Tekst źródłowy strony Liczba zmiennoprzecinkowa

{{Dopracować|brak definicji=2024-04|lead=2024-04|więcej przypisów=2024-04}}

'''Liczba zmiennoprzecinkowa''' – reprezentacja [[liczby rzeczywiste]]j zapisanej za pomocą [[Notacja naukowa|notacji naukowej]]. Ze względu na wygodę operowania na takich liczbach, przyjmuje się ograniczony zakres na ''mantysę'' i ''cechę'' – nazwy te mają w matematyce znaczenie podane w artykule [[podłoga i sufit]], a w niniejszym artykule inne, powszechne w [[informatyka|informatyce]]. Powoduje to, że reprezentacja liczby rzeczywistej jest tylko przybliżona, a jedna liczba zmiennoprzecinkowa może reprezentować różne liczby rzeczywiste z pewnego zakresu.

== Podstawa matematyczna ==
Wartość liczby zmiennoprzecinkowej jest obliczana według wzoru:
:: <math>x = S M B^E,</math>

gdzie:
: <math>S</math> (ang. ''sign'') – [[znak liczby]], 1 lub −1,
: <math>M</math> (ang. ''mantissa'') – ''znormalizowana'' mantysa, liczba ułamkowa{{odn|Fortuna|Macukow|Wąsowski|1993|s=10}},
: <math>B</math> (ang. ''base'') – [[System liczbowy|podstawa systemu liczbowego]]{{odn|Fortuna|Macukow|Wąsowski|1993|s=10}} (2 dla systemów komputerowych),
: <math>E</math> (ang. ''exponent'') – [[Potęgowanie|wykładnik]], cecha, liczba całkowita{{odn|Fortuna|Macukow|Wąsowski|1993|s=10}}.

Mantysa jest znormalizowana, tj. należy do przedziału <math>[1, B)</math> (przedział prawostronnie otwarty!). Jeżeli <math>M</math> jest stałe, a <math>E</math> zmienia się, wówczas przesunięciu ulega przecinek – stąd właśnie pochodzi nazwa tej reprezentacji.

Zarówno dla mantysy, jak i wykładnika liczba cyfr jest z góry ustalona. Zatem dana liczba jest reprezentowana z pewną skończoną dokładnością i należy do skończonego zbioru wartości{{odn|Jankowski|1990|s=92}}.

Załóżmy, że <math>m</math> to liczba cyfr przeznaczonych na mantysę, natomiast <math>n+1</math> to liczba cyfr przeznaczonych na wykładnik (<math>n</math> cyfr dla wartości i 1 dla znaku wykładnika). Uznaje się również, że jedna dodatkowa pozycja (najstarsza) zarezerwowana jest dla zapisu znaku całej liczby. Wówczas wartości maksymalne i minimalne dla <math>M</math> i <math>E</math> określone są następująco:
* Wykładnik <math>E{:}</math>
** <math>E_\min = -(B^n-1),</math>
** <math>E_\max = B^n-1.</math>
* Mantysa <math>M{:}</math>
** <math>M_\min = 1,</math>
** <math>M_\max = B-B^{-(m-1)}.</math>

Stąd najmniejsza i największa liczba dodatnia możliwa do zapisania w takiej reprezentacji to:
:* <math>x_\min = M_\min B^{E_\min} = 1 \cdot B^{E_{min}},</math>
:* <math>x_\max = M_\max B^{E_\max} = \left( B-B^{-(m-1)} \right) B^{E_{max}} < B^{E_{max}+1}.</math>

Zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym zapisie wynosi:
:: <math>[-x_\max, -x_\min] \cup \{0\} \cup [x_\min, x_\max].</math>

Zero jest wartością specjalną, która nie może zostać bezpośrednio reprezentowana w tym formacie.

[[Błąd względny]] reprezentacji wynosi <math>\frac{1}{2 B^{m-1}}</math> (inaczej: połowa wagi najmniej znaczącej cyfry mantysy). Błędów bezwzględnych na ogół się nie podaje.

