Tekst źródłowy strony Linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda

'''Linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda''' – linie opisujące ruch infinitezymalnej masy próbnej w polu grawitacyjnym wytworzonym przez nieruchomą, nierotującą masę centralną. Rozwiązanie [[Równanie Einsteina|równań Einsteina]] opisujące ten przypadek to rozwiązanie Schwarzschilda uzyskane w 1915 roku przez niemieckiego fizyka [[Karl Schwarzschild|Karla Schwarzschilda]]. Otrzymanie tego rozwiązania oraz zbadanie [[Linia geodezyjna|geodezyjnych]] w tej metryce odegrało ważną rolę we wczesnym [[Ogólna teoria względności#Potwierdzenie teorii|eksperymentalnym potwierdzeniu teorii względności]], gdyż z bardzo dobrym przybliżeniem opisują one ruch ciał w polu grawitacyjnym wytwarzanym przez [[Słońce]]. Pozwoliło to teoretycznie wytłumaczyć obserwowany [[ruch peryhelium]] [[Merkury|Merkurego]] (oraz innych planet) oraz przewidzieć zjawisko [[Soczewkowanie grawitacyjne|ugięcia promieni świetlnych]] w polu grawitacyjnym Słońca. Były to pierwsze dwa testy potwierdzające prawdziwość ogólnej teorii względności.

Geodezyjne w [[Metryka Schwarzschilda|metryce Schwarzschilda]] opisują ruch mas próbnych, tzn. takich, których własna masa nie wpływa na [[pole grawitacyjne]] masy centralnej. Gdy masa próbna nie jest infinitezymalna (na przykład planety w [[Układ Słoneczny|Układzie Słonecznym]]), geodezyjne również poprawnie opisują ruch ciał przy założeniu dużej różnicy między nieruchomą masą wytwarzającą pole a masą poruszającą się w tym polu. Geodezyjne Schwarzschilda są również dobrym przybliżeniem względnego ruchu dwóch ciał o dowolnej masie przy założeniu, że masa wytwarzająca pole jest równa sumie mas tych dwóch ciał.

== Zarys historyczny ==
[[Wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda|Rozwiązanie Schwarzschilda]]<ref name="Schwarzschild1916">{{Cytuj pismo |nazwisko = Schwarzschild |imię = Karl |tytuł = Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie |url = https://archive.org/stream/sitzungsberichte1916deutsch#page/188/mode/2up |czasopismo = Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften |wydawca = Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin |wolumin = 7 |strony = 189–196 |język = de |data = 1916}} Angielskie tłumaczenie, {{Cytuj pismo |nazwisko = Antoci |imię = S. |nazwisko2 = Loinger |imię2 = A. |tytuł = On the gravitational field of a mass point according to Einstein’s theory |url = https://arxiv.org/abs/physics/9905030 |czasopismo = Arxiv |język = en |data = 1999}}</ref> jest historycznie pierwszym nietrywialnym rozwiązaniem [[Równanie Einsteina|równań Einsteina]]. Zostało skonstruowane w 1915 roku i opublikowane w styczniu 1916. [[Karl Schwarzschild|Schwarzschild]] bazował na pracach z [[Albert Einstein|Alberta Einsteina]] wydanych w listopadzie 1915 roku. Celem [[Karl Schwarzschild|Schwarzschilda]] było otrzymanie ścisłego i możliwie najprostszego rozwiązania, w pracy<ref name="Schwarzschild1916" /> czytamy

<blockquote>
Die folgende Rechnung liefert die strenge Lösung des Problems. Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen. Wichtiger ist, daß die Rechnung zugleich die eindeutige Bestimmtheit der Lösung ergibt, über die Hrn. Einsteins Behandlung noch Zweifel ließ, und die nach der Art, wie sie sich unten einstellt, wohl auch nur schwer durch ein solches Annäherungsverfahren erwiesen werden könnte. Die folgenden Zeilen führen also dazu, Hrn. Einsteins Resultat in vermehrter Reinheit erstrahlen zu lassen. (Poniższe obliczenia dostarczają ścisłego rozwiązania problemu. Jest zawsze przyjemnie mieć ścisłe rozwiązanie w prostej formie do dyspozycji. Ważniejsze jest to, że obliczenia dowodzą dodatkowo jednoznaczność rozwiązania, co do którego potraktowanie Pana Einsteina wciąż pozostawiało wątpliwości, a które, biorąc pod uwagę sposób, w jaki wygląda to poniżej, prawdopodobnie tylko z trudem mogło by to udowodnić poprzez metodę przybliżeń. Poniższe wiersze pozwalają wynikowi Pana Einsteina lśnić większą jasnością).
</blockquote>

