Tekst źródłowy strony Liczenie na palcach

[[Plik:Counting on Fingers (4291951618).jpg|thumb|Liczenie na palcach]]
'''Liczenie na palcach''' – posługiwanie się [[Palec ręki|palcami]] [[Dłoń|dłoni]] jako materiałem pomocniczym przy wykonywaniu prostych operacji [[Arytmetyka|arytmetycznych]].

== Zasady związane z liczeniem na palcach ==
Naukowcy [[Rochel Gelman]] oraz [[Charles Ransom Gallistel]] w 1986 roku opracowali pięć zasad, na których opiera się umiejętność liczenia na palcach<ref name="GG1986" /><ref name="g2" />:
# stałość kolejności liczebników – np. po ''jeden'' zawsze jest ''dwa'', a nie np. ''trzy''<ref name="GG1986" /><ref name="g2" />
# brak znaczenia kolejności obiektów<ref name="GG1986" /><ref name="g2" />;
# wszystkie obiekty mogą być liczone w ten sam sposób<ref name="GG1986" /><ref name="g2" />;
# [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczna]] odpowiedniość<ref group="uwaga">Ta umiejętność bardzo często jest zaburzona u dzieci cierpiących na dyskalkulię.</ref> – każdej liczbie przypisana jest dokładnie jedna etykieta werbalna<ref name="GG1986" /><ref name="g2" />;
# liczebnik na ostatnim miejscu sekwencji liczenia oznacza liczność danego zbioru – np. gdy na głos po kolei policzymy swoje palce: ''pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, piąty, szósty, siódmy, ósmy, dziewiąty, dziesiąty'', to fakt iż ostatni policzony palec był ''dziesiąty'', oznacza, że wszystkich palców jest ''dziesięć''<ref name="GG1986" /><ref name="g2" />.
Posługiwanie się palcami okazuje się bardzo pomocne w zrozumieniu tych zasad, ponieważ w przeciwieństwie do liczebników palce są ciągle widoczne i dostępne, a także bardziej rozróżnialne percepcyjnie niż liczebniki (werbalne etykiety liczb), które muszą być zapamiętane<ref name="g2" />.

== Użyteczność palców ==
Przyczyny wysokiej użyteczności palców do liczenia na nich są następujące<ref name="g3" />:
# palce umożliwiają tworzenie wzrokowo-przestrzennej reprezentacji [[Liczba|liczb]]<ref name="FS2005" />, są łatwo rozróżnialne percepcyjnie i reprezentują kolejne [[Zbiór dyskretny|dyskretne]] wartości<ref name="d2" />;
# palce umożliwiają zrozumienie [[Dziesiętny system liczbowy|dziesiętnego systemu liczbowego]]<ref name="ALP2008" />;
# palce pomagają zrozumieć zasadę wzajemnej jednoznaczności<ref name="d2" /><ref name="AR1999" />;
# liczenie na palcach pozwala odciążyć pamięć roboczą podczas wykonywania operacji matematycznych oraz systematycznie kontrolować poprawność<ref name="d2" />;
# w przeciwieństwie do [[Cyfry arabskie|cyfr arabskich]] lub [[Zbiór|zbiorów]] reprezentacje palców pozwalają zrozumieć istotę [[Moc zbioru|liczby kardynalnej]] (ostatni liczebnik wypowiedziany podczas liczenia określa łączną liczbę obiektów w zestawie)<ref name="FS2005" />;
# palce umożliwiają realizację podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach jednocyfrowych<ref name="G1994" />;
# za pomocą palców można liczyć od dowolnej liczby<ref name="ALP2008" />;
# palce pozwalają śledzić liczbę słów wypowiadanych podczas sekwencji liczenia<ref name="FS1986" />;
# własne palce stanowią narzędzie, które każdy człowiek ma zawsze przy sobie<ref name="g3" /><ref name="d2" />;
# palce zazwyczaj nie są zakryte przez ubranie, więc łatwo na nich manipulować<ref name="d2" />,
# palce mogą być wykorzystane zarówno do określenia [[Moc zbioru|liczby kardynalnej]] (liczebność zbioru), jak i [[Liczby porządkowe|porządkowej]] (kolejność obiektów)<ref name="d2" />{{odn|Ifrah|1990|s=40}}.

== Szkodliwość zabraniania dzieciom liczenia na palcach ==
[[Plik:Konkretismus (DSC04014).jpg|thumb|Dziecko używające palców do liczenia]]
Dzieci na pewnym etapie rozwoju używają palców do liczenia i obliczania, nawet jeśli zostało to zabronione<ref name="B1999" />. Bardzo szkodliwe jest zabranianie używania palców do liczenia dzieciom, które tego potrzebują<ref name="g3" /><ref name="Semadeni" /><ref name="GK2012" />. Hamuje to rozwój matematyczny dziecka, uniemożliwia mu samodzielne zdobywanie i rozwijanie wiedzy matematycznej<ref name="g3" /><ref name="Semadeni" /><ref name="GK2012" />. Ponadto, nawet gdy dziecko opanuje już liczenie w pamięci, w pewnych sytuacjach nadal może wspomagać się liczeniem na palcach<ref name="g3" /><ref name="GK2012" />.

Badania dowodzą, że do tworzenia abstrakcyjnych pojęć wykorzystywane są te same obwody neuronalne, które pierwotnie służyły do wykonywania operacji percepcyjnych i motorycznych<ref group="uwaga">W uproszczony sposób można to rozumieć tak, że podczas obliczania czegoś w pamięci, aktywne są te same obszary mózgu, które aktywizują się przy liczeniu na palcach – dlatego ważne jest, by umożliwiać dzieciom liczenie na palcach, gdyż rozwija to u nich te obszary mózgu, które będą kluczowe dla liczenia w pamięci w późniejszym etapie rozwoju.</ref><ref name="d2" />.

Liczenie na palcach i nawyki z nim związane mają też wpływ na umysłowe przetwarzanie liczb i charakter ich reprezentacji nie tylko u dzieci, ale także u osób dorosłych<ref name="DMHWN2010" /><ref name="g4" />. Liczenie na palcach nie jest przejściowym etapem w rozwoju, a nawyki liczenia na palcach mają wpływ na przebieg wykonywanych w pamięci obliczeń arytmetycznych<ref name="g4" /><ref name="DKW2008" />. Umiejętności nabyte podczas liczenia na palcach mogą pozwolić uczniom w przyszłości tworzyć własne, skuteczne strategie rozwiązywania problemów matematycznych – przykładowo zadanie <math>6+7=?</math> pewien uczeń rozwiązał następująco: ''biorę po 5 z szóstki i siódemki, więc zostanie mi 1 i 2, czyli 3, więc wynik to 13'' – co stanowi strategię arytmetyczną odwołującą się do liczenia na palcach – rozbicie liczb na piątki, czyli na całe dłonie<ref name="g4" />. Uczeń nie stworzyłby takiej strategii, gdyby nie miał doświadczenia z liczeniem na palcach<ref name="g4" />. Liczenie na palcach na początku edukacji matematycznej dziecka zwiększa prawdopodobieństwo, że uzyskane przez niego wyniki działań arytmetycznych będą poprawne, zaś wielokrotne uzyskiwanie tych samych, poprawnych wyników, utrwala w jego umyśle prawidłowe fakty arytmetyczne<ref name="Dys82" /><ref name="Dys84" />. Dotyczy to głównie prostego dodawania<ref name="Dys82" />. Przykładowo, jeśli uczeń przy dodawaniu <math>8+7</math> wielokrotnie uzyska wynik 15, to z czasem utrwali i zapamięta, że <math>8+7=15</math> i wykonywanie tego prostego działania nie będzie już wymagało ponownego przeliczania, a jedynie przywołania [[fakty arytmetyczne|faktu arytmetycznego]] z pamięci długotrwałej<ref name="Dys82" /><ref name="Dys84" />. Siła asocjacji zależy od wcześniejszych doświadczeń<ref name="Dys84" />. Będzie ona wysoka u dziecka, które wielokrotnie poprawnie wykonało to równanie, zaś dość niska u dziecka, które przy rozwiązywaniu tego równania wiele razy się myliło<ref name="Dys84" />.

Bardzo szkodliwe jest także zabranianie liczenia na palcach dzieciom cierpiącym na [[Dyskalkulia|dyskalkulię]]<ref name="K2002" /><ref name="d4" />. Stosowane przez te dzieci strategie liczenia na palcach są nieoptymalne i doprowadzają do licznych błędów, lecz po zabronieniu liczenia na palcach, dzieci te popełniają jeszcze więcej błędów<ref name="K2002" /><ref name="d4" />.

