]]<ref>{{cytuj książkę |autor = Shen Kangshen et al. (ed.) |tytuł = Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary |wydawca = Oxford University Press |rok = 1999}} cytowane przez {{cytuj książkę |autor = Otto Bretscher |tytuł = Linear Algebra with Applications |wydawca = Prentice-Hall |rok = 2005 |wydanie = 3 |strony = 1}}</ref> W rozdziale siódmym, ''Zbyt dużo i nie wystarczająco'', po raz pierwszy wprowadzono koncepcję [[wyznacznik]]a, przeszło 1000 lat przed jego publikacją przez [[Kōwa Seki|Kōwę Sekiego]] w [[1683]] roku i [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Leibniza]] w [[1693]] roku. [[Gabriel Cramer]] opublikował [[wzory Cramera|swoje wzory]] dające pełny algorytm rozwiązywania układów równań liniowych dopiero w [[1750]] roku.

=== Właściwe pojęcie ===
Wczesna teoria macierzy bardziej niż na same macierze kładła nacisk na wyznaczniki – niezależne pojęcie macierzy bliskie współczesnemu pojawiło się dopiero w 1858 roku w pracy [[Arthur Cayley|Arthura Cayleya]] „Pamiętnik o teorii macierzy” (''Memoir on the theory of matrices''). Słowo „macierz” ([[łacina|łac.]] ''matrix'' – samica rozpłodowa, roślina macierzysta; od ''matr-'', ''mater'' – matka; niegdyś właśnie „macierz”) ukuł [[James Joseph Sylvester]], który macierz rozumiał jako obiekt dający wyznaczniki znane dzisiaj jako [[minor]]y (zob. ''[[#Wyznacznik|Wyznacznik]]'')<ref>[[Oxford English Dictionary|OED]] pierwsze użycie słowa „macierz” (tzn. „matrix”) w kontekście matematycznym przypisuje Sylvesterowi, cytując ''London, Edinb. & Dublin Philos. Mag. 37'' (1850), s. 369: „«Wyjdziemy» od podłużnego układu wyrazów składającego się, załóżmy, z ''m'' wierszy i ''n'' kolumn. Nie będzie on sam sobie oznaczał wyznacznika, ale będzie on jak gdyby Macierzą, z której będziemy tworzyć różnorakie wyznaczniki poprzez ustalenie liczby ''p'' i wybranie zgodnie z wolą ''p'' wierszy i ''p'' kolumn, kwadraty im odpowiadające nazywane będą wyznacznikami ''p''-tego stopnia [dosł. rzędu].” (''We „commence” with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order.'').</ref> W pracy z 1851 roku Sylvester tłumaczy:
: „W poprzednich pracach zdefiniowałem «Macierz» jako prostokątną tablicę wyrazów, z której jak z łona jednego rodzica wyłonić można przeróżne układy wyznaczników”<ref>''I have in previous papers defined a „Matrix” as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent'' za ''The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853'', [http://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247&dq=sylvester+matrix+womb&hl=en&ei=uJakTaytCoOv8gPa5cG5Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CE8Q6AEwBw#v=onepage&q&f=false Paper 37], s. 247.</ref>

Badania nad wyznacznikami rozpoczęto z kilku powodów.
* Problemy [[teoria liczb|teorii liczb]] doprowadziły [[Carl Friedrich Gauss|Carla Friedricha Gaussa]] do związania współczynników [[forma kwadratowa|form kwadratowych]], tzn. wyrażeń postaci <math>x^2 + xy - 2y^2,</math> i trójwymiarowych [[przekształcenie liniowe|przekształceń liniowych]] z macierzami.
* [[Gotthold Eisenstein]] rozwinął te pojęcia w dalszym stopniu, w tym fakt, iż (w języku współczesnym) [[mnożenie macierzy|iloczyny macierzy]] nie są [[przemienność|przemienne]].
* [[Augustin Louis Cauchy|Augustin Cauchy]] jako pierwszy udowodnił ogólne twierdzenia o wyznacznikach, korzystając z następującej definicji wyznacznika macierzy <math>\mathbf A = [a_{ij}]{:}</math> zastąp w [[wielomian]]ie <math>a_1 \ldots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)</math> potęgi <math>a_j^k</math> wyrazem <math>a_{jk},</math> gdzie <math>\prod</math> oznacza [[mnożenie|iloczyn]] wskazanych wyrazów. Wykazał on również w 1829 roku, że [[wektory i wartości własne|wartości własne]] macierzy symetrycznych są rzeczywiste.
* [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] badał „wyznaczniki funkcyjne”, nazywane później przez Sylvestera [[macierz Jacobiego|wyznacznikami Jacobiego]], za pomocą których możliwy jest opis przekształceń geometrycznych na poziomie lokalnym (lub [[nieskończenie małe|infinitezymalnym]]).