W 1917 {{link-interwiki|Johannes Droste|Q=Q15821438}}<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Droste |imię = Johannes |tytuł = The field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation and the motion of a particle in that field |url = https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1917KNAB...19..197D/abstract |czasopismo = Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. |wolumin = 19 l |strony = 197–215 |data = 1917 |wydawca = Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) |język = en}} Odświeżona wersja, {{Cytuj pismo |nazwisko = Droste |imię = Johannes |tytuł = “Golden Oldie”: The Field of a Single Centre in Einstein’s Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in That Field |url = https://doi.org/10.1023/A:1020747322668 |czasopismo = General Relativity and Gravitation |wolumin = 34 |strony = 1545–1563 |data = 2002 |język = en}}</ref> opublikował matematycznie bardziej eleganckie wyprowadzenie tej samej metryki. Warto podkreślić, że {{link-interwiki|Johannes Droste|Q=Q15821438|tekst=Droste}} uzyskał swoje rozwiązanie niezależnie od Schwarzschilda, w pracy pisze

<blockquote>
After the communication to the Academy of my calculations, I discovered that also K. Schwarzschild has calculated the field. (Po przekazaniu Akademii moich obliczeń odkryłem, że pole obliczył również K. Schwarzschild).
</blockquote>

Dodatkowo {{link-interwiki|Johannes Droste|Q=Q15821438|tekst=Droste}} był pierwszym, który podjął próbę rozwiązania równań geodezyjnych w czasoprzestrzeni Schwarzschilda. W tym celu [[Funkcje eliptyczne Weierstrassa|funkcji eliptycznych Weierstrassa]], jednak nie przeprowadził pełnej dyskusji wszystkich możliwych rozwiązań. Dopiero trzynaście lat później [[Yūsuke Hagihara]]<ref name="Hagihara1930">{{Cytuj pismo |nazwisko = Hagihara |imię = Yūsuke |tytuł = Theory of the Relativistic Trajeetories in a Gravitational Field of Schwarzschild |url = https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1930JaJAG...8...67H/abstract |czasopismo = Japanese Journal of Astronomy and Geophysics |wolumin = 8 |strony = 67–176 |język = en |data = 1930}}</ref> w pełni rozwiązał zagadnienie ruchu cząstek próbnych w [[Metryka Schwarzschilda|czasoprzestrzeni Schwarzschilda]] bazując w dużej mierze na pracy {{link-interwiki|Johannes Droste|Q=Q15821438|tekst=Droste’a}}. Jego praca zawiera charakteryzacje wszystkich możliwych typów orbit i jest uważana obecnie za klasyczną pozycję w tej dyscyplinie.

W tym samym czasie gdy trwały pracę nad rozwiązaniem przy użyciu funkcji eliptycznych Weierstrassa, próbowano rozwiązać to zagadnienie przy użyciu funkcji eliptycznych [[Funkcje eliptyczne Jacobiego|Jacobiego]] i [[Całki eliptyczne|Legendre’a]]<ref name="Forsyth1920">{{Cytuj pismo |nazwisko = Forsyth |imię = Andrew |tytuł = Note on the central differential equation in the relativity theory of gravitation |url = https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1920.0019 |czasopismo = Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character |wolumin = 97 |strony = 145–151 |id = {{ISSN|0950-1207}}, {{ISSN|2053-9150}} |język = en |data = 1920 |doi = 10.1098/rspa.1920.0019}}</ref><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Greenhill |imię = George |tytuł = The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |url = https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14786442108636204 |czasopismo = The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |wolumin = 41 |strony = 143–148 |id = {{ISSN|1941-5982}}, {{ISSN|1941-5990}} |język = en |data = 1921 |doi = 10.1080/14786442108636204}}</ref>.