== Liczenie na palcach a osiągnięcia szkolne w zakresie matematyki ==
Liczenie na palcach pełni ważną funkcję w procesie nabywania kompetencji matematycznych przez dzieci oraz w poznaniu matematycznym u osób dorosłych<ref name="g3" />. W [[Strategia porównań podłużnych|badaniach longitudinalnych]] (od początku przedszkola do końca drugiej klasy szkoły podstawowej) uzyskano wyniki świadczące o tym, że dzieci liczące na palcach lepiej sobie radzą z rozwiązywaniem problemów matematycznych, choć wraz z wiekiem wielkość korelacji maleje<ref name="g3" /><ref name="JKRL2008" />.

== Liczenie na palcach a przechodzenie od reprezentacji konkretnych do abstrakcyjnych ==
[[Plik:Candy graph experiment.jpg|thumb|Liczenie na materiale konkretnym]]
Naturalną kolejnością rozwoju umiejętności liczenia jest przechodzenie od reprezentacji konkretnych do abstrakcyjnych<ref name="g2" />. Jako reprezentację abstrakcyjną rozumie się liczenie w pamięci<ref name="GKZ1999" />. Według prof. dr. hab. [[Edyta Gruszczyk-Kolczyńska|Edyty Gruszczyk-Kolczyńskiej]] i Ewy Zielińskiej, w pierwszej fazie rozwoju umiejętności liczenia dziecko powinno opanować umiejętności:
* zliczania obiektów,
* odróżniania prawidłowego liczenia od błędnego,
* dodawania,
* odejmowania<ref name="GKZ1999" />.
Najpierw wykonywane jest to na materiale konkretnym (np. zabawki, klocki, liczmany)<ref name="GKZ1999" />. Później liczenie odbywa się na palcach<ref name="GKZ1999" />. Na końcu dziecko opanowuje umiejętność liczenia w pamięci<ref name="GKZ1999" />. Największe znaczenie ma jednak proces przejścia od materiałów konkretnych do własnych palców<ref name="GKZ1999" />. Posługiwanie się palcami jest czymś więcej niż wykorzystywaniem zewnętrznych obiektów<ref name="MMWEN2011" />. Jest to w pewnym stopniu oderwanie od konkretów (palce stają się reprezentantami innych obiektów)<ref name="GKZ1999" />. W toku edukacji nauczyciel powinien pokazać dziecku, że zamiast przedmiotów konkretnych do liczenia można wykorzystać własne palce<ref name="GKZ1999" />.

Według profesora [[Lew Wygotski|Wygotskiego]] rozwój umiejętności arytmetycznych dziecka można podzielić na 4 etapy<ref name="w" />:
# ''Stadium naturalnych reakcji arytmetycznych'' – jest to percepcja ilości, ogólna percepcja liczebności, porównywanie mniejszych i większych zbiorów przedmiotów itp.<ref name="w" />;
# ''Stadium naiwnej psychologii'' – dziecko próbuje naśladować liczenie dorosłych, lecz nie ma świadomości, w jaki sposób należy liczyć korzystając z cyfr<ref name="w" /> (przykładem zachowania dziecka w tym stadium jest sytuacja, w której dziecko poproszone o policzenie palców innej osoby odpowiada, że potrafi policzyć wyłącznie własne palce<ref name="w" />);
# ''Stadium liczenia na palcach'' – dziecko opanowało umiejętność liczenia na palcach<ref name="w" />;
# ''Stadium liczenia w pamięci'' – dziecko potrafi już liczyć w pamięci, w większości sytuacji nie musząc wspomagać się palcami<ref name="w" />.

== Przystępność palców a przystępność liczebników ==
[[Plik:Understanding in Xian 0546.jpg|thumb|Liczba przedstawiona poprzez reprezentację palców, w celu ułatwienia komunikacji (w pewnych przypadkach palce są bardziej przystępne niż liczebniki)]]
[[Plik:Female flight attendant performing a pre-flight safety demonstration.jpg|thumb|Stewardesa używająca reprezentacji liczby w postaci palców, w celu zwiększenia przystępności przekazywanej treści]]
Istnieje hipoteza postawiona przez [[Heike Wiese]] w 2003 roku, mówiąca o tym, że pokazywane na palcach liczby są dla dzieci w wieku przedszkolnym bardziej przystępne niż [[liczebnik]]i<ref name="W2003" />. Zdania naukowców na temat tej hipotezy są podzielone<ref name="g4" />.

Istnieją badania potwierdzające, że palce są wykorzystywane w [[ontogeneza|ontogenezie]], zanim wykształci się reprezentacja symboliczna (np. cyfry lub liczebniki)<ref name="RWB2005" />.

Istnieją także badania stwierdzające coś przeciwnego – że symboliczne systemy liczenia nie są zakorzenione w doświadczeniach cielesnych<ref name="NPM2010" />. Badaniu poddano dzieci w wieku 2–5 lat<ref name="NPM2010" />. Podzielono je na dwie grupy – pierwsza składała się z dzieci 2–3-letnich, a druga – z 4–5-latków<ref name="NPM2010" />. Badacze poprosili dzieci o umieszczenie w pudełku liczby zabawek, którą przekazali dzieciom poprzez podanie liczebnika lub poprzez pokazanie liczby na palcach<ref name="NPM2010" />. W grupie dzieci 2–3-letnich w obu przypadkach dzieci miały duże problemy z wykonaniem zadania<ref name="NPM2010" />. W grupie dzieci starszych okazało się, że dzieci lepiej radziły sobie z wykonaniem polecenia, gdy liczba została im podana w formie liczebnika<ref name="NPM2010" />. Gdy dzieci proszono o określenie liczby zabawek w pudełku, ponownie okazało się, że dzieciom łatwiej jest posługiwać się liczebnikami, niż palcami<ref name="NPM2010" />.

Okazuje się, że liczenie na palcach nie może zastąpić kodu werbalnego<ref name="d7" />. Jeśli nie istnieje odpowiedni kod werbalny (np. nazwy liczebników), nie jest możliwe efektywne liczenie na palcach<ref name="d7" />. Np. w amazońskim plemieniu Pirahã istnieją tylko nazwy: ''jeden'', ''dwa'' i ''wiele''<ref name="d7" />. Przedstawiciele tego plemienia wspomagają się liczeniem na palcach, lecz nawet wtedy popełniają mnóstwo błędów rachunkowych, nawet w przypadku zbiorów mniejszych niż 5-elementowe<ref name="d7" />.

Podobnie osoby głuchonieme, które wykształtowały swój własny [[język migowy]], liczą na palcach w sposób bardzo niedokładny<ref name="d7" />.

== Kolejność używania palców a kolejność liczb ==
[[Plik:Fingerz 604 nach beda.png|thumb|Układy palców mogące oznaczać liczbę trzy]]
Istnieją sprzeczne wyniki badań na temat związku kolejności używania palców a kolejności liczb<ref name="g2" />. W jednych publikacjach (np. H. Wiese) za korzystne uważa się używanie palców zawsze w tej samej kolejności. Według tych poglądów utrwala to wiedzę na temat kolejności liczb<ref name="W2003" />. W innych pracach (np. prof. dr. hab. [[Zbigniew Semadeni|Zbigniewa Semadeniego]]) zwraca się uwagę na korzyści płynące z kształcenia umiejętności liczenia na palcach w różnej kolejności – np. reprezentacją liczby ''dwa'' wcale nie muszą być zawsze wyciągnięty kciuk i palec wskazujący, może to być np. palec wskazujący i serdeczny, lub dowolna inna kombinacja dwóch palców<ref name="Semadeni" />. Semadeni uważa, że narzucanie sposobu liczenia na palcach w ustalonej kolejności utrudnia przechodzenie do ''poziomu operacyjnego'' według [[Koncepcja rozwoju intelektualnego|teorii Piageta]]<ref name="Semadeni" />.

== Liczenie na palcach a pamięć robocza ==
Podczas wykonywania obliczeń matematycznych kluczowe jest poprawne działanie pamięci roboczej<ref name="g5" />. Jej zadaniem jest:
* przechowywanie liczb, na których wykonywane są działania,
* przywoływanie z [[Pamięć długotrwała|pamięci długotrwałej]], reguł wykonywania działań (np. kolejność wykonywania działań),
* przechowywanie wyników cząstkowych<ref group="uwaga">Przykładowo: wykonując działanie <math>47+29=?</math> najpierw mogę policzyć dziesiątki: <math>40+20=60,</math> a potem jedności: <math>7+9=16.</math> Jednak podanie ostatecznego wyniku wymaga przywołania z pamięci faktu, że pełnych dziesiątek mam już 6, co niejednokrotnie przekracza możliwości uczniów o niewielkiej pojemności pamięci roboczej lub dzieci z zaburzeniami w kierunku dyskalkulii, więc mimo poprawnego obliczenia wyników cząstkowych, nie są w stanie podać wyniku ostatecznego: <math>60+16=76.</math></ref><ref name="g5" />.

