Tekst źródłowy strony Liczenie

'''Liczenie''' – posługiwanie się [[liczba]]mi<ref name="Okoń" />, przede wszystkim oznaczanie obiektów kolejnymi [[liczebnik]]ami, zaczynając od <math>1,</math> z których ostatni określa liczbę wszystkich obiektów ([[moc zbioru]])<ref name="słownik" />.

== Liczenie obiektów ==
Liczenie obiektów zbioru skończonego polega na oznaczaniu tych obiektów kolejnymi liczebnikami, zaczynając od <math>1,</math> ze zrozumieniem, że ostatni liczebnik oznacza [[Moc zbioru|moc]] tego [[Zbiór|zbioru]]<ref name="słownik" />.

Umiejętność wyrecytowania z pamięci nazw kolejnych liczebników nie jest tym samym co umiejętność liczenia, tzn. nie można powiedzieć, że ''moje trzyletnie dziecko potrafi już liczyć do dziesięciu'', jeśli potrafi odtworzyć sekwencję liczebników od <math>1</math> do <math>10,</math> ale w sytuacji praktycznej, np. ''wyciągnij z koszyka cztery kasztany'', dziecko wyciągnie po prostu garść np. <math>3</math> czy <math>7</math> kasztanów<ref name="Dys67" />. Oznacza to, że takie dziecko nie rozumie, że słowo ''cztery'' oznacza pewną konkretną liczbę kasztanów, tzn. wcale nie umie liczyć do dziesięciu, a jedynie odtwarzać sekwencję liczebników jak wierszyk<ref name="Dys67" />.

Zanim zrozumiany zostanie proces liczenia obiektów, konieczne jest opanowanie pewnych umiejętności na poziomie operacji konkretnych:
* stałość liczby <small>(por. [[Alina Szemińska#Osiągnięcia naukowe|ten eksperyment]])</small>:
** zdolność wyprowadzania wniosku, że liczba obiektów nie zmienia się pomimo zmiany położenia tych obiektów;
** zdolność do ustalania równoliczności zbiorów;
* zdolność porządkowania elementów w zbiorze<ref name="kol" />.
Następnie przeprowadzanie poprawnego procesu liczenia wymaga opanowania pięciu zasad<ref name="Dys67" />.

{| class="wikitable"
|+
!Nazwa zasady
!Opis zasady
!Powszechne błędy dzieci
|-
! colspan="3"| Zasady ''jak liczyć''<ref group="uwaga">Oryginalnie: ''how-to-count principles''.</ref><ref name="GG" /><ref name="Dys67" />
|-
|'''Zasada przyporządkowania ''jeden do jednego'''''<ref name="Dys67" /><ref name="GG" />
|Każdemu zliczanemu obiektowi przyporządkowuje się dokładnie jeden liczebnik<ref name="Dys68" />.
|
* Zliczanie jednego obiektu kilkukrotnie<ref name="Dys68" />.
* Zupełne pominięcie jednego z obiektów podczas zliczania<ref name="Dys68" />.
|-
|'''Zasada stabilnej kolejności'''<ref name="Dys67" /><ref name="GG" />
|Kolejne liczebniki następują po sobie w ustalonej, niezmiennej kolejności, tzn. ''jeden, dwa, trzy, cztery, pięć'' i tak dalej<ref name="Dys68" />.
|Zliczanie obiektów poprzez wymienianie liczebników w przypadkowej kolejności, np. ''jeden, trzy, siedem, cztery, dwa''<ref name="Dys68" />.
|-
|'''Zasada kardynalności'''<ref name="Dys67" /><ref name="GG" />
|Ostatnie wypowiedziane słowo podczas zliczania obiektów reprezentuje kardynalność lub moc zbioru, którego elementy były zliczane<ref name="Dys68" />.
|Dziecko zlicza kasztany: ''jeden, dwa, trzy, cztery, pięć''. Po zakończeniu zliczania, zadaje się mu pytanie: ''ile jest kasztanów''? Dziecko może zacząć zliczać kasztany jeszcze raz lub odpowiedzieć ''nie wiem'', ponieważ nie utożsamia ostatniego wypowiedzianego przez niego liczebnika (''pięć'') z mocą zbioru<ref name="Dys68" />. Nawet udzielenie poprawnej odpowiedzi (''pięć'') nie oznacza zrozumienia (świadomości) tego, że wynik procesu liczenia odpowiada mocy zbioru, lecz może być wyuczoną regułą, że na pytanie ''ile'' należy odpowiedzieć, podając ostatni wymieniony w sekwencji liczebnik<ref name="Dys68" />.
|-
! colspan="3"| Zasady ''co liczyć''<ref group="uwaga">Oryginalnie: ''what-to-count principles''.</ref><ref name="GG" /><ref name="Dys67" />
|-
|'''Zasada nieistotności kolejności'''<ref name="Dys67" /><ref name="GG" />
|Obiekty mogą być zliczane w dowolnej kolejności<ref name="Dys68" /><ref name="rozpoj114" />.
|Zmiana kolejności zliczania obiektów może poskutkować niedochowaniem zasady przyporządkowania ''jeden do jednego''<ref name="Dys68" /><ref name="rozpoj114" />.
|-
|'''Zasada nieistotności zliczanej zawartości'''<ref name="Dys67" /><ref name="GG" />
|Można zliczać wszystkie obiekty, tzn. np. zliczając zwierzęta w zoo, należy zliczyć wszystkie słonie, małpy, pingwiny i tak dalej, nawet jeśli te gatunki zwierząt są od siebie bardzo różne<ref name="Dys68" /><ref name="rozpoj114" />.
|Zliczanie obiektów zawężonych wyłącznie do danej kategorii semantycznej<ref name="Dys68" /><ref name="rozpoj114" />.
|}
Zasady te są przyswajane zazwyczaj przez dzieci w wieku przedszkolnym<ref name="Dys67" /><ref name="Dys69" />.

