Tekst źródłowy strony Liczby Mersenne’a

'''Liczby Mersenne’a''' – liczby postaci <math>M_n=2^n - 1,</math> gdzie <math>n</math> jest [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3939847 | tytuł = Liczby Mersenne’a | data dostępu = 2021-09-15}}</ref>. Liczby Mersenne’a zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka [[Marin Mersenne|Marina Mersenne’a]], który opublikował tablicę [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]] tego typu (jak się później okazało, błędną).

Liczba Mersenne’a <math>M_n</math> jest równa sumie [[ciąg geometryczny|ciągu geometrycznego]]
: <math>2^0+2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{n-1}.</math>

== Pierwszość liczb Mersenne’a ==
[[Warunek konieczny|Warunkiem koniecznym]], żeby liczba <math>M_n</math> była pierwsza jest, by <math>n</math> było liczbą pierwszą.

Rzeczywiście, niech <math>n=ab</math> będzie [[Liczba złożona|liczbą złożoną]], gdzie <math>a,b>1</math> są liczbami naturalnymi. Wówczas
: <math>M_n=2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1^b=(2^a-1) (2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+2^{a(b-3)}+\ldots+2^{a(b-b)})</math>

również jest złożona.

Pierwszość wskaźnika <math>n</math> nie jest jednak wystarczająca dla pierwszości liczby <math>M_n,</math> np.:
: <math>M_{11}=2^{11}-1 = 23 \cdot 89.</math>

=== Liczby złożone Mersenne’a ===
Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych Mersenne’a o wykładnikach będących liczbami pierwszymi. Ich przykładami są:
: <math>2^{11} -1 = 2047 = 23 \cdot 89</math>
: <math>2^{23} -1 = 8388607=47 \cdot 178481</math>
: <math>2^{29} -1 = 536870911=233 \cdot 1103 \cdot 2089</math>
: <math>2^{37} -1 = 137438953471=223 \cdot 616318177</math>
: <math>2^{41} -1 = 2199023255551=13367 \cdot 164511353</math>
: <math>2^{43} -1 = 8796093022207=431 \cdot 9719 \cdot 2099863</math>
: <math>2^{47} -1 = 140737488355327=2351 \cdot 4513 \cdot 13264529</math>
: <math>2^{53} -1 = 9007199254740991=6361 \cdot 69431 \cdot 20394401</math>
: <math>2^{59} -1 = 576460752303423487=179951 \cdot 3203431780337</math><ref>{{cytuj stronę |url = https://planetmath.org/tableoffactorsofsmallmersennenumbers |tytuł = table of factors of small Mersenne numbers |opublikowany = planetmath.org |język = en |data dostępu = 2022-06-03}}</ref>
: <math>2^{83} -1 = 9671406556917033397649407 = 167 \cdot 57912614113275649087721</math>

Hipoteza byłaby prawdziwa, gdyby okazało się, że istnieje nieskończenie wiele [[Liczby pierwsze Germain|liczb pierwszych Germain]] mających postać <math>4k+3.</math>