U dzieci często zdarza się, że ilość informacji, którą muszą przechować w pamięci roboczej w celu rozwiązania zadania, przekracza pojemność i czas przechowywania w tej strukturze pamięciowej<ref name="g5" />. Dzieci dysponujące niewielką pojemnością pamięci roboczej mogą stosować strategie jej odciążania, np. zapisywanie wyników cząstkowych na papierze lub wręcz monotonne przeliczanie wszystkiego po kolei na palcach<ref name="g5" /><ref name="GBN2008" />.

Okazuje się, że na zakres pamięci roboczej ma wpływ długość liczebników – u dzieci posługujących się [[Standardowy język mandaryński|językiem chińskim]] (liczebniki w tym języku są znacznie krótsze niż w języku angielskim) zakres pamięci roboczej jest większy, a dzieci te podczas liczenia mniej wspomagają się palcami<ref name="GBTLS1996" /><ref name="g5" />.

== ''Split 5 errors'' ==
Podczas wykonywania operacji arytmetycznych przekraczających liczbę 10 dzieci bardzo często mylą się dokładnie o 5<ref name="g4" /><ref name="DKW2008" />. Ma to nawet w literaturze specjalistycznej swoją nazwę: ''split 5 errors''<ref name="DKW2008" /><ref name="g4" />. Przykładowo – dla zadania <math>8+9=?</math> częstymi odpowiedziami będą: 12, 17, 22, a ''split 5 errors'' będą jeszcze wyraźniej widoczne dla większych liczb, np. <math>38+43=?</math><ref name="DKW2008" />.

Istnieją dwa źródła tego błędu:
# W przypadku gdy ''split 5 error'' wystąpi podczas rozwiązywania łatwego problemu, jego źródłem jest błąd w przywoływaniu wyników z pamięci długotrwałej<ref name="g4" /><ref name="DKW2008" />;
# W przypadku gdy ''split 5 error'' wystąpi podczas rozwiązywania złożonego problemu, jego źródłem jest błąd w monitorowaniu liczby „pełnych dłoni” (uczeń gubi się już w tym ile już „ma” całych piątek, pełnych dłoni)<ref name="DKW2008" /><ref name="g4" />.

Dzieci same próbują eliminować ''split 5 errors'', tworząc własne, różnorodne strategie, jak np. dotykanie lub zamykanie jednej dłoni<ref name="FK1992" /><ref name="g4" />.

== Choroby a liczenie na palcach ==
=== Dyskalkulia ===
Osoby cierpiące na [[Dyskalkulia|dyskalkulię]] mają znaczne deficyty w zakresie elementarnych procesów umysłowego przetwarzania liczb<ref name="g5" />. Dyskalkulicy popełniają ogromne ilości błędów podczas liczenia na palcach<ref name="g5" />. Mają duże problemy z opanowaniem metody liczenia na palcach, a gdy już ją opanują – stosują ją w bardzo nieoptymalny sposób<ref name="g5" />. Mając dodać do siebie dwie duże liczby, np. <math>35+23=?,</math> nie potrafią zastosować strategii dodawania osobno dziesiątek i jedności<ref name="g5" />. Dzieci cierpiące na dyskalkulię do liczby 35 będą na palcach dodawać po kolei 23 jedności, co jest strategią bardzo czasochłonną i narażoną na liczne pomyłki, więc sam wynik często również będzie nieprawidłowy<ref name="g5" />. Wraz z dyskalkulią może występować także [[dyspraksja]] i [[agnozja]] palców, co bardzo utrudnia wykorzystywanie palców do liczenia<ref name="g5" />. Często jednak liczenie na palcach jest najlepszą dostępną dla tych dzieci strategią, umożliwiającą względnie poprawne wykonywanie obliczeń<ref name="g5" />. Zabronienie liczenia na palcach osobom z dyskalkulią powoduje, że popełniają one jeszcze więcej błędów<ref name="K2002" />.

=== Rozwojowy zespół Gerstmanna ===
[[Zespół Gerstmanna]] to zaburzenie towarzyszące [[Lezja|lezjom]] w obszarze zakrętu kątowego półkuli dominującej, składające się z czterech podstawowych objawów:
* [[akalkulia]],
* [[Dysgrafia|agrafia]],
* [[agnozja]] palców ręki,
* zaburzenia rozpoznawania stron (lewa-prawa)<ref name="RPDK2010" />.
[[Rozwojowy zespół Gerstmanna]] ma te same objawy, lecz jego źródłem nie są lezje i nie dotyczy on wyłącznie półkuli dominującej<ref name="g6" />. W zaburzeniu tym występują deficyty zarówno w zakresie gnozji palców, jak i w zakresie liczenia, co przez naukowców jest interpretowane jako dowód na nierozłączny związek między liczeniem na palcach, a liczeniem w ogóle<ref name="g6" />.

Zespół Gerstmanna sprawił, że już w pierwszej połowie XX wieku po raz pierwszy został dostrzeżony związek między gnozją palców, a ogólnymi zdolnościami liczenia<ref name="d4" />.

=== Liczenie na palcach u dzieci niewidomych lub niemających palców ===
Istnieją sprzeczne wnioski na temat tego, czy liczenie na palcach jest czynnością spontaniczną, czy ukształtowania drogą [[Teoria społecznego uczenia się|modelowania]]<ref name="g2" />. Np. Butterworth w swojej publikacji stwierdza, że liczenie na palcach jest czynnością spontaniczną, powszechną w większości kultur<ref name="B1999" />. Spontaniczność liczenia na palcach potwierdza także przypadek dziewczynki urodzonej bez przedramion, wykorzystującej do liczenia swoje [[Fantom (medycyna)|fantomowe]] palce, co zostało opisane w 1965 roku<ref name="P1965" /><ref name="g3" />. Teorii o spontaniczności liczenia na palcach zaprzeczają badania na dzieciach [[Ślepota|niewidomych]]<ref name="g3" />. W jednym z badań porównano dzieci widzące z niewidomymi – dzieci niewidzące stosowały liczenie na palcach o wiele rzadziej niż widzące<ref name="CMCS2011" />. Mimo tego, dzieci w obu grupach osiągały podobną poprawność obliczeń<ref name="CMCS2011" />. Dzieci niewidzące miały niższe wyniki tylko wtedy, gdy zadania silnie angażowały zasoby werbalnej pamięci roboczej<ref name="CMCS2011" />. Zatem nie u wszystkich dzieci liczenie na palcach pojawia się spontanicznie oraz nie jest ono warunkiem koniecznym rozwoju umiejętności matematycznych<ref name="g3" />.

Osoby niewidome, korzystając z liczenia na palcach, nie korzystają z powtarzalnych układów palców (tzn. te same liczby w różnych przypadkach reprezentują innymi układami palców)<ref name="CMCS2011" />.

== Gnozja palców a kompetencje matematyczne ==
[[Gnozja]] palców to zdolność do określania, który palec jest w danym momencie stymulowany, umiejętność nazywania palców oraz sprawnego posługiwania się nimi<ref name="g6" />. Sprawność gnozji palców koreluje z poziomem osiągnięć matematycznych<ref name="g6" /><ref name="PWA2008" /><ref name="RH2011" /><ref name="N2005" /><ref name="FBM1998" /><ref name="MFB2001" />. W licznych badaniach na dzieciach w wieku 5–7 lat wykazano, że dzieci osiągające ponadprzeciętne wyniki w zakresie gnozji palców mają również wysokie umiejętności matematyczne, a gnozja palców jest jednym z najlepszych znanych predyktorów osiągnięć z matematyki, w perspektywie czasowej od 1 do 3 lat<ref name="g6" /><ref name="PWA2008" /><ref name="RH2011" /><ref name="N2005" /><ref name="FBM1998" /><ref name="MFB2001" />. Moc predykcyjna testów gnozji palców jest specyficzna dla osiągnięć matematycznych – testy te nie pozwalają przewidywać osiągnięć w zakresie czytania i pisania<ref name="g6" /><ref name="PWA2008" /><ref name="RH2011" /><ref name="N2005" /><ref name="FBM1998" /><ref name="MFB2001" />. Gnozja palców jest lepszym predyktorem zdolności matematycznych niż gnozja całego ciała, [[symultagnozja]] lub [[grafestezja]]<ref name="g6" /><ref name="N2005" />. Gnozja palców ma również większą moc predykcyjną dla późniejszych osiągnięć matematycznych niż ogólne wskaźniki rozwoju, takie jak np. szybkość przetwarzania informacji<ref name="g6" /><ref name="N2005" />.

Wykazano również, że dzieci sprawnie posługujące się palcami (np. z racji gry na pianinie czy gitarze) lepiej radzą sobie z rozwiązywaniem zadań matematycznych<ref name="GBN2008" /><ref name="g7" />. W roku 2008 opublikowano również wyniki eksperymentu, w którym grupę dzieci z niskimi wynikami gnozji palców, poddano intensywnemu treningowi tej gnozji<ref name="GBN2008" /><ref name="g7" />. W rezultacie zwiększyły swoje zdolności gnozji palców, [[subityzowanie|subityzowania]] oraz w niewielkim stopniu także umiejętności matematyczne<ref name="GBN2008" /><ref name="g6" />. Trening w zakresie gnozji palców musi być bardzo intensywny, aby przełożył się na umiejętności matematyczne<ref name="GBN2008" /><ref name="g7" />.

