Tekst źródłowy strony Liczby zespolone

[[Plik:Complex number illustration.svg|mały|Każdą liczbę zespoloną można przedstawić jako [[Punkt (geometria)|punkt]] lub [[wektor]] na [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]]. [[Diagram]], który to robi za pomocą [[Układ współrzędnych kartezjańskich|prostokątnego (kartezjańskiego) układu współrzędnych]], jest znany jako [[diagram Arganda]]<ref name="epwn-da" />]]
[[Plik:U+2102 serif.svg|mały|Standardowy symbol [[Zbiór|zbioru]] liczb zespolonych<ref name="mw" />: <math>\mathbb{C}</math>]]
[[Plik:Leonhard Euler identitatea.png|mały|Liczby zespolone mogą być wykładnikami [[Potęgowanie|potęgi]]. [[Wzór Eulera]] opisuje dowolne [[Liczby urojone|urojone]] potęgi [[Podstawa logarytmu naturalnego|liczby ''e'']], czyli wartości odpowiedniej [[Funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]] dla urojonych [[Argument funkcji|argumentów]]. Konsekwencją tego wzoru jest podana wyżej tożsamość Eulera nazywana „najpiękniejszym wzorem matematyki”<ref name="tm" />]]

'''Liczby zespolone''' – [[uogólnienie]] zbioru [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] zawierające [[Jednostka urojona|jednostkę urojoną]] <math>i</math> – [[Liczba|liczbę]], której [[Kwadrat (algebra)|kwadrat]], czyli druga [[Potęgowanie|potęga]], wynosi minus jeden<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | tytuł = liczby zespolone | id = 3932382 | data dostępu = 2024-03-26}}</ref>: <math>i^2 = -1.</math> Taki obiekt nie występuje na rzeczywistej [[Oś liczbowa|osi liczbowej]], jednak można go [[Aksjomaty i konstrukcje liczb|skonstruować]] za pomocą liczb rzeczywistych, co opisano dalej. [[Mnożenie|Iloczyny]] jednostki urojonej i liczb rzeczywistych – czyli postaci <math>bi,\ b\in\mathbb{R}</math> – są nazywane [[Liczby urojone|liczbami urojonymi]]. Liczbami zespolonymi nazywa się dowolną [[Dodawanie|sumę]] liczby rzeczywistej i urojonej, czyli [[Wyrażenie algebraiczne|wyrażenia algebraiczne]] postaci <math>a+bi,</math> gdzie <math>a, b\in\mathbb{R}</math><ref name="epwn" />.

[[Zbiór]] ten zwykle oznacza się [[Majuskuła|dużą literą]] <math>\mathbb{C}</math><ref name="mw">{{MathWorld | adres = ComplexNumber | tytuł = Complex Number}} [dostęp 2024-03-25].</ref>. Można w nim wykonywać cztery podstawowe [[Arytmetyka elementarna|działania arytmetyczne]], czyli [[dodawanie]], [[odejmowanie]], [[mnożenie]] i [[dzielenie]] przez wszystkie liczby oprócz [[0|zera]]; są przy tym zachowane podstawowe własności tych [[Działanie algebraiczne|działań]] jak:
* [[przemienność]] i [[Łączność (matematyka)|łączność]] dodawania oraz mnożenia;
* [[rozdzielność]] mnożenia względem dodawania i odejmowania<ref name="epwn" />.

Liczby zespolone można też:
* [[Potęgowanie|potęgować]] z wykładnikiem [[Liczby naturalne|naturalnym dodatnim]], a niektóre liczby zespolone podnosić też do innych potęg, w tym zespolonych<ref name="tm">{{otwarty dostęp}} Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=HaVNKm7-nZc Potęgowanie i „najpiękniejszy wzór matematyki” | Zacznijmy od zera #4]'', kanał [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] na [[YouTube]], 23 listopada 2021 [dostęp 2024-03-26].</ref>;
* [[Pierwiastkowanie|pierwiastkować]], rozwiązując odpowiednie [[Równanie algebraiczne|równania algebraiczne]] lub podnosząc te liczby do potęg [[Ułamek|ułamkowych]];
* [[logarytm]]ować<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = logarytm | id = 3933548 | data dostępu = 2024-03-26}}</ref>.

[[Obliczenia]] na liczbach zespolonych bywają prostsze przy użyciu ich alternatywnych postaci, znanych jako [[Trygonometria|trygonometryczna]] i [[Funkcja wykładnicza|wykładnicza]]<ref name="epwn" />, co opisano niżej.

Liczby zespolone mają standardowe przedstawienie [[Geometria|geometryczne]] – można je rozumieć jako [[Punkt (geometria)|punkty]] na [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]], na której leży także oś rzeczywista, lub jako ich [[Wektor wodzący|wektory wodzące]], tj. prowadzące do nich z zera<ref name="epwn" />. Taka [[Wymiar (matematyka)|dwuwymiarowa]] konstrukcja jest znana jako [[płaszczyzna zespolona]] lub płaszczyzna [[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]]<ref name="epwn" />. Można na niej wprowadzać różne [[Układ współrzędnych|układy współrzędnych]]:
* [[Układ współrzędnych kartezjańskich|układ prostokątny]] ([[René Descartes|kartezjański]]) opisuje liczbę zespoloną <math>z = a+bi</math> za pomocą [[Para uporządkowana|uporządkowanej pary]] liczb rzeczywistych <math>(a,b),</math> nazywanych odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną, oznaczanych <math>\operatorname{Re} z = a, \operatorname{Im} z = b</math><ref name="epwn" />;
* [[Układ współrzędnych biegunowych|układ biegunowy]] opisuje każdą z tych liczb za pomocą [[Odległość|odległości]] od zera – początku tego układu – oraz [[Miara kąta|miary kąta]] między tym wektorem a [[Półprosta|półprostą]] liczb [[Znak liczby|dodatnich]]. Wielkości te są znane jako [[Wartość bezwzględna|moduł]] i [[Argument liczby zespolonej|argument główny]], oznaczane <math>|z|, \arg z;</math> za ich pomocą konstruuje się wspomniane postaci trygonometryczne i wykładnicze<ref name="epwn" />.

