Tekst źródłowy strony Logarytm

{{przekierowanie|[[lg]]|[[LG]]}}
[[Plik:John Napier-Logarithmorum 1620.jpg|mały|Dzieło ''Logarithmorum canonis descriptio'' Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.]]
[[Plik:Logarytmy-dla-szkol-narodowych.jpg|mały|''Logarytmy dlá szkół narodowych'' [[Ignacy Zaborowski|Ignacego Zaborowskiego]], publikacja [[Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych|Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych]] z [[1787]].]]

'''Logarytm''' ([[Łacina|łac.]] [now.] ''logarithmus'' – [[stosunek (matematyka)|stosunek]], z [[język grecki|gr.]] λόγ- ''log-'', od λόγος ''logos'' – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός ''árithmós'' – liczba) – dla danych liczb <math>a, b>0,\;a \ne 1</math> liczba oznaczana <math>\log_a b</math> będąca rozwiązaniem równania <math>a^x=b.</math> Taka definicja logarytmu została zdefiniowana przez [[Leonhard Euler|Eulera]]{{odn|Jahnke|2003|s=115}}. Liczba <math>a</math> nazywana jest ''podstawą (zasadą) logarytm''u, liczba <math>b</math> ''liczbą logarytmowaną'' (niekiedy ''antylogarytmem'' swojego logarytmu, patrz: [[antylogarytm]]). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę <math>a,</math> aby otrzymać liczbę logarytmowaną <math>b</math><ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Logarytm | id = 3933548 | data dostępu = 2021-07-28 }}</ref>.

Przykłady
: <math>\log_2 8 = 3,</math> gdyż <math>2^3 = 8,</math>
: <math>\log_{10} 10000 = 4,</math> gdyż <math>10^4 = 10000.</math>

Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku [[Matematyk|matematycy]] brytyjscy: Szkot [[John Napier]] i Anglik [[Henry Briggs]]. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]]{{odn|Jahnke|2003|s=117}}. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą [[Funkcja algebraiczna|funkcji przestępnej]] więcej niż jednej zmiennej{{odn|Jahnke|2003|s=117}}.

Pozwalały zastąpić [[mnożenie|mnożenia]], [[dzielenie]], [[pierwiastkowanie]] na łatwiejsze odpowiednio [[dodawanie]], [[odejmowanie]] i dzielenie przez [[Liczby naturalne|liczbę naturalną]]. ''Tablice logarytmiczne'' i [[suwak logarytmiczny|suwaki logarytmiczne]] stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie <math>a>0, a\ne 1</math> pozwala zdefiniować [[funkcja logarytmiczna|'''funkcję logarytmiczną''']] <math>f_a\colon \mathbb R_+\to \mathbb R</math> następująco:
:<math>f_a\colon x\mapsto f_a(x)=\log_a x.</math>

== Definicja formalna ==
[[plik:Slide rule example2 with labels.svg|thumb|450px|schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie <math>2\cdot 3 = 6</math> na dodawanie <math>\log 2 +\log 3 = \log 6</math>]]

Logarytm jest [[Działanie algebraiczne|działaniem zewnętrznym]]: <math>\log\colon \;\mathbb R_+\!\!\setminus\!\!\{1\} \times \mathbb R_+ \;\to\; \mathbb R</math> zdefiniowanym równoważnością:<ref name=cke>{{Cytuj |url=https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf | tytuł = Wybrane wzory matematyczne | miejsce = Warszawa | data = 2015 | wydawca = [[Centralna Komisja Egzaminacyjna]] |isbn = 978-83-940902-1-0 | s = 2 }}</ref>
: <math>\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b</math>

(zamiast <math>\log(a,b)</math> stosuje się symbolikę <math>\log_a b</math>).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do [[potęgowanie|potęgowania]]. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn. 
*dla każdych <math>a, b>0,\;a \ne 1</math> istnieje liczba rzeczywista <math>c=\log_a b.</math>