Gnozję palców bada się zazwyczaj w następujący sposób:
* dłoń osoby badanej znajduje się poza zasięgiem jej wzroku, a badacz dotyka wybranego palca osoby badanej; jej zadaniem jest określenie, który palec został dotknięty<ref name="g6" />;
* dłoń osoby badanej znajduje się poza zasięgiem jej wzroku, a badacz dotyka po kolei dwa wybrane przez siebie palce osoby badanej; jej zadaniem jest określenie, czy dwukrotnie został dotknięty ten sam palec, czy dwa różne palce<ref name="g6" />.

Istnieją dwie główne teorie próbujące wyjaśniać wzajemne powiązanie między gnozją palców a umiejętnościami matematycznymi<ref name="d4" />:
* ''Teoria funkcjonalistyczna'': wedle tej teorii gnozja palców jest pierwotna wobec poznania matematycznego<ref name="d4" />
** ''Hipoteza przesunięcia funkcji neuronów'': neurony przystosowane ewolucyjnie do liczenia na palcach mogą na skutek [[egzaptacja|egzaptacji]] przyjąć nowe role (abstrakcyjne poznanie matematyczne), zachowując jednocześnie pierwotne funkcje (liczenie na placach)<ref name="d4" />;
** ''Hipoteza recyklingu neuronów'': obwody neuronalne wykształcone do zdolności [[subityzowanie|subityzowania]] na skutek rozwoju kulturowego gatunku ludzkiego zaczęły być wykorzystywane do arytmetyki<ref name="d4" />;
* ''Teoria lokalizacjonistyczna'': wedle tej teorii za gnozję palców i za poznanie matematyczne odpowiadają inne obwody neuronalne, lecz są zlokalizowane tak blisko siebie, że są zasilane przez te same naczynia krwionośne<ref name="d4" />.

Związek między gnozją palców i liczeniem w pamięci potwierdzają także badania doświadczalne<ref name="d5" />. Przebadano osoby dorosłe o przeciętnych umiejętnościach matematycznych, nie mające żadnych dysfunkcji<ref name="d5" />. Okazało się, że wykonywanie przez te osoby działań arytmetycznych związanych z liczeniem (a nie przywoływaniem wyników z pamięci) było mniej skuteczne, gdy eksperymentator poruszał w tym czasie palcami osób badanych<ref name="d5" />.

Co więcej, odkryto także, że w czasie biernego obserwowania liczb jednocyfrowych rośnie aktywacja kory motorycznej, odpowiedzialnej za ruchy palców podczas liczenia na palcach<ref name="d5" /><ref name="THFP2012" />. Zaobserwowany efekt zależny był od indywidualnych zwyczajów liczenia na palcach<ref name="d5" /><ref name="THFP2012" />. U osób zaczynających liczenie od lewej ręki podczas prezentacji małych liczb rosła aktywacja prawej kory motorycznej, zaś u osób zaczynających od prawej ręki – aktywacja lewej kory motorycznej<ref name="d5" /><ref name="THFP2012" />. Wykazano także zmiany pobudliwości korowej dla mięśni dłoni podczas liczenia – ponownie strona, po której obserwowano zwiększoną pobudliwość, zależna była od wielkości liczb wykorzystywanych w działaniach oraz od strony, po której osoby badane zwyczajowo zaczynały liczenie na palcach<ref name="d6" />.

=== Przedmotoryczna teoria liczenia ===
Przedmotoryczna teoria liczenia to potwierdzona doświadczalnie teoria stwierdzająca, że wykonywanie działań arytmetycznych w pamięci polega na symulowanych, choć niewykonywanych fizycznie ruchach palców dłoni, o czym świadczy pobudzenie kory motorycznej podczas liczenia<ref name="d6" />. Efekt ten występuje zarówno u dzieci, jak i u dorosłych<ref name="d6" />.

== Strategie dodawania na palcach ==
Można wyróżnić trzy podstawowe strategie używania palców do obliczania sumy dwóch liczb naturalnych<ref name="Dys81" />:
# ''count-all'': strategia ta polega na przedstawieniu każdej z liczb przy pomocy prostowania palców, a następnie zliczenie wszystkich wyprostowanych palców<ref name="Dys81" />. Przykładowo, mając dodać 2 do 3, na jednej dłoni uczeń prostuje dwa palce, a na drugiej – 3, a następnie zlicza po kolei wyprostowane palce, co daje w wyniku liczbę 5<ref name="Dys81" />.
# ''count-from-first-addend'': strategia ta polega na rozpoczęciu liczenia od pierwszego składnika sumy, a następnie wymieniania odpowiedniej liczby kolejnych liczb (prostując przy tym palce)<ref name="Dys81" />. Przykładowo, mając wykonać działanie <math>3+4</math> uczeń policzy: ''trzy, cztery, pięć, sześć, siedem''<ref name="Dys81" />.
# ''count-min'': strategia ta opiera się na tej samej zasadzie, co ''count-from-first-addend'', z tą różnicą, że dodatkowo znajdowany jest składnik większy w sumie i to od niego rozpoczyna się liczenie<ref name="Dys82" />. Przykładowo, mając wykonać działanie <math>3+4</math> uczeń zauważa, że 4 jest większe od 3 i liczy: ''cztery, pięć, sześć, siedem''<ref name="Dys82" />.

Dzieci, wraz z wiekiem, samodzielnie odkrywają i automatycznie zaczynają stosować strategię ''count-min'', która jest strategią optymalną<ref name="Dys82" />. Nie da się określić jednoznacznie wieku, w którym dzieci rozpoczynają stosowanie tej strategii, ponieważ badania pokazują duże rozbieżności wieku<ref name="Dys82" />. Często zdarza się również, że strategia ta jest używana równolegle z innymi, mniej skutecznymi strategiami<ref name="Dys82" />.

== Liczenie na palcach w historii dydaktyki matematyki ==
Zjawisko liczenia na palcach przez długi czas nie spotykało się z zainteresowaniem dydaktyków matematyki<ref name="g1" />. Do lat 70. XX wieku uważano, że mentalna arytmetyka jest oparta wyłącznie na abstrakcyjnych, symbolicznych manipulacjach<ref name="g1" />. Liczenie na palcach było uznawane jedynie za przejściowy etap w rozwoju kompetencji matematycznych dzieci<ref name="g7" />. Dopiero wyniki badań z ostatnich 20 lat wskazują na ogromne znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u dzieci i u dorosłych<ref name="g2" />. Badania te prezentują różnorodną metodologię, jak np. <ref name="g2" />:
* [[przezczaszkowa stymulacja magnetyczna]]<ref name="RWB2005" />,
* [[neuroobrazowanie]]<ref name="PTSV2000" /><ref name="PPBD2004" /><ref name="KVWKSZK2008" />,
* [[neuropsychologia]] poznawcza<ref name="N2005" /><ref name="FBM1998" />.

W roku 2011 zagadnieniu liczenia na palcach poświęcono cały specjalny numer czasopisma naukowego „Frontiers in Psychology”<ref name="d2" />.

== Anatomiczne pochodzenie liczebników ==
Istnieje hipoteza o anatomicznym pochodzeniu liczebników<ref name="Kordos1" />. Istnieje wiele dowodów ją potwierdzających<ref name="d3" />. Tworzenie się liczb rozpoczęło się liczeniem na palcach, a wraz z rozwojem ludzkości temu procesowi zaczęły towarzyszyć wypowiadane nazwy, które później funkcjonowały już niezależnie<ref name="W2003" /><ref name="d3" />. Liczenie na palcach pojawiało się w [[filogeneza|filogenezie]] gatunku ludzkiego bardzo wcześnie<ref name="d3" />. Pierwsze dowody tego zjawiska pochodzą sprzed 27 tysięcy lat – w jaskini Cosquer (Francja) maczane w pigmencie palce ówcześni ludzie odciskali na ścianie<ref name="d3" />. Układy te były bardzo regularne, zawsze rozpoczynały się od kciuka<ref name="d3" />.