[[Diagram]] przedstawiający płaszczyznę zespoloną (Gaussa) z kartezjańskimi [[Oś współrzędnych|osiami współrzędnych]] jest znany jako [[diagram Arganda]]<ref name="epwn-da">{{Encyklopedia PWN | id = 3870962 | tytuł = Arganda diagram | data dostępu = 2024-03-27}}</ref>; jego przykład podano obok. Istnieją też inne geometryczne opisy tego zbioru liczbowego, np. [[sfera Riemanna]] rozszerzająca liczby zespolone o [[nieskończoność]]<ref>{{MathWorld | adres = RiemannSphere |tytuł = Riemann Sphere}} [dostęp 2024-03-27].</ref>.

Liczby zespolone są rozważane od [[XVI wiek]]u<ref name="epwn-gc">{{Encyklopedia PWN | tytuł = Cardano Gerolamo (Geronimo, Girolamo) | id = 3883190 | data dostępu = 2024-03-26}}</ref>, kiedy użyto ich w [[Algebra|algebrze]] do rozwiązywania [[Równanie sześcienne|równań trzeciego stopnia]], inaczej sześciennych. Odtąd przenikły do różnych działów [[Matematyka|matematyki]] i [[Matematyka stosowana|jej zastosowań]]:
* okazały się użyteczne w [[Trygonometria|trygonometrii]] i opartej na niej [[Analiza harmoniczna|analizie harmoniczej]]<ref name="epwn-sf">{{Encyklopedia PWN | tytuł = szereg Fouriera | id = 3902344 | data dostępu = 2024-03-26}}</ref>. Tych dyscyplin używa się do opisu [[Drgania|drgań]], [[Fala|fal]] i [[sygnał]]ów, przez co liczby zespolone zastosowano w różnych [[Nauki empiryczne|naukach empirycznych]] i [[Nauki techniczne|technicznych]]<ref name="epwn" /> jak [[fizyka]], [[elektrotechnika]] i [[elektronika]];
* powstał dział matematyki oparty w całości na tych liczbach – [[analiza zespolona]], która również znalazła zastosowania w matematyce i poza nią<ref name="mw-ca">{{MathWorld | adres = ComplexAnalysis | tytuł = Complex Analysis}} [dostęp 2024-03-27].</ref>. Niektóre z jej problemów uznano za jedne z najdonioślejszych w całej matematyce<ref name="tm-hr">{{otwarty dostęp}} Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=H7jdq0elNoY Czego uczy nas hipoteza Riemanna?]'', kanał [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] na [[YouTube]], 15 listopada 2018 [dostęp 2024-03-27].</ref><ref name="qm">{{otwarty dostęp}} Alex Kontorovich, ''[https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY The Riemann Hypothesis, Explained]'', kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2024-03-27].</ref>.

W [[Algebra abstrakcyjna|algebrze abstrakcyjnej]] mówi się, że liczby zespolone tworzą [[Ciało (matematyka)|ciało]] i są [[Rozszerzenie ciała|rozszerzeniem ciała]] liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną<ref>{{MathWorld | adres = ExtensionField | tytuł = Extension Field}} [dostęp 2024-03-27].</ref>. Podano różne konstrukcje tej [[Struktura matematyczna|struktury algebraicznej]], oparte na parach uporządkowanych, [[macierz]]ach, [[Przekształcenie liniowe|przekształceniach liniowych]] [[Przestrzeń euklidesowa|płaszczyzny kartezjańskiej]] i na [[Pierścień ilorazowy|pierścieniach ilorazowych]], co opisano niżej. Opisano też uogólnienia liczb zespolonych jak [[kwaterniony]], inne [[liczby hiperzespolone]] i inne [[Algebra Clifforda|algebry Clifforda]].

== Postać algebraiczna (kanoniczna) ==
Każdą liczbę zespoloną <math>z</math> można zapisać w postaci
: <math>z=a+bi,</math>

gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz <math>i</math> jest tzw. [[Jednostka urojona|jednostką urojoną]], tzn. jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniających warunek <math>i^2=-1</math> (drugim elementem jest <math>-i</math>). Spotyka się czasami zapis <math>i=\sqrt{-1},</math> który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również <math>(-i)^2=-1,</math> jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Postać <math>z=a+bi</math> jest nazywana '''postacią algebraiczną''' liczby zespolonej <math>z</math><ref>{{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=4BYJi86RpgA Liczby zespolone cz. I. Postać algebraiczna]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].</ref> albo postacią kanoniczną{{fakt|data=2024-09}}.

Dla liczby <math>z=a+bi</math> definiuje się jej
* ''część rzeczywistą'' (łac. ''pars realis'') jako <math>\mathrm{re}z = a</math> (inne oznaczenia: <math>\Re z,\, \mathrm{Re}z</math>),
* ''część urojoną'' (łac. ''pars imaginaria'') jako <math>\mathrm{im}z = b</math> (inne oznaczenia: <math>\Im z,\, \mathrm{Im}z</math>).

Przykładowo liczba <math>7 - 5i</math> jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi <math>7,</math> a część urojona <math>-5.</math> Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej <math>0.</math>

Liczby postaci <math>z = 0 + bi</math> nazywa się '''[[Liczby urojone|liczbami urojonymi]]'''.

=== Zapis alternatywny ===
W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych i tym podobnych zapis <math>z = a + bi</math> może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery <math>i</math> do innych celów, na przykład chwilowego [[Natężenie prądu elektrycznego|natężenia prądu elektrycznego]]. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie <math>z = a + jb,</math> w którym to <math>j</math> oznacza jednostkę urojoną.

=== Równość ===
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Innymi słowy, liczby zespolone <math>a + bi</math> oraz <math>c + di</math> są równe wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a = c</math> oraz <math>b = d.</math>

=== Działania ===
[[Dodawanie]], [[odejmowanie]] i [[mnożenie]] liczb zespolonych w postaci algebraicznej
wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na [[Wyrażenie algebraiczne|wyrażeniach algebraicznych]], przy czym <math>i^2 = -1{:}</math>
: <math>(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i</math>
: <math>(a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad)i + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i.</math>

Aby [[Dzielenie|podzielić]] przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i [[dzielnik]] przez liczbę [[Liczby zespolone#Sprzężenie|sprzężoną]] do dzielnika. Jest to analogiczne do [[Usuwanie niewymierności z mianownika|usuwania niewymierności z mianownika]] w [[Wyrażenie arytmetyczne|wyrażeniach arytmetycznych]]:
: <math>\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}.</math>