== Rozwój kompetencji liczenia ujawniany w mowie ==
Nabywanie kompetencji liczenia zaczyna się od poznawania liczebników, czego rozwój odbywa się w mowie<ref name="DM213" />. Okazuje się, że wiele dzieci włącza do swojego języka te same liczebniki, w tej samej kolejności, w analogicznych kontekstach<ref name="DM213" />. Sztandarowym przykładem są badania prowadzone w latach 50. na małej Basi, opisane w ''Szumanowskich dziennikach mowy''<ref name="DM216" />, których przykłady znajdują się w poniższej tabeli.
{| class="wikitable"
|+
!wiek ''małej Basi''
!obserwacja opisana w ''Szumanowskich dziennikach mowy''
!znaczenie wypowiedzi dziecka w kontekście rozwoju umiejętności liczenia
|-
|1&nbsp;rok, 8&nbsp;miesięcy, 22&nbsp;dni
|Podczas kąpieli, po tym gdy matka umyła Basi jedną nogę, Basia podała matce drugą nogę, mówiąc: ''Drugą, drugą mama myje''<ref name="DM216" />.
|Własne nogi lub ręce dziecka stanowią dla dziecka pierwszy wzorzec pary (naturalne liczydło składające się z dwóch liczmanów). W tym kontekście para nie jest rozumiana jeszcze jako liczba, lecz jako komplet, tzn. słowo ''drugą'' oznacza w wypowiedzi Basi ''ten do kompletu''<ref name="DM216" />.
|-
|1&nbsp;rok, 10&nbsp;miesięcy, 24&nbsp;dni
|Basia ogląda pantofle. Mówi: ''mama ma dwa pantofle.'' Po chwili dodaje: ''Basia też ma dwa pantofle''. ''Nie zgubiła drugiego''<ref name="DM216" />.
|Słowo ''dwa'', podobnie jak w poprzednim przykładzie słowo ''drugi'', ma znaczenie pary, tzn. czegoś jest ''dwa'', jeśli ''nie brakuje drugiego do kompletu''<ref name="DM216" />.
|-
|1&nbsp;rok, 11&nbsp;miesięcy, 18&nbsp;dni
|Basia układa dużą liczbę guzików w jednym rzędzie i liczy: ''Jeden, siedem. Jeden, siedem.'' Później liczy: ''Trzy, pięć. Trzy, pięć''<ref name="DM217" />.
|Słowne liczenie obiektów za pomocą ciągu o rytmie dwójkowym – wywołuje u dziecka (niezrozumiałe jeszcze dla niego) skojarzenie z algorytmem zliczania<ref name="DM217" />.
|-
|1&nbsp;rok, 11&nbsp;miesięcy, 26&nbsp;dni
|Basia układa guziki na stole i liczy: ''Trzy, pięć, jeden, siedem. Trzy, pięć, jeden, siedem''<ref name="DM217" />.
|Słowne liczenie obiektów za pomocą ciągu o rytmie czwórkowym (powstałym z połączenia dwóch ciągów o rytmie dwójkowym), wywołuje u dziecka (niezrozumiałe jeszcze dla niego) skojarzenie z algorytmem zliczania<ref name="DM217" />.
|-
|2&nbsp;lata, 1&nbsp;miesiąc, 5&nbsp;dni
|Basia, leżąc w łóżku, przykrywa nogi chustami i mówi: ''Mam dwa dzidzi, śpią''<ref name="DM217" />.
|Dwie nogi nie są już jedynie modelem pary (kompletu) – każda z nóg zaczęła już reprezentować jedność, a wspólnie modelują liczbę ''dwa''<ref name="DM217" />.
|-
|2&nbsp;lata, 7&nbsp;miesięcy, 18&nbsp;dni
|Basia otrzymała od ojca sporą liczbę pocztówek. Ojciec prosi Basię, aby je policzyła. Basia liczy: ''trzy, pięć, siedem''. Ojciec poprawia: ''jeden, dwa, trzy.'' Basia powtarza po ojcu<ref name="DM218" />.
|Dziecko na tym etapie rozumie, że słowo ''policzyć'' oznacza pewną procedurę dotyczącą obiektów tego samego rodzaju, lecz nie rozumie jeszcze tej procedury. Próbuje zrozumieć algorytm liczenia, naśladując osoby dorosłe<ref name="DM218" />.
|}

