Tekst źródłowy strony Liczby rzeczywiste

[[Plik:Real number line.svg|thumb|300px|[[Oś liczbowa]] – interpretacja [[Geometria|geometryczna]] zbioru liczb rzeczywistych]]

'''Liczby rzeczywiste''' – [[uogólnienie]] [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] na wszystkie [[Liczba|liczby]] odpowiadające punktom na [[Oś liczbowa|osi liczbowej]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | tytuł = Liczby rzeczywiste | id =  3932376| data dostępu = 2021-07-21 }}</ref>, zwanej też [[Prosta|prostą]] rzeczywistą. Liczby rzeczywiste pozwalają opisać wszelkie [[Odległość|odległości]], liczby do nich [[Liczba przeciwna|przeciwne]] oraz inne wielkości [[Skalar (fizyka)|skalarne]]. [[Zbiór]] liczb rzeczywistych oznacza się [[symbol]]em <math>\mathbb R</math><ref name="epwn" /> lub <math>\mathbf R.</math>

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać [[Ułamek dziesiętny|ułamkiem dziesiętnym]], przy czym nie musi on mieć takich własności, jak dla liczb wymiernych – może jednocześnie nie być skończony ani ostatecznie [[Funkcja okresowa|okresowy]]<ref name="epwn" />. Ta odpowiedniość zachodzi też w drugą stronę – każdy [[ułamek dziesiętny nieskończony]] odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej, przez co takie [[Ciąg (matematyka)|ciągi]] cyfr mogą być użyte do definiowania liczb rzeczywistych<ref name="epwn" />.

Zrozumienie, że [[Ułamek|ułamki zwykłe]] – tj. [[Stosunek (matematyka)|stosunki]] dwóch [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] – nie wystarczą do opisu niektórych [[Długość fizyczna|długości]], przyniosła [[starożytność]]<ref name="epwn2">{{Encyklopedia PWN | tytuł = Liczby niewymierne | id = 3932369 | data dostępu = 2023-11-26 }}</ref>. Wtedy zakon [[Pitagorejczycy|Pitagorejczyków]] udowodnił, że [[Pierwiastek kwadratowy z 2|pierwiastek kwadratowy z dwóch]] (<math>\sqrt{2}</math>) jest [[Liczby niewymierne|niewymierny]]<ref name="mw">{{MathWorld | adres = IrrationalNumber | tytuł = Irrational Number }} [dostęp 2023-11-26].</ref>. [[Nowożytność|Czasy nowożytne]] przyniosły rozwój [[Matematyka wyższa|matematyki wyższej]], a wraz z nią:
* nazwę ''liczby rzeczywiste'', użytą w kontraście do [[Liczby urojone|liczb urojonych]]<ref name="jm">{{otwarty dostęp}} Jeff Miller, ''Real number'' [w:] ''[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/r/ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R)]'' {{lang|en}}, [[MacTutor History of Mathematics archive]], [[University of St Andrews]], mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-11-26].</ref><ref name="jm2">{{otwarty dostęp}} Jeff Miller, ''Imaginary'' [w:] ''[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/i/ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I)]'' {{lang|en}}, [[MacTutor History of Mathematics archive]], [[University of St Andrews]], mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-11-26].</ref>;
* formalne, ścisłe definicje liczb rzeczywistych, podane niżej;
* opisy własności tego zbioru, np. jego [[Moc zbioru|mocy]];
* rozmaite [[Uogólnienie|uogólnienia]];
* inne obiekty, które nazwano liczbami, mimo że nie leżą na osi rzeczywistej, wymienione w dalszej sekcji.

Za pomocą zbioru liczb rzeczywistych definiuje się:
* [[Przedział (matematyka)|przedziały liczbowe]];
* [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie kartezjańskie]], będące podstawą [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]];
* [[Funkcja rzeczywista|funkcje rzeczywiste]] badane przez [[Analiza rzeczywista|analizę rzeczywistą]].

== Historia ==
[[Pitagorejczycy]] zauważyli, że [[przekątna]] [[kwadrat]]u i jego bok są niewspółmierne, tj. nie istnieje odcinek, dla którego przekątna i bok byłyby naturalnymi wielokrotnościami. W dzisiejszym języku oznaczało to, że żadna liczba wymierna nie jest stosunkiem długości przekątnej kwadratu i jego boku (zob. [[Pierwiastek kwadratowy z 2#Dowód niewymierności|dowód niewymierności pierwiastka z 2]]). Była to pierwsza wykryta ''niewymierność'', pierwszą znaną klasyfikację niewymierności przeprowadził [[Teajtet]].