Jeżeli komputer wygeneruje liczbę <math>|x|<B^{E_\min},</math> to traktowana jest jako niedomiar (''underflow'').

W przypadku, gdy otrzymana liczba <math>|x|>M_\max B^{E_\max},</math> to traktowana jest jako nadmiar wykładniczy (''overflow'').

== Przykład reprezentacji ==
Przyjmijmy, że <math>B=10,</math> liczba cyfr dziesiętnych przeznaczonych na [[Podłoga i sufit|mantysę]] wynosi 4, natomiast na wykładnik 2. Chcemy zapisać wartość <math>60{,}89523.</math>

Liczba <math>60{,}89523</math> odpowiada <math>M=60{,}89523, E=0.</math>

Normalizacja mantysy:
: Mantysa nie należy do przedziału <math>[1,10),</math> zatem należy przesuwać przecinek w lewo aż będzie doń należała. Przesuwanie przecinka w lewo wiąże się ze zwiększaniem wykładnika.
: <math>M=6{,}089523, E=1.</math>

Odcięcie i zaokrąglenie mantysy:
: po odcięciu: <math>6{,}089,</math>
: po zaokrągleniu: <math>6{,}090.</math>

Wynik:
: <math>6{,}090 \cdot 10^1 = 6{,}09, E=1.</math>

Przykład dla liczby mniejszej od 1: <math>0{,}0000125.</math>
: <math>M=0{,}0000125, E=0.</math>

Po normalizacji:
: <math>M=1{,}25, E= -5.</math>

Liczba cyfr znaczących jest mniejsza od dostępnej, więc nie jest potrzebne zaokrąglanie.

Wynik:
: <math>1{,}250 \cdot 10^{-5} = 1{,}25, E= -5.</math>

== Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych ==
=== Własności arytmetyki zmiennoprzecinkowej ===
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest [[Łączność (matematyka)|łączna]]. To znaczy, że dla <math>x,</math> <math>y</math> i <math>z</math> mogą zachodzić różności:
* <math>(x + y) + z \neq x + (y + z),</math>
* <math>(x y) z \neq x (y z).</math>

Nie jest też [[rozdzielność|rozdzielna]], czyli może zachodzić różność:
* <math>x (y + z) \neq (x y) + (x z).</math>

Innymi słowy, kolejność wykonywania operacji wpływa na końcowy wynik.

Przy obliczeniach zmiennoprzecinkowych występują też:
* zaokrąglenia,
* nieprawidłowe operacje,
* przepełnienie,
* niedomiar.

=== Dodawanie i odejmowanie ===
Załóżmy, że chcemy dodać lub odjąć dwie dodatnie liczby zmiennoprzecinkowe: <math>x_1 = M_1 B^{E_1}</math> oraz <math>x_2 = M_2 B^{E_2},</math> przy czym <math>x_1 \geqslant x_2.</math> Założenia te można spełnić dla dowolnych liczb zmiennoprzecinkowych, manipulując ich kolejnością, znakiem wyniku oraz rodzajem wykonywanej operacji, według poniższego schematu:
: <math>\begin{matrix}
(+x_1)+(+x_2), & (+x_1)-(-x_2), & (+x_2)+(+x_1), & (+x_2)-(-x_1) & \to & +(x_1+x_2), \\
(+x_1)+(-x_2), & (+x_1)-(+x_2), & (-x_2)+(+x_1), & (-x_2)-(-x_1) & \to & +(x_1-x_2), \\
(-x_1)+(-x_2), & (-x_1)-(+x_2), & (-x_2)+(-x_1), & (-x_2)-(+x_1) & \to & -(x_1+x_2), \\
(-x_1)+(+x_2), & (-x_1)-(-x_2), & (+x_2)+(-x_1), & (+x_2)-(+x_1) & \to & -(x_1-x_2).
\end{matrix}</math>