Jest też odwrotnie: 
*dla dowolnej liczby <math>c\in\mathbb R</math> i dowolnej liczby <math>a>0,\;a \ne 1</math> istnieje dokładnie jedna liczba <math>b>0</math> taka, że <math>c=\log_a b;</math> 
*dla dowolnej liczby <math>c\in\mathbb R</math> i dowolnej liczby <math>b>0</math> istnieje dokładnie jedna liczba <math>a>0, a\ne 1</math> taka, że <math>c=\log_a b.</math> 
Oznacza to, że przy ustalonym <math>a</math> lub ustalonym <math>b</math> działanie <math>\log</math> jest [[funkcja różnowartościowa|różnowartościową]] [[Funkcja „na”|suriekcją]] na zbiór <math>\mathbb R.</math>

== Logarytm binarny ==
{{osobny artykuł|logarytm binarny}}
Logarytm o podstawie równej 2.

== Logarytm naturalny ==
{{osobny artykuł|logarytm naturalny|podstawa logarytmu naturalnego}}
'''Logarytm naturalny''', nazywany często logarytmem [[John Napier|Nepera]], to logarytm o podstawie oznaczanej literą <math>e</math> równą w przybliżeniu <math>2{,}718281828.</math> Zwyczajowo zamiast <math>\log_e x</math> pisze się <math>\ln x.</math> Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją [[funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]] <math>\exp,</math> dla której <math>\exp(1) = e,</math> postaci
: <math>\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!},</math>

wtedy jej [[Pochodna funkcji|pochodna]] (również [[pochodna formalna|formalna]]) <math>(\exp x)' = \exp x,</math> co oznacza, że <math>(\ln x)' = \tfrac{1}{x}</math> zamiast <math>(\log_a x)' = \tfrac{1}{x \ln a},</math> ponieważ <math>\ln e = 1.</math> W pewnym sensie [[logarytm naturalny]] jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego <math>e</math> jest [[liczba przestępna|liczbą przestępną]] i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

== Logarytm dziesiętny ==
{{osobny artykuł|logarytm dziesiętny}}
Zapis bez indeksu <math>\log x</math> albo <math>\lg\; x</math> oznacza zwykle ''[[logarytm dziesiętny]]'' ([[Henry Briggs|Briggsa]]), czyli mający u swej podstawy liczbę 10<ref name=cke/>:
: <math>\log x=\lg x=\log_{10} x.</math>

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności <math>\log(x)</math> oznacza logarytm naturalny w niektórych [[język programowania|językach programowania]], choć np. w polskiej wersji [[Microsoft Excel]]a ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania:
Dla dowolnej liczby <math>x > 1 \land x \neg 1 * 10^n, n \in \mathbb{N}</math> jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę ([[Podłoga i sufit|sufit]]) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym <math>x,</math> np.
: <math>\log 5083495{,}424=6{,}7061624.</math>

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:
: <math>\log 1 = 0,\,\log 10 = 1,\,\log 100 = 2,\dots</math>

Analogicznie dla dowolnego [[System liczbowy|systemu pozycyjnego]] o podstawie <math>b,</math> należy użyć logarytmu o podstawie <math>b.</math>

== Własności ==
Znaki liczby <math>\log_a b</math> w zależności od wartości <math>a, b{:}</math>
{|class="wikitable col-3-text-align-center col-4-text-align-center"
!
! style="text-align:center"| <math>0<b<1</math>
! style="text-align:center"| <math>b=1</math>
! style="text-align:center"| <math>1<b</math>
|-
! <math>0<a<1</math>
|style="text-align:center"| <math>+</math>
|style="text-align:center"| <math>0</math>
|style="text-align:center"| <math>-</math>
|-
! <math>1<a</math>
|style="text-align:center"| <math>-</math>
|style="text-align:center"| <math>0</math>
|style="text-align:center"| <math>+</math>
|}

Wprost z definicji logarytmu wynika:
: <math>a^{\log_a b} = b,\qquad \log_a a^b = b,\qquad \log_a 1 = 0,\qquad \log_a a = 1.</math>

Z własności [[potęgowanie|potęgi]] wynikają następujące równości:<ref name=cke/>
: {{Wzór|<math>\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c,</math>|1}}
: <math>\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c</math>
: {{Wzór| <math>\log_a b^c = c\cdot \log_a b</math>|2}}
: <math>\log_a \sqrt[n]{b^c} = \tfrac{c}{n} \log_a b</math>