=== Liczby pierwsze Mersenne’a ===
Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne’a. Obecnie poznano ich 52<ref>{{cytuj |url=https://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html |tytuł=Mersenne Prime |opublikowany=mathworld.wolfram.com |data dostępu=2024-10-21 |język=en}}</ref>:
{| class="wikitable" style="text-align: left"
|-
! Lp.
! ''n''
! ''M''<sub>''n''</sub>
! ''M''<sub>''n''</sub>
! Liczba cyfr w ''M''<sub>''n''</sub>
! Data odkrycia
! Odkrywca
|-
|align="right"| 1.
|align="right"| 2
|align="left"| <math>2^2-1</math>
|align="right"| [[3 (liczba)|3]]
|align="right"| 1
|
|
|-
|align="right"| 2.
|align="right"| 3
|align="left"| <math>2^3-1</math>
|align="right"| [[7 (liczba)|7]]
|align="right"| 1
|
|
|-
|align="right"| 3.
|align="right"| 5
|align="left"| <math>2^5-1</math>
|align="right"| [[31 (liczba)|31]]
|align="right"| 2
|
|
|-
|align="right"| 4.
|align="right"| 7
|align="left"| <math>2^7-1</math>
|align="right"| [[127 (liczba)|127]]
|align="right"| 3
|
|
|-
|align="right"| 5.
|align="right"| 13
|align="left"| <math>2^{13}-1</math>
|align="right"| 8191
|align="right"| 4
| 1456
| ''nieznany''
|-
|align="right"| 6.
|align="right"| 17
|align="left"| <math>2^{17}-1</math>
|align="right"| 131071
|align="right"| 6
| 1588
| {{link-interwiki|Pietro Cataldi|Q=Q279892}}
|-
|align="right"| 7.
|align="right"| 19
|align="left"| <math>2^{19}-1</math>
|align="right"| 524287
|align="right"| 6
| 1588
| Pietro Cataldi
|-
|align="right"| 8.
|align="right"| 31
|align="left"| <math>2^{31}-1</math>
|align="right"| 2147483647
|align="right"| 10
| 1772
| [[Leonhard Euler]]
|-
|align="right"| 9.
|align="right"| 61
|align="left"| <math>2^{61}-1</math>
|align="right"| 2305843009213693951
|align="right"| 19
| 1883
| {{link-interwiki|Ivan Pervushin|tekst=Iwan Perwuszin|Q=Q374046}}
|-
|align="right"| 10.
|align="right"| 89
|align="left"| <math>2^{89}-1</math>
|align="right"| 618970019642690137449562111
|align="right"| 27
| 1911
| {{link-interwiki|Ralph Ernest Powers|Q=Q7273603}}
|-
|align="right"| 11.
|align="right"| 107
|align="left"| <math>2^{107}-1</math>
|align="right"| 162259276829213363391578010288127
|align="right"| 33
| 1914
| Ralph Ernest Powers
|-
|align="right"| 12.
|align="right"| 127
|align="left"| <math>2^{127}-1</math>
|align="right"| 170141183460469231731687303715884105727
|align="right"| 39
| 10 czerwca 1876
| [[Édouard Lucas]]
|-
|align="right"| 13.
|align="right"| 521
|align="left"| <math>2^{521}-1</math>
|align="right"| 68647976601306097149...12574028291115057151
|align="right"| 157
| 30 stycznia 1952
| {{link-interwiki|Raphael M. Robinson|tekst=Raphael Mitchel Robinson|Q=Q1257572}}
|-
|align="right"| 14.
|align="right"| 607
|align="left"| <math>2^{607}-1</math>
|align="right"| 53113799281676709868...70835393219031728127
|align="right"| 183
| 30 stycznia 1952
| Raphael Mitchel Robinson
|-
|align="right"| 15.
|align="right"| 1279
|align="left"| <math>2^{1279}-1</math>
|align="right"| 10407932194664399081...20710555703168729087
|align="right"| 386
| 25 czerwca 1952
| Raphael Mitchel Robinson
|-
|align="right"| 16.
|align="right"| 2&nbsp;203
|align="left"| <math>2^{2203}-1</math>
|align="right"| 14759799152141802350...50419497686697771007
|align="right"| 664
| 7 października 1952
| Raphael Mitchel Robinson
|-
|align="right"| 17.
|align="right"| 2&nbsp;281
|align="left"| <math>2^{2281}-1</math>
|align="right"| 44608755718375842957...64133172418132836351
|align="right"| 687
| 9 października 1952
| Raphael Mitchel Robinson
|-
|align="right"| 18.
|align="right"| 3&nbsp;217
|align="left"| <math>2^{3217}-1</math>
|align="right"| 25911708601320262777...46160677362909315071
|align="right"| 969
| 8 września 1957
| {{link-interwiki|Hans Riesel|Q=Q707991}}
|-
|align="right"| 19.
|align="right"| 4&nbsp;253
|align="left"| <math>2^{4253}-1</math>
|align="right"| 19079700752443907380...76034687815350484991
|align="right"| 1&nbsp;281
| 3 listopada 1961
| Alexander Hurwitz
|-
|align="right"| 20.
|align="right"| 4&nbsp;423
|align="left"| <math>2^{4423}-1</math>
|align="right"| 28554254222827961390...10231057902608580607
