Tekst źródłowy strony Liczba

{{Inne znaczenia|pojęcia ''liczby'' w matematyce|[[Liczba (ujednoznacznienie)|inne znaczenia]]}}
{{Dopracować|więcej przypisów=2021-08}}
[[Plik:Liczby.svg|mały|270px|[[Diagram Hassego]] przedstawiający zawieranie się zbiorów i ogólniej – klas liczbowych w sobie. Symbol <math>\mathbb{X}\subset \mathbb{Y}</math> oznacza tu, że można skonstruować [[klasa (matematyka)|klasę]] liczb <math>\mathbb{X}</math> tak, aby była podklasą klasy <math>\mathbb{Y}.</math> Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę [[liczby hiperzespolone|liczb hiperzespolonych]]. Na niebiesko oznaczone są rodzaje liczb, które nie tworzą zbiorów, lecz klasy właściwe. Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych – to nie jest pomyłka. Zobacz sekcję [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby algebraiczne|Liczby algebraiczne]].]]
{{wikisłownik|liczba}}

'''Liczba''' – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w [[Matematyka|matematyce]]. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Liczba | id = 3932346 | data dostępu = 2021-07-23}}</ref> ([[liczby naturalne]]), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

W matematyce określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą [[aksjomaty i konstrukcje liczb|aksjomatów]] lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, jak [[zbiór]], czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

== Zastosowania ==
Najprostsze rodzaje liczb, jak [[liczby naturalne]] czy [[liczby rzeczywiste|rzeczywiste]], są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej [[jednostka miary|jednostki miary]] (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako [[Znak (semiotyka)|identyfikatory]], np. [[numer telefonu|numery telefonów]], dróg, [[PESEL]], [[Międzynarodowy znormalizowany numer książki|ISBN]].

W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone z poznawanych w szkole podstawowej liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych na takie abstrakcje, jak [[liczby zespolone]], [[liczby p-adyczne|p-adyczne]], [[kwaterniony]], czy [[sedeniony]]. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od [[grafika komputerowa|grafiki komputerowej]]<ref group="uwaga">Np. [[fraktal]]e.</ref>, przez [[elektronika|elektronikę]]<ref group="uwaga">Zob. [[zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych]], ponadto stosowane są one również w [[Przetwarzanie sygnałów|teorii sygnałów]].</ref>, [[mechanika płynów|teorię płynów]], aż do [[Mechanika kwantowa|fizyki kwantowej]]<ref group="uwaga">Np. [[funkcja falowa]].</ref> i [[teoria względności|teorii względności]]. Kwaterniony znalazły zastosowanie w [[Grafika 3D|grafice trójwymiarowej]] do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. [[współrzędne jednorodne]]). [[Liczby p-adyczne]] znalazły zastosowanie w [[Kryptologia|kryptografii]].

== Opis intuicyjny ==
Poniższe opisy w żadnym wypadku nie są ścisłymi definicjami. Liczby są jednak w matematyce definiowane ściśle, i definicje te są przedstawione w [[aksjomaty i konstrukcje liczb|wydzielonym artykule]]. Poniżej podane są opisy tylko kilku najprostszych zbiorów liczbowych.

=== Liczby naturalne ===
{{Osobny artykuł|liczby naturalne}}
Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:
* Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to <math>0,1,2,3,4,\dots</math>). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności [[zbiór pusty|zbioru pustego]].
* Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie<ref>{{cytuj stronę |url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html |tytuł = A history of Zero |archiwum = https://web.archive.org/web/20170828121346/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html |zarchiwizowano = 2017-08-28 |data dostępu = 2008-04-19}}</ref>, być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.

Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.

=== Liczby całkowite ===
{{Osobny artykuł|liczby całkowite}}
[[Znak liczby|Liczby ujemne]] to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną –100. Liczby naturalne <math>1, 2, 3, \dots,</math> zero oraz [[Liczba przeciwna|liczby przeciwne]] do naturalnych <math>-1,-2,-3,\dots</math> znane są właśnie jako liczby całkowite.

=== Liczby wymierne ===
{{Osobny artykuł|liczby wymierne}}
Liczby wymierne to intuicyjnie [[ułamek|ułamki]] powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej '''licznikiem''') przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną '''mianownikiem'''), np. <math>\tfrac{-3}{5}.</math> [[Dzielenie przez zero]] jest operacją niewykonalną.

Ułamek <math>\tfrac{n}{m}</math> dla <math>0 < n \leqslant m</math> reprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości na <math>m</math> równych części, a następnie wybraniu <math>n</math> spośród nich. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną, np. <math>\tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{4}.</math> Dla każdego <math>c \ne 0</math> ułamek <math>\tfrac{a}{b}</math> jest równy <math>\tfrac{ac}{bc}.</math> Operację zamiany <math>\tfrac{a}{b}</math> na <math>\tfrac{ac}{bc}</math> nazywa się ''rozszerzeniem ułamka'', odwrotną zaś ''skróceniem ułamka''.

Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna jest dodatnia. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna.

Jeśli <math>n, m > 0</math> oraz <math>n>m,</math> to ułamek reprezentuje liczbę większą od 1. Jeśli <math>n=km</math> (gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą <math>k.</math>

Liczby wymierne są [[Porządek liniowy|uporządkowane liniowo]] (każde dwie liczby wymierne są porównywalne). Jest to porządek gęsty: między dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć inną liczbę (a nawet nieskończenie wiele liczb).