Wówczas:
: <math>x_1 \pm x_2 = (M_1 \pm M_2 B^{E_2-E_1}) B^{E_1}.</math>

Jeśli liczby mają różne wykładniki, to podczas dodawania mantysa liczby o mniejszym wykładniku musi zostać zdenormalizowana – we wzorze jest to przemnożenie <math>M_2</math> przez czynnik <math>B^{E_2-E_1}.</math> W szczególnym przypadku, jeśli <math>E_1-E_2</math> jest większe niż <math>m</math> (liczba cyfr mantysy), to po denormalizacji mantysa będzie miała wartość 0, a liczba o mniejszym wykładniku nie wpłynie na wynik dodawania bądź [[Odejmowanie|odejmowania]].

Odejmowanie liczb zmiennoprzecinkowych o takim samym wykładniku <math>E</math> i niewiele różniącej się mantysie powoduje, że wynikowa mantysa jest znacznie zdenormalizowana. Renormalizacja w takim wypadku wiąże się z wprowadzeniem sporej liczby [[Utrata cyfr znaczących|nieznaczących zer]] na końcu mantysy. Jest to szczególnie niekorzystne, dlatego zwykle tak projektuje się obliczenia, by do tego nie dopuścić.

=== Mnożenie i dzielenie ===
Mając dane liczby zmiennoprzecinkowe <math>x_1 = S_1 M_1 B^{E_1}</math> i <math>x_2 = S_2 M_2 B^{E_2}{:}</math>
: <math>x_1 x_2 = (S_1 S_2) (M_1 M_2) B^{E_1+E_2},</math>
: <math>x_1/x_2 = (S_1 S_2) (M_1 / M_2) B^{E_1-E_2}.</math>

=== Błędy operacji elementarnych ===
Wygodnie jest przedstawić liczbę zmiennoprzecinkową jako wartość dokładną zaburzoną pewnym błędem reprezentacji <math>\varepsilon{:}</math>
:: <math>\overline{x} = x(1 + \varepsilon_x)</math>

Wówczas błąd względny poszczególnych operacji elementarnych wykonywanych na liczbach <math>\overline{a}=a(1+\varepsilon_a)</math> oraz <math>\overline{b}=b(1+\varepsilon_b)</math> można oszacować następująco:
* dodawanie/odejmowanie: <math>\varepsilon_{a \pm b} = \frac{a \varepsilon_a \pm b \varepsilon_b}{a \pm b} + \varepsilon_\pm</math>
* [[mnożenie]]: <math>\varepsilon_{a b} = \varepsilon_a + \varepsilon_b + \varepsilon_\cdot</math>
* dzielenie: <math>\varepsilon_{a / b} = \varepsilon_a - \varepsilon_b + \varepsilon_/</math>

gdzie <math>\varepsilon_\pm,</math> <math>\varepsilon_\cdot</math> i <math>\varepsilon_/</math> to błędy wprowadzane przez dane operacje arytmetyczne.

Rozbijając każde wyrażenie arytmetyczne na operacje elementarne, można za pomocą tych zależności oszacować powstałe błędy. Istnieją jednak lepsze i szybsze metody modelowania błędów.

== Implementacje sprzętowe ==
[[Plik:IEEE-754-single1.svg|thumb|400px|Reprezentacja zmiennoprzecinkowa [[IEEE 754|IEEE-754]] single]]{{Zobacz też|IEEE 754}}
W [[Implementacja (informatyka)|implementacjach]] sprzętowych liczby zmiennoprzecinkowe wyraża się [[dwójkowy system liczbowy|liczbami dwójkowymi]] (B&nbsp;=&nbsp;2). Ma to następujące zalety:
# Mantysa należy do przedziału <math>[1,2),</math> jest więc postaci <code>1.xxxxx....</code> (gdzie <code>x</code> – bit o dowolnej wartości). Ponieważ część całkowita jest znana i równa zawsze 1, nie jest ona zapamiętywana, co daje dodatkowy bit na część ułamkową.
# Ponieważ znak liczby jest zapamiętywany na jednym bicie, otrzymanie modułu lub wartości przeciwnej wymaga, odpowiednio, wyzerowania tego bitu (logiczna operacja [[Koniunkcja (logika)|AND]]), lub zmiany na wartość przeciwną (logiczna operacja [[Alternatywa rozłączna|XOR]]).