|align="right"| 1&nbsp;332
| 3 listopada 1961
| Alexander Hurwitz
|-
|align="right"| 21.
|align="right"| 9&nbsp;689
|align="left"| <math>2^{9689}-1</math>
|align="right"| 47822027880546120295...18992696826225754111
|align="right"| 2&nbsp;917
| 11 maja 1963
| {{link-interwiki|Donald B. Gillies|tekst=Donald Bruce Gillies|Q=Q3710399}}
|-
|align="right"| 22.
|align="right"| 9&nbsp;941
|align="left"| <math>2^{9941}-1</math>
|align="right"| 34608828249085121524...19426224883789463551
|align="right"| 2&nbsp;993
| 16 maja 1963
| Donald Bruce Gillies
|-
|align="right"| 23.
|align="right"| 11&nbsp;213
|align="left"| <math>2^{11213}-1</math>
|align="right"| 28141120136973731333...67391476087696392191
|align="right"| 3&nbsp;376
| 2 czerwca 1963
| Donald Bruce Gillies
|-
|align="right"| 24.
|align="right"| 19&nbsp;937
|align="left"| <math>2^{19937}-1</math>
|align="right"| 43154247973881626480...36741539030968041471
|align="right"| 6&nbsp;002
| 4 marca 1971
| {{link-interwiki|Bryant Tuckerman|Q=Q838473}}
|-
|align="right"| 25.
|align="right"| 21&nbsp;701
|align="left"| <math>2^{21701}-1</math>
|align="right"| 44867916611904333479...57410828353511882751
|align="right"| 6&nbsp;533
| 30 października 1978
| {{link-interwiki|Landon Curt Noll|Q=Q1327684}} i Laura Nickel
|-
|align="right"| 26.
|align="right"| 23&nbsp;209
|align="left"| <math>2^{23209}-1</math>
|align="right"| 40287411577898877818...36743355523779264511
|align="right"| 6&nbsp;987
| 9 lutego 1979
| Landon Curt Noll
|-
|align="right"| 27.
|align="right"| 44&nbsp;497
|align="left"| <math>2^{44497}-1</math>
|align="right"| 85450982430363380319...44867686961011228671
|align="right"| 13&nbsp;395
| 8 kwietnia 1979
| {{link-interwiki|Harry L. Nelson|tekst=Harry Lewis Nelson|Q=Q11326844}} i {{link-interwiki|David Slowinski|Q=Q5239864}}
|-
|align="right"| 28.
|align="right"| 86&nbsp;243
|align="left"| <math>2^{86243}-1</math>
|align="right"| 53692799550275632152...99857021709433438207
|align="right"| 25&nbsp;962
| 25 września 1982
| David Slowinski
|-
|align="right"| 29.
|align="right"| 110&nbsp;503
|align="left"| <math>2^{110503}-1</math>
|align="right"| 52192831334175505976...69951621083465515007
|align="right"| 33&nbsp;265
| 28 stycznia 1988
| Walt Colquitt i Luke Welsh
|-
|align="right"| 30.
|align="right"| 132&nbsp;049
|align="left"| <math>2^{132049}-1</math>
|align="right"| 51274027626932072381...52138578455730061311
|align="right"| 39&nbsp;751
| 19 września 1983
| David Slowinski
|-
|align="right"| 31.
|align="right"| 216&nbsp;091
|align="left"| <math>2^{216091}-1</math>
|align="right"| 74609310306466134368...91336204103815528447
|align="right"| 65&nbsp;050
| 6 września 1985
| David Slowinski
|-
|align="right"| 32.
|align="right"| 756&nbsp;839
|align="left"| <math>2^{756839}-1</math>
|align="right"| 17413590682008709732...02603793328544677887
|align="right"| 227&nbsp;832
| 19 lutego 1992
| {{link-interwiki|David Slowinski|Q=Q5239864}} i Paul Gage
|-
|align="right"| 33.
|align="right"| 859&nbsp;433
|align="left"| <math>2^{859433}-1</math>
|align="right"| 12949812560420764966...02414267243500142591
|align="right"| 258&nbsp;716
| 10 stycznia 1994
| David Slowinski i Paul Gage
|-
|align="right"| 34.
|align="right"| 1&nbsp;257&nbsp;787
|align="left"| <math>2^{1257787}-1</math>
|align="right"| 41224577362142867472...31257188976089366527
|align="right"| 378&nbsp;632
| 3 września 1996
| David Slowinski i Paul Gage
|-
|align="right"| 35.
|align="right"| 1&nbsp;398&nbsp;269
|align="left"| <math>2^{1398269}-1</math>
|align="right"| 81471756441257307514...85532025868451315711
|align="right"| 420&nbsp;921
| 13 listopada 1996
| [[Great Internet Mersenne Prime Search|GIMPS]] / Joel Armengaud
|-
|align="right"| 36.
|align="right"| 2&nbsp;976&nbsp;221
|align="left"| <math>2^{2976221}-1</math>
|align="right"| 62334007624857864988...76506256743729201151
|align="right"| 895&nbsp;932
| 24 sierpnia 1997
| GIMPS / Gordon Spence
|-
|align="right"| 37.
|align="right"| 3&nbsp;021&nbsp;377
|align="left"| <math>2^{3021377}-1</math>