=== Liczby rzeczywiste ===
{{Osobny artykuł|liczby rzeczywiste}}
Już starożytni [[pitagorejczycy]] odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka <math>\tfrac{n}{m}</math> (takie jak np. <math>\sqrt{2},</math> czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą<ref group="uwaga">Zdaniem pitagorejczyków odkrycie to zaprzeczało głoszonej przez nich doskonałości wszelkich liczb – liczby niewymierne uznali za niedoskonałe. Zobacz też [[Pierwiastek kwadratowy z 2#Dowód niewymierności|dowód niewymierności pierwiastka z dwóch]].</ref><ref>[[Witold Więsław]] stwierdza: ''Pitagorejczycy udowodnili, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, tzn. <math>\sqrt{2}</math> jest liczbą niewymierną. Byłoby interesujące dowiedzieć się, kto pierwszy tego dowiódł. Zapewne nigdy się już tego nie dowiemy. Jedno jest pewne: Pitagoras pod koniec V w. p.n.e. wiedział, że <math>\sqrt{2}</math> jest liczbą niewymierną.'' (Zob.: Więsław, Witold: ''Matematyka i jej historia'', Wydawnictwo NOWIK, Opole 1997, {{ISBN|83-905456-7-5}}, strona 36.).</ref>.

Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz [[liczby niewymierne]] znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak <math>\sqrt{3}</math> czy [[Pi|π]]. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada [[punkt (geometria)|punkt]] na [[prosta|prostej]] (tzw. [[oś liczbowa]]).

Każda liczba rzeczywista jest [[Punkt skupienia zbioru|punktem skupienia]] zbioru liczb wymiernych i liczby wymierne są [[Zbiór gęsty|gęstym]] [[Podzbiór|podzbiorem]] zbioru liczb rzeczywistych.

=== Liczby zespolone ===
{{Osobny artykuł|liczby zespolone}}
[[Liczby urojone]] to liczby, których [[Potęgowanie|kwadraty]] są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. [[jednostka urojona]] <math>i,</math> dla której <math>i^2= -1.</math> Żadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą.

Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. <math>2+3i.</math> W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np. <math>5=5+0i</math>). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] (tzw. [[płaszczyzna zespolona]]), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie.

Liczby zespolone są szczególnymi przypadkami [[kwaterniony|kwaternionów]], [[tessariny|tessarinów]] i [[kokwaterniony|kokwaternionów]] dla <math>c=0</math> i <math>d=0</math>

=== Liczby algebraiczne ===
{{Osobny artykuł|liczby algebraiczne}}
Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś [[wielomian]]u o wymiernych współczynnikach (np. <math>\tfrac{3}{5}x^5-4x^4+\tfrac{7}{8}x^3+\tfrac{1}{116}x-1</math>) da w wyniku zero. W szczególności każda liczba wymierna <math>\tfrac{p}{q}</math> jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu <math>qx-p.</math>

=== Liczby przestępne ===
{{Osobny artykuł|liczba przestępna}}
Liczby przestępne to liczby zespolone niebędące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są [[pi|π]] oraz ''[[podstawa logarytmu naturalnego|e]]''.

=== Liczby dualne ===
{{Osobny artykuł|liczby dualne}}
[[Element nilpotentny|Nilpotent]] <math>\epsilon</math> to taki element, że <math>\epsilon^2=0.</math>

Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta. Mają one postać <math>z=a+b\epsilon,</math> gdzie <math>a</math> i <math>b</math> to liczby rzeczywiste.

=== Liczby podwójne ===
{{Osobny artykuł|liczby podwójne}}
Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostki <math>\jmath</math> niebędącej liczbą rzeczywistą. Różni się ona od jednostki urojonej <math>i</math> w tym, że <math>\jmath^2 = +1.</math>

Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostki <math>\jmath.</math> Mają one postać <math>z = a + b\jmath,</math> gdzie <math>a</math> i <math>b</math> to liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dla <math>b=0.</math> Liczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów).

== Oznaczenia zbiorów liczbowych ==
W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych.