Znana od czasów starożytnych liczba [[pi]], którą definiuje się jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy, także okazała się liczbą niewymierną – udowodnił to w roku 1767 [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]]. Każda wykryta ''niewymierność'' oznaczała tzw. ''lukę'' w zbiorze liczb wymiernych. Konstrukcja liczb rzeczywistych jest wypełnieniem wszystkich możliwych ''luk''. Za pierwszą udaną konstrukcję liczb rzeczywistych uważa się teorię proporcji [[Eudoksos z Knidos|Eudoksosa]] opisaną w [[Elementy Euklidesa|Elementach]] [[Euklides]]a. Chociaż pierwszą formalną definicję liczb rzeczywistych zaproponował [[Richard Dedekind]] używając liczb wymiernych oraz wprowadzonych przez siebie [[Przekrój Dedekinda|przekrojów]]<ref>{{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |oclc = 51607350 |strony=11}}</ref>.

== Definicje i konstrukcje ==
[[Plik:Augustin Louis Cauchy.jpg|mały|[[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857)]]
[[Plik:Richard Dedekind 1900s.jpg|mały|[[Richard Dedekind]] (1831–1916)]]
{{osobny artykuł|Aksjomaty i konstrukcje liczb}}

Zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> można zdefiniować [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby rzeczywiste|aksjomatycznie]], jako [[ciało uporządkowane]] spełniające [[aksjomat ciągłości]]{{fakt|data=2023-11}}. Jest to struktura algebraiczna <math>(\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1, \leqslant)</math> spełniającą następujące aksjomaty:
# <math>(\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1)</math> jest [[ciało (matematyka)|ciałem]],
# <math>\leqslant</math> jest [[porządek liniowy|porządkiem liniowym]] spełniającym dodatkowo warunki:
#* jeśli <math>x \geqslant y,</math> to <math>x + z \geqslant y + z;</math>
#* jeśli <math>x \geqslant 0</math> i <math>y \geqslant 0,</math> to <math>xy \geqslant 0.</math>
# spełniony jest [[aksjomat ciągłości]]: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór <math>\mathbb R</math> ma [[Kresy dolny i górny|kres górny]].

Ponieważ aksjomatyka nie gwarantuje istnienia obiektu spełniającego te aksjomaty, przeprowadza się konstrukcje liczb rzeczywistych biorące za punkt wyjścia [[liczby wymierne]].

Istnieje kilka klasycznych sposobów konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:
* za pomocą [[Przekrój Dedekinda|przekrojów Dedekinda]],
* za pomocą [[Ciąg Cauchy’ego|ciągów Cauchy’ego]] liczb wymiernych.
* za pomocą [[ciąg (matematyka)|ciągów nieskończonych]], w których pierwszym wyrazem jest dowolna [[Liczby całkowite|liczba całkowita]], wszystkie następne są [[Liczby naturalne|liczbami naturalnymi]] ze zbioru {0,1,...,9}. Ta metoda jest ściśle związana z reprezentacją liczb rzeczywistych w postaci [[ułamek dziesiętny nieskończony|ułamka dziesiętnego nieskończonego]].

Z punktu widzenia [[Topologia|topologii]] zbiór liczb rzeczywistych to:
* rozszerzenie [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] liczb wymiernych do [[przestrzeń zupełna|przestrzeni zupełnej]]{{fakt|data=2023-11}};
* rozszerzenie zbioru liczb wymiernych z [[Topologia porządkowa|topologią przedziałową]] do [[przestrzeń spójna|przestrzeni spójnej]]{{fakt|data=2023-11}}.

== Niektóre własności ==
=== Mnogościowe ===
* [[Moc zbioru]] liczb rzeczywistych nazywana jest [[Continuum (teoria mnogości)|continuum]] i oznaczana symbolem <math>\mathfrak{c}.</math> Jest ona większa, na przykład, od mocy zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] (zobacz też: [[Metoda przekątniowa|rozumowanie przekątniowe]]) czy zbioru [[liczby algebraiczne|liczb algebraicznych]] – odpowiednio, zbiory liczb niewymiernych i przestępnych mają również moc continuum.
* Naturalny porządek (relacja mniejszości) liczb rzeczywistych spełnia [[antyłańcuch|warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc)]].

=== Topologiczne ===
Naturalną [[przestrzeń metryczna|metryką]] w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. [[Przestrzeń euklidesowa|metryka euklidesowa]], czyli [[wartość bezwzględna]] różnicy dwóch liczb. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest [[przestrzeń zupełna|zupełną przestrzenią metryczną]]. Ponadto jest ona [[przestrzeń ośrodkowa|przestrzenią ośrodkową]] (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).