Rozwój umiejętności liczbowych małych dzieci zdaje się wyglądać podobnie u wszystkich dzieci; badania na współczesnych dzieciach dają analogiczne wyniki, jak badania na Basi z lat 50.<ref name="DM219" /> Rozwój tych kompetencji przebiega zazwyczaj następująco:
# dziecko rozróżnia liczbę pojedynczą i liczbę mnogą używanych rzeczowników<ref name="DM219" />;
# dziecko zaczyna używać słowa ''drugi'' jako ''tworzący parę''<ref name="DM219" />;
# dziecko zaczyna używać liczebnika ''jeden'' – dla wydzielania jedności (np. ''biorę po jednym'') lub dla odróżniania jedności od wielości (np. ''biorę tylko jeden'')<ref name="DM219" />;
# liczebnik ''dwa'' przestaje oznaczać już tylko parę (komplet) i staje się mocą rozmaitych zbiorów dwuelementowych<ref name="DM219" />;
# pojawiają się zalążki rozumienia tego, że: ''jeśli jest jeden i dwa, to są dwa'' oraz ''jeśli czegoś jest dwa, to jest jeden i drugi''<ref name="DM219" />;
# dziecko opracowuje krótkie ciągi liczbowe oparte na rytmie i próbuje je zastosować do liczenia obiektów<ref name="DM219" />;
# dziecko uczy się od dorosłych, w jakiej kolejności należy wymieniać liczebniki w algorytmie liczenia obiektów w niewielkim zakresie, np. do 10<ref name="DM219" />.