W celu ujednolicenia zasad operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych na różnych platformach sprzętowych, opracowano standard [[IEEE 754]], w oparciu o który realizuje się obecnie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych. Definiuje on dwie klasy liczb:
* pojedynczej precyzji (ang. ''single'', ''single precision''),
* podwójnej precyzji (ang. ''double'', ''double precision'').

Są również inne sposoby zapisu, różniące się jedynie liczbą bitów przeznaczoną na poszczególne pola. Np. [[koprocesor]] w procesorach [[x86]], oprócz typów standardowych, wspiera sprzętowo liczby 10-bajtowe, natomiast [[kompilator]] [[Pascal (język programowania)|Pascala]] – w sposób programowy liczby 6-bajtowe<ref group=uwaga>Firma [[Borland]] w kompilatorach języka [[Pascal (język programowania)|Pascal]] począwszy od wersji Delphi 3.0 przyjęła za standard liczb zmiennoprzecinkowych liczby typu double, a stary typ został nazwany real48 i jest obsługiwany w celu zachowania [[Kompatybilność wsteczna|zgodności]] z poprzednimi wersjami, ale ma status przestarzałego elementu języka, który w pewnym momencie może przestać być obsługiwany.</ref>. Liczby zgodne ze standardem IEEE 754 mają dokładnie określoną semantykę, jak na przykład: dokładność operacji elementarnych, kierunki zaokrągleń czy obsługa sytuacji wyjątkowych – są to cechy bardzo pożądane w zastosowaniach naukowych i inżynieryjnych, a ponadto ułatwiają przenoszenie kodu programu na inną platformę sprzętową.

{| class="wikitable"
!Format
!Znak [bity]
!Wykładnik [bity]
!Mantysa [bity]
!Szerokość [[słowo maszynowe|słowa]] [bity]
!Typy w [[język programowania|językach programowania]]
|-
|IEEE-754 single
|1
|8
|23
|32
|{{tt|float}} (C), {{tt|single}} (Pascal), {{tt|real*4}} (Fortran)
|-
|IEEE-754 double
|1
|11
|52
|64
|{{tt|double}} (C), {{tt|real}} lub {{tt|double}} (Pascal), {{tt|real*8}} (Fortran)
|-
|koprocesor x87
|1
|15
|64
|80
|{{tt|long double}} (C99), {{tt|extended}} (Pascal)
|-
|Turbo Pascal
|1
|8
|39
|48
|{{tt|real}}{{odn|Marciniak|1991|s=539}}
|-
|[[SSE5]], [[OpenGL]] 3.0<ref>Specyfikacja OpenGL 3.0, wersja z 11.08.2008, sekcja 2.1.2 „16-Bit Floating Point Number”.</ref>
|1
|5
|10
|16
|
|-
|BFloat16<ref>{{Cytuj | autor=Dhiraj Kalamkar, Dheevatsa Mudigere, Naveen Mellempudi, Dipankar Das, Kunal Banerjee, Sasikanth Avancha, Dharma Teja Vooturi, Nataraj Jammalamadaka, Jianyu Huang, Hector Yuen, Jiyan Yang, Jongsoo Park, Alexander Heinecke, Evangelos Georganas, Sudarshan Srinivasan, Abhisek Kundu, Misha Smelyanskiy, Bharat Kaul1, Pradeep Dubey |tytuł=A Study of BFLOAT16 for Deep Learning Training |czasopismo=ArXiv | arxiv=1905.12322 }}</ref>
|1
|8
|7
|16
|{{k|en|Brain Floating Point}} stosowany w [[Uczenie maszynowe|uczeniu maszynowym]] i [[Sieć neuronowa|sieciach neuronowych]], {{tt|__bf16}} w niektórych kompilatorach [[C (język programowania)|C]] i [[C++]]<ref>{{Cytuj | url=http://www.keil.com/support/man/docs/armclang_ref/armclang_ref_bzw1568820243128.htm | tytuł=BFloat16 floating-point number format | opublikowany=keil.com | data dostępu=2020-07-21 | język=en}}</ref><ref>{{Cytuj | url=https://developer.arm.com/documentation/101754/0613/armclang-reference/other-compiler-specific-features/bfloat16-floating-point-number-format | tytuł=BFloat16 floating-point number format | opublikowany=developer.arm.com | data dostępu=2020-07-21 | język=en}}</ref>
|}