Za zwieńczenie tych wysiłków można uznać pracę {{link-interwiki|Charles Galton Darwin|Q=Q1064506|tekst=Charlesa Darwina}}<ref name="Darwin1959">{{Cytuj pismo |nazwisko = Darwin |imię = Charles |tytuł = The gravity field of a particle |url = https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1959.0015 |czasopismo = Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |wolumin = 249 |strony = 180–194 |id = {{ISSN|0080-4630}}, {{ISSN|2053-9169}} |język = en |data = 1959 |doi = 10.1098/rspa.1959.0015}}</ref><ref name="Darwin1961">{{Cytuj pismo |nazwisko = Darwin |imię = Charles |tytuł = The gravity field of a particle. II |url = https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1961.0142 |czasopismo = Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |wolumin = 263 |strony = 39–50 |id = {{ISSN|0080-4630}}, {{ISSN|2053-9169}} |język = en |data = 1961 |doi = 10.1098/rspa.1961.0142}}</ref> oraz [[Bogdan Mielnik|Bogdana Mielnika]] i [[Jerzy Plebański|Jerzego Plebańskiego]]<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Bogdan |imię = Mielnik |nazwisko2 = Jerzy |imię2 = Plebański |tytuł = A study of geodesic motion in the field of Schwarzschild’s solution |czasopismo = Acta Physica Polonica |wolumin = 21 |strony = 239–268}}</ref>

Zarówno {{link-interwiki|Charles Galton Darwin|Q=Q1064506|tekst=Darwin}} oraz [[Bogdan Mielnik|Mielnik]] i [[Jerzy Plebański|Plebański]] wydając swoje prace w latach 60, nie znali prac {{link-interwiki|Johannes Droste|Q=Q15821438|tekst=Droste’a}} i [[Yūsuke Hagihara|Hagihary]], ich prace bazowały na podejściu {{link-interwiki|Andrew Forsyth|Q=Q507040|tekst=Forsytha}}<ref name="Forsyth1920" />. Jednak byli oni świadomi, że ich obliczenia powinny zostać wykonane 40 lat wcześniej. Praca [[Bogdan Mielnik|Mielnika]] i [[Jerzy Plebański|Plebańskiego]] zaczyna się w następujący sposób

<blockquote>
This paper is essentially for an elementary nature; moreover, its results could have been derived 40 years ago. The problem of motion of the test body in Schwarzschild’s field has long been considered classical. However-as far as we know-no paper as yet contains a ''full'' classification od all possible types of motion, with a detailed study of their nature in terms of elliptic functions. (Ten artykuł ma zasadniczo charakter elementarny; co więcej, jego wyniki można było uzyskać 40 lat temu. Problem ruchu ciała próbnego w polu Schwarzschilda od dawna uważany jest za klasyczny. Jednak-o ile nam wiadomo-żaden artykuł nie zawiera jeszcze „pełnej” klasyfikacji wszystkich możliwych rodzajów ruchu, ze szczegółowym badaniem ich natury pod kątem funkcji eliptycznych).
</blockquote>

Praca [[Bogdan Mielnik|Mielnika]] i [[Jerzy Plebański|Plebańskiego]] nie jest tak powszechnie znana jak praca [[Yūsuke Hagihara|Hagihary]], pomimo tego, że przeprowadza równoważną analizę.

W kolejnych latach, autorzy mieli już świadomość o istnieniu dwóch ogólnych sposobów rozwiązywania równań Schwarzschilda, wybierali odpowiednie z nich zgodnie z ich preferencjami. W 1983 [[Subrahmanyan Chandrasekhar|Subrahmanyana Chandrasekhara]] wydał podręcznik<ref>Name=„Chandrasekhar1983”{{Cytuj książkę |nazwisko = Chandrasekhar |imię = Subrahmanyan |tytuł = The Mathematical Theory of Black Holes |wydawca = Oxfors University Press |miejsce = New York, NY |data = 1983 |strony = 96–138 |isbn = 0-19-851291-0}}</ref>, w którym bazując na pracy Darwina<ref name="Darwin1959" /> przeprowadza ponowną analizę równań ruchu ruchów cząstek próbnych wokół czarnej dziury Schwarzschilda przy użyciu [[Całki eliptyczne|funkcji eliptycznych Legendre’a]]. [[Subrahmanyan Chandrasekhar|Chandrasekhar]] pisząc swój podręcznik nie znał pracy [[Bogdan Mielnik|Mielnika]] i [[Jerzy Plebański|Plebańskiego]] dlatego oba opisy pomimo wielu podobieństw w ostatecznym rachunku różnią się od siebie. Należy podkreślić jednak, że znał pracę Hagihary, ale uważał ją za nadmiernie skomplikowaną. W notce bibliograficznej na końcu rozdziału trzeciego, pisze

<blockquote>
Hagihara’s treatment makes the subject much more coplicated than is necessary. The account in text is essentialy completion of the program set out by C. G. Darwin<ref name="Darwin1959" />. (Podejście Hagihary sprawia, że temat jest znacznie bardziej skomplikowany, niż jest to konieczne. Opis w tekście jest niezbędnym uzupełnieniem programu przedstawionego przez C.G. Darwina).
</blockquote>