== Liczenie na palcach i kompetencje arytmetyczne ==
{{osobny artykuł|Liczenie na palcach}}
Pomimo że wykonywanie operacji arytmetycznych nie jest już ''liczeniem'', lecz ''rachowaniem''<ref name="sjp" />, to na początkowym etapie rozwoju kompetencji arytmetycznych rachowanie wymaga liczenia<ref name="Dys82" />. Wykonywanie dodawania i [[Odejmowanie|odejmowania]] odbywa się początkowo na palcach i opiera się na zliczaniu palców, przy pomocy mniej lub bardziej rozsądnych strategii<ref name="Dys81" />. Pierwszą strategią, jaką nabywa dziecko, jest ''count-all'', polegająca na tym, że każdy z czynników modelowany jest jako odpowiednia liczba palców, a następnie wszystkie palce są zliczane<ref name="Dys81" />. Kolejną strategią jest ''count-from-first-addend'' i polega ona na tym, że proces zliczania rozpoczyna się od liczebnika, który był dany jako pierwszy składnik sumy<ref name="Dys81" />. Ostatnią, najskuteczniejszą metodą dodawania na palcach, jest ''count-min'', czyli znajdowanie większej liczby i dodawanie do niej mniejszej<ref name="Dys81" />. Ta ostatnia strategia jest najtrudniejsza do opanowania, ponieważ wymaga zrozumienia, że kolejność dodawania nie wpływa na wynik (przemienność dodawania)<ref name="Jak28" />. Ta ostatnia strategia może być odkryta samodzielnie przez dziecko<ref name="Dys82" />, jak również może być wyuczona poprzez odpowiednio dobrany [[przykład paradygmatyczny]]<ref name="Jak28" />.
{| class="wikitable"
|+ przykładowe działanie do wykonania: 3+5
!strategia
!opis działania strategii
|-
|''count-all''
|Dziecko prostuje w jednej dłoni trzy palce, a w drugiej dłoni – pięć palców. Następnie zlicza wszystkie palce po kolei: ''jeden, dwa, trzy; cztery, pięć, sześć, siedem, osiem''<ref name="Dys81" />.
|-
|''count-from-first-addend''
|Dziecko rozpoczyna liczenie od pierwszego operandu, tzn. wystawia pięć palców (odpowiadają drugiemu składnikowi sumy) i zlicza: ''trzy; cztery, pięć, sześć, siedem, osiem''<ref name="Dys81" />.
|-
|''count-min''
|Dziecko zauważa, że 5 jest większe od 3, więc stosuje optymalną strategię – wystawia trzy palce (odpowiadają mniejszemu składnikowi) i zlicza: ''pięć; sześć, siedem, osiem<ref name="Dys81" />.''
|}
Dopiero później rachowanie odrywa się od zliczania obiektów i dziecko podaje z pamięci, że np. <math>3+5=8</math> (tzw. ''przywoływanie faktów arytmetycznych''), bez konieczności liczenia tego na palcach<ref name="Dys82" />. Badania jednak pokazują, że nawet u osób dorosłych wykonywanie dodawania pamięciowego dużych liczb aktywuje w mózgu te same obszary, które wcześniej odpowiadały za liczenie na palcach<ref name="Cipora" />.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
<references>
<ref name="Dys67">Karin Landerl, Liane Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Harmonia Universalis, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-744-098-8}}, s. 67.</ref>
<ref name="Dys68">Karin Landerl, Liane Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Harmonia Universalis, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-744-098-8}}, s. 68.</ref>
<ref name="Dys69">Karin Landerl, Liane Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Harmonia Universalis, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-744-098-8}}, s. 69.</ref>
<ref name="Dys81">Karin Landerl, Liane Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Harmonia Universalis, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-744-098-8}}, s. 81–82.</ref>
<ref name="Dys82">Karin Landerl, Liane Kaufmann, ''Dyskalkulia'', Harmonia Universalis, Gdańsk 2015, {{ISBN|978-83-744-098-8}}, s. 82–84.</ref>
<ref name="GG">R. Gelman, C.R. Gallisiel, ''The child’s concept of number'', Cambridge, MA: Harvard Univwersity Press.</ref>
<ref name="Jak28">Danuta Zaremba, ''Jak tłumaczyć dzieciom matematykę'', Wydawnictwo Helion, 2014, {{ISBN|978-83-246-7090-1}}, s. 28.</ref>
<ref name="DM213">Aleksandra Urbańska, ''O poznawaniu liczb poprzez mowę'', [w:] (red.) [[Stefan Turnau]], „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego”, Seria V: ''Dydaktyka Matematyki'' 27 (2014), s. 213.</ref>
<ref name="DM216">Aleksandra Urbańska, ''O poznawaniu liczb poprzez mowę'', [w:] (red.) [[Stefan Turnau]], „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego”, Seria V: ''Dydaktyka Matematyki'' 27 (2014), s. 216.</ref>
<ref name="DM217">Aleksandra Urbańska, ''O poznawaniu liczb poprzez mowę'', [w:] (red.) [[Stefan Turnau]], „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego”, Seria V: ''Dydaktyka Matematyki'' 27 (2014), s. 217.</ref>
<ref name="DM218">Aleksandra Urbańska, ''O poznawaniu liczb poprzez mowę'', [w:] (red.) [[Stefan Turnau]], „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego”, Seria V: ''Dydaktyka Matematyki'' 27 (2014), s. 218.</ref>
<ref name="DM219">Aleksandra Urbańska, ''O poznawaniu liczb poprzez mowę'', [w:] (red.) [[Stefan Turnau]], „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego”, Seria V: ''Dydaktyka Matematyki'' 27 (2014), s. 219.</ref>
<ref name="Okoń">[[Wincenty Okoń]], ''Nowy słownik pedagogiczny'', Wydawnictwo Akademickie Żak, Warszawa 2017, s. 157.</ref>
<ref name="słownik">Czesła Kupisiewicz, Małgorzata Kupisiewicz, ''Słownik pedagogiczny'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 95.</ref>
<ref name="rozpoj114">[[Alina Szemińska]], ''Rozwój pojęć matematycznych u dziecka'', [w:] (red.) [[Zbigniew Semadeni]], ''Nauczanie początkowe matematyki'', Warszawa 1981, s. 114.</ref>
<ref name="kol">[[Edyta Gruszczyk-Kolczyńska]], ''Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki'', Warszawa 1994, s. 48–50.</ref>
<ref name="Cipora">K. Cipora, M. Szczygieł, M. Hohol, ''Palce, które liczą – znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u człowieka dorosłego'', 2014, Psycholgia-Etologia-Genetyka, Tom 30, s. 60.</ref>
<ref name="sjp">Słownik Języka Polskiego, [https://sjp.pwn.pl/slowniki/rachowanie.html ''Rachowanie''] [dostęp 2020-07-23].</ref>
</references>

[[Kategoria:Dydaktyka matematyki]]
[[Kategoria:Arytmetyka]]
[[Kategoria:Hasła rozbudowane w ramach akcji Wikipedia na zastępstwie]]