=== Przesunięcie wykładnika ===
Wykładnik będący [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]] jest zapisywany w [[Kod z przesunięciem|kodzie spolaryzowanym]], co można interpretować jako [[kod z przesunięciem|wartość przesuniętą]] o pewną stałą (ang. ''biased exponent''). Właściwą wartość wykładnika uzyskuje się, odejmując od zakodowanego wykładnika wartość przesunięcia (ang. ''bias''). Wartość liczby zmiennoprzecinkowej oblicza się ze wzoru:
:: <math>x = (-1)^S M \cdot 2^{E - \textrm{bias}},</math>

gdzie <math>S</math> to bit znaku; liczba jest ujemna, gdy bit znaku jest równy 1, w przeciwnej sytuacji ma on wartość 0.

Typowe wartości przesunięcia dla [[koprocesor]]a [[x87]] (występującego w procesorach [[x86]]) wynoszą:
* 127 (7Fh) w formacie 32-bitowym,
* 1023 (3FFh) w formacie 64-bitowym,
* 16383 (3FFFh) w formacie 80-bitowym.

=== Wartości specjalne ===
Oprócz zwykłych liczb zdefiniowano następujące wartości specjalne:
* [[NaN]] – nie-liczba ([[język angielski|ang.]] Not-a-Number), to symbol, który nie reprezentuje wartości liczbowej, powstały zazwyczaj w wyniku niedozwolonej operacji (np. [[pierwiastkowanie]] [[Znak liczby|liczby ujemnej]])
** sNaN – sygnalizujące NaN (ang. signalling NaN) – rozróżnienie wprowadzone w procesorach z rodziny x86; w większości przypadków wykonanie działania <code>''liczba'' operacja sNaN</code> spowoduje zgłoszenie [[przerwanie|wyjątku]].
** qNaN – ciche NaN (ang. quiet NaN) – przekazanie tej wartości jako argumentu operacji nie powoduje zgłoszenia wyjątku; w operacjach [[Streaming SIMD Extensions|SSE]] można ustalić, że <code>''liczba'' operacja qNaN → 0</code>.
* Zero – rozróżnia się [[±0|+0,0]] i [[±0|-0,0]].
* Nieskończoność – jest wynikiem operacji w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia), przy dzieleniu przez 0 itp.; może być dodatnia lub ujemna.
* [[Liczba nieznormalizowana]] – pojawia się, gdy występuje [[niedomiar zmiennoprzecinkowy|niedomiar]] (ang. ''underflow''), ale wynik operacji jeszcze można zapisać, denormalizując mantysę (w takim przypadku mantysa reprezentuje liczbę w postaci <code>0,xxx...xxx</code>, a nie <code>1,xxx...xxxx</code>). Wszystkie bity wykładnika są równe 0 i
:: <math>x = (-1)^S M \cdot 2^{- \textrm{bias}+1}</math>