U wielu pierwotnych plemion wyróżnionymi liczebnikami bardzo często są liczby 2 i 5 (dwie ręce, pięć palców u ręki)<ref name="Kordos1" />. W niektórych systemach liczebników zdarza się także wyróżnienie liczby 10 i 20 (łączna liczba palców u rąk, łączna liczba palców u wszystkich kończyn)<ref name="Kordos1" />. Zatem pochodną [[Piątkowy system liczbowy|systemu liczbowego z bazą 5]] jest [[Dziesiętny system liczbowy|system dziesiętny]], ale też [[dwudziestkowy system liczbowy]]. W [[Język nahuatl|nahuatl]], języku [[Aztekowie|Azteków]], wyróżnione liczby to 5 (6 jest konstruowane jako „pięć-jeden”), 10 (11 to „dziesięć-jeden”), 15, 20 (30 to „jedna dwudziestka-dziesięć”, 40 to „dwie dwudziestki”, a 100 to „pięć dwudziestek”) i 400{{odn|Ifrah|1990|s=48–49}}. Ślady wyróżniania 20 występowały też w języku angielskim, gdzie liczbę tę określano jako ''score'', a niektóre liczby były wyrażane jako jej wielokrotności (40 – ''two scores'', 240 – ''twelve scores''){{odn|Ifrah|1990|s=51}}.

{| class="wikitable"
|+ plemiona Mikronezji (wyróżniona liczba 2)<ref name="Kordos1" />
|1
|ke-yap
|-
|2
|pullet
|-
|3
|ke-yap-pullet
|-
|4
|pullet-pullet
|}
{| class="wikitable"
|+ plemię Muray River – Aborygeni (wyróżniona liczba 2)<ref name="Kordos1" />
|1
|enea
|-
|2
|patcheval
|-
|3
|patcheval enea
|-
|4
|patcheval patcheval
|}
{| class="wikitable"
|+ papuaskie plemię Wedau (wyróżnione liczby 2 i 5)<ref name="Kordos1" />
|1
|tagogi
|
|-
|2
|ruag’a
|
|-
|3
|tonug’a
|
|-
|4
|ruag’a-ma-ruag’a
|2 + 2
|-
|5
|ura-i-ga
|
|-
|6
|ura-g’ela-tagogi
|5 i 1
|-
|7
|ura-g’ela-ruag’a
|5 i 2
|-
|8
|ura-g’ela-tonug’a
|5 i 3
|-
|9
|ura-g’ela-ruag’a-ma-ruag’a
|5 i 2 + 2
|-
|10
|ura-ruag’a-i-ga
|5 × 2
|}
{| class="wikitable"
|liczba
|wyspy Hense-Vulkan (wyróżnione liczby 5 i 10)<ref name="Kordos1" />
|język api (Nowe Hebrydy){{odn|Ifrah|1990|s=47}}
|-
|1
|teé
|tai
|-
|2
|rua
|lua
|-
|3
|tolli
|tolu
|-
|4
|oatti
|vari
|-
|5
|lima
|luna (‘ręka’)
|-
|6
|lima teé
|otai ('nowe 1')
|-
|7
|lima rua
|olua ('nowe 2')
|-
|8
|lima tolli
|otolu ('nowe 3')
|-
|9
|lima oatti
|ovari ('nowe 4')
|-
|10
|ulema
|lualuna (‘dwie ręce’)
|-
|11
|ulema teé
|lualuna i tai
|-
|...
|...
|-
|15
|ulema lima
|tololuna
|-
|16
|ulema lima teé
|tololuna i tai
|-
|...
|...
|-
|20
|ulem tamata
|variluna
|}
{| class="wikitable"
|+ [[Ajnowie]] – Kamczatka, Sachalin, Hokkaido (wyróżniona liczba 10)<ref name="Kordos1" />
|1
|sznepf
|
|-
|2
|tup
|
|-
|3
|repf
|
|-
|...
|...
|
|-
|8
|tubiszambi
|8=10-2
|-
|9
|sznebiszambi
|9=10-1
|-
|10
|vambi
|
|}
{| class="wikitable"
|+ język łaciński (ślady wyróżnienia liczby 20)<ref name="Kordos1" />
|18
|duo de viginti
|18=20-2
|-
|19
|un de viginti
|19=20-1
|}
Sztandarowym przykładem potwierdzającym hipotezę anatomicznego pochodzenia liczebników są nazwy liczebników u Tamanków (Indianie z Wenezueli)<ref name="Kordos1" />.

{| class="wikitable"
|+ Tamakowie (anatomiczne nazwy liczebników)<ref name="Kordos1" />
|1
|tevinitpe
|
|-
|2
|akčake
|
|-
|3
|ačiluove
|
|-
|4
|akčakemnene
|„powtórzone dwa”
|-
|5
|amgnaitone
|„cała ręka”
|-
|...
|...
|
|-
|10
|amgna-ačeponare
|„obie ręce”
|-
|11
|puitta-pona tevinitpe
|„jeden u nogi”
|-
|...
|...
|
|-
|15
|iptaitone
|„cała noga”
|-
|16
|itakono puitta-pona tevinitpe
|„jeden u drugiej nogi”
|-
|...
|...
|
|-
|20
|tevin itoto
|„jeden Indianin”
|-
|21
|itakono itoto jamgnar-pona tevinitpe
|„jeden u ręki drugiego Indianina”
|-
|...
|...
|
|-
|40
|akčake itoto
|„dwóch Indian”
|-
|...
|...
|
|-
|60
|ačiluove itoto
|„trzech Indian”
|}

Również w kilku innych językach nazwy wyraźnie oznaczają pewne czynności związane z liczeniem na palcach<ref name="d3" />. Przykładowo, w indiańskim języku dene-dinje, nazwy liczb od 1 do 5 pochodzą bezpośrednio od reprezentujących je układów palców (np. liczebnik odpowiadający liczbie 4 oznacza dosłownie ''końcowy jest zgięty'')<ref name="d3" />. W [[Języki nigero-kongijskie|nigero-kongijskim]] języku [[ali (język nigero-kongijski)|ali]] liczebnik 5 brzmi ''moro'' (‘ręka’), a 2 ''buna'', natomiast 10 jest ich połączeniem: ''mbuna''{{odn|Ifrah|1990|s=39}}. W papuaskim języku bugilai liczebniki mają pochodzenie anatomiczne: 1 ''tarangesa'' ('mały palec lewej ręki’), 2 ''metakina'' (‘następny palec’), 3 ''gingimetakina'' (‘palec środkowy’), 4 ''topea'' (‘palec wskazujący’), 5 ''manda'' (‘kciuk’){{odn|Ifrah|1990|s=39}}{{r|chalmers}}, 6 ''gaben'' (‘nadgarstek’), 7 ''trankgimbe'' (‘łokieć’), 8 ''podei'' (‘ramię’), 9 ''ngama'' (‘lewa pierś’), 10 ''dala'' (‘prawa pierś’){{r|chalmers}}.

Ślady liczenia na palcach dłoni i stóp widać do dziś w bardzo wielu językach europejskich<ref group="uwaga">Takich przykładów nie można znaleźć w języku polskim. Nazwy liczebników w języku polskim ukształtowały się dużo później, niż w większości krajów europejskich – stało się to w czasach, gdy powszechny był już system pozycyjny. Zatem polskie liczebniki dostosowane są już do struktury dziesiątkowego systemu pozycyjnego, a nie do analogii anatomicznych odwołujących się do liczenia na palcach dłoni i stóp.</ref>, poprzez wyróżnienie w nich liczby 20<ref name="Kordos1" />, np:

{| class="wikitable"
|+
! colspan="2"| Baskowie<ref name="Kordos1" />
! colspan="2"| Bretończycy<ref name="Kordos1" />
!
|-
|10
|amar
|
|
|
|-
|20
|oguey
|20
|ugent
|
|-
|30
|ogueyt-amar
|30
|tregont
|
|-
|40
|barroguey
|40
|daou ugent
|2 × 20
|-
|60
|yruroguey
|60
|tri ugent
|3 × 20
|}

{| class="wikitable"
|+ język duński<ref name="Kordos1" />
|50
|half-tre-sinds-tyve
|„półtrzecia × 20"
|-
|60
|tre-sinds-tyve
|„3 × 20"
|-
|70
|half-fjerd-sinds-tyve
|„półczwarta × 20"
|-
|80
|fir-sinds-tyve
|„4 × 20"
|}

{| class="wikitable"
|+ język francuski<ref name="Kordos1" />
|80
|quatre-vingt<ref group="uwaga">Od kilkudziesięciu lat w języku francuskim można zauważyć wypieranie tego dziedzictwa – np. liczba 80 (''quatre-vingt''), coraz częściej zastępowana jest nazwą ''octane''.</ref>
|4 × 20
|-
|96
|quatre-vingt-seize
|4 × 20 + 16
|}

W bardzo wielu językach również słowo określające liczbę ''pięć'' wywodzi się od słowa ''pięść''<ref name="d3" />. Według niektórych badaczy również powszechnie stosowany [[Dziesiętny system liczbowy|dziesiątkowy system pozycyjny]] wywodzi się od tradycji liczenia na palcach (10 to liczba palców u obu rąk)<ref name="d3" />. Fuzja systemu piątkowego, ewentualnie dziesiętnego, z dwunastkowym mogła z kolei zaowocować popularnym w kulturach [[Mezopotamia|Mezopotamii]] [[Sześćdziesiątkowy system liczbowy|systemem z bazą 60]]{{odn|Ifrah|1990|s=54}}.