|align="right"| 12741168303009336743...25422631973024694271
|align="right"| 909&nbsp;526
| 27 stycznia 1998
| GIMPS / Roland Clarkson
|-
|align="right"| 38.
|align="right"| 6&nbsp;972&nbsp;593
|align="left"| <math>2^{6972593}-1</math>
|align="right"| 43707574412708137883...35366526142924193791
|align="right"| 2&nbsp;098&nbsp;960
| 1 czerwca 1999
| GIMPS / Nayan Hajratwala
|-
|align="right"| 39.
|align="right"| 13&nbsp;466&nbsp;917
|align="left"| <math>2^{13466917}-1</math>
|align="right"| 92494773800670132224...30073855470256259071
|align="right"| 4&nbsp;053&nbsp;946
| 14 listopada 2001
| GIMPS / Michael Cameron
|-
|align="right"| 40.
|align="right"| 20&nbsp;996&nbsp;011
|align="left"| <math>2^{20996011}-1</math>
|align="right"| 12597689545033010502...94714065762855682047
|align="right"| 6&nbsp;320&nbsp;430
| 17 listopada 2003
| GIMPS / Michael Shafer
|-
|align="right"| 41.
|align="right"| 24&nbsp;036&nbsp;583
|align="left"| <math>2^{24036583}-1</math>
|align="right"| 29941042940415717208...67436921882733969407
|align="right"| 7&nbsp;235&nbsp;733
| 15 maja 2004
| GIMPS / Josh Findley
|-
|align="right"| 42.
|align="right"| 25&nbsp;964&nbsp;951
|align="left"| <math>2^{25964951}-1</math>
|align="right"| 12216463006127794810...98933257280577077247
|align="right"| 7&nbsp;816&nbsp;230
| 18 lutego 2005
| GIMPS / Martin Nowak
|-
|align="right"| 43.
|align="right"| 30&nbsp;402&nbsp;457
|align="left"| <math>2^{30402457}-1</math>
|align="right"| 31541647561884608093...11134297411652943871
|align="right"| 9&nbsp;152&nbsp;052
| 15 grudnia 2005
| GIMPS / Curtis Cooper i Steven Boone
|-
|align="right"| 44.
|align="right"| 32&nbsp;582&nbsp;657
|align="left"| <math>2^{32582657}-1</math>
|align="right"| 12457502601536945540...11752880154053967871
|align="right"| 9&nbsp;808&nbsp;358
| 4 września 2006
| GIMPS / Curtis Cooper i Steven Boone
|-
|align="right"| 45.
|align="right"| 37&nbsp;156&nbsp;667
|align="left"| <math>2^{37156667}-1</math>
|align="right"| 20225440689097733553...21340265022308220927
|align="right"| 11&nbsp;185&nbsp;272
| 6 września 2008
| GIMPS / Hans-Michael Elvenich
|-
|align="right"| 46.
|align="right"| 42&nbsp;643&nbsp;801
|align="left"| <math>2^{42643801}-1</math>
|align="right"| 16987351645274162247...84101954765562314751
|align="right"| 12&nbsp;837&nbsp;064
| 4 czerwca 2009
| GIMPS / Odd Magnar Strindmo
|-
|align="right"| 47.
|align="right"| 43&nbsp;112&nbsp;609
|align="left"| <math>2^{43112609}-1</math>
|align="right"| 31647026933025592314...80022181166697152511
|align="right"| 12&nbsp;978&nbsp;189
| 23 sierpnia 2008
| GIMPS / Edson Smith
|-
|align="right"| 48.
|align="right"| 57&nbsp;885&nbsp;161
|align="left"| <math>2^{57885161}-1</math>
|align="right"| 58188726623224644217...46141988071724285951
|align="right"| 17&nbsp;425&nbsp;170
| 25 stycznia 2013
| GIMPS / Curtis Cooper{{r|MP48}}
|-
|align="right"| 49.<sup>*</sup>
|align="right"| 74&nbsp;207&nbsp;281
|align="left"| <math>2^{74207281}-1</math>
|align="right"| 30037641808460618205...87010073391086436351
|align="right"| 22&nbsp;338&nbsp;618
| 7 stycznia 2016
| GIMPS / Curtis Cooper{{r|MP49}}
|-
|align="right"| 50.<sup>*</sup>
|align="right"| 77&nbsp;232&nbsp;917
|align="left"| <math>2^{77232917}-1</math>
|align="right"| 46733318335923109998...82730618069762179071
|align="right"| 23&nbsp;249&nbsp;425
| 26 grudnia 2017
| GIMPS / Jonathan Pace{{r|MP50}}
|-
|align="right"| 51.<sup>*</sup>
|align="right"| 82&nbsp;589&nbsp;933
|align="left"| <math>2^{82589933}-1</math>
|align="right"| 14889444574204132554...37951210325217902591
|align="right"| 24&nbsp;862&nbsp;048
| 7 grudnia 2018
| GIMPS / Patrick Laroche{{r|MP51}}
|-
|align="right"| 52.<sup>*</sup>
|align="right"| 136&nbsp;279&nbsp;841
|align="left"| <math>2^{136279841}-1</math>
|align="right"| 88169432750383326555...55076706219486871551
|align="right"| 41&nbsp;024&nbsp;320
| 12 października 2024
| GIMPS / Luke Durant{{r|MP52}}
|}
<sup>*</sup> Październik 2024: Numeracja tymczasowa. Nie wiadomo czy między liczbami M57885161 i M136279841 nie ma innych jeszcze nieodkrytych liczb pierwszych Mersenne’a.