W dziełach [[Leopold Kronecker|Leopolda Kroneckera]] „Wykłady o teorii wyznaczników” (''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten'') i [[Karl Weierstraß|Karla Weierstrassa]] „O teorii wyznaczników” (''Zur Determinantentheorie''), obu opublikowanych w 1903 roku, po raz pierwszy opisano wyznaczniki w sposób [[aksjomat]]yczny, w przeciwieństwie do mniej abstrakcyjnego podejścia stosowanego przez Cauchy’ego. Rok ten przyjmuje się jako datę precyzyjnego ustalenia definicji wyznacznika.

=== Rozwój teorii ===
Początkowo wiele twierdzeń udowodniono dla małych macierzy, przykładowo Cayley dowiódł [[twierdzenie Cayleya-Hamiltona]] w przypadku macierzy typu <math>2 \times 2</math> i przez [[William Rowan Hamilton|Williama Rowana Hamiltona]] dla macierzy typu <math>4 \times 4.</math> [[Georg Frobenius]], rozwijając [[forma dwuliniowa|teorię form dwuliniowych]], uogólnił twierdzenie na macierze dowolnego typu (1898). Także pod koniec [[XIX wiek]]u [[Wilhelm Jordan]] przedstawił metodę rozwiązywania układów równań liniowych znaną dziś jako [[Metoda eliminacji Gaussa|metoda eliminacji Gaussa-Jordana]] (jako uogólnienie przypadku szczególnego znanego dziś jako [[metoda eliminacji Gaussa]], przy czym Gauss, którego nazwisko noszą obie procedury, nie wniósł wkładu w rozwój żadnej z nich). Z początkiem XX wieku macierze osiągnęły swoją kluczową pozycję w algebrze liniowej (częściowo dzięki ich wykorzystaniu przy klasyfikacji układów [[liczby hiperzespolone|liczb hiperzespolonych]] w poprzednim stuleciu).

Powstanie [[mechanika macierzowa|mechaniki macierzowej]] dzięki wysiłkom [[Werner Heisenberg|Wernera Heisenberga]], [[Max Born|Maksa Borna]] i [[Pascual Jordan|Pascuala Jordana]] doprowadziły do badań nad macierzami o nieskończonej liczbie wierszy i kolumn. W dalszej kolejności [[John von Neumann]] dał matematyczny opis [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]] rozwinąwszy takie pojęcia [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]] jak [[przekształcenie liniowe|operator liniowy]] na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeniach Hilberta]], które zgrubnie rzecz ujmując, odpowiadają [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniom euklidesowym]] o nieskończenie wielu [[baza (przestrzeń liniowa)|niezależnych kierunkach]].

== Inne znaczenia terminu ==
Samo słowo „macierz” stosowane było w kontekście matematycznym w niestandardowy sposób przynajmniej przez dwóch, ważnych historycznie autorów.

[[Bertrand Russell]] i [[Alfred North Whitehead]] w ich ''Principia Mathematica'' (1910–1913) wykorzystują słowo „macierz” w kontekście wprowadzonego przez nich [[aksjomat redukowalności|aksjomatu redukowalności]]. Zaproponowali oni ten aksjomat w celu zredukowania dowolnej funkcji do funkcji niższego typu tak, by „na dnie” (typ 0) funkcja była identyczna ze swoim [[rozszerzenie (semantyka)|rozszerzeniem]]:
: „''Macierzą'' nazwiemy dowolną funkcję, jakkolwiek wielu zmiennych, która nie wykorzystuje żadnych [[zmienna pozorna|zmiennych pozornych]]. Wówczas dowolną możliwą funkcję inna od macierzy można otrzymać za pomocą uogólnienia, tzn. rozpatrzenia [[sąd (logika)|sądu]] zapewniającego, iż rzeczona funkcja jest prawdziwa dla wszystkich możliwych wartości bądź dla pewnej wartości jednego z argumentów pozostały argument lub argumenty pozostają nieokreślone”<ref>''Let us give the name of ''matrix'' to any function, of however many variables, which does not involve any apparent variables. Then any possible function other than a matrix is derived from a matrix by means of generalization, i.e., by considering the proposition which asserts that the function in question is true with all possible values or with some value of one of the arguments, the other argument or arguments remaining undetermined'' za Alfred North Whitehead and Bertrand Russell (1913) ''Principia Mathematica to *56'', Cambridge at the University Press, Cambridge UK (wznowienie z 1962 roku) s. 162ff.</ref>.