Ponieważ książka [[Subrahmanyan Chandrasekhar|Chandrasekhara]] była znacznie bardziej rozpowszechniona od pracy [[Bogdan Mielnik|Mielnika]] i [[Jerzy Plebański|Plebańskiego]], to w kolejnych latach autorzy preferujący wykorzystywanie [[Całki eliptyczne|całek eliptycznych Legendre’a]]<ref name="Rodriguez1987">{{Cytuj pismo |nazwisko = Rodríguez |imię = C. Miró |tytuł = Orbits in general relativity: The Jacobian elliptic functions |url = http://link.springer.com/10.1007/BF02721459 |czasopismo = Il Nuovo Cimento B Series 11 |wolumin = 98 |strony = 87–96 |issn = 1826-9877 |język = en |data = 1987 |doi = 10.1007/BF02721459}}</ref><ref name="Cruz2005">{{Cytuj pismo |nazwisko = Cruz |imię = Norman |tytuł = The geodesic structure of the Schwarzschild anti-de Sitter black hole |url = https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0264-9381/22/6/016 |czasopismo = Classical and Quantum Gravity |wolumin = 6 |strony = 1167–1190 |id = {{ISSN|0264-9381}}, {{ISSN|1361-6382}} |język = en |data = 2005 |doi = 10.1088/0264-9381/22/6/016}}</ref><ref>Name=„Hackmann2014”{{Cytuj pismo |nazwisko = Hackmann |imię = Eva |nazwisko2 = Lämmerzahl |imię2 = Claus |tytuł = Analytical solution methods for geodesic motion |url = http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.4861945 |czasopismo = RECENT DEVELOPMENTS ON PHYSICS IN STRONG GRAVITATIONAL FIELDS: V Leopoldo García-Colín Mexican Meeting on Mathematical and Experimental Physics |strony = 78–88 |język = en |doi = 10.1063/1.4861945}}</ref> odwoływali się do pozycji Chandrasekhara. W ostatnich latach jednak autorzy zaczęli również dostrzegać wkład [[Bogdan Mielnik|Mielnika]] i Plebańskiego w rozwój zagadnienia<ref name="Munoz2014">{{Cytuj pismo |nazwisko = Muñoz |imię = Gerardo |tytuł = Orbits of massless particles in the Schwarzschild metric: Exact solutions |url = http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.4866274 |czasopismo = American Journal of Physics |wolumin = 82 |strony = 564–573 |id = {{ISSN|0002-9505}}, {{ISSN|1943-2909}} |język = en |data = 2014 |doi = 10.1119/1.4866274}}</ref><ref>Name=„Semerak2015”{{Cytuj pismo |nazwisko = Semerák |imię = O. |tytuł = Approximating light rays in the Schwarzschild field |url = https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0004-637X/800/1/77 |czasopismo = The Astrophysical Journal |wolumin = 800 |strony = 77 |issn = 1538-4357 |język = en |data = 2015 |doi = 10.1088/0004-637X/800/1/77}}</ref>.

Odkryte rozwiązanie pozwoliło na wytłumaczenie obserwowanego ruchu peryhelium Merkurego. Jednocześnie umożliwiało odkrycie nowego zjawiska, jakim było [[Soczewkowanie grawitacyjne|ugięcie promieni świetlnych]] w pobliżu masywnych obiektów. Eksperymentalnie efekt ten został zaobserwowany w roku 1919 poprzez przeprowadzenie pomiarów w czasie zaćmienia Słońca pod kierownictwem [[Arthur Stanley Eddington|Arthura Stanleya Eddingtona]]. Ostatnim klasycznym efektem przewidzianym przez rozwiązanie Schwarzschilda było [[grawitacyjne poczerwienienie]] promieni świetlnych w polu grawitacyjnym zaobserwowane w 1959 roku w czasie [[eksperymentu]] przeprowadzonego przez [[Robert Pound|Roberta Pounda]] i [[Glen Rebka|Glena Rebkę]].