: {| class="wikitable" style="text-align: center; padding: 0 5pt"
! Zbiór
! Oznaczenie „szkolne”
! Oznaczenie standardowe
! Uwagi
|-
|align=left| Liczby naturalne bez zera
| <math>\mathbf N_+</math>
| <math>\mathbb N,</math> czasem <math>\mathbb N_+</math>
|align=left| rzadziej używane oznaczenia: <math>\mathbb N_1, \mathbb N^+, \mathbb N_{>0}</math>
|-
|align=left| Liczby naturalne z zerem
| <math>\mathbf N_0,</math> czasem <math>\mathbf N</math>
| <math>\mathbb N_0,</math> czasem <math>\mathbb N</math>
|align=left| w [[teoria mnogości|teorii mnogości]] <math>\omega</math>
|-
|align=left| Liczby całkowite
| <math>\mathbf C</math>
| <math>\mathbb Z</math>
|align=left| od [[język niemiecki|niem.]] ''Zahlen'' – liczby
|-
|align=left| Liczby wymierne
| <math>\mathbf W</math>
| <math>\mathbb Q</math>
|align=left| od [[język niemiecki|niem.]] ''Quotient'' – iloraz<ref>{{MathWorld|adres=RationalNumber |tytuł=Rational Number |data dostępu=12 kwietnia 2007}}</ref>
|-
|align=left| Liczby niewymierne
| czasem <math>\mathbf N\mathbf W</math>
| <math>\mathbb R \setminus \mathbb Q</math>
|
|-
|align=left| Liczby rzeczywiste
| <math>\mathbf R</math>
| <math>\mathbb R</math>
|align=left| od ang. ''real numbers''
|-
|align=left| Liczby algebraiczne
|
| czasem <math>\mathbb A</math>
|
|-
|align=left| Liczby zespolone
| <math>\mathbf Z</math>
| <math>\mathbb C</math>
|align=left| od ang. ''complex numbers''
|-
|align=left| Kwaterniony
|
| <math>\mathbb H</math>
|align=left| od ang. ''Hamilton numbers'' – liczby Hamiltona
|-
|align=left| Oktoniony
|
| <math>\mathbb O</math>
|align=left| znane również jako oktawy Cayleya
|-
|align=left| Sedeniony
|
| <math>\mathbb S</math>
|
|-
|align=left| Liczby p-adyczne
|
| <math>\mathbb Q_p</math>
|
|}

== Własności algebraiczne ==
[[Działanie algebraiczne|Działania]] na liczbach, takie jak [[dodawanie]], [[odejmowanie]], [[mnożenie]] czy [[dzielenie]], można zdefiniować także w zbiorach, które nie mają z liczbami wiele wspólnego, jak [[symetria figury|symetrie]] [[wielościan]]ów w przestrzeni, o ile tylko działania te będą tam miały podobne właściwości, np. będą [[przemienność|przemienne]], czy [[łączność (matematyka)|łączne]]. [[Algebra ogólna|Struktury algebraiczne]], w których działania mają pewne określone właściwości, posiadają w [[algebra|algebrze]] własne nazwy, takie jak [[Grupa (matematyka)|grupa]], [[pierścień (matematyka)|pierścień]] czy [[ciało (matematyka)|ciało]].

Liczby na ogół definiowane są krok po kroku. Rozpoczyna się od liczb naturalnych, następnie rozszerza ich algebrę na liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone…

[[Algebra ogólna|Struktury algebraiczne]] liczb całkowitych i wymiernych rozszerzają kolejno strukturę liczb naturalnych tak, aby najprostsze [[Arytmetyka elementarna|działania arytmetyczne]] dawały się w nich wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z wyjątkiem [[dzielenie przez zero|dzielenia przez zero]]). Działania takie nazywa się [[Działanie algebraiczne|działaniami wewnętrznymi]] danego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jest ''zamknięty ze względu na'' dane ''działanie''. Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę algebraiczną o dalsze interesujące właściwości.

* Dla '''liczb naturalnych''' (z zerem lub bez niego) działaniami wewnętrznymi są np. dodawanie i mnożenie. Dodanie lub pomnożenie przez siebie dwóch liczb naturalnych daje zawsze liczbę naturalną. Dla dodawania i mnożenia można skonstruować działania odwrotne – odejmowanie i dzielenie. Jednak odejmowanie większej liczby od mniejszej nie daje się wykonać w zbiorze liczb naturalnych, odejmowanie nie jest zatem działaniem wewnętrznym tego zbioru. Podobnie jest z dzieleniem.
* Rozszerzenie liczb naturalnych tak, aby odejmowanie było zawsze wykonalne, daje w rezultacie [[dziedzina całkowitości|pierścień]] '''liczb całkowitych'''. Odejmowanie jest już dla nich działaniem wewnętrznym.
* Powiększenie pierścienia liczb całkowitych tak, aby wykonalne było dzielenie dowolnej liczby całkowitej przez dowolną niezerową liczbę całkowitą, prowadzi do tzw. [[ciało (matematyka)|ciała]] '''liczb wymiernych'''. Jego działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie przez liczbę niezerową.
* Liczby wymierne nie wyczerpują wszystkich możliwości. Jak już wspomniano wcześniej, [[przekątna]] [[kwadrat]]u o boku jednostkowym ma długość nie dającą się wyrazić liczbą wymierną. Również [[pole powierzchni]] [[Koło|koła]] o [[promień (geometria)|promieniu]] jednostkowym nie daje się wyrazić taką liczbą. Pole to można jednak z dowolną dokładnością przybliżyć, pokrywając koło siatką przystających kwadratów o bokach będących liczbami wymiernymi i zliczając pola kwadratów mieszczących się w całości w tym kole. Następnie powtarzając tę operację dla coraz mniejszych kwadratów można utworzyć [[ciąg (matematyka)|ciąg]] liczb wymiernych coraz lepiej przybliżających pole danego koła. Żądanie, aby dowolna skończona [[granica ciągu]] liczb wymiernych dawała się wyrazić liczbowo, prowadzi do rozszerzenia ciała liczb wymiernych do ciała '''liczb rzeczywistych'''.
* [[Wielomian]]y w zbiorze liczb rzeczywistych nie zawsze mają [[Wielomian|pierwiastki]] rzeczywiste – matematycy mówią, że ''ciało liczb rzeczywistych nie jest [[ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]]''. Na przykład równanie <math>x^2+1=0</math> nie ma w tym zbiorze rozwiązań. Na mocy twierdzenia, iż każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego, zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć tak, aby każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej miał pierwiastek w ''nowym'' ciele. Powyższa propozycja usprawiedliwia użycie tzw. '''liczb zespolonych'''.
* Zbiory liczbowe można rozszerzać w dalszym stopniu otrzymując tzw. [[liczby hiperzespolone]], w tym: [[kwaterniony]], [[oktawy Cayleya]] i [[sedeniony]]. Zbiory te mają jednak coraz gorsze właściwości algebraiczne: kwaterniony nie tworzą już ciała, ponieważ mnożenie przestaje być przemienne, a w oktawach mnożenie przestaje być nawet łączne. Mimo wszystko liczby te znajdują swoje zastosowania. Więcej na ten temat znajduje się w artykule [[aksjomaty i konstrukcje liczb]].