=== Test Lucasa-Lehmera ===
Pierwszość liczb Mersenne’a sprawdza się za pomocą [[Test Lucasa-Lehmera|testu Lucasa-Lehmera]]:

Przyjmijmy
:: S<sub>1</sub> = 4

i następnie
:: S<sub>k</sub> = S<sub>k−1</sub><sup>2</sup> −2

Liczba M<sub>p</sub> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy:
:: S<sub>p−1</sub> ≡ 0 mod M<sub>p</sub>.

Przykład zastosowania testu Lucasa:
Rozważmy M<sub>7</sub> = 127
* S<sub>1</sub> = 4
* S<sub>2</sub> = 4<sup>2</sup> − 2 = 14
* S<sub>3</sub> = 14<sup>2</sup> − 2 = 194 ≡ 67 (mod 127)
* S<sub>4</sub> = 67<sup>2</sup> − 2 = 4487 ≡ 42 (mod 127)
* S<sub>5</sub> = 42<sup>2</sup> − 2 = 1762 ≡ 111 (mod 127)
* S<sub>6</sub> = 111<sup>2</sup> − 2 = 12319 ≡ 0 (mod 127)

liczba M<sub>7</sub> = 2<sup>7</sup>−1 = 127 jest liczbą pierwszą.

== Największa liczba pierwsza Mersenne’a ==
Największą obecnie znaną liczbą pierwszą Mersenne’a jest <math>2^{136 279 841}-1.</math> Odkrył ją 12 października 2024 roku Luke Durant{{r|MP52}} w ramach projektu [[Great Internet Mersenne Prime Search|GIMPS]]. Do jej zapisania w [[Dziesiętny system liczbowy|układzie dziesiętnym]] potrzeba {{nowrap|41 024 320}} [[cyfra|cyfr]]. Współcześnie poszukiwaniem liczb pierwszych Mersenne’a i rozkładaniem liczb złożonych na [[Czynnik pierwszy|czynniki pierwsze]] zajmują się projekty [[obliczenia rozproszone|obliczeń rozproszonych]]. Czołowym z nich jest właśnie GIMPS, do którego należy odkrycie ostatnich największych znanych liczb pierwszych{{r|MP}}.

== Liczby Mersenne’a a liczby doskonałe ==
{{dopracować|sekcja|źródła=2018-05}}

Liczby Mersenne’a są związane z odnajdywaniem kolejnych [[Liczby doskonałe|liczb doskonałych]], ponieważ występują we wzorze, który je generuje: <math>2^{n-1} \cdot (2^n-1),</math> gdzie wyrażenie <math>2^n-1</math> to liczba pierwsza Mersenne’a <math>M_n</math>{{r|LD}}.