== Metryka Schwarzschilda ==
{{Główny artykuł|Metryka Schwarzschilda}}
Metryka Schwarzschilda jest ścisłym, sferycznie symetrycznym rozwiązaniem równań Einsteina. Opisuje ona pole grawitacyjne na zewnątrz obojętnej, nierotującej masy <math>M.</math> Element długości jest opisywany przez równanie:
:: <math>\mathrm{d}s^2 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2\mathrm{d}t^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 - r^2\mathrm{d}\theta^2 - r^2 \sin^2\theta\mathrm{d}\varphi^2,</math>

gdzie:
: <math>\mathrm{d}s</math> – [[interwał czasoprzestrzenny]]
: <math>c</math> – [[prędkość światła]] w metrach na sekundę
: <math>t</math> – współrzędna czasowa wyrażona w sekundach (czas mierzony przez stacjonarny zegar w nieskończoności),
: <math>r</math> – współrzędna radialna wyrażona w metrach (obwód okręgu podzielony przez <math>2\pi</math> o środku w położeniu gwiazdy, czarnej dziury lub innego sferycznie symetrycznego obiektu)
: <math>\theta</math> – szerokość geograficzną wyrażona w [[radian]]ach
: <math>\varphi</math> – długość geograficzną wyrażona w [[radian]]ach
: <math>r_s</math> – [[promień Schwarzschilda]] masywnego ciała wyrażony w metrach. Związany jest z masą ciała <math>M</math> poprzez relację
: <math>r_s=\frac{2GM}{c^2},</math> gdzie <math>G</math> to [[Stała grawitacji|stała grawitacyjna]].

Klasyczna [[Prawo powszechnego ciążenia|newtonowska teoria grawitacji]] pojawia się w granicy znikającego <math>r_s/r.</math> W tej granicy metryka przyjmuje postać metryki [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]], czyli [[Odległość Minkowskiego|metryki Minkowskiego]]. Metryka Schwarzschilda we współrzędnych <math>t,</math> <math>r,</math> <math>\theta,</math> <math>\phi</math> jest osobliwa, gdy <math>r=0</math> oraz gdy <math>r=r_s.</math> [[Osobliwość (astronomia)|Osobliwość]] metryki gdy <math>r=r_s</math> jest związana z zastosowanymi współrzędnymi i znika we [[współrzędnych Eddingtona-Finkelsteina]] lub [[Współrzędne Kruskala-Szekeresa|współrzędnych Kruskala-Szekeresa]], gdzie jedyną osobliwością jest ta odpowiadająca centrum masy, czyli <math>r=0.</math>

Promień Schwarzschilda <math>r_s</math> jest parametrem o wymiarze długości. Tylko dla najbardziej masywnych obiektów we [[Wszechświat|Wszechświecie]] ma wartość porównywalną do fizycznych rozmiarów obiektu. Na przykład promień Schwarzschilda [[Ziemia|Ziemi]] jest równy <math>8{,}9</math> mm, co oznacza, że relatywistyczne poprawki do [[Prawo powszechnego ciążenia|grawitacji newtonowskiej]] są znikome. Jednak przy nowoczesnych systemach pozycjonowania typu [[Global Positioning System|GPS]] te poprawki muszą już zostać uwzględnione, aby dokładność wyznaczenia pozycji była zadowalająca. Promień Schwarzschilda Słońca wynosi 2954 m, znacznie więcej niż dla Ziemi, ale przy promieniu Słońca równym <math>6{,}955 \times 10^8</math> m stanowi to tylko ok. 4 milionowe części. Dla znacznie gęstszego [[Biały karzeł|białego karła]] promień Schwarzschilda stanowi już ok. 250 milionowych części promienia fizycznego. Dla [[Gwiazda neutronowa|gwiazd neutronowych]] ten stosunek wynosi już ok. 0,5, a dla [[Czarna dziura|czarnych dziur]] jest już jednością.

== Równania geodezyjnych ==
{{Zobacz też|Linia geodezyjna}}
Zgodnie z podstawowym postulatem ogólnej teorii względności ciała podlegające tylko sile grawitacji poruszają się po geodezyjnych czasopodobnych, natomiast światło porusza się po geodezyjnych zerowych. Równania określające krzywe geodezyjne są określone wyłącznie przez [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]], tzn. do ich zapisania nie potrzeba żadnych dodatkowych równań oprócz postaci [[Tensor metryczny|tensora metrycznego]] <math>g_{\mu\nu}.</math> W przypadku metryki Schwarzschilda równania określające geodezyjne mają postać:
:: <math>0 = c\frac{\mathrm{d}^2 t}{\mathrm{d}s^2} + \frac{2m}{r^2}\frac{1}{1-2m/r}c\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s},</math>

:: <math>0 = \frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{d}s^2} + \left(\frac{mc^2}{r^2}-\frac{2m^2c^2}{r^3}\right)\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right)^2 - \frac{m}{r^2}\frac{1}{1-2m/r}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s}\right)^2 + (2m-r)\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\right)^2 + (2m-r)\sin^2 \theta\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right)^2,</math>