Odpowiednie własności działań w podstawowych zbiorach liczbowych zostały ujęte w tabeli (niżej legenda, oznaczenia wprowadzono wyłącznie na potrzeby artykułu):

: {| class="wikitable" style="text-align: center; padding: 0 5pt"
! Zbiór liczbowy
! Dodawanie
! Odejmowanie
! Mnożenie
! Dzielenie
|-
|align=left| Liczby naturalne bez zera
| <math>_\mathbf{WPL--}</math>
| <math>_\mathbf{-----}</math>
| <math>_\mathbf{WPLN-}</math>
| <math>_\mathbf{---no}</math>
|-
|align=left| Liczby naturalne z zerem
| <math>_\mathbf{WPLN-}</math>
| <math>_\mathbf{---nO}</math>
| <math>_\mathbf{WPLN-}</math>
| <math>_\mathbf{---no}</math>
|-
|align=left| Liczby całkowite
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
| <math>_\mathbf{WPLN-}</math>
| <math>_\mathbf{---no}</math>
|-
|align=left| Liczby wymierne
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
| <math>_\mathbf{WPLNo}</math>
| <math>_\mathbf{w--no}</math>
|-
|align=left| Liczby rzeczywiste
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
| <math>_\mathbf{WPLNo}</math>
| <math>_\mathbf{w--no}</math>
|-
|align=left| Liczby zespolone
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
| <math>_\mathbf{WPLNo}</math>
| <math>_\mathbf{w--no}</math>
|}

: {| class="wikitable" style="padding: 0 5pt"
|-
!Symbol
!Własność
!Definicja
|-
|colspan="3" style="text-align: center"| '''Legenda''': <math>\diamondsuit</math> oznacza opisywane działanie, <math>X</math> to dany zbiór liczbowy
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{W}</math>
| [[Działanie algebraiczne|Zamkniętość]] zbioru na działanie.
| <math>\bigwedge_{a,b\in X} a\diamondsuit b\in X</math>
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{w}</math>
| [[Działanie algebraiczne|Zamkniętość]] zbioru na dzielenie z wyłączeniem dzielenia przez zero.
| <math>\bigwedge_{a\in X}\bigwedge_{b\in X\setminus\{0\}} \tfrac{a}{b}\in X</math>
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{p}</math>
| [[Przemienność]] działania
| <math>\bigwedge_{a,b\in X} a\diamondsuit b=b\diamondsuit a</math>
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{L}</math>
| [[Łączność (matematyka)|Łączność]] działania
| <math>\bigwedge_{a,b,c\in X} a\diamondsuit (b \diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)\diamondsuit c</math>
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{N}</math>
| Obustronny [[element neutralny]] <math>e</math> działania w tym zbiorze.
| <math>\bigvee_{e\in X}\bigwedge_{a\in X} e\diamondsuit a=a\diamondsuit e=a</math>
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{n}</math>
| Wyłącznie prawostronny [[element neutralny]] dla wszystkich elementów zbioru.
| <math>\bigwedge_{a\in X}a\diamondsuit e=a</math>
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{O}</math>
| Obustronny [[element odwrotny]] dla wszystkich elementów zbioru.
| <math>\bigwedge_{a\in X}\bigvee_{b\in X}a \diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,</math> gdzie <math>e</math> jest elementem neutralnym
|-
|style="text-align: center"| <math>_\mathbf{o}</math>
| Obustronny [[element odwrotny]] dla wszystkich niezerowych elementów zbioru.
| <math>\bigwedge_{a\in X\setminus\{0\}}\bigvee_{b\in X}a \diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,</math> gdzie <math>e</math> jest elementem neutralnym
|}