[[Georges Ifrah]] stawia hipotezę, że nawet [[Dwunastkowy system liczbowy|system dwunastkowy]], stosunkowo popularny, z [[tuzin]]em jako bazą, również może mieć podłoże anatomiczne, gdyż cztery palce jednej dłoni przeciwstawne kciukowi mają dwanaście członów i do dwunastu można liczyć używając jedynie końcówki kciuka dotykającej ich po kolei{{odn|Ifrah|1990|s=52}}.

== Liczenie na palcach przez osoby dorosłe ==
[[Plik:Herren og hans tjenere, Nationaltheatret - L0062 959Fo30141701260003.jpg|thumb|Osoba dorosła licząca na palcach]]
Nie tylko dzieci, ale również osoby dorosłe w wielu przypadkach korzystają z liczenia na palcach<ref name="d8" />. Odciążają w ten sposób pamięć roboczą oraz kontrolują poprawność, np. podczas wymieniania członków dalszej rodziny, albo wykonywania obliczeń na kalendarzu<ref name="d8" />.

== Różnice międzykulturowe ==
=== Kolejność liczenia na palcach ===
W większości krajów zachodnich (jak np. USA, Kanada, Wielka Brytania, Niemcy, Holandia, Hiszpania) średnio ok. 68% osób rozpoczyna liczenie od kciuka lewej ręki, np. w Szkocji jest to 66%<ref name="d9" />. Natomiast we [[Włochy|Włoszech]] i Belgii nie wykazano preferencji żadnej ręki<ref name="d9" />. W krajach Bliskiego Wschodu istnieje preferencja prawej ręki – 64% badanych rozpoczynało liczenie od małego palca prawej ręki<ref name="d9" />. W północnej Afryce liczenie rozpoczyna się od palca wskazującego{{odn|Ifrah|1990|s=52}}.

Natomiast we wszystkich krajach zauważono, że większość badanych podczas liczenia stosuje kontynuację anatomiczną, a nie przestrzenną – tzn. jeśli dla badanego liczba 1 to kciuk lewej ręki, to liczba 6 to kciuk prawej ręki, a nie mały palec prawej ręki (co byłoby zgodne z kolejnością przestrzenną)<ref name="d9" />.

=== Sposób liczenia na palcach ===
W zdecydowanej większości kultur liczy się na palcach w ten sposób, że po kolei prostuje się kolejne palce<ref name="d10" />. Ale np. w Japonii robi się to na odwrót – zaczyna się od otwartej dłoni, a następnie zgina po kolei kolejne palce<ref name="d10" />. Sposoby liczenia na palcach w różnych kulturach przedstawione są na ilustracjach poniżej.

{{Grafika rozwinięta
| grafika1         = Counting a1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting a2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting a3.jpg
| opis3 = 3
| położenie        = center
| tytuł            = Niemcy, Francja<ref name="c" />
}}

{{Grafika rozwinięta
| grafika1         = Counting b1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting b2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting b3.jpg
| opis3 = 3
| położenie        = center
| tytuł            = Japonia<ref name="c" />
}}

{{Grafika rozwinięta
| grafika1 = Counting b1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting b2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting b3.jpg
| opis3 = 3
| położenie        = center
| tytuł            = Chiny<ref name="c" />
}}
{{Grafika rozwinięta
| grafika1 = Counting b4.jpg
| opis1 = 4
| grafika2 = Counting b5.jpg
| opis2 = 5
| grafika3 = Counting b6.jpg
| opis3 = 6
| położenie        = center
}}
{{Grafika rozwinięta
| grafika1 = Counting b7.jpg
| opis1 = 7
| grafika2 = Counting b8.jpg
| opis2 = 8
| grafika3= Counting b9.jpg
| opis3 = 9
| położenie        = center
}}
{{Grafika rozwinięta
| grafika1 = Counting b10.jpg
| opis1 = 10 (I sposób)
| grafika2 = Counting b10'.jpg
| opis2 = 10 (II sposób)
| położenie        = center
}}

{{Grafika rozwinięta
| grafika1         = Counting c1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting c2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting c3.jpg
| opis3 = 3
| położenie        = center
| tytuł            = Chiny i Japonia (II sposób)<ref name="c" />
}}

{{Grafika rozwinięta
| grafika1         = Counting d1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting d2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting d3.jpg
| opis3 = 3
| położenie        = center
| tytuł            = Filipiny<ref name="c" />
}}

{{Grafika rozwinięta
| grafika1         = Counting e1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting e2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting e3.jpg
| opis3 = 3
| grafika4 = Finger counting Russia 12.png
| położenie        = center
| tytuł            = Indie, Pakistan, Bangladesz<ref name="c" />
}}

{{Grafika rozwinięta
| grafika1         = Counting f1.jpg
| opis1 = 1
| grafika2 = Counting f2.jpg
| opis2 = 2
| grafika3= Counting f3.jpg
| opis3 = 3
| położenie        = center
| tytuł            = Starożytny Rzym<ref name="c" />
}}

=== Liczenie a pokazywanie liczb ===
W większości kultur istnieje różnica między liczeniem na palcach, a pokazywaniem liczb na palcach<ref name="d10" />. Gdy osoby miały policzyć ile dni zostało im do końca urlopu, zaczynały liczyć od kciuka<ref name="d10" />. Gdy miały w głośnym barze zamówić np. dwa piwa, zaczynały od palca wskazującego<ref name="d10" />. Wyjątek stanowili Niemcy, ponieważ w obu przypadkach zaczynali od kciuka<ref name="d10" />.

== Liczenie powyżej 10 ==
Palców obu rąk wystarcza do policzenia do dziesięciu{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. Jedną z technik zwiększenia tej liczby jest nadanie różnych wartości palcom różnych dłoni{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. Do pięciu liczy się wyciągając kolejne palce lewej ręki{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. Wtedy zagina się palec prawej ręki i zaczyna liczenie od sześciu na lewej ręce{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. Po dojściu do dziesięciu zagina się kolejny palec prawej ręki{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. To pozwala na liczenie do 25{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. Technikę tę stosowano w różnych regionach Afryki, Indii czy Oceanii{{odn|Ifrah|1990|s=48}}. Jeżeli za podstawę przyjmie się nie liczenie palców, ale ich członów, łatwo jest doliczyć do 12 na jednej dłoni (kciuk dotyka kolejnych członów czterech pozostałych palców){{odn|Ifrah|1990|s=54–55}}. Zaginanie palców drugiej ręki po dojściu do końca bazy daje iloczyn 5·12, a więc pozwala liczyć do 60. System ten spotykany bywał w różnych regionach południowej Azji{{odn|Ifrah|1990|s=54–55}}. Gdy liczyć człony u palców obu rąk, można dojść do 28. Gdy zaś [[kości śródręcza|kość I śródręcza]] potraktować jak nasadowy człon kciuka, do 30{{odn|Ifrah|1990|s=63–65}}. W Chinach opracowano bardziej skomplikowany system podziału palców do liczenia{{odn|Ifrah|1990|s=71–72}}. Ponumerowano nie tylko człony palców, ale dodatkowo podzielono je na części lewą, prawą i środkową{{odn|Ifrah|1990|s=71–72}}. W ten sposób jeden palec może obsługiwać liczby 1-9, drugi 10-90 i tak dalej, aż do kciuka, na którym liczy się dziesiątki tysięcy, a przechodząc na kolejną rękę można liczyć miliardy{{odn|Ifrah|1990|s=71–72}}.