[[Rodzina zbiorów|Rodzinę zbiorów]] otwartych ([[Przestrzeń topologiczna|topologię]]) na prostej można określić definiując [[Zbiór otwarty|zbiory otwarte]]:
: Zbiór <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> jest otwarty <math>\iff</math> <math>\forall_{x \in A}\ \exists_{\varepsilon > 0}\ (x - \varepsilon; x + \varepsilon) \subseteq A,</math>
czyli zbiór jest otwarty, gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien [[Przedział (matematyka)|przedział otwarty]] zawierający ten punkt.

[[Baza przestrzeni topologicznej|Bazą]] tej topologii jest np. rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Wynika stąd, że liczby rzeczywiste spełniają [[aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]]. Przestrzeń rzeczywista jest ponadto [[przestrzeń spójna|spójna]] i [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwarta]].

Ważnymi niestandardowymi topologiami określonymi na zbiorze liczb rzeczywistych są tzw. [[prosta Sorgenfreya]] i [[prosta Michaela]].

== Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych ==
Popularną, przybliżoną, [[komputer]]ową reprezentacją liczby rzeczywistej jest [[liczba zmiennoprzecinkowa]] i [[Typ danych|typ]] zmiennoprzecinkowy. Najczęściej jest to implementacja standardu [[IEEE 754]].

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane również przez typ pozwalający obliczać ich przybliżenia z dowolną dokładnością, co umożliwia [[dokładna arytmetyka rzeczywista|dokładną arytmetykę rzeczywistą]]<ref>{{Cytuj stronę | url = http://irram.uni-trier.de/ | tytuł = iRRAM – a software library for exact real arithmetic | data dostępu = 2021-01-03}}</ref><ref>{{Cytuj stronę | url = https://hackage.haskell.org/package/exact-real | tytuł = exact-real: Exact real arithmetic | data dostępu = 2021-01-03}}</ref>.

== Uogólnienia i liczby nierzeczywiste ==
Przykłady [[Uogólnienie|uogólnień]] liczb rzeczywistych to:
* [[liczby zespolone]], [[Liczby dualne|dualne]], [[Liczby podwójne|podwójne]], [[Liczby hiperrzeczywiste|hiperrzeczywiste]];
* zbiory, w których nie ma wszystkich [[Arytmetyka elementarna|działań arytmetycznych]], np. [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych]], [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie kartezjańskie]], [[Przestrzeń euklidesowa|euklidesowe]] i inne [[Rozmaitość|rozmaitości]].

Poza oś rzeczywistą wykraczają także:
* [[liczby kardynalne]] i [[Liczby porządkowe|porządkowe]] będące rozszerzeniami [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]];
* [[liczby p-adyczne]] – alternatywne względem liczb rzeczywistych rozszerzenia [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]].

== Zobacz też ==
* [[Ciąg Cauchy’ego#Ciąg podstawowy|ciąg podstawowy]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{Pismo Delta | url = temat/matematyka/analiza/2016/01/20/Czy_liczby_rzeczywiste_sa_rzeczywiste/ | autor = [[Roman Sikorski]] | tytuł = Czy liczby rzeczywiste są rzeczywiste? | data = styczeń 1974 | data dostępu = 2022-07-19 }}
* {{Pismo Delta | url = /media/articles/2021/07/delta-2021-07-jak-nie-wierzyc-w-liczby-rzeczywiste.pdf | autor = Aleksy Schubert | tytuł = Jak nie wierzyć w liczby rzeczywiste? | data = lipiec 2021 | data dostępu = 2023-12-10 }}
* {{Pismo Delta | url = 2024/09/jak-wyglada-pozaskonczona-rzeczywistosc/ | autor = Julia Ścisłowska | tytuł = Jak wygląda pozaskończona rzeczywistość? | data = wrzesień 2024 | data dostępu = 2024-09-03 }}
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=qLY3Kq7DqoI Zbiór liczb rzeczywistych cz. I Aksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
{{otwarty dostęp}} Tomasz Miller, nagrania na [[YouTube]], [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] – [[Uniwersytet Jagielloński]], kanał „Copernicus” [dostęp 2023-11-26]:
* ''[https://www.youtube.com/watch?v=DY-bxOFqiOw Liczby rzeczywiste | Zacznijmy od zera #2]'', 19 stycznia 2021;
* ''[https://www.youtube.com/watch?v=8MloA7-PfVI O liczbach nierzeczywistych]'', 10 maja 2018.

; Anglojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Real_number Real number]'', Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Rodzaje liczb rzeczywistych}}
{{Główne rodzaje liczb}}
{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby]]
[[Kategoria:Rodzaje ciał]]