Rodzaje struktur algebraicznych tworzonych przez poszczególne zbiory liczbowe z odpowiednimi działaniami:
* Dodawanie w zbiorze liczb naturalnych bez zera (jako działaniem łącznym i wewnętrznym) jest przykładem tzw. [[półgrupa|półgrupy]].
* W zbiorze liczb naturalnych z zerem istnieje dodatkowo element neutralny dodawania (zero), w związku z czym ten zbiór z dodawaniem stanowi tzw. [[monoid]].
* W zbiorze liczb całkowitych i szerszych, dodawanie jest odwracalne (dla każdego elementu <math>x</math> istnieje element <math>y</math> taki, że <math>x+y=0;</math> element ten nazywa się ''elementem przeciwnym'' do <math>x</math> i oznacza przez <math>-x</math>). Zatem zbiór liczb całkowitych z dodawaniem tworzy [[grupa przemienna|grupę przemienną]].
* Mnożenie we wszystkich tych zbiorach jest łączne, wewnętrzne i ma dokładnie jeden element neutralny, działanie to jednak nie jest odwracalne (zero nie ma elementu odwrotnego). Tworzy więc [[monoid]].
* Dodawanie i mnożenie razem tworzą w zbiorze liczb naturalnych tzw. [[półpierścień]]
* Zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy [[dziedzina całkowitości|dziedzinę całkowitości]].
* Począwszy od liczb wymiernych, zbiory z dodawaniem i mnożeniem razem tworzą już ciało – mnożenie z wyłączeniem zera jest odwracalne.
* Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych bez zera z mnożeniem tworzą grupę przemienną.
* Zbiór liczb rzeczywistych tworzy [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] nad ciałem liczb wymiernych.
* Ciało liczb rzeczywistych (i każde jego podciało) jest ''[[ciało (formalnie) rzeczywiste|ciałem formalnie rzeczywistym]]'', tj. element przeciwny jedynki nie jest sumą kwadratów niezerowych elementów ciała: <math>\bigwedge_{x_1,\dots, x_n\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}x_1^2+\ldots +x_n^2\neq -1.</math>
* Ciało <math>\mathbb R</math> liczb rzeczywistych i ciało <math>\mathbb A\cap \mathbb R</math> liczb rzeczywistych algebraicznych są ciałami ''[[Ciało (formalnie) rzeczywiste|rzeczywiście domkniętymi]]'':, tj. są ciałami formalnie rzeczywistymi, które nie posiadają rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem formalnie rzeczywistym.
* Zbiór liczb zespolonych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
* Ciało <math>\mathbb C</math> liczb zespolonych i ciało <math>\mathbb A</math> liczb algebraicznych są ciałami [[ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domkniętymi]], tzn. każdy [[wielomian]] [[stopień wielomianu|stopnia]] co najmniej pierwszego jednej zmiennej ze współczynnikami w <math>\mathbb C</math> albo <math>\mathbb A</math> ma pierwiastek w odpowiednym ciele. W szczególności istnieje <math>z\in\mathbb C</math> takie, że <math>z^2= -1.</math> W ciele liczb zespolonych istnieją dokładnie dwie liczby o tej własności oznaczane <math>i</math> oraz <math>-i.</math>

== Ścisłe definicje liczb ==
{{główny artykuł|Aksjomaty i konstrukcje liczb}}
<!--Proszę nic nie dopisywać do tej sekcji i wszelkie zmiany wykonywać w artykule [[Aksjomaty i konstrukcje liczb]]-->

== Moce zbiorów liczbowych ==
Zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz algebraicznych są równoliczne, czyli mają tę samą [[moc zbioru|moc]]; oznacza się ją za pomocą [[alfabet hebrajski|hebrajskiej litery]] ''[[alef]]'' z zerem w indeksie (czyt. ''alef-zero''), czyli <math>\aleph_0.</math>

Zbiory o mocy nie większej niż <math>\aleph_0</math> (w szczególności [[zbiór skończony|zbiory skończone]]) nazywane są [[zbiór przeliczalny|zbiorami przeliczalnymi]].

Zbiory liczb rzeczywistych, zespolonych, kwaternionów, oktonionów, sedenionów oraz liczb p-adycznych mają większą moc<ref group="uwaga">Co udowodnił [[Georg Cantor]] w 1874; zobacz też [[twierdzenie Cantora]].</ref> – [[Continuum (teoria mnogości)#Teoria mnogości|continuum]] – oznaczaną symbolem <math>\mathfrak c.</math> Kwestia, czy pomiędzy liczbą kardynalną <math>\aleph_0</math> a <math>\mathfrak{c}</math> jest jakakolwiek inna liczba kardynalna ([[hipoteza continuum]]), okazała się niemożliwa do wyprowadzenia z pozostałych [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatów teorii mnogości]].

Liczby kardynalne i opisane dalej liczby porządkowe nie tworzą w ogóle zbiorów. Założenie, że można utworzyć zbiór wszystkich liczb kardynalnych lub porządkowych, prowadzi do sprzeczności ([[paradoks Buralego-Fortiego]]).

== Systemy liczbowe ==
{{Osobny artykuł|system liczbowy}}
System liczbowy to zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb. Generalnie systemy liczbowe można podzielić na '''pozycyjne''' i '''addytywne'''.
[[Plik:Maya.svg|thumb|250px|System zapisu liczb prekolumbijskich [[Majowie|Majów]] opierał się na systemie piątkowym dla liczb 0–19. Większe liczby zapisywano używając potęg dwudziestki i powyższych symboli jako cyfr systemu dwudziestkowego]]

=== Pozycyjne systemy liczbowe ===
W [[System liczbowy|pozycyjnych systemach liczbowych]] ten sam symbol ([[cyfra]]) ma różną wartość w zależności od pozycji, jaką zawiera w danej liczbie. Na przykład w dziesiętnym zapisie liczby 11, pierwsza jedynka ma wartość 10, a druga 1, ze względu na inną ich pozycję w zapisie liczby.