=== Liczenie na palcach i ich członach w historii ===
[[Plik:Finger counting.jpg|mały|System liczenia na palcach do 9&nbsp;999 powszechny w starożytności i średniowieczu]]
[[Plik:Fingerz 604 nach beda.png|mały|4 (lewa ręka) i 600 (prawa ręka), czyli 604]]
Do początku XX wieku w krajach Orientu – od [[Maghreb]]u po [[Mongolia|Mongolię]] – podczas targowania się kontrahenci, chcąc ukryć przed obserwatorami negocjowaną cenę, przykrywali dłonie chustką i ściskali nawzajem palce{{odn|Ifrah|1990|s=62–63}}. Ściśnięcie palca wskazującego oznaczało 1, ściśnięcie naraz palca wskazującego i środkowego oznaczało 2 i tak dalej do całej dłoni, czyli 5{{odn|Ifrah|1990|s=62–63}}. Wyższe liczby tworzyła kombinacja, np. 6 to dwukrotne ściśnięcie palców wskazującego, środkowego i serdecznego (2·3), a 7 to ściśnięcie ręki bez kciuka (4) i następnie palców wskazującego, środkowego i serdecznego (3){{odn|Ifrah|1990|s=62–63}}. Wymagało to założenia szacunkowej wartości towaru, aby uścisk mógł oznaczać 1, 10, 100 itd.{{odn|Ifrah|1990|s=62–63}} Liczenie do 28 na członach palców było stosowane w Chinach do wyznaczania [[cykl miesiączkowy|cyklu miesiączkowego]] lub odchyleń od niego, a przez [[Beda Czcigodny|Bedę Czcigodnego]] do wyznaczania cyklu 28 lat związanych z określaniem [[rok przestępny|lat przestępnych]]{{odn|Ifrah|1990|s=64}}. Ten sam mnich obliczał 19-letni [[cykl Metona]] przez dodanie liczby członów palców i paznokci jednej dłoni (14 + 5){{odn|Ifrah|1990|s=64}}. Kombinacja tych cykli pozwalała tworzyć [[tablica paschalna|tablice paschalne]]{{odn|Ifrah|1990|s=64}}. Liczenie do trzydziestu na stawach palców i pierwszej kości śródręcza, a potem dodanie trzech bywa wykorzystywane przez muzułmanów w razie braku 33-paciorkowego [[subha|islamskiego różańca]]{{odn|Ifrah|1990|s=65}}.

W krajach Europy i Bliskiego Wschodu funkcjonował system liczenia na palcach, w którym jednostki wyraża się przez zginanie palców małego, serdecznego i środkowego, dziesiątki – wskazującego i kciuka, setki – małego, serdecznego i środkowego na drugiej ręce i tysiące – wskazującego i kciuka drugiej ręki{{odn|Ifrah|1990|s=66–71}}. W ten sposób można liczyć do 99 na palcach jednej ręki i 9 999 dwóch rąk{{odn|Ifrah|1990|s=66–71}}. System ten znany był w [[Starożytny Rzym|Starożytnym Rzymie]], a pewne podobieństwa można znaleźć w jeszcze starszych malowidłach staroegipskich{{odn|Ifrah|1990|s=66–71}}. Następnie przejęła go średniowieczna arytmetyka zachodnia i islamska{{odn|Ifrah|1990|s=66–71}}. Znajomość tego systemu była elementem wykształcenia, a nawiązania do układu palców i odpowiadających im liczb pojawiały się w ówczesnej literaturze{{odn|Ifrah|1990|s=66–71}}. Stracił na popularności po upowszechnieniu się znajomości [[cyfry arabskie|cyfr arabskich]] i rachunku przy ich użyciu{{odn|Ifrah|1990|s=66–71}}.

== Algorytmy mnożenia na palcach ==
=== Mnożenie liczby jednocyfrowej przez dziewięć ===
; Algorytm

Numerujemy swoje palce po kolei od lewego kciuka do prawego kciuka, nadając im kolejne numery od 1 do 10<ref name="mno" />. Chcąc pomnożyć liczbę <math>9</math> przez dowolną liczbę <math>n</math> ze zbioru <math>\{1,2,\dots,10\},</math> wystarczy zgiąć palec o numerze <math>n</math><ref name="mno" />. Liczba palców znajdujących się na lewo od zgiętego palca to liczba dziesiątek, a liczba palców znajdujących się na prawo od zgiętego palca, to liczba jedności<ref name="mno" />.

; Przykłady
{{Grafika rozwinięta
| grafika1 = Multiplying 9 4.jpg
| opis1 = <math>9\cdot 4= 3\cdot 10 + 6=36</math>
| szerokość1 = 400
| grafika2 = Multiplying 9 8.jpg
| opis2 = <math>9\cdot 8 = 7\cdot 10 + 2=72</math>
| szerokość2 = 400
| położenie = center
}}

; Dowód poprawności algorytmu

Niech <math>n\in\{1,2,\dots,10\}</math> będzie ustaloną liczbą<ref name="mno" />. Zauważmy, że:
: <math>9\cdot n = 10\cdot n - n= (10\cdot (n-1) +10)-n=(10\cdot(n-1)) + (10-n),</math>
co odpowiada właśnie podanej metodzie liczenia na palcach<ref name="mno" />. q.e.d.

=== Mnożenie dwóch liczb ze zbioru <math>\{6,7,8,9,10\}</math> ===
; Algorytm

Metoda ta zakłada znajomość tabliczki mnożenia w zakresie od 0 do 4<ref name="mno" />. W obu dłoniach numerujemy palce zaczynając od kciuka, nadając mu numer 6, a kolejnym palcom – kolejne numery<ref name="mno" />. Wybieramy teraz dwie liczby, które będziemy chcieli przez siebie przemnożyć: <math>a,b\in\{6,7,8,9,10\}</math><ref name="mno" />. Lokalizujemy na lewej dłoni palec o numerze <math>a</math> i na prawej dłoni – palec o numerze <math>b</math> i prostujemy te palce oraz wszystkie palce leżące na zewnątrz od nich<ref name="mno" />. Sumujemy liczbę wyprostowanych palców i mnożymy przez 10<ref name="mno" />. Następnie mnożymy liczbę zgiętych palców w lewej ręce, przez liczbę zgiętych palców w prawej ręce<ref name="mno" />. Otrzymaną liczbę dodajemy do wcześniej otrzymanego wyniku<ref name="mno" />.

; Przykłady
{{Grafika rozwinięta
| grafika1 = Multiplying 98.jpg
| opis1 = <math>9\cdot 8 = 7\cdot 10 + 1\cdot 2 = 70+2=72</math>
| szerokość1 = 400
| grafika2 = Multiplying 76.jpg
| opis2 = <math>7\cdot 6 = 3\cdot 10 + 3\cdot 4 = 30+12=42</math>
| położenie = center
| szerokość2 = 400
}}

; Dowód poprawności algorytmu
Niech <math>a,b\in\{6,7,8,9,10\}</math> będą ustalonymi liczbami, których iloczyn chcemy obliczyć<ref name="mno" />. Wynik osiągany w podanym algorytmie to:
: <math>10[(a-5)+(b-5)]+(10-a)\cdot(10-b)</math><ref name="mno" />.

Zauważmy, że<ref name="mno" />:
: <math>\begin{align}
    &10[(a-5)+(b-5)]+(10-a)\cdot(10-b) \\[1ex]
={} &10 (a+b-10) + (10-a)(10-b) \\[1ex]
={} &10a+10b-100 + 100 - 10b - 10a + ab \\[1ex]
={} & a\cdot b.
\end{align}</math>

q.e.d.

