Tekst źródłowy strony Logika modalna

'''Logika modalna''' – teoria [[logika|logiczna]], która bada pojęcia możliwości, konieczności i ich wariantów. Niekiedy termin „logika modalna” rozumie się szerzej, włączając w jego obręb [[logika epistemiczna|logiki epistemiczne]], [[logika temporalna|logiki temporalne]], [[logika deontyczna|logiki deontyczne]] i [[logiki programów]] – niniejszy artykuł omawia jedynie logiki modalne w sensie wąskim (logiki modalne aletyczne) na przykładzie systemu S5.

== Własności ==
Logika modalna, obok klasycznych spójników logicznych, posiada ''funktory modalne''. Funktor modalny jest to funkcja, która przypisuje wartości logiczne [[Funkcja boolowska#Termy|termom boolowskim]], które same mogą zawierać funktory modalne.
Cechą charakterystyczną funktorów modalnych jest fakt, że nie są ''ekstensjonalne'', czyli funktor może przyporządkowywać inną wartość dwóm równoważnym zdaniom. W logice klasycznej istnieją tylko cztery ekstensjonalne jednoargumentowe funktory: identyczność, [[negacja]], funktor zwracający prawdę dla wszystkich termów i funktor fałszu dla wszystkich termów. Natomiast w logice modalnej można np. zdefiniować nieekstensjonalny funktor <math>\Box X,</math> gdzie <math>\Box (A \land B)</math> jest prawdą, ale <math>\Box (B \land A)</math> jest fałszem.

Logikę modalną można sobie wyobrazić jako mówiącą o „wielu światach”. Zdania z funktorem konieczności zachodzą we wszystkich światach a zdania z funktorem możliwości – przynajmniej w jednym świecie. Zdania niepoprzedzone funktorem traktujemy jako zdania klasycznej logiki, nienależące do żadnego świata i będące swego rodzaju [[metajęzyk]]iem.

== Rys historyczno-techniczny ==
Logika modalna uprawiana była już przez [[Arystoteles]]a, a także przez [[szkoła dialektyków|szkołę dialektyków]] ([[Diodor Kronos|Diodora Kronosa]] i [[Filon z Megary|Filona z Megary]])<ref>{{cytuj |autor = Susanne Bobzien |tytuł = [http://plato.stanford.edu/entries/dialectical-school/  Dialectical School]|data = 2011 |redaktor = Edward N. Zalta |praca = [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |język = en |wydawca = Metaphysics Research Lab, [[Uniwersytet Stanforda|Stanford University]] |opis = Winter 2017 Edition |issn = 1095-5054 |data dostępu = 2023-01-02 |archiwum = http://plato.stanford.edu/archives/win2017/entries/dialectical-school/ |zarchiwizowano = 2017-12-21}}</ref>. 
Arystotelejska [[sylogistyka zdań modalnych]], bardzo rozwinięta w logice średniowiecznej, była bardzo zbliżona do [[sylogistyka|sylogistyki]] [[wypowiedź asertoryczna|zdań asertorycznych]], z tą różnicą, że przynajmniej jedna przesłanka każdego sylogizmu musiała być zdaniem modalnym, tj. [[wypowiedź problematyczna|problematycznym]] (zawierającym funktor możliwości) lub [[wypowiedź apodyktyczna|apodyktycznym]] (zawierającym funktor konieczności). Ze względu na to, jakimi zdaniami były przesłanki, sylogizmy modalne podzielone były odpowiednio na osiem grup. Tak jak w sylogistyce zdań asertorycznych, sylogizmy dzieliły się na tryby i figury. Nie każdemu poprawnemu modalnemu trybowi sylogistycznemu odpowiadał jednak poprawny asertoryczny tryb sylogistyczny. Ponadto sylogistyka modalna była systemem niedokończonym.

Współczesną postacią logiki modalnej jest [[modalny rachunek zdań]]. Cechą charakterystyczną modalnych rachunków zdań jest występowanie w nich funktora możliwości, oznaczanego <math>\Diamond</math> i funktora konieczności, oznaczanego przez <math>\Box.</math> Twórcą pierwszych systemów modalnego [[Rachunek zdań|rachunku zdań]] (nazwanych później S1 i S2) jest [[C.I. Lewis]]. Następnie powstało jeszcze kilka innych systemów – Lewisa (S3, S4, S5), Kripkego (K), Feyesa (T), von Wrighta (M). Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż [[implikacja materialna]] w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a [[implikacja ścisła|implikacją ścisłą]], współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco:
: <math>p \to q =_{df} \neg \diamond (p \land \neg q)</math>

Obecnie systemy rachunku modalnego tworzy się przede wszystkim ze względu na badanie pojęć modalnych, nie ze względu na poszukiwanie bardziej właściwego ujęcia pojęcia implikacji. Występujące w nich funktory modalne są funktorami zdaniowymi, co jest główną różnicą między rachunkiem modalnym a sylogistyką modalną – w sylogistyce modalnej występowały one wewnątrz zdań, mówiła więc ona o konieczności/możliwości przysługiwania przedmiotom cech (modalność ''de re''), nie o konieczności/możliwości zachodzenia stanów rzeczy (modalność ''de dicto'').