Przykłady:
* [[dziesiętny system liczbowy]], który jest współcześnie w powszechnym użyciu
*: <math>109_{10} = 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0</math>
* [[dwójkowy system liczbowy]], czyli o podstawie 2, stosowany w [[elektronika cyfrowa|elektronice cyfrowej]], np. w [[komputer]]ach. Przyczyną jest prostsza budowa i większa odporność na błędy [[bramka logiczna|bramek logicznych]] (elementów z których budowany jest [[układ cyfrowy]]) przy mniejszej liczbie możliwych stanów. Ponieważ najmniejsza użyteczna liczba stanów to dwa, więc najtaniej i najprościej zbudować układy cyfrowe oparte na systemie dwójkowym.
*: <math>10011101_2 = 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4</math><math>+ 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 157_{10}</math>
* [[szesnastkowy system liczbowy]], w którym liczbom 10 do 15 odpowiadają cyfry oznaczane pierwszymi (małymi lub dużymi) literami alfabetu. Najczęściej używany w informatyce ze względu na oszczędność miejsca przy notowaniu, ponieważ każdy [[bajt]] może być zakodowany dwiema cyframi szesnastkowymi oraz łatwe konwersje do/z systemu dwójkowego – cyfrze szesnastkowej odpowiadają cztery cyfry dwójkowe (z podobnych względów używa się czasem [[ósemkowy system liczbowy|ósemkowego systemu liczbowego]]).
*: <math>1AF_{16} = 1 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 431_{10}</math>

W pozycyjnych systemach liczbowych o podstawie <math>k</math> każda nieujemna liczba rzeczywista <math>x</math> może być rozwinięta przy pomocy szeregu:
: <math>x=c_nk^n+c_{n-1}k^{n-1}+\ldots+c_1k+c_0+c_{-1}k^{-1}+c_{-2}k^{-2}+\ldots</math>

gdzie <math>c_i</math> to cyfry będące liczbami naturalnymi z przedziału od 0 do <math>k-1.</math>

Skrótowo liczbę nieujemną zapisuje się jako <math>c_nc_{n-1}\ldots c_1c_0,c_{-1}c_{-2}\ldots</math> W krajach anglosaskich zamiast przecinka zarezerwowanego do oddzielania tysięcy używana jest kropka. Dla liczb ujemnych zapisujemy ich [[Wartość bezwzględna|moduł]], dodając z przodu znak <math>-,</math> np. <math>-25,4</math><ref group="uwaga">Typografia wyróżnia cztery różne znaki: &#x002D; ([[dywiz|dywiz, łącznik]]), &#x2013; ([[Pauza i półpauza|półpauza]]), &#x2014; ([[Pauza i półpauza|pauza]]) oraz &#x2212; ([[Plus i minus|minus]]), który od półpauzy różni się wyglądem oraz położeniem (zgodnym z innymi znakami matematycznymi).</ref>. Przez analogię dla liczb dodatnich można dodać z przodu znak <math>+.</math> W księgowości stosuje się też inne notacje, na przykład liczby ujemne ujmuje się w nawiasy.

Liczby rzeczywiste często wymagają nieskończenie wielu cyfr do swego zapisu. Zapis liczb wymiernych zawsze wykazuje okresowość, to znaczy od pewnego momentu ciąg cyfr zaczyna się cyklicznie powtarzać. Liczby naturalne są zapisywane skończoną liczbą cyfr, gdyż wszystkie cyfry <math>c_i</math> dla <math>i<0</math> są zerami, więc ich zapis można pominąć.

=== Addytywne systemy liczbowe ===
W [[System liczbowy|addytywnych systemach liczbowych]] symbole mają zawsze tę samą wartość, a liczbę uzyskuje się przez ich sumowanie. Tym samym musi ich być odpowiednio więcej. Przykłady:
* [[Rzymski system zapisywania liczb|rzymski system liczbowy]] – używany śladowo do dziś, np. do zapisu stulecia.

== Reprezentacje liczb w informatyce ==
Dane w [[pamięć komputerowa|pamięci komputera]] i w [[plik danych|plikach]] zapisane są w postaci ciągu tak zwanych [[bajt]]ów. Każdy bajt składa się z ośmiu cyfr systemu dwójkowego (0 lub 1), zwanych [[bit]]ami. Pojedynczy bajt może przyjmować jeden z <math>2^8=256</math> stanów. Powstaje konieczność zakodowania liczb w postaci ciągu bajtów, tak aby komputery mogły je przetwarzać. Można to zrobić na wiele sposobów, jednak w praktyce używanych jest kilka standardów:

=== Liczby naturalne ===
[[Typ danych|Typ]] obejmujący przedział liczb naturalnych z zerem zwany jest w informatyce '''liczbami bez znaku''' (ang. ''unsigned integers''). W informatyce zawsze zalicza się zero do liczb bez znaku i – w odróżnieniu od matematyki – elementy [[ciąg (matematyka)|ciągu]], zwanego tu [[Tablica (informatyka)|tablicą jednowymiarową]], w najpopularniejszych [[język programowania|językach]] numeruje się konsekwentnie od zera<ref group=uwaga>Na przykład w [[C (język programowania)|C]], [[C++]], [[Java]], [[JavaScript]], [[C#]], w [[asembler]]ach, [[PHP]] (przy wywołaniu funkcji <code>array</code> z domyślnymi parametrami), [[Perl]], choć istnieją starsze języki w których numeruje się je od jedynki (wiele dialektów [[BASIC|Basica]], [[Fortran]]), lub zakres numeracji można samodzielnie zdefiniować ([[Pascal (język programowania)|Pascal]], [[SAS 4GL]], [[ALGOL|Algol]], [[Ada (język programowania)|Ada]]).</ref>.