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana ''wzorem na zmianę podstawy logarytmu'':<ref name=cke/>
: <math>\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a} \qquad{}</math> albo <math>{}\qquad\log_b a \cdot\log_a x=\log_b x,</math>

stąd przyjmując <math>x=b</math>
: <math>\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}\qquad{}</math> albo <math>{}\qquad\log_b a\cdot\log_a b = 1\qquad{}</math> w szczególności <math>{}\qquad \log e\cdot\ln{10} =1.</math>

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości
: <math>\log_{a^n} b^m = \tfrac{m}{n} \log_a b,\qquad a^{\log_c b}=b^{\log_c a},\qquad \log_a c \cdot \log_b d = \log_a d \cdot \log_{b} c,\qquad x^y = a^{y\log_a x}</math><ref group="uwaga">Ten wzór pozwala zastosować logarytm do obliczania dowolnych potęg <math>x^y,</math> Jest to przydatne na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.</ref>
=== Dowody niektórych własności ===
'''Wzór {{LinkWzór|1}}''': Niech <math>\beta=\log_a b, \;\gamma= \log_a c.</math> Stąd, zgodnie z definicją, <math>a^\beta=b, \;a^\gamma= c.</math> Mnożąc stronami obie równości <math>a^\beta a^\gamma= bc.</math> Ponieważ <math>a^\beta a^\gamma=a^{\beta+\gamma},</math> więc <math>a^{\beta+\gamma}=bc.</math> Czyli <math>\beta+\gamma=\log_a bc.</math> Stąd teza.

'''Wzór {{LinkWzór|2}}''': Niech <math>\beta=\log_a b.</math> Stąd, zgodnie z definicją, <math>a^\beta=b.</math> Podnosząc obie strony do potęgi <math>\left(a^\beta\right)^c = b^c.</math> Ponieważ <math>\left(a^\beta\right)^c =a^{\beta c},</math> więc <math>a^{\beta c}=b^c.</math> Czyli <math>\beta c=\log_a b^c.</math> Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

== Logarytm liczby zespolonej ==
Logarytm można uogólnić na [[liczby zespolone]], co pozwala obliczać go także dla ujemnych [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].
Niech <math>z</math> będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:
: {{wzór|<math>\ln z = \ln \left(|z|\cdot e^{i\cdot\arg z}\right)= \ln |z|+i\arg z=\ln|z|+i(\phi+2k\pi),</math>|1}}

gdzie:
* <math>k</math> jest dowolną [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]],
* <math>\ln |z|</math> jest zwykłym logarytmem naturalnym z [[Wartość bezwzględna#Liczby zespolone|modułu]] liczby <math>z</math> (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
* <math>\arg</math> to [[argument liczby zespolonej]] <math>z,</math>
* <math>\phi</math> to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:
: <math>\ln 1=2k\pi i,</math>
: <math>\ln (-1)=(2k+1)\pi i,</math>
: <math>\ln i=\frac{4k+1}{2}\pi i.</math>

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych <math>k.</math> Przyjmując <math>k=0</math> otrzymujemy tzw. '''wartość główną logarytmu'''. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: <math>\operatorname{Ln}.</math> Inni przeciwnie – wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną{{odn|Miś|1989|s=255}}. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:
: <math>\log_w z=\frac{\ln z}{\ln w},</math>

gdzie:
* <math>w</math> i <math>z</math> są liczbami zespolonymi, <math>z,w\ne 0,\; w\ne 1</math>
* <math>\ln z</math> i <math>\ln w</math> są dane wzorem {{LinkWzór|1}}.

Oczywiście zbiór wartości <math>\log_w z</math> jest podwójnie indeksowany.

== Kologarytm ==
[[Liczba przeciwna|Liczbę przeciwną]] do logarytmu z <math>x</math> nazywało się niegdyś '''kologarytmem''' <math>x</math><ref>{{Sjp PWN|kologarytm|2472245|2024-04-05}}</ref> i oznaczało <math>\operatorname{clg} x</math> lub <math>\operatorname{colog} x.</math> Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu <math>-\log x.</math> Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w [[chemia|chemii]] przy określaniu [[Skala pH|skali kwasowości]].