:: <math>0=\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}s^2} + \frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s} - \cos\theta\sin\theta\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right)^2,</math>

:: <math>0 = \frac{\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d}s^2} + \frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s} + 2\operatorname{ctg}\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s},</math>

gdzie <math>s</math> jest parametrem afinicznym, czyli parametrem będącym liniową funkcją długości łuku w czasoprzestrzeni ([[Czas własny|czasu własnego]]). Równania opisujące krzywe geodezyjne są [[Równanie parametryczne|równaniami parametrycznymi]] zależnymi od tego parametru. Powyższy układ czterech równań można zredukować do układu trzech równań. Dla geodezyjnych czasopodobnych będących trajektoriami ciał obdarzonych masa (np. [[Planeta|planet]], [[Kometa|komet]]) parametr afiniczny można określić jako spełniający równanie <math>g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}s}=1,</math> co daje [[układ równań]] opisujących geodezyjną w postaci:
:: <math>\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} s}=\frac{J_0}{r^2},</math>

:: <math>\left(1-\frac{2m}{r}\right)c\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=E,</math>

:: <math>\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s}\right)^2=E^2-\left(1+\frac{J_0{}^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{2m}{r}\right),</math>

gdzie <math>J_0</math> oraz <math>E</math> są dowolnymi stałymi interpretowanymi jako [[moment pędu]] oraz [[Energia (fizyka)|energia]]. W przypadku geodezyjnych zerowych będących trajektoriami promieni świetlnych parametr afiniczny spełnia <math>g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}s}=0,</math> co oznacza, że analogiczny układ równań będzie miał postać:
:: <math>\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} s}=\frac{J_0}{r^2},</math>

:: <math>\left(1-\frac{2m}{r}\right)c\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=E,</math>

:: <math>\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s}\right)^2 = E^2 - \frac{J_0{}^2}{r^2}\left(1-\frac{2m}{r}\right).</math>

W obu przypadkach pierwsze dwa równania są identyczne. Analiza rozwiązań dla dwóch typów geodezyjnych przebiega odmiennie.

=== Rozwiązania dla krzywych czasopodobnych ===
[[Plik:Relativistic precession.svg|thumb|Relatywistyczny ruch peryhelium w metryce Schwarzschilda. W [[Mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] masa próbna porusza się po elipsie (kolor czerwony), zgodnie z [[Prawa Keplera|prawami Keplera]]. W mechanice relatywistycznej ciało nie porusza się po elipsie, ale po krzywej przedstawionej na niebiesko. [[Peryhelium]] w czasie takiego ruchu przemieszcza się w tę samą stronę, w którą obraca się ciało. W Układzie Słonecznym ten efekt jest mierzalny dla [[Merkury|Merkurego]], [[Wenus]] i [[Ziemia|Ziemi]].]]
Krzywe geodezyjne czasopodobne to trajektorie ciał obdarzonych masą. Gdy <math>J_0=0,</math> wtedy z pierwszego równania określającego geodezyjną czasopodobną wynika <math>\varphi=\varphi_0=\mathrm{const}.</math> Jest to przypadek radialnego ruchu do [[Symetria środkowa|środka symetrii]].

Gdy <math>J_0\neq 0</math> wtedy z układu równań na geodezyjną wynika
:: <math>\left(J_0 \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 = E^2 - \left(1+J_0{}^2\sigma^2\right)\left(1-2m\sigma\right),</math>

gdzie <math>\sigma=1/r.</math> Ścisłe rozwiązanie tego równania prowadzi do [[Całki eliptyczne|całek eliptycznych]]. Można natomiast otrzymać przybliżone rozwiązanie tego równania uwzględniające poprawki pierwszego rzędu względem małego parametru, które pozwala zaobserwować podstawowe własności rozwiązania ścisłego. Po zróżniczkowaniu powyższego równania po <math>\varphi</math> otrzymujemy równanie
:: <math>\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\varphi^2} + \sigma = \frac{m}{J_0{}^2} + 3m\sigma^2.</math>

Oznaczając <math>J_0=J/mc</math> oraz definiując dwie wielkości: mały parametr <math>\alpha</math> oraz <math>p</math> jako
:: <math>\frac{1}{p} = \frac{GM\mu^2}{J^2}, \quad \alpha=\frac{3GM}{c^2}=3m,</math>

gdzie <math>\mu</math> jest masą ciała poruszającego się, równanie określające geodezyjne przyjmie postać:
:: <math>\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\varphi^2} + \sigma = \frac{1}{p} + \alpha\sigma^2.</math>