=== Inne operacje ===
[[Pierwiastek kwadratowy]] – niech <math>z=x+iy,</math> wówczas mamy dwa rozwiązania ([[Funkcja signum|sgn]] to funkcja zwracająca znak)<ref>{{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=3GE4J1xJiIo Liczby zespolone cz. IV. Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].</ref>:

: <math>\sqrt{z} = \pm \sqrt\frac{|z|+x}{2} \pm i\sgn(y)\sqrt\frac{|z|-x}{2}</math>

: {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Wyprowadzenie
|-
|
Oznaczmy <math>\sqrt{z}=\pm(a+ib)</math> oraz <math>a = \sqrt\frac{|z|+x}{2}</math> oraz <math>b = \sgn(y)\sqrt\frac{|z|-x}{2}</math>

Dokonajmy najpierw sprawdzenia:
: <math>x+iy=z= (\sqrt{z})^2 =(\pm(a+ib))^2=a^2 + 2abi - b^2</math>
Rozpatrzmy część rzeczywistą ostatniej równości
: <math>a^2 - b^2 =  \left(\sqrt\frac{|z|+x}{2}\right)^2 - \left(\sgn(y)\sqrt\frac{|z|-x}{2}\right)^2= \frac{|z|+x}{2} - \frac{|z|-x}{2} = \frac{2x}{2} = x</math>
oraz część urojoną (korzystamy z własności kwadratu modułu: <math>|z|^2=x^2+y^2</math>):
: <math>2ab = 2\left(\sqrt\frac{|z|+x}{2}\right)\left(\sgn(y)\sqrt\frac{|z|-x}{2}\right) = 2\sgn(y) \sqrt\frac{(|z|+x)(|z|-x)}{4} = 2\sgn(y) \frac{1}{2} \sqrt{|z|^2-x^2}</math>
: <math>= \sgn(y)\sqrt{x^2+y^2-x^2}
= \sgn(y)\sqrt{y^2} =\sgn(y)|y| = y.
</math>
Gdy powyższe ciągi równości rozpatrzymy od końca, niniejsze sprawdzenie staje się wyprowadzeniem.
|}

== Płaszczyzna zespolona ==
{{Osobny artykuł|płaszczyzna zespolona}}
[[Plik:Complex number.svg|thumb|200x200px|Płaszczyzna zespolona]]
Liczbom zespolonym można przyporządkować [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznacznie]] [[wektor]]y na [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]], podobnie jak utożsamia się wektory na [[Prosta|prostej]] z [[Liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]] (w obu przypadkach można utożsamiać również same [[Punkt (geometria)|punkty]], gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku [[Układ współrzędnych|układów współrzędnych]]).

Każdej więc liczbie zespolonej <math>z = a + bi</math> można przyporządkować wektor <math>\vec z = (a, b)</math> i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:
* <math>(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),</math>
* <math>(a, b)(c, d) = (ac - bd, bc + ad).</math>

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem '''płaszczyzny zespolonej'''. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec [[XVIII wiek|XVIII]] wieku [[Caspar Wessel|Wesselowi]], mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się [[Jean-Robert Argand|Argandowi]], stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również '''płaszczyzną Arganda'''. Inną spotykaną nazwą jest też '''płaszczyzna Gaussa'''. Reprezentacja geometryczna była używana także przez [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]. Dzięki [[Autorytet|autorytetowi]] [[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]] oraz Hamiltona geometryczna teoria liczb zespolonych została w pełni zaakceptowana przez matematyków{{odn|Jahnke|2003|s=228}}.

=== Moduł ===
{{Osobny artykuł|Wartość bezwzględna#Liczby zespolone|o1=moduł liczby zespolonej}}
Zauważmy, iż długość wektora <math>\vec z</math> jest równa z [[Twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]] <math>|\vec z| = \sqrt{a^2 + b^2}.</math> Dla liczby <math>z</math> '''moduł''' definiujemy jako <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant 0.</math> Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do [[Wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] liczby rzeczywistej, spełniając przy tym definicję [[Przestrzeń unormowana|normy]].

=== Argument ===
{{Osobny artykuł|argument liczby zespolonej}}
Niech <math>\varphi</math> oznacza kąt, który wektor <math>\vec z</math> tworzy z prostą <math>\operatorname{Re},</math> oznaczmy go przez <math>\arg z.</math> Jest to tzw. '''argument'''. Widać, iż <math>\sin \varphi = \tfrac{b}{|z|}</math> i <math>\cos \varphi = \tfrac{a}{|z|}.</math> Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby <math>z</math> spełniający nierówność <math>0 \leqslant \arg z < 2\pi</math> (czasami też równoważnie <math>-\pi < \arg z \leqslant \pi</math>) oznacza się przez <math>\arg z</math> i nazywa '''argumentem głównym (wartością główną argumentu)'''. W ten sposób <math>\arg z</math> jest już [[Funkcja|funkcją]] [[Surjekcja|na]] jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla <math>z = 0 \iff |z| = 0.</math> Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz <math>\pi</math> dla ujemnych.

=== Postać trygonometryczna ===
{{Osobny artykuł|Układ współrzędnych biegunowych|o1=współrzędne biegunowe}}

{{Ukryj|
Postać trygonometryczną niezerowej liczby zespolonej można uzyskać, przekształcając odpowiednio postać algebraiczną, co pokazuje poniższe wyprowadzenie.

Niech
:: <math>z=a+bi;\,\, |z|=\sqrt{a^2+b^2}>0;\,\, \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\,\,\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \in \mathbb R.</math>

Wtedy:
:: <math>z=a+bi=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+ \frac{ib}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math>
:: <math>\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\,\,\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>

spełniają zależności:
:: <math>\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1,</math>
:: <math>-1\leqslant \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \leqslant 1,\ \ -1\leqslant \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \leqslant 1.</math>
:: <math>\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = 1</math> tylko wtedy, gdy <math>z</math> jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Znana jest tożsamość trygonometryczna:
: <math>\sin^2\varphi + \cos^2\varphi= 1.</math>

Tak więc istnieje liczba rzeczywista <math>\varphi</math> taka, że:
: <math>\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}};\,\, \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.</math>
|tytuł = Wyprowadzenie postaci trygonometrycznej – kliknij „pokaż”, aby rozwinąć}}

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego [[kąt skierowany]] (argument):
: <math>z = a + bi = |z| \cdot \tfrac{a}{|z|} + |z| \cdot \tfrac{b}{|z|}i = |z| \cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi).</math>

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się{{fakt|data=2024-09}}:
* '''postacią trygonometryczną''' z powodu użycia [[Funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]]<ref>{{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=8QYqcHf_lgw Liczby zespolone cz. II. Postać trygonometryczna]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].</ref>;
* '''postacią biegunową''' – jest przedstawieniem liczby zespolonej we [[Układ współrzędnych biegunowych|współrzędnych biegunowych]];
* '''postacią geometryczną''' – prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie.

Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnym prostokątnym]].

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. <math>z = a + bi</math> oraz <math>u = c + di</math> są równe, gdy
: <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2 + d^2} = |u|</math>

oraz (istotne tylko dla <math>|z|\ne 0</math>)
: <math>\arg z = \arg u.</math>

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:
: <math>\begin{cases}a = |z|\cos \varphi \\ b = |z|\sin \varphi \end{cases}.</math>

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:
: <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2},</math>

: <math>\varphi = \begin{cases}
  \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a}, & \text{ dla }\ a > 0 \\
  \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a} + \pi, & \text{ dla }\ a < 0 \ \text{ oraz }\ b \geqslant 0 \\
  \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a} - \pi, & \text{ dla }\ a < 0 \ \text{ oraz }\ b < 0 \\
  +\tfrac{\pi}{2}, & \text{ dla }\ a = 0 \ \text{ oraz }\ b > 0 \\
  -\tfrac{\pi}{2}, & \text{ dla }\ a = 0 \ \text{ oraz }\ b < 0 \\
  \mathrm{niezdefiniowane}, & \text{ dla }\ a = 0 \ \text{ oraz }\ b = 0
\end{cases}.</math>

Powyższy wzór ma wiele przypadków<ref group="uwaga">W wielu [[Język programowania|językach programowania]] istnieje wariant funkcji [[Funkcje cyklometryczne|arcus tangens]], często nazywany <code id="mwASI">arctan2</code> lub <code id="mwASM">atan2</code>, który przetwarza je wewnętrznie.</ref>, lecz istnieje wzór korzystający z funkcji [[Funkcje cyklometryczne|arcus cosinus]], który wymaga mniejszej ich liczby:
: <math>\varphi = \begin{cases}
  +\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \text{ dla }\ b \geqslant 0 \ \text{ oraz }\ |z| \ne 0 \\
  -\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \text{ dla }\ b < 0 \\
  \mathrm{niezdefiniowane}, & \text{ dla }\ |z| = 0
\end{cases}.</math>

=== Mnożenie ===
Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech
: <math>z_1 = |z_1|\cdot(\cos \alpha_1 + i\sin \alpha_1),</math>
: <math>z_2 = |z_2|\cdot(\cos\alpha_2 + i\sin\alpha_2).</math>

Wówczas iloczyn
: <math>z_1 \cdot z_2 = (|z_1| \cos \alpha_1 \cdot |z_2|\cos \alpha_2 - |z_1|\sin \alpha_1 \cdot |z_2| \sin \alpha_2) + (i \cdot |z_1|\sin \alpha_1 \cdot |z_2|\cos \alpha_2 + i \cdot |z_1|\cos \alpha_1 \cdot |z_2|\sin \alpha_2).</math>

Stosując odpowiednie [[tożsamości trygonometryczne]], otrzymujemy ostatecznie
: <math>z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2|\cdot
 \left[\cos (\alpha_1 + \alpha_2) + i\sin (\alpha_1 + \alpha_2)\right],</math>

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez <math>i</math> można zinterpretować jako [[obrót]] płaszczyzny o kąt <math>\tfrac{\pi}{2}.</math>

== Wzór de Moivre’a ==
[[Plik:Abraham de Moivre (2).jpg|mały|[[Abraham de Moivre]] (1667–1754)]]
{{Osobny artykuł|wzór de Moivre’a}}

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia <math>(a + bi)^n</math> dla danego wykładnika <math>n</math> przy warunku <math>i^2 = -1.</math> Mimo że można korzystać z własności [[Trójkąt Pascala|trójkąta Pascala]], to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy <math>z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi).</math> Na podstawie reguły [[Indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] zachodzi wzór
: <math>z^n = |z|^n\cdot(\cos \varphi + i\sin \varphi)^n = |z|^n \cdot [\cos (n\varphi) + i\sin (n\varphi)].</math>

=== Pierwiastkowanie ===
{{Osobny artykuł|pierwiastkowanie}}
Istnieje wersja wzoru de Moivre’a dla wykładników [[Liczby wymierne|wymiernych]]. Każda niezerowa liczba zespolona <math>z</math> ma dokładnie <math>n</math> różnych pierwiastków <math>n</math>-tego stopnia, które wyrażają się wzorem
: <math>z_k = \sqrt[n]{|z|}\cdot\left(\cos \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\right),</math>

gdzie <math>k = 0,1, \dots, n - 1</math> oraz <math>\varphi=\arg z.</math>

== Postać wykładnicza ==
[[Plik:Leonhard Euler.jpg|mały|[[Leonhard Euler]] (1707–1786)]]

Rzeczywiste funkcje <math>\sin,</math> <math>\cos,</math> oraz <math>\exp</math> zmiennej rzeczywistej można rozwinąć na szeregi Maclaurina:
: <math>\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\ \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=129}},

które są zbieżne dla każdego <math>x \in \mathbb{R}.</math> Ponieważ w tych wzorach występują jedynie działania dodawania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi o wykładniku naturalnym, które są dobrze zdefiniowane dla liczb zespolonych, to wzory te mogą posłużyć jako definicje zespolonych funkcji zmiennej zespolonej. Mianowicie definiuje się funkcje:
: <math>\sin\colon \ \mathbb{C} \to \mathbb{C},\ \sin z:=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=492}},

: <math>\cos\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ \cos z:=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=492}},

: <math>\exp\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ \exp z:=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=491}}.

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego <math>z \in \mathbb{C},</math> gdyż [[kryteria zbieżności szeregów]] takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=482}}.

Korzystając z pojęcia iloczynu Cauchy’ego szeregów, można udowodnić, że:
: <math>\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)</math> dla każdych <math>z,\ w \in \mathbb{C}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=492}}.

Z definicji oraz własności szeregów wynikają następujące wzory:
: <math>\sin(-z)=-\sin z ,\ \cos(-z)=\cos z, \ e^{iz}=\cos z +i \sin z</math> dla dowolnego <math>z \in \mathbb{C}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=492}}.