== Uwagi ==
{{uwagi}}

== Przypisy ==
{{przypisy|
<ref name="g1">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 23.</ref>
<ref name="g2">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 24.</ref>
<ref name="g3">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 25.</ref>
<ref name="g4">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 26.</ref>
<ref name="g5">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 27.</ref>
<ref name="g6">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 28.</ref>
<ref name="g7">Szczygieł M., Cipora K., Hohol M., ''Liczenie na palcach w ontogenezie i jego znaczenie dla rozwoju kompetencji matematycznych'', Psychologia Rozwojowa, 2015, tom 20, nr 3, s. 29.</ref>
<ref name="KVWKSZK2008">Kaufmann L., Vogel S.E., Wood G., Kremser Ch., Schocke M., Zimmerhackl L.B., Koten J.W., ''A developmental fMRI study of non-symbolic numerical and spatial processing'', Cortex, 2008, 44, s. 376–385.</ref>
<ref name="PTSV2000">Pesenti M., Thioux M., Seron X., De Volder A., ''Neuroanatomical substrates of Arabic number processing, numerical comparison, and simple addition: A PET study'', Journal of Cognitive Neuroscience, 2000, 12, s. 461–479.</ref>
<ref name="PPBD2004">Pinel P., Piazza M., Le Bihan D., Dehaene S., ''Distributed and overlapping cerebral representations of number, size, and luminance during comparative judgments'', Neuron 41, 2004, nr 6, s. 983–993.</ref>
<ref name="RWB2005">Rusconi E., Walsh V., Butterworth B., ''Dexterity with numbers: rTMS over left angular gyrus disrupts finger gnosis and number processing'', Neuropsychologia, 2005, 43, 11, s. 1609–1624.</ref>
<ref name="FBM1998">Fayol M., Barrouillet P., Marinthe C., ''Predicting arithmetical achievement from neuro-psychological performance: A longitudinal study'', Cognition, 1998, 68, 2, s. B63–B70.</ref>
<ref name="N2005">Noël M.P., ''Finger gnosia: A predictor of numerical abilities in children?'', Child Neuropsychology, 2005, 11, 5, s. 413–430.</ref>
<ref name="GG1986">Gelman R., Gallistel C.R., ''The child’s understanding of number'', Cambridge, MA: Harvard University Press, 1986.</ref>
<ref name="Semadeni">[[Zbigniew Semadeni|Semadeni Z.]], ''Matematyka w edukacji początkowej – podejście konstruktywistyczne''.</ref>
<ref name="GKZ1999">[[Edyta Gruszczyk-Kolczyńska|Gruszczyk-Kolczyńska E.]], Zielińska E., ''Dziecięca matematyka: program dla przedszkoli, klas zerowych i placówek integracyjnych'', Warszawa: WSiP, 1999.</ref>
<ref name="B1999">Butterworth B., ''The Mathematical Brain'' London, wyd. Macmillan, 1999.</ref>
<ref name="P1965">Poeck K., ''Phantoms following amputation in early childhood and in congenital absence of limbs'', Cortex, 1965, 1, s. 269–275.</ref>
<ref name="CMCS2011">Crollen V., Mahe R., Collignon O., Seron X., ''The role of vision in the development of finger–number interactions: Finger-counting and finger-montring in blind children'', Journal of Experimental Child Psychology, 2011, 109, 4, s. 525–539.</ref>
<ref name="MMWEN2011">Moeller K., Martignon L., Wessolowski S., Engel J., Nuerk H.C., ''Effects of finger counting on numerical development – the opposing views of neurocognition and mathematics education'', Frontiers in Psychology, 2011, 2, s. 75–79.</ref>
<ref name="GK2012">[[Edyta Gruszczyk-Kolczyńska|Gruszczyk-Kolczyńska E.]], ''Dodawanie i odejmowanie w możliwie szerokim zakresie: od poziomu konkretów, przez zbiory zastępcze aż do rachowania w pamięci. Stosowanie tych umiejętności w rozwiązywaniu zadań'', s. 167–186, [w:] Gruszczyk-Kolczyńska E. (red.), ''O dzieciach matematycznie uzdolnionych. Książka dla rodziców i nauczycieli'', Warszawa 2012, Wydawnictwo Nowa Era.</ref>
<ref name="JKRL2008">Jordan N.C., Kaplan D., Ramineni C., Locuniak M.N., ''Development of number combination skill in the early school years: When do ﬁ ngers help?'', Developmental Science, 2008, 11, 5, s. 662–668.</ref>
<ref name="FS2005">Fayol M., Seron X., ''About numerical representations: Insights from neuropsychological, experimental, and developmental studies'', [w:] J.I. Campbell (red.), ''Handbook of Mathematical Cognition'', s. 3–22, New York: Psychology Press, 2005.</ref>
<ref name="AR1999">Alibali M. W., DiRusso A.A., ''The function of gesture in learning to count: More than keeping track'', Cognitive Development, 1999, 14, 1, s. 37–56.</ref>
<ref name="FS1986">Fuson K.C., Secada W.G., ''Teaching children to add by counting-on with one-handed finger patterns'', Cognition and Instruction, 1986, 3, 3, s. 229–260.</ref>
<ref name="ALP2008">Andres M., Di Luca S., Pesenti M., ''Finger counting: The missing tool?'', Behavioral and Brain Sciences, 2008, 31, 6, s. 642–643.</ref>
<ref name="G1994">Geary D.G., ''Children’s mathematical development, research and practical applications'', Washington 1994, American Psychological Association.</ref>
<ref name="NPM2010">Nicoladis E., Pika S., Marentette P., ''Are number gestures easier than number words for preschoolers?'', Cognitive Development, 2010, 25, 3, s. 247–261.</ref>
<ref name="DKW2008">Domahs F., Krinzinger H., Willmes K., ''Mind the gap between both hands: Evidence for internal finger-based number representations in children’s mental calculation'', 2008, Cortex, 44, 4, s. 359–367.</ref>
<ref name="DMHWN2010">Domahs F., Moeller K., Huber S., Willmes K., Nuerk H.C., ''Embodied numerosity: Implicit handbased representations influence symbolic number processing across cultures'', 2010, Cognition, 116, 2, s. 251–266.</ref>
<ref name="Kordos1">[[Marek Kordos|Kordos M.]], ''Wykłady z historii matematyki'', Script, Warszawa 2010, s. 23–26.</ref>
<ref name="FK1992">Fuson K.C., Kwon Y., ''Korean children’s understanding of multidigit addition and subtraction'', 1992, Child Development, 63, 2, s. 491–506.</ref>
<ref name="GBN2008">Gracia-Bafalluy M., Noël M.P., ''Does finger training increase young children’s numerical performance?'', 2008, Cortex, 44, 4, s. 368–375.</ref>
<ref name="GBTLS1996">Geary D.C., Bow-Thomas C.C., Liu F., Siegler R.S., ''Development of arithmetical competencies in Chinese and American children: Inﬂ uence of age, language, and schooling,'' Child Development, 1996, 67, 5, s. 2022–2044.</ref>
<ref name="K2002">Kaufmann L., ''More evidence for the role of the central executive in retrieving arithmetic facts: A case study of severe developmental dyscalculia'', Journal of Clinical and Experimental Neuropsychology, 2002 24, 3, s. 302–310.</ref>
<ref name="RPDK2010">Rusconi E., Pinel P., Dehaene S., Kleinschmidt A., ''The enigma of Gerstmann’s syndrome revisited: A telling tale of the vicissitudes of neuropsychology'', Brain, 2010 133, 2, s. 320–332.</ref>
<ref name="PWA2008">Penner-Wilger M., Anderson M.L., ''An alternative view of the relation between finger gnosis and math ability: Redeployment of finger representations for the representation of number'', Proceedings of the 30th annual meeting of the Cognitive Science Society, 2008, Austin, TX, s. 1647–1652.</ref>
<ref name="RH2011">Reeve R., Humberstone J., ''Five-to 7-year-olds’ finger gnosia and calculation abilities'', Frontiers in Psychology, 2011, 2.</ref>
<ref name="MFB2001">Marinthe C., Fayol M., Barrouillet P., ''Gnosies digitales et développement des performances arithméthiques'', [w:] A. Van Hout, C. Meljac (red.), ''Troubles du calcule et dyscalculies chez l’enfant'', Paris 2001, Masson, s. 239–254.</ref>
<ref name="W2003">Wiese H., ''Numbers, language and human mind'', Cambridge 2003, Cambridge University Press.</ref>
<ref name="THFP2012">Tschentscher, N., Hauk, O., Fischer, M. H., Pulvermüller, F., ''You can count on the motor cortex: Finger counting habits modulate motor cortex activation evoked by numbers'', Neuroimage, 2012, 59 (4), s. 3139–3148.</ref>
<ref name="d2">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 60.</ref>
<ref name="d3">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 61.</ref>
<ref name="d4">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 62.</ref>
<ref name="d5">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 63.</ref>
<ref name="d6">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 64.</ref>
<ref name="d7">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 65.</ref>
<ref name="d8">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 66.</ref>
<ref name="d9">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 67.</ref>
<ref name="d10">Cipora K., Szczygieł M., Hohol M., ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 68.</ref>
<ref name="w">Zaorska M., ''Rozwój kulturowy dziecka w koncepcji [[Lew Wygotski|Lwa S. Wygotskiego]]'', Acta Universitatis Nicolai Copernici, 2012, 28, s. 43.</ref>
<ref name="mno">Kolpas S.J., [https://web.archive.org/web/20130319184128/http://www.dccc.edu/sites/default/files/faculty/sid_kolpas/mathteacherfingers.pdf ''Let your fingers do the multiplying''], Mathematics Teacher, 2002, 95, 4, s. 246–251.</ref>
<ref name="c">Yutaka Nishiyama, [https://ijpam.eu/contents/2013-85-5/4/4.pdf ''Counting with the fingers''], International Journal of Pure and Applied Mathematics, 2013, 85, 5, s. 859–868.</ref>
<ref name="chalmers">{{Cytuj |autor = James Chalmers |tytuł = Vocabularies of the Bugilai and Tagota Dialects, British New Guinea |czasopismo = The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland |wolumin = 27 |data = 1898 |s = 139–144 |doi = 10.2307/2842860 |język = en}}</ref>
<ref name="Dys81">K. Landerl, L. Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Wydawnictwo Harmonia, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-7744-098-8}}, s. 81.</ref>
<ref name="Dys82">K. Landerl, L. Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Wydawnictwo Harmonia, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-7744-098-8}}, s. 82.</ref>
<ref name="Dys84">K. Landerl, L. Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Wydawnictwo Harmonia, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-7744-098-8}}, s. 84.</ref>
}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ifrah |imię = Georges |tytuł = Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku |inni = Stanisław Hartman (tłum.)|wydawca = Zakład Narodowy im. Ossolińskich – Wydawnictwo |miejsce = Wrocław |data = 1990 |isbn = 83-04-03218-X |odn=tak}}

[[Kategoria:Dydaktyka matematyki]]
[[Kategoria:Psychologia ewolucyjna]]
[[Kategoria:Neuropsychologia]]
[[Kategoria:Gesty]]
[[Kategoria:Historia matematyki]]
[[Kategoria:Antropologia filogenetyczna]]