Przybliżone rozwiązanie tego równania jest następujące:
:: <math>\sigma=\frac{1}{p} + \frac{\alpha}{p^2}\left(1+\frac{1}{3}\varepsilon\right) + \frac{\varepsilon}{p}\cos\left[\left(1-\frac{\alpha}{p}\right)\left(\varphi-\varphi_0\right)\right] + \frac{\alpha\varepsilon^3}{3p^2}\sin^2\left(\varphi-\varphi_0\right).</math>

Ponieważ w czasie ruchu <math>\varepsilon\alpha/p\ll 0</math> trzeci wyraz jest większy niż wyraz ostatni, który w związku z tym może zostać pominięty.

Po wykonaniu jednego pełnego obrotu wokół środka symetrii, <math>\varphi\to\varphi + 2\pi,</math> <math>\sigma</math> nie wraca do wartości wyjściowej. Jest to efekt relatywistycznego [[Ruch peryhelium|przemiszczania się peryhelium]] i oznacza to, że [[peryhelium]] i [[aphelium]] poruszają się w czasie ruchu ciała wokół masy centralnej. Dwa kolejne peryhelia oddzielone są kątem
:: <math>\Delta\varphi = \frac{2\pi}{1-\alpha/p}-2\pi=2\pi\alpha + O((\alpha/p)^2),</math>

czyli
:: <math>\Delta\varphi \approx \frac{2\pi\alpha}{p}=\frac{6\pi GM}{c^2 p} = \frac{6\pi GM}{c^2 b\left(1+\varepsilon\right)} = \frac{6\pi GM}{c^2 a\left(1-\varepsilon^2\right)},</math>

gdzie <math>a</math> jest półosią wielką orbity ciała, <math>b</math> jest minimalną odległością ciała od masy centralnej.

Ponieważ rozwiązania dla tego przypadku opisują w bardzo dobrym przybliżeniu ruch ciał w Układzie Słonecznym, otrzymujemy przy przejściu do [[Mechanika klasyczna|mechaniki klasycznej]] <math>(c\to\infty)</math> newtonowskie równania opisujące ruch ciał w Układzie Słonecznym:
:: <math>r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta},</math>

czyli ogólne [[Krzywa stożkowa|krzywe stożkowe]], gdzie <math>p</math> jest parametrem, a <math>e</math> jest [[Ekscentryczność (fizyka)|mimośrodem]].

=== Relatywistyczne przesunięcie peryhelium ===
{{Główny artykuł|Ruch peryhelium}}
Efekt relatywistycznego ruchu peryhelium występuje dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym, ale dla [[Merkury|Merkurego]] jest najbardziej widoczny i został pierwszy odkryty przez [[Urbain Le Verrier|Urbaina Le Verriera]] w roku 1859. Efekt przesunięcia peryhelium jest bardzo mały, ale kumuluje się w czasie. W związku z tym jest mierzony w [[Radian|sekundach łuku]] na stulecie. W tych jednostkach jego wartość wyraża się wzorem
:: <math>\Delta\Phi = \frac{100\ \mathrm{lat}}{T}\cdot\frac{360\cdot 60\cdot 60}{2\pi}\cdot \frac{6\pi GM}{c^2 a\left(1-\varepsilon^2\right)},</math>

gdzie <math>T</math> jest okresem obrotu planety wokół Słońca, środkowy czynnik przelicza radiany na sekundy łuku. Tak obliczone przesunięcie peryhelium Merkurego wynosi <math>\Delta\Phi = 43{,}03</math> sekundy łuku na stulecie, co zgadza się bardzo dobrze z obserwacjami astronomicznymi. Wytłumaczenie ego efektu stało się pierwszym sukcesem teorii względności.