{| class="wikitable"
!Wartość specjalna
![[Bit znaku]]
!Bity wykładnika
!Bity mantysy
!Uwagi
|-
|NaN
|<code>x</code>
|<code>111..111</code>
|<code>xxxx...xxx</code>
|wszystkie bity wykładnika są równe 1, natomiast mantysa ma niezerową wartość
|-
|qNaN
|<code>x</code>
|<code>111..111</code>
|<code>1xxx...xxx</code>
|uwagi jak dla NaN, ale pierwszy bit mantysy zawsze równy 1
|-
|sNaN
|<code>x</code>
|<code>111..111</code>
|<code>0xxx...xxx</code>
|uwagi jak dla NaN, ale pierwszy bit mantysy zawsze równy 0
|-
|±zero
|<code>x</code>
|<code>000..000</code>
|<code>0000...000</code>
|wszystkie bity mantysy i wykładnika równe 0, bit znaku decyduje o znaku wartości
|-
|±nieskończoność
|<code>x</code>
|<code>111..111</code>
|<code>0000...000</code>
|wszystkie bity mantysy równe 0, wszystkie bity wykładnika równe 1, bit znaku decyduje o znaku wartości
|-
|nieznormalizowana
|<code>x</code>
|<code>000..000</code>
|<code>xxxx...xxx</code>
|mantysa różna od 0, wszystkie bity wykładnika równe 0, bit znaku decyduje o znaku wartości
|}

== Typy zmiennoprzecinkowe w językach programowania ==
* [[C (język programowania)|C]], [[C++]] – ''float'', ''double'', ''long double''
* [[Pascal (język programowania)|Pascal]], [[Fortran]] – ''real''

=== C, C++ ===
Rozmiar typów zmiennoprzecinkowych zależy od konkretnych implementacji. Standardowo, typ ''float'' zajmuje co najmniej 4 bajty, ''double'' 8 bajtów, a ''long double'' zazwyczaj 8-16 bajtów. W przypadku kompilatora [[GNU Compiler Collection|GCC]] w wersji 4.6.2, długości typów wynoszą odpowiednio 4, 8 i 16 bajtów, a w [[Microsoft Visual Studio|Visual C++]] – 4, 8 i 8 bajtów.

=== Pascal ===
W standardzie języka Pascal [[ISO 7185|ISO/IEC 7185 :1990]] jest wymagany typ ''real'' obejmujący [[podzbiór]] liczb rzeczywistych. [[Turbo Pascal]] wykorzystuje cztery typy zmiennoprzecinkowe (typ, liczba bajtów, liczba cyfr znaczących, zakres wartości):
* single, 4 B, 7-8 cyfr, 1.5·10<sup>−45</sup>..3.4·10<sup>38</sup>{{odn|Marciniak|1991|s=539}}
* real, 6 B, 11-12 cyfr, 2.9·10<sup>−39</sup>..1.7·10<sup>38</sup>{{odn|Marciniak|1991|s=539}}
* double, 8 B, 15-16 cyfr, 5.0·10<sup>−324</sup>..1.7·10<sup>308</sup>{{odn|Marciniak|1991|s=539}}
* extended, 10 B, 19-20 cyfr, 3.4·10<sup>−4932</sup>..1.1·10<sup>4932</sup>{{odn|Marciniak|1991|s=539–540}}

[[Embarcadero Delphi|Delphi]] obsługuje te same typy, przy czym w domyślnych ustawieniach opcji kompilatora typ ''real'' jest równoważny typowi ''double'', a sześciobajtowy nazwano ''real48''. We [[free Pascal]]u typ ''real'' jest zastępowany przez ''single'' lub ''double''.

=== Fortran ===
W oryginalnej specyfikacji języka Fortran typ ''real'' miał dwie możliwe długości REAL i DOUBLE PRECISION. Zakres i precyzja obydwu typów nie były wyspecyfikowane, lecz zależały od architektury konkretnego komputera, z wymaganiem aby DOUBLE PRECISION miał wyższą precyzję i co najmniej taki sam zakres co REAL.