Liczby naturalne z przedziału 0–255 można po prostu zakodować jako wartość jednego bajta.

Na dwóch bajtach można już zapisać liczby naturalne z przedziału 0–65&nbsp;535 (mamy do dyspozycji <math>65\ 536=256^2</math> stanów). Każdą taką liczbę można zapisać w postaci <math>x=256h+l,</math> gdzie <math>h</math> oraz <math>l</math> to wartości tzw. '''starszego bajta''' i '''młodszego bajta''', z przedziału od 0 do 255 każda. Wartości te można zapisać w pamięci na dwa sposoby: albo pierwszy jest starszy bajt, a drugi młodszy (tzw. notacja ''[[Kolejność bajtów|big endian]]''), albo odwrotnie (''[[Kolejność bajtów|little endian]]''). W procesorach kompatybilnych z architekturą [[Intel]]a (czyli np. w komputerach [[Komputer osobisty|PC]]) stosowana jest notacja ''little endian'', a w wielu innych procesorach (np. na większości rozwiązań serwerowych) ''big endian''. Istnieją także procesory, w których kolejność bajtów można zmieniać. Jednak kolejność ta nie ma większego znaczenia, dopóki nie zapiszemy liczby do pliku albo nie prześlemy jej siecią i nie przeniesiemy w ten sposób na komputer stosujący inny standard. Z tego powodu np. maszyny wirtualne [[Java]] wykorzystują w plikach format ''big endian'' niezależnie od procesora.

Na czterech bajtach można zapisać liczby z przedziału od 0&nbsp;do&nbsp;4&nbsp;294&nbsp;967&nbsp;295. Analogicznie jak poprzednio, przedstawienie danej liczby w systemie 256-kowym pozycyjnym jako <math>x = 256^3 a_3 + 256^2 a_2 + 256 a_1 + a_0</math> uzyskuje się cztery bajty <math>a_3, a_2, a_1, a_0.</math> Kolejność ich zapisu w pamięci, tak jak poprzednio, zależy od procesora – w przypadku ''little endian'' od bajta <math>a_0</math> do <math>a_3,</math> w przypadku ''big endian'' – odwrotnie.

Do niektórych zastosowań konieczne są jeszcze większe liczby naturalne, np. zapisywane na 8 bajtach (w rodzinie języków C oznaczane <code>unsigned _int64</code> lub <code>unsigned long long int</code>).

Istnieją także inne sposoby zapisu liczb naturalnych, bardzo rzadko jednak stosowane. Należy do nich [[kod BCD]] (od ang. ''binary coded decimal''), gdzie kolejne cyfry dziesiętne są zapisywane w kolejnych półbajtach (inaczej [[Półbajt|nibblach]], porcjach danych długości 4 bitów). Komplikuje to arytmetykę, ale upraszcza przeliczanie na system dziesiętny, kod BCD jest więc czasem stosowany w licznikach cyfrowych.

=== Liczby całkowite ===
{{Osobny artykuł|liczba całkowita (typ danych)}}
Typ obejmujący przedział liczb całkowitych zwany jest w informatyce '''liczbami ze znakiem''' (ang. ''signed integers'').

Stosuje się tu tzw. [[kod uzupełnień do dwóch]] (ZU2). Liczba <math>x,</math> która ma zostać zapisana w postaci <math>n</math> bajtów jest przekształcana w następujący sposób:
: <math>x' = \begin{cases} x & \text{dla } x \geqslant 0 \\ 256^n + x & \text{dla } x < 0\end{cases}</math>

Następnie liczba <math>x'</math> jest zapisywana jako liczba naturalna. W ten sposób na jednym bajcie można zapisywać liczby z przedziału od <math>-128</math> do <math>127,</math> na dwóch od <math>-32\,768</math> do <math>32\,767,</math> i ogólnie na <math>n</math> bajtach liczby od <math>-2^{8n-1}</math> do <math>2^{8n-1}-1</math> włącznie.

Istnieją również inne metody zapisu (np. [[kod uzupełnień do jedności]]), obecnie jednak nie stosowane.

W celu zapisywania dużych liczb naturalnych lub całkowitych buduje się odpowiednie [[Klasa (programowanie obiektowe)|klasy]], np. <code>java.math.BigInteger</code> w języku [[Java]]<ref>Dokumentacja: https://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/math/BigInteger.html</ref>

=== Liczby rzeczywiste ===
Liczby rzeczywiste mogą być zapisywane jako:
* [[kod stałopozycyjny|liczby stałoprzecinkowe]], kiedy liczba mnożona jest przez pewną ustaloną z góry stałą, po czym [[zaokrąglanie|zaokrąglana]] do najbliższej liczby całkowitej i jako taka zapisywana;
* [[liczba zmiennoprzecinkowa|liczby zmiennoprzecinkowe]], gdy stała ta dobierana jest w zależności od kodowanej liczby, co czyni tę metodę bardziej uniwersalną.