W szczególności: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi,</math> dla dowolnego <math>\varphi \in \mathbb{R}</math> (jest to tzw. [[wzór Eulera]]).

Zatem każda liczba zespolona różna od zera ma następujące przedstawienie:
: <math>z=|z|(\cos \varphi +i \sin \varphi )=|z|e^{i\varphi},</math> które nazywamy '''postacią wykładniczą''' liczby zespolonej<ref>{{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=ypzKL8eAyUw Liczby zespolone cz. V. Postać wykładnicza]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].</ref>.

Pierwiastki zespolone w postaci wykładniczej wyrażają się wzorami:
: <math>z_k = \sqrt[n]{|z|}\ \cdot e^{i\tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}}</math> dla <math>k = 0,1, \dots, n - 1.</math>

Korzystając z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa, można też wyprowadzić następujące wzory na funkcje trygonometryczne:
: <math>\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=492}},
: <math>\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}</math>{{odn|Górniewicz|Ingarden|2012|s=492}}.

== Sprzężenie ==
{{Osobny artykuł|sprzężenie zespolone}}
Niech <math>z = a + bi = |z|\cdot(\cos \varphi + i\sin \varphi) = |z|\cdot{e^{i\varphi}}.</math> Bardzo ważną operacją jest '''sprzężenie''' liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:
: <math>\overline z = a - bi</math>

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi <math>OX</math> płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na <math>2\pi - \varphi</math> lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza [[Izomorfizm|izomorficznie]] ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem [[automorfizm]]em. Oprócz tożsamości jest to jedyny [[Funkcja ciągła|ciągły]] automorfizm tego ciała, [[moc zbioru]] nieciągłych automorfizmów wynosi zaś <math>2^\mathfrak c.</math> Działanie sprzężenia zespolonego jest [[Inwolucja (matematyka)|inwolucją]]: <math>\overline{(\overline z)} = z.</math>

== Relacja porządku ==
Choć można sztucznie wprowadzić jakiś [[Porządek liniowy|porządek]] liczb zespolonych (np. [[porządek leksykograficzny]]), to jednak taka [[Relacja (matematyka)|relacja]] nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty [[Ciało uporządkowane|ciała uporządkowanego]], jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł, jak i [[argument liczby zespolonej]] są liczbami rzeczywistymi.

== Przykłady ==
Przedstawmy liczbę <math>u = ({\color{MidnightBlue}1}, {\color{OliveGreen}\sqrt3})</math> (zob. [[Liczby zespolone#Konstrukcja Hamiltona|sekcję dot. konstrukcji]]) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej, obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:
: <math>u = {\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3},</math>
: <math>\overline u = {\color{MidnightBlue}1} - i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}.</math>

Obliczamy
: <math>|u| = |{\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt 4 = {\color{Fuchsia}2},</math>
: <math>\cos \arg u = \cos \arg\left({\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = \tfrac{\color{MidnightBlue}1}{\color{Fuchsia}2},</math>
: <math>\sin \arg u = \sin \arg\left({\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = \tfrac{\color{OliveGreen}\sqrt 3}{\color{Fuchsia}2},</math>
: <math>\arg u = \arg\left({\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}},</math>

podobnie
: <math>\arg \overline u = \arg\left({\color{MidnightBlue}1} - i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}}.</math>

Stąd postać trygonometryczna <math>u</math> oraz <math>\overline u</math> to
: <math>u = {\color{Fuchsia}2}\left(\cos {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}} + i\sin {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}}\right),</math>
: <math>\overline u = {\color{Fuchsia}2}\left(\cos {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}} + i\sin {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}}\right),</math>

zaś wykładnicza:
: <math>u = {\color{Fuchsia}2}\exp {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}}i,</math>
: <math>\overline u = {\color{Fuchsia}2}\exp {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}}i.</math>

== Konstrukcje i własności ==
=== Konstrukcja Hamiltona ===
[[Plik:WilliamRowanHamilton.jpeg|thumb|[[William Rowan Hamilton]] (1805–1865) – autor ścisłej definicji liczb zespolonych]]
{{Osobna sekcja|Aksjomaty i konstrukcje liczb|Liczby zespolone}}

Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]], [[matematyka]] [[Irlandczycy|irlandzkiego]].

W [[Iloczyn kartezjański|iloczynie kartezjańskim]] <math>\mathbb R^2</math> wprowadza się [[Działanie dwuargumentowe|działania]] dodawania i mnożenia:
* <math>(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),</math>
* <math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc),</math>

gdzie <math>a, b, c, d \in \mathbb R.</math>

Tak określona struktura <math>(\mathbb R^2, +, \cdot)</math> jest [[Ciało (matematyka)|ciałem]] zwanym '''ciałem liczb zespolonych''' oznaczanym symbolem <math>\mathbb C</math> (od [[Język angielski|ang.]] ''complex'' – złożony)<ref group="uwaga">Istnieje też nieużywane powszechnie polskie oznaczenie szkolne: <math>\mathbf Z,</math> formalnie odpowiadające zbiorowi [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], nie zaś zespolonych.</ref>. Wówczas <math>i</math> odpowiada wektorowi <math>(0, 1).</math>

=== Ciało ===
[[Ciało (matematyka)|Ciało]] to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc<ref>{{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=CxNiHhfaWvE Liczby zespolone cz. VI. Liczby zespolone jako ciało liczbowe]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].</ref>:
* [[element neutralny]] dodawania („zero”), <math>0 + 0i,</math>
* element neutralny mnożenia („jedynka”), <math>1 + 0i,</math>
* [[element odwrotny]] dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby <math>a + bi</math> jest nim <math>-a - bi,</math>
* element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby <math>a + bi</math> jest nim <math>\tfrac{a}{a^2 + b^2} + \tfrac{-b}{a^2+b^2}i.</math>

Innymi ciałami są [[liczby rzeczywiste]] i [[liczby wymierne]]. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej <math>a</math> z liczbą zespoloną <math>a + 0i</math> sprawia, że liczby rzeczywiste <math>\mathbb R</math> stają się podciałem <math>\mathbb C.</math>

Liczby zespolone <math>\mathbb C</math> mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne [[Liczby algebraiczne|liczb algebraicznych]] oraz jako domknięcie algebraiczne <math>\mathbb R,</math> co opisano dalej.