Z czasem rynek został całkowicie zdominowany przez komputery o architekturze opartej na 8-bitowych [[bajt]]ach, przyjęło się, że podstawowy typ REAL zajmuje 4 bajty. Współczesne kompilatory Fortranu dopuszczają deklaracje:
* REAL*4 lub po prostu REAL – 32 bity, odpowiednik typu ''float'' w języku C
* REAL*8 lub DOUBLE PRECISION – 64 bity, odpowiednik typu ''double'' w języku C

Niektóre implementacje dopuszczają także typ:
* REAL*16 – 128 bitów.

Nowsze specyfikacje języka Fortran, poczynając od Fortran90, umożliwiają programiście deklarowanie wymaganej precyzji i zakresu liczb zmiennoprzecinkowych w oderwaniu od konkretnej implementacji. Wbudowana funkcja SELECTED_REAL_KIND(p,r) zwraca najkrótszą, dla konkretnego procesora, reprezentację o co najmniej wskazanej dokładności i zakresie. Na przykład SELECTED_REAL_KIND(10,80) zwróci dla danego procesora typ liczby zmiennoprzecinkowej o dokładności co najmniej 10 cyfr znaczących i zakresie co najmniej do 10<sup>80</sup>. Istnieją też wbudowane funkcje PRECISION i RANGE pozwalające sprawdzić jaki rzeczywisty zakres i dokładność mają liczby zmiennoprzecinkowe podanego typu w danym procesorze<ref>{{cytuj książkę|nazwisko=Metcalf|imię=Michael| nazwisko2=Reid |imię2 =John Ker |nazwisko3=Cohen |imię3=Malcolm |tytuł=Fortran 95/2003 explained |wydawca=Oxford University Press|miejsce=Oxford|data=2004|strony=16|isbn=978-0-19-852693-3}}</ref>.

== Kalkulator ==
Sposoby wyświetlania liczb zmiennoprzecinkowych:
* FLO (''Floating Notation'') – [[notacja dziesiętna]] – tryb domyślny. Jeżeli jest to możliwe wyświetla liczbę z wykładnikiem równym 0, pomijając jego wyświetlanie,
* SCE (''Scientific Notation'') – [[notacja naukowa]] – zawsze wyświetla liczbę z wykładnikiem,
* ENG (''Engineering Notation'') – [[Notacja naukowa|notacja inżynierska]] – zawsze wyświetla liczbę z wykładnikiem podzielnym przez 3.

== Historia ==
Binarne liczby zmiennoprzecinkowe po raz pierwszy zastosował [[Konrad Zuse]] w mechanicznym komputerze [[Z1]].

== Zobacz też ==
* [[analiza przedziałowa]]
* [[Duże liczby całkowite|arytmetyka dowolnej precyzji]]
* [[FLOPS]]
* [[IEEE 754]]
* [[Typ danych|typy danych]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor=Zenon Fortuna; Bohdan Macukow; Janusz Wąsowski |tytuł=Metody numeryczne |wydawca=[[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce=Warszawa |data=1993 |isbn=83-204-1551-9 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Michał Jankowski |tytuł=Elementy grafiki komputerowej |wydawca=[[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce=Warszawa |data=1990 |isbn=83-204-1326-5 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Andrzej Marciniak |tytuł=Turbo Pascal 5.5 |miejsce=Poznań |wydawca=NAKOM |data=1991 |isbn=83-85060-20-0 |issn=0867-6011 |seria=Biblioteka użytkownika mikrokomputerów |numer=2 |odn=tak}}

{{Typy danych w C++}}
{{Rodzaje liczb rzeczywistych}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Typy danych]]
[[Kategoria:Liczby]]
[[Kategoria:Ułamki dziesiętne]]
[[Kategoria:Rodzaje ciał]]