Powszechnie stosuje się zmiennoprzecinkowy zapis liczby rzeczywistej w standardzie [[IEEE 754]]. Przybliżenie liczby rzeczywistej jest zapisywane w postaci <math>x=s\cdot 2^w\cdot m,</math> gdzie <math>s\in \{1,-1\}</math> jest nazywany '''znakiem''', <math>w</math> – '''wykładnikiem''', a <math>m\in[0,1)</math> – '''mantysą'''. Zero, które można by zakodować na wiele sposobów jest kodowane jako <math>s=+1, w=0, m=0</math>
: [[Plik:Reprezentacja bitowa.svg|300px]]

Znak jest zapisywany jako jeden bit, równy 0 dla <math>s=+1</math> i 1 dla <math>s= -1.</math> Wykładnik jest zapisywany jak każda inna liczba całkowita w kodzie uzupełnień do dwóch. Mantysa jest mnożona przez <math>2^f,</math> gdzie <math>f</math> to liczba bitów przeznaczona na nią i zapisywana jako liczba naturalna.

Całość zajmuje kolejnych 4, 8 albo 16 bajtów (w zależności od wymaganej precyzji). Ich kolejność umieszczenia w pamięci jest zależna od procesora, identycznie jak w przypadku liczb naturalnych i całkowitych.

=== Liczby zespolone i kwaterniony ===
Niektóre [[język programowania|języki programowania]] posiadają arytmetykę liczb zespolonych. W nowoczesnych językach zwykle jest to realizowane za pomocą odpowiednich klas, np. <code>Complex</code> ze standardowej biblioteki [[C++]]. Jedną z przyczyn dawnej popularności [[Fortran]]u był fakt, iż język ten jako pierwszy posiadał [[Typ danych|typ]] liczb zespolonych.

Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie [[DirectX]]<ref name="DirectX">Dokumentacja: https://learn.microsoft.com/en-us/previous-versions/ms128741(v=vs.100)</ref>, będąc sposobem na użycie tzw. [[współrzędne jednorodne|współrzędnych jednorodnych]] do opisu [[punkt (geometria)|punktów]] modelowanej [[przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]] [[wymiar (matematyka)|trójwymiarowej]] ([[wierzchołek (grafika 3D)|wierzchołków]] trójwymiarowej [[scena (grafika 3D)|sceny]]) w [[Grafika 3D|grafice 3D]]; podobne typy istnieją również w innych pakietach grafiki trójwymiarowej.

== Historia ==
{{osobny artykuł|Historia liczb}}

== Zobacz też ==
{{Wikicytaty|dopełniacz=związanych z liczbą}}
* [[cyfra]]
* [[znak liczby]]
* [[moc zbioru]]
* [[liczebniki główne potęg tysiąca]]

'''liczby'''
{| cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" width="100%"
|width="50%" valign="top"|
* [[liczby algebraiczne|algebraiczne]]
* [[liczby automorficzne|automorficzne]]
* [[liczby bliźniacze|bliźniacze]]
* [[liczby całkowite|całkowite]]
* [[liczby doskonałe|doskonałe]]
* [[liczby dualne|dualne]]
* [[liczby Fermata|Fermata]]
* [[Ciąg Fibonacciego|Fibonacciego]]
* [[moc zbioru|kardynalne]]
* [[kwaterniony]]
* [[liczby Mersenne’a|Mersenne’a]]
* [[liczby naturalne|naturalne]]
* [[liczby niewymierne|niewymierne]]
* [[oktawy Cayleya]]
* [[liczby p-adyczne|p-adyczne]]
* [[parzystość liczb|parzyste i nieparzyste]]
|width="50%" valign="top"|
* [[liczby pierwsze|pierwsze]]
* [[liczby piramidalne|piramidalne]]
* [[liczby podobieństwa|podobieństwa]]
* [[liczby podwójne|podwójne]]
* [[liczby porządkowe|porządkowe]]
* [[liczby nadrzeczywiste|nadrzeczywiste]]
* [[liczby półpierwsze|półpierwsze]]
* [[liczba przestępna|przestępne]]
* [[liczby rzeczywiste|rzeczywiste]]
* [[znak liczby|ujemne]]
* [[liczby urojone|urojone]]
* [[liczby wymierne|wymierne]]
* [[liczby zaprzyjaźnione|zaprzyjaźnione]]
* [[liczby zespolone|zespolone]]
* [[liczby złożone|złożone]]
|}
{{Wikisłownik|liczba|liczby}}
* {{występuje|liczba}}
* {{nazwy od|liczba}}
* {{występuje|liczby}}
* {{nazwy od|liczby}}

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Klukowski |imię = Jerzy |nazwisko2 = Nabiałek |imię2 = I. |tytuł = Algebra dla studentów |rok = 2004 |wydanie = 4 |isbn = 83-204-3124-7 |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]]}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Leja |imię = Franciszek |autor link = Franciszek Leja |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1976}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Maurin |imię = Krzysztof |autor link = Krzysztof Maurin |tytuł = Analiza – Część I – Elementy |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |rok = 1976}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Musielak |imię = Helena |nazwisko2 = Musielak |imię2 = Julian |tytuł = Analiza matematyczna |miejsce = Poznań |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe UAM]] |rok = 2000 |isbn = 83-232-1049-7}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Reinhardt |imię = Fritz |nazwisko2 = Soeder |imię2 = Heinrich |tytuł = Atlas matematyki |wydawca = [[Prószyński i S-ka]] |rok = 2003 |isbn = 83-7469-189-1}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Rutkowski |imię = Jerzy