=== Rozwiązania dla krzywych zerowych ===
[[Plik:Light deflection.png|thumb|200px|Ugięcie promieni świetlnych wysyłanych ze źródła pokazanego na niebiesko blisko masywnego ciała pokazanego na szaro]]
Krzywe geodezyjne zerowe to trajektorie promieni świetlnych. Postępując podobnie jak w przypadku krzywych czasopodobnych, otrzymujemy równanie łączące stałą <math>J_0</math> oraz <math>E</math> w postaci:
:: <math>\left(J_0\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 = E^2 - J_0{}^2\sigma^2\left(1-2m\sigma\right),</math>

gdzie identycznie <math>\sigma=1/r.</math> Różniczkując to równanie po <math>\varphi</math> oraz przyjmując analogiczną definicję <math>\alpha,</math> otrzymujemy
:: <math>\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\varphi^2} + \sigma = \alpha\sigma^2.</math>

Znajdując podobnie jak poprzednio przybliżone rozwiązanie tego równania uwzględniające człony liniowe względem <math>\alpha,</math> otrzymujemy
:: <math>\sigma = \frac{1}{r} = \frac{1}{R}\cos\left(\varphi-\varphi_0\right) + \frac{\alpha}{3R^2}\left[1+\sin^2\left(\varphi-\varphi_0\right)\right],</math>

gdzie <math>R</math> jest stałą. Rozwiązanie zapisane jako funkcja <math>r</math> to
:: <math>\varphi_\pm = \varphi_0 \pm \arccos\left[\frac{3R}{2\alpha}\left(1-\sqrt{1+\frac{8\alpha^2}{9R^2}-\frac{4\alpha}{3r}}\right)\right].</math>

Taka geodezyjna ma dwie [[Asymptota|asymptoty]], gdy <math>r\to\infty.</math> Kąt między tymi asymptotami jest równy
:: <math>\Delta\varphi = \lim_{r\to\infty}\left(\varphi_+-\varphi_-\right) - \pi = 2\arccos\left[\frac{3R}{2\alpha}\left(1-\sqrt{1+\frac{8\alpha^2}{9R^2}}\right)\right] - \pi.</math>

Ograniczając się do wyrazów liniowych względem małego parametru <math>\alpha,</math> otrzymujemy
:: <math>\Delta\varphi = \frac{4\alpha}{3R} = \frac{4GM}{c^2 R}.</math>

Jest to wzór opisujący ugięcie promieni świetlnych w pobliżu masywnych obiektów. Według teorii nierelatywistycznej światło porusza się po liniach prostych. Taki ruch obserwujemy w klasycznej granicy teorii względności.

=== Relatywistyczne ugięcie promieni świetlnych ===
{{Zobacz też|Soczewkowanie grawitacyjne|Opóźnienie Shapiro}}
Ugięcie promieni świetlnych jest efektem relatywistycznym, w przeciwieństwie do ruchu peryhelium Merkurego, nieobserwowanym wcześniej. Ze względu na naturę tego efektu jego bezpośrednia obserwacja w Układzie Słonecznym jest możliwa gdy ciałem zakrzywiającym jest Słońce, tzn. promienie świetlne pochodzące z odległych źródeł przechodzą obok Słońca i ich trajektorie ulegają zakrzywieniu. Największa wartość ugięcia występuje dla promieni poruszających się blisko tarczy Słońca, ale ich obserwacja jest niemożliwa z powodu emisji fotonów ze Słońca. Dlatego aby zaobserwować ugięcie promieni należy je zaobserwować w czasie zaćmienia Słońca. Efektem ugięcia promieni będzie zmiana względnego położenia gwiazd widzianych w tle za Słońcem. W roku 1919 został przeprowadzony eksperyment, kierowany przez [[Arthur Stnaley Eddington|Arthura Stanleya Eddingtona]], mający za zadanie zaobserwować ten efekt. Dwie ekspedycje sfotografowały okolicę Słońca w czasie zaćmienia z dwóch różnych miejsc na Ziemi i z porównania tych dwóch pomiarów uzyskano wynik w granicach błędu zgodny z wynikiem przewidzianym przez teorię względności. Był to drugi eksperyment potwierdzający słuszność ogólnej teorii względności.

== Zobacz też ==
* [[grawitacja]]
* [[Johannes Kepler]]
* [[Isaac Newton]]
* [[prawa Keplera]]
* [[prawo powszechnego ciążenia]]
* [[problem n ciał]]

== Literatura ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Plebański |imię = J. |autor link = Jerzy Plebański |nazwisko2 = Krasiński |imię2 = Andrzej |autor link2 = Andrzej Krasiński (fizyk) |tytuł = An Introduction to General Relativity and Cosmology |rok = 2006 |wydawca = [[Cambridge University Press]] |isbn = 978-0-521-85623-2 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Schutz |imię = Bernard F. |tytuł = A first course in general relativity |rok = 1985 |wydawca = Cambridge University Press |isbn = 0-521-27703-5 |odn = tak}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Ogólna teoria względności}}

[[Kategoria:Rozwiązania ogólnej teorii względności]]