=== Reprezentacja macierzowa ===
Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-[[macierz]] o współczynnikach [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]], które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest postaci
: <math>\begin{bmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{bmatrix},</math>

gdzie <math>a, b \in \mathbb R.</math> Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie [[Mnożenie macierzy|mnożenia macierzy]] tego typu jest [[Przemienność|przemienne]]. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd macierze tego typu są [[Ciało (matematyka)|ciałem]] [[Izomorfizm|izomorficznym]] z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana jako
: <math>\begin{bmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix},</math>

co sugeruje, że liczba rzeczywista <math>1</math> powinna być utożsamiana z [[Macierz jednostkowa|macierzą identycznościową]] <math>I_2</math>
: <math>\begin{bmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{bmatrix},</math>

a jednostka urojona <math>i</math> z
: <math>\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix},</math>

obrotem o <math>90^\circ</math> w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest równy 2×2-macierzy reprezentującej <math>-1 = -1 \cdot I_2 = \begin{bmatrix} -1 & \;\; 0 \\ \;\; 0 & -1 \end{bmatrix}.</math>

Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy [[wyznacznik]]owi tej macierzy.
: <math>|z|^2 = \begin{vmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{vmatrix} = a^2 - (-b)b = a^2 + b^2.</math>

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi liczby zespolonej i skaluje o współczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej <math>z</math> odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co <math>z,</math> lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam sposób, co <math>z;</math> może to być oddane jako [[Transpozycja (matematyka)|transpozycja]] macierzy odpowiadającej <math>z.</math>

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z [[Kwaterniony|kwaternionami]]. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Konstrukcja Cayleya-Dicksona|konstrukcji Cayleya-Dicksona]] algebr.

Istnieją dwa [[Wektory i wartości własne|wektory własne]] 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej sprzężenie.

=== Rzeczywista przestrzeń liniowa ===
Ciało <math>\mathbb C</math> jest dwuwymiarową rzeczywistą [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]]. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych, liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób [[Porządek liniowy|uporządkowane liniowo]] tak, by było to zgodne z działaniami arytmetycznymi w nich określonymi: <math>\mathbb C</math> nie może być przekształcone w [[ciało uporządkowane]]. Ogólniej: żadne ciało zawierające pierwiastek z <math>-1</math> nie może być uporządkowane.

W ogólności <math>\mathbb R</math>-[[Przekształcenie liniowe|liniowe]] przekształcenia <math>\mathbb C \to \mathbb C</math> są postaci
: <math>f(z) = az + b\overline z,</math>

gdzie <math>a, b</math> są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest <math>\mathbb C</math>-liniowy i tylko on jest [[Funkcja holomorficzna|holomorficzny]], drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia [[Równania Cauchy’ego-Riemanna|równań Cauchy’ego-Riemanna]].

Funkcja
: <math>f(z) = az</math>

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja
: <math>f(z) = b \overline z</math>

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

=== Rozwiązania równań wielomianowych ===
''Pierwiastek'' [[wielomian]]u <math>p</math> to liczba zespolona <math>z</math> spełniająca <math>p(z) = 0.</math> Zaskakującym wynikiem [[Analiza zespolona|analizy zespolonej]] jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia <math>n</math> o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają dokładnie <math>n</math> pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten znany jest jako [[Zasadnicze twierdzenie algebry|podstawowe twierdzenie algebry]] i pokazuje, że liczby zespolone są [[Ciało algebraicznie domknięte|ciałem algebraicznie domkniętym]]. Rzeczywiście, są one [[Ciało algebraicznie domknięte|domknięciem algebraicznym]] liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

=== Konstrukcja algebraiczna ===
Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na [[Rozszerzenie ciała|rozszerzeniu ciała]] liczb rzeczywistych <math>\mathbb R</math> o pierwiastek wielomianu <math>x^2+1.</math> Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień <math>\mathbb R[x]</math> wielomianów o współczynnikach z <math>\mathbb R.</math> Wielomian <math>x^2+1</math> jest [[Wielomian nierozkładalny|nierozkładalny]] nad <math>\mathbb R,</math> skąd ideał przez niego generowany <math>(x^2+1)</math> jest maksymalny, a więc [[pierścień ilorazowy]] <math>\mathbb R[x]/(x^2+1)</math> jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki kwadratowe z <math>-1;</math> wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem <math>i.</math> Zbiór <math>\{1, i\}</math> stanowi bazę tego rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci
: <math>a\cdot 1 + bi</math>

dla pewnych <math>a,b</math> rzeczywistych.

=== Algebraiczna domkniętość ===
Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki <math>x^2+1,</math> to otrzymane ciało liczb zespolonych jest [[Ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]] – każdy wielomian o współczynnikach w <math>\mathbb C</math> można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach z <math>\mathbb C.</math> Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, [[Ciało algebraicznie domknięte|domknięcie algebraiczne]], liczby zespolone mogą być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

=== Charakteryzacja algebraiczna ===
Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie algebraicznie. Ciało <math>\mathbb C</math> jest [[Charakteryzacja (matematyka)|scharakteryzowane]] z dokładnością do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:
* jego [[Charakterystyka (algebra)|charakterystyka]] wynosi <math>0,</math>
* jego [[stopień przestępności]] nad [[Charakterystyka (algebra)#Ciała|ciałem prostym]] jest mocy [[Continuum (teoria mnogości)|continuum]],
* jest [[Ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]].

Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że <math>\mathbb C</math> zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z <math>\mathbb C</math> (to samo jest prawdą dla <math>\mathbb R,</math> które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić te podciała od samych ciał <math>\mathbb C</math> i <math>\mathbb R</math> wymagane są rozważania topologiczne.

=== Charakteryzacja topologiczna ===
Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja <math>\mathbb C</math> nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własności topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania [[Analiza zespolona|analizy zespolonej]], gdzie liczby zespolone badane są jako [[Pierścień topologiczny|ciało topologiczne]].