== Logarytm dyskretny ==
{{osobny artykuł|logarytm dyskretny}}
Logarytm dyskretny elementu <math>b</math> (przy podstawie <math>a</math>) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita <math>c,</math> że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):
: <math>a^c = b.</math>

== Przykłady i zastosowania ==
=== Matematyka ===
* [[Skala logarytmiczna]] na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. [[Diagram Hertzsprunga-Russella|Diagram HR]] w astronomii.
* Logarytm jest funkcją odwrotną do [[funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]]. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy [[Radioaktywność|rozpad promieniotwórczy]] doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
* [[Regresja liniowa]]: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
* [[Prawo iterowanego logarytmu]] w [[teoria prawdopodobieństwa|probabilistyce]],
* [[Wymiar Hausdorffa]] [[fraktal]]i w [[topologia|topologii]] i [[teoria miary|teorii miary]],
* Asymptotyczne wzrost [[funkcja π|funkcji pi]] w [[teoria liczb|teorii liczb]],
* W [[teoria informacji|teorii informacji]] [[Claude E. Shannon|Claude Shannon]] wyraził [[entropia (teoria informacji)|entropię informacji]] przez logarytmy odpowiednich [[Prawdopodobieństwo|prawdopodobieństw]].
* [[Algorytmika]]: wiele procedur ma [[złożoność obliczeniowa|złożoność]] logarytmiczną (np. [[wyszukiwanie binarne]]) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów [[sortowanie|sortowania]],
* Opis [[spirala logarytmiczna|spirali logarytmicznej]] występującej w naturze,

=== Inne dziedziny ===
* [[Skala pH]] w [[chemia|chemii]],
* [[skala Richtera]] w [[sejsmologia|sejsmologii]],
* [[Poziom natężenia dźwięku]] jest logarytmiczną funkcją [[natężenie dźwięku|natężenia dźwięku]],
* [[Wysokość dźwięku]] jest logarytmiczną funkcją jego [[częstotliwość|częstotliwości]],
* [[Prawo Webera-Fechnera]] w [[psychologia|psychologii]] i [[fizjologia|fizjologii]] [[percepcja|percepcji]],
* [[Prawo Fittsa]] w [[ergonomia|ergonomii]],
* [[Absolutna wielkość gwiazdowa|Jasność absolutna]] w [[astronomia|astronomii]],
* [[Logarytmiczny dekrement tłumienia]] w [[fizyka|fizyce]], np. w [[akustyka|akustyce]] oraz w [[elektrotechnika|elektrotechnice]],
* W [[Mechanika statystyczna|fizyce statystycznej]] [[Ludwig Boltzmann]] wyraził [[entropia|entropię]] przez logarytm objętości w [[przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowej]]. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii [[Rudolf Clausius|Clausiusa]],
* [[Rozkład Benforda]] w statystyce i ekonomii,
* [[Wzór Ciołkowskiego]] opisujący ruch [[rakieta|rakiety]].

== Uwagi ==
{{Siostrzane projekty
 |commons = Category:Logarithm
 |słownik = logarytm
 |books = Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu
}}
{{uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Miś | imię = Bogdan | autor link = Bogdan Miś | tytuł = Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki | wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] | miejsce = Warszawa | rok = 1989 | isbn = 978-83-204-3364-7 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]] |oclc = 51607350 |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2015/08/logarytm-logika-i-rytm/ | autor = Adam Kolany | tytuł = Logarytm – logika i rytm? | data = sierpień 2015 | data dostępu = 2024-11-03 }}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Logarithm_of_a_number Logarithm of a number]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
* {{otwarty dostęp}} Steve Kelly, ''[https://www.youtube.com/watch?v=zzu2POfYv0Y Logarithms, Explained]'' {{lang|en}}, kanał TED-Ed na [[YouTube]], 20 sierpnia 2012 [dostęp 2024-08-22].

{{Logarytmy}}
{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Logarytmy| ]]