== System S5 ==
System S5 należy do najszerzej znanych i najprostszych systemów modalnego rachunku zdań. Występujące w nim funktory zdaniotwórcze możliwości i konieczności, odróżniające go od klasycznego rachunku zdań, można rozumieć intuicyjnie odwołując się do Leibnizowskiej koncepcji światów możliwych: zdanie konieczne jest [[prawda|prawdziwe]] we wszystkich możliwych światach, zdanie możliwe jest prawdziwe w niektórych możliwych światach. Funktory możliwości i konieczności są przy tym wzajemnie definiowalne w następujący sposób: <math>\diamond X \leftrightarrow \lnot \square \lnot X</math> i <math>\square X \leftrightarrow \lnot \diamond \lnot X,</math> gdzie X jest formułą zdaniową.

=== Język ===
Słownik języka logiki modalnej systemu S5 jest językiem klasycznego rachunku zdań (w pewnej stylizacji) rozszerzonym o nieekstensjonalne [[funktor zdaniotwórczy|funktory zdaniotwórcze]] możliwości i konieczności. W całości składają się na niego następujące elementy:
# [[zmienna zdaniowa|zmienne zdaniowe]] w ilości nieograniczonej, oznaczane przez p, q, r, s...
# [[stała logiczna|stałe logiczne]] stanowią funktory zdaniotwórcze:
#: zeroargumentowe: <math>\top, \bot</math> – stała ''verum'' i stała ''falsum''
#: jednoargumentowe: <math>\neg, \Diamond, \Box</math> – spójniki negacji, możliwości i konieczności
#: dwuargumentowe: <math>\land, \lor, \to, \leftrightarrow</math> – spójniki koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności

Do zbioru formuł zdaniowych należą natomiast:
# wszystkie zmienne zdaniowe,
# wyrażenia <math>\top, \bot,</math>
# wyrażenia <math>\neg X, \Box X, \Diamond X,</math> gdzie X jest formułą zdaniową,
# wyrażenia <math>X \land Y, X \lor Y, X \to Y, X \leftrightarrow Y,</math> gdzie X i Y są formułami zdaniowymi
# wyrażenia powstające przez zastosowanie reguł 3 i 4 w skończonej liczbie kroków.

=== Aksjomatyka ===
Na gruncie systemu S5 przyjmuje się następujące aksjomaty i definicje (uzupełniające aksjomatykę KRZ):
# <math>\Box X \to X</math>
# <math>\Diamond X \to \Box \Diamond X</math>
# <math>\Box (X \to Y) \to ( \Box X \to \Box Y)</math>
# Definicja możliwości: <math>\Diamond X \leftrightarrow \neg \Box \neg X</math>

Na gruncie S5 przyjmuje się następujące reguły dowodzenia:

1.
: {|style="border-spacing:0px"
|<math>X</math>
|-
|<hr style="border:0; color:#000000; background-color:#000000"/>
|-
|<math>\Box X</math>
|}
2.
#
:{|style="border-spacing:0px"
|<math>X \to Y, X</math>
|-
|<hr style="border:0; color:#000000; background-color:#000000"/>
|-
|<math>Y</math>
|}

=== Wybrane tezy ===
# <math>\Box X \to X</math> – jeśli X jest konieczne, to X zachodzi rzeczywiście.
# <math>\Diamond X \to \Box \Diamond X</math> – jeśli X jest możliwe, to jest konieczne, że X jest możliwe.
# <math>\Box (X \to Y) \to (\Box X \to \Box Y)</math> – prawo rozdzielności konieczności względem implikacji mówi, że jeśli konieczna jest zarazem implikacja i jej poprzednik, konieczny jest też jej następnik.
# <math>\Box (X \land Y) \to (\Box X \land \Box Y)</math> – prawo rozdzielności konieczności względem koniunkcji.
# <math>X \to \Diamond X</math> – teza ta mówi, że co jest prawdziwe, jest zarazem możliwe.
# <math>\Box X \to \Diamond X</math> – co jest konieczne, jest też możliwe.
# <math>X \to \Box \Diamond X</math> – jeśli zachodzi X, to jest konieczne, że X jest możliwe
# <math>\Diamond \Box X \to X</math> – co może być konieczne, zachodzi rzeczywiście.
# <math>\Box X \to \Box \Box X</math> – jeśli coś jest konieczne, to jest konieczne, że jest to konieczne.
# <math>\Diamond \Diamond X \to \Diamond X</math> – jeśli jest możliwe, że coś jest możliwe, to jest to możliwe.

== Zobacz też ==
* [[absolutne i relacyjne pojęcia modalne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Brian F. Chellas, ''Modal Logic. An Introduction'', Cambridge 1980
* [[Witold Marciszewski]] (red.), ''Mała encyklopedia logiki'', Wrocław 1970. Tu hasło ''Logika modalna''.

== Linki zewnętrzne ==
* {{IEP |url = modal-lo/ |autor = van Benthem, Johan |tytuł = Modal Logic: A Contemporary View |data dostępu = 2018-06-27}}
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/modal-logic/v-1 Modal logic]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].
{{SEP2 | 2018-09-08}}
* {{SEP3 | url = logic-modal/ | autor = James Garson | tytuł = Modal logic | data = 2018-09-08 | tytuł polski = (Logika modalna) }}
* {{SEP3 | url = logic-modal-origins/ | autor = Robert Ballarin | tytuł = Modern Origins of Modal Logic | data = 2017-05-08 | tytuł polski = (Nowożytne początki logik modalnych) }}
* {{SEP3 | url = qm-modal/ | autor = Olimpia Lombardi, Dennis Dieks | tytuł = Modal Interpretations of Quantum Mechanics | data = 2017-03-06 | tytuł polski = (Modalne interpretacje mechaniki kwantowej) }}

{{Teorie formalne logiki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Logika]]