Następujące własności charakteryzują <math>\mathbb C</math> jako ciało topologiczne{{fakt|data=2014-12}}:
* <math>\mathbb C</math> jest ciałem,
* <math>\mathbb C</math> zawiera podzbiór <math>P</math> niezerowych elementów spełniających:
** <math>P</math> jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,
** jeżeli <math>x</math> i <math>y</math> są różnymi elementami <math>P,</math> to tak <math>x - y,</math> jak i <math>y - x</math> należą do <math>P,</math>
** jeżeli <math>S</math> jest [[Zbiór pusty|niepustym]] podzbiorem <math>P,</math> to <math>S + P = x + P</math> dla pewnego <math>x \in \mathbb C,</math>
* <math>\mathbb C</math> ma nietrywialny, będący [[Inwolucja (matematyka)|inwolucją]] [[automorfizm]] <math>x \mapsto x^*,</math> który dla ustalonego <math>P</math> spełnia własność, że <math>xx^*</math> należy do <math>P</math> dla dowolnego niezerowego <math>x \in \mathbb C.</math>

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię, biorąc zbiory
* <math>B(x, p) = \{y : p - (y-x)(y-x)^* \in P\}</math>

jako [[Baza przestrzeni topologicznej|bazę]], gdzie <math>x</math> przebiega to ciało, a <math>p</math> przebiega <math>P.</math>

Aby przekonać się, że te własności charakteryzują <math>\mathbb C</math> jako [[Pierścień topologiczny|ciało topologiczne]], należy zauważyć, że <math>P \cup \{0\} \cup -P</math> to ciało [[Porządek zupełny|uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda]], które może być w związku z tym utożsamiane z [[Liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]] <math>\mathbb R</math> poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej własności łatwo wynika, że [[grupa Galois]] nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia charakteryzację.

[[Lew Pontriagin]] pokazał, że jedynymi [[Przestrzeń spójna|spójnymi]] [[Przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartymi]] [[Pierścień topologiczny|ciałami topologicznymi]] są <math>\mathbb R</math> oraz <math>\mathbb C.</math> Fakt ten umożliwia jeszcze jedną charakteryzację <math>\mathbb C</math> jako ciała topologicznego, ponieważ <math>\mathbb C</math> może być odróżnione od <math>\mathbb R</math> poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są [[Przestrzeń spójna|spójne]] w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

== Historia ==
[[Plik:Cardano.jpg|mały|[[Girolamo Cardano]] (1501–1576) – pionier użycia liczb zespolonych]]

=== XVI i XVII wiek ===
Istnienie [[Pierwiastek kwadratowy|pierwiastka kwadratowego]] liczby ujemnej było najprawdopodobniej po raz pierwszy rozważane w [[Starożytność|starożytności]] przez [[Heron z Aleksandrii|Herona z Aleksandrii]]{{odn|Hargittai|1992|s=153}}. Mimo to liczby zespolone wprowadził [[Girolamo Cardano]] w [[XVI wiek]]u na potrzeby [[Algebra|algebry]]<ref name="epwn-gc" />. Rozważał on ujemne [[Pole powierzchni|pola powierzchni]], rozwiązując [[Równanie sześcienne|równania sześcienne]], inaczej trzeciego stopnia. Nazywał nowe liczby [[liczba fikcyjna|fikcyjnymi]]{{odn|Burton|1995}}, a liczbę <math>i</math> [[Jednostka urojona|jednostką urojoną]], nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku. Innym pionierem tych rozważań był [[Rafael Bombelli]]{{fakt|data=2024-05}}.

Liczby urojone zawdzięczają nazwę [[René Descartes|Kartezjuszowi]]. Nazwał je tak w pracy wydanej w 1637 roku, dla kontrastu z liczbami rzeczywistymi{{odn|Descartes|2015|s=380}}.

=== XVIII i XIX wiek ===
[[Plik:Carl Friedrich Gauss.jpg|mały|[[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855) – współautor koncepcji [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]]]]

Liczby zespolone były używane przez matematyków [[XVIII wiek|osiemnastowiecznych]] jak [[Leonhard Euler]], chociaż do pierwszej dekady [[XIX wiek]]u ich status był niepewny{{odn|Jahnke|2003|s=213}}. Nowy typ liczb stał się przedmiotem i narzędziem algebry oraz [[Analiza matematyczna|analizy]]; pokazała ona związek między [[Funkcja wykładnicza|funkcją wykładniczą]] o urojonych [[Argument funkcji|argumentach]] z [[Funkcje trygonometryczne|funkcjami trygonometrycznymi]], przez co liczby zespolone stały się użyteczne w trygonometrii i jej zastosowaniach jak [[analiza harmoniczna]]<ref name="epwn-sf" />. Związek trygonometrii i analizy harmonicznej z opisem [[Drgania|drgań]], [[Fala|fal]] i [[sygnał]]ów sprawił, że liczby zespolone zastosowano w różnych [[Nauki empiryczne|naukach empirycznych]] i [[Nauki techniczne|technicznych]]<ref name="epwn" /> jak [[fizyka]], [[elektrotechnika]] i [[elektronika]].

Liczb zespolonych użyto też:
* do obliczania [[logarytm]]ów z liczb ujemnych;
* w dowodzie [[Zasadnicze twierdzenie algebry|zasadniczego twierdzenia algebry]]{{odn|Jahnke|2003|s=213}}.

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych po raz pierwszy pojawiła się w pracach [[Duńczycy|duńskiego]] matematyka [[Caspar Wessel|Caspara Wessela]] z 1806, jednak nie została ona zauważona. Dopiero prace [[Szwajcarzy|szwajcarskiego]] matematyka [[Jean-Robert Argand|Roberta Arganda]], zyskała większy odzew{{odn|Jahnke|2003|s=216}}. Wielki wpływ na liczby zespolone miały prace [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy’ego]], który systematycznie opracował algebrę [[Funkcja zespolona|funkcji zespolonych]]{{odn|Jahnke|2003|s=214–219}}. Po raz pierwszy pojęcie liczb zespolonych, jako składających się z części rzeczywistej oraz urojonej, wprowadził niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]] w roku 1831<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Complex_number Complex number]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-27].</ref> lub 1832{{odn|Hargittai|1992|s=153}}. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru <math>\mathbb R^2,</math> z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]{{fakt|data=2024-04}}.

W [[XIX wiek]]u powstał też dział matematyki oparty w całości na liczbach zespolonych – [[analiza zespolona]], która również znalazła zastosowania w matematyce i poza nią<ref name="mw-ca" />. Pierwszą poprawną publikacją<ref group="uwaga">Wcześniejsze próby zawierały błędy logiczne.</ref> na temat całkowania w dziedzinie liczb zespolonych była praca [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy'ego]] z 1825 roku{{odn|Jahnke|2003|s=219-220}}. Jednym z problemów analizy zespolonej jest [[hipoteza Riemanna]] wysunięta w XIX wieku, istotna dla [[Analityczna teoria liczb|analitycznej teorii liczb]]. Uznano ją za jedno z najdonioślejszych zagadnień całej matematyki, przez co znalazła się na listach:
* 23 [[Problemy Hilberta|problemów Hilberta]] w roku 1900;
* siedmiu [[Problemy milenijne|problemów milenijnych]] w roku 2000<ref name="tm-hr" /><ref name="qm" />.