Przykładowo funkcja <math>\Phi(x, y)</math> dwóch zmiennych <math>x</math> i <math>y</math> może być zredukowana do ''kolekcji'' funkcji jednej zmiennej, tzn. <math>y</math> poprzez „rozpatrywanie” funkcji wszystkich możliwych wartości „indywiduów” <math>a_i</math> podstawionych w miejsce zmiennej <math>x.</math>
Uzyskana kolekcja funkcji jednej zmiennej <math>y,</math> tzn. <math>\forall a_i\colon \Phi(a_i, y)</math> może być zredukowana do „macierzy” wartości „rozpatrując” funkcję dla wszystkich wartości „indywiduów” <math>b_i</math> wstawionych w miejsce zmiennej <math>y,</math> tzn. <math>\forall b_j\; \forall a_i\colon \Phi(a_i, b_j).</math>

[[Alfred Tarski]] w swoim „Wprowadzeniu do logiki” (''Introduction to Logic'') z 1946 roku używał słowa „macierz”, mając na myśli [[Tablica prawdy|tabelę prawdy]] wykorzystywaną w logice matematycznej<ref>Alfred Tarski, ''Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences'', Dover Publications, Inc, New York NY 1946, {{ISBN|0-486-28462-X}}.</ref>.

== Zobacz też ==
{{Wikisłownik|macierz}}
{{Commonscat|Matrix}}
* [[spis macierzy]]
* [[rachunek macierzowy]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Cieciura |imię = Grzegorz |tytuł = Konspekt do wykładu z Algebry „C” |wydawca = Katedra Metod Matematycznych Fizyki – [[Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego]] |miejsce = Warszawa |rok = 2001 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Sołtysiak |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Sołtysiak |tytuł = Algebra liniowa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe UAM|Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu]] |miejsce = Poznań |rok = 1999 |isbn = 83-232-1018-7 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Zakrzewski |imię = Stanisław |tytuł = Algebra i geometria |wydawca = Katedra Metod Matematycznych Fizyki – Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego |miejsce = Warszawa |rok = 2000 |odn = tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Banaszak |imię = Grzegorz |autor link = Grzegorz Banaszak |nazwisko2 = Gajda |imię2 = Wojciech |autor link2 = Wojciech Gajda |tytuł = Elementy algebry liniowej cz. I |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |rok = 2002 |miejsce = Warszawa |isbn = 83-204-2566-2}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Banaszak |imię = Grzegorz |nazwisko2 = Gajda |imię2 = Wojciech |tytuł = Elementy algebry liniowej cz. II |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |rok = 2002 |miejsce = Warszawa |isbn = 83-204-2693-6}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Gelfand |imię = Israïl Moiseevich |autor link = Izrail Gelfand |tytuł = Wykłady z algebry liniowej |inni = Lech Kubik (tłum.) |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |data = 1974}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Komorowski |imię = J. |tytuł = Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk |wydawca = PWN |rok = 1978}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Mostowski |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Mostowski |nazwisko2 = Stark |imię2 = Marceli |autor link2 = Marceli Stark |tytuł = Algebra liniowa |wydawca = PWN |rok = 1975}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Mostowski |imię = Andrzej |nazwisko2 = Stark |imię2 = Marceli |autor link2 = Marceli Stark |tytuł = Algebra wyższa |wydawca = PWN |rok = 1974}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} [https://calcoolator.pl/kalkulator_macierzy.html Kalkulator macierzy], calcoolator.pl [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=ZkJwQGQCiOo Co to jest macierz?]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 23 lutego 2015 [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=iK1DRQjGbwM Macierze cz. I. Rodzaje macierzy]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
* {{otwarty dostęp}} Bill Shillito, ''[https://www.youtube.com/watch?v=kqWCwwyeE6k How to organize, add and multiply matrices]'' {{lang|en}}, kanał TED-Ed na [[YouTube]], 4 marca 2013 [dostęp 2024-08-29].

{{Macierz}}
{{Algebra liniowa}}
{{Funkcje matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Macierze| ]]
[[Kategoria:Byłe Artykuły na Medal]]