== Związek liczb złożonych Mersenne’a z liczbami pierwszymi Germain ==
Twierdzenie: Liczba Mersenne’a <math>2^p - 1</math> jest złożona i podzielna przez <math>q := 2p + 1</math> dla dowolnej [[Liczby pierwsze|liczby pierwszej]] [[Sophie Germain|Germain]] <math>p \equiv -1 \!\!\!\!\pmod 4.</math>

Dowód: Na mocy [[Prawo wzajemności reszt kwadratowych|twierdzenia o wzajemności kwadratowej]], kongruencja <math>x^2 \equiv 2 \!\!\!\!\pmod q</math> ma rozwiązanie dla liczby pierwszej nieparzystej <math>q</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>q \equiv 1\mbox{ lub }-1 \!\!\!\!\pmod 8.</math>

Niech <math>p \equiv -1 \!\!\!\!\pmod 4</math> będzie [[Liczby pierwsze Germain|liczbą pierwszą Germain]], czyli <math>p = 4a-1</math> jest pierwsze, oraz <math>q := 2p+1</math> jest liczbą pierwszą. Wtedy <math>q = 8a-1,</math> więc istnieje liczba całkowita <math>r</math> taka, że <math>r^2 \equiv 2 \!\!\!\!\pmod q.</math> Zatem na mocy [[Małe twierdzenie Fermata|Małego Twierdzenia Fermata]]: <math>2^p - 1 = r^{q-1} - 1 \equiv 0 \!\!\!\!\pmod q.</math>

Przykłady: <math>p = 11,\ 23,\ 83.</math>

== Przypisy ==
<references>
<ref name="MP">{{Cytuj stronę |url = https://www.mersenne.org/primes/ |tytuł = List of Known Mersenne Prime Numbers |nazwisko = |imię = |autor = |autor link = |data = |rok = |opublikowany = |język = en |archiwum = |zarchiwizowano = |data dostępu = 2019-01-09}}</ref>
<ref name="MP48">{{Cytuj stronę |url = https://www.mersenne.org/primes/?press=M57885161 |tytuł = GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime |nazwisko = |imię = |autor = |autor link = |data = |rok = |opublikowany = |język = en |archiwum = |zarchiwizowano = |data dostępu = 2019-01-09}}</ref>
<ref name="MP49">{{Cytuj stronę |url = https://www.mersenne.org/primes/?press=M74207281 |tytuł = GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: <math>2^{74207281}-1</math> |nazwisko = |imię = |autor = |autor link = |data = |rok = |opublikowany = |język = en |archiwum = |zarchiwizowano = |data dostępu = 2019-01-09}}</ref>
<ref name="MP50">{{Cytuj stronę |url = https://www.mersenne.org/primes/?press=M77232917 |tytuł = GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: <math>2^{77232917}-1</math> |nazwisko = |imię = |autor = |autor link = |data = |rok = |opublikowany = |język = en |archiwum = |zarchiwizowano = |data dostępu = 2019-01-09}}</ref>
<ref name="MP51">{{Cytuj stronę |url = https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933 |tytuł = GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: <math>2^{82589933}-1</math> |data = 2021-12-21 |opublikowany = mersenne.org  |język = en |data dostępu = 2019-01-09}}</ref>
<ref name="LD">{{Cytuj stronę |url = http://delta.mimuw.edu.pl/artykuly/delta1207/liczby.pdf |tytuł = Liczby doskonałe |nazwisko = |imię = |autor = Włodzimierz Holsztyński |autor link = |data = |rok = |opublikowany = |język = pl |archiwum = https://web.archive.org/web/20190110183445/http://delta.mimuw.edu.pl/artykuly/delta1207/liczby.pdf |zarchiwizowano = 2019-01-10 |data dostępu = 2019-01-09}}</ref>
<ref name="MP52">{{Cytuj stronę |url = https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841 |tytuł = GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: <math>2^{136279841}-1</math> |data = 2024-10-21 |opublikowany = mersenne.org |język = en |data dostępu = 2024-10-21}}</ref>
</references>

== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.mersenne.org/ The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)] {{lang|en}}
* {{MathWorld|adres=MersennePrime |tytuł=Mersenne Prime |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mersenne_number Mersenne number]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].
* [https://www.tsm-resources.com/tsm/lists/mers.html#int Liczby pierwsze Mersenne’a] {{lang|en}}

{{Typy liczb naturalnych}}
{{Ciągi liczbowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje liczb naturalnych|M]]