Liczby zespolone to przykład pojęcia, które po setkach lat od odkrycia znalazło swoje główne zastosowanie i okazało się być fundamentalne dla techniki, m.in. [[Elektrotechnika|elektrotechniki]].

== Zastosowania ==
[[Plik:Color complex plot.jpg|mały|Wykres [[Funkcja zespolona|funkcji zespolonej]]<br />
<math>f(z)=\tfrac{(z^2-1)(z-2-i)^2}{z^2+2+2i}</math><br />
wykonany za pomocą [[Technika kolorowania dziedziny|techniki kolorowania dziedziny]]. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.]]

=== Matematyka ===
* Wyznaczanie miejsc zerowych [[Równanie kwadratowe|równań kwadratowych]], których [[Funkcja kwadratowa|wyróżnik]] jest ujemny;
* badanie [[fraktal]]i;
* rozwiązywanie [[Równanie różniczkowe|równań różniczkowych]];
* obliczanie [[Całka oznaczona|całek oznaczonych]] z funkcji rzeczywistych przy pomocy [[Residuum funkcji holomorficznej|metody residuów]];
* analiza przebiegów zmiennych i periodycznych, oraz rozwiązywanie wielu problemów różniczkowych oraz całkowych, przy użyciu [[Transformacja Fouriera|transformacji Fouriera]];
* analiza [[Teoria grafów|grafów]] przez [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] [[Macierz sąsiedztwa|macierzy sąsiedztwa]].

=== Inne nauki ===
* [[Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych|Analiza obwodów elektrycznych prądu przemiennego]];
* [[mechanika kwantowa]] i jej rozszerzenia.

Ze względu na liczne zastosowania liczby zespolone są [[Zespolony typ danych|typem wbudowanym]] w niektórych [[Język programowania|językach programowania]], np. [[Fortran]]<ref>{{cytuj| url=https://wg5-fortran.org/ARCHIVE/Fortran66.pdf| tytuł=USA Standard: Fortran| wydawca=[[American National Standards Institute|ANSI]]| data=1966-03-07| s=9, 18–19| data dostępu=2024-05-21}}</ref>, [[Python]]<ref>{{Cytuj stronę |url=https://realpython.com/python-complex-numbers/ |tytuł=Simplify Complex Numbers With Python |data dostępu=2024-05-16 |autor=Bartosz Zaczyński}}</ref>, [[R (język programowania)|R]]<ref>{{Cytuj stronę |url=https://www.r-tutor.com/r-introduction/basic-data-types/complex |autor=Chi Yau| tytuł=Complex |opublikowany=R Tutorial &ndash; An R Introduction to Statistics |data dostępu=2024-05-16}}</ref> czy [[Scheme]]<ref>{{Cytuj stronę |url=https://lips.js.org/docs/scheme-intro/data-types |tytuł= Data Types {{!}} LIPS Scheme |data dostępu=2024-05-16}}</ref>.

== Zobacz też ==
{{Siostrzane projekty
 |commons   = Category:Complex numbers
 |słownik   = liczba zespolona
 |źródła    = 
 |cytaty    = 
 |news      = 
 |books     = liczby zespolone
 |podróże   = 
 |species   = 
 |wikiwerek = 
 |meta      = 
}}
* [[Ciało globalne|ciało lokalne]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Burton |imię = David M. |tytuł = The History of Mathematics |data = 1995 |isbn = 978-0-07-009465-9 |wydanie = III |miejsce = Nowy Jork |wydawca = McGraw-Hill |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Descartes |imię = René |autor link = René Descartes |tytuł = Geometria |inni = Tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka |wydawca = TAiWPN |miejsce = Kraków |rok = 2015 |isbn = 978-83-242-2759-4 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Górniewicz |imię = L. |nazwisko2 = Ingarden |imię2 = R.S. |autor link2 = Roman Stanisław Ingarden |tytuł = Analiza matematyczna dla fizyków |rok = 2012 |miejsce = Toruń |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika|Wydawnictwo Naukowe UMK]] |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Hargittai |imię = István |tytuł = Fivefold symmetry (wyd. 2) |url = https://books.google.pl/books?id=-Tt37ajV5ZgC&pg=PA153&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |wydawca = World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. |miejsce = Singapur |data = 1992 |isbn = 981-02-0600-3 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Jahnke |imię = Hans Niels |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]] |oclc = 51607350 |data dostępu = 2021-07-19 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} Tomasz Zabawa, ''[http://wms.mat.agh.edu.pl/~zrr/zespolone/index.htm Liczby zespolone]'', [[Wydział Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie]] (WMS AGH), wms.mat.agh.edu.pl [dostęp 2024-05-16] – opis liczb zespolonych i zadania z rozwiązaniami.
* {{otwarty dostęp}} [https://obliczone.pl/kalkulatory/864-kalkulator-liczb-zespolonych Kalkulator liczb zespolonych], obliczone.pl [dostęp 2024-05-16].

{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2024-04-01]:
* Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/playlist?list=PLUchO7GuOkaCcD_EMqEupbbDJwBgo5GQv Algebra – liczby zespolone]'', kanał [[Khan Academy]] po polsku, 5 lutego 2015.
* Wiktor Bartol, ''[https://www.youtube.com/watch?v=gJw9NVxx_A8 Liczby zespolone]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki”, 27 września 2017.
* Helena Kazieko, ''[https://www.youtube.com/watch?v=u-VqNgjF_5k Liczby zespolone]'', kanał [[Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie|SGGW]], 13 maja 2020.
* Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=6-Wmlj4rUdw Liczby zespolone | Zacznijmy od zera #3]'', [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] – [[Uniwersytet Jagielloński]], kanał „Copernicus”, 23 lutego 2021.

; Anglojęzyczne
{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2024-04-01]:
* [[Sabine Hossenfelder]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=ALc8CBYOfkw Do Complex Numbers Exist?]'', kanał autorski, 6 marca 2021.
* ''[https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo How Imaginary Numbers Were Invented]'', kanał Veritasium, 1 listopada 2021.

{{Liczby zespolone}}
{{Główne rodzaje liczb}}
{{Algebry nad ciałami liczbowymi}}
{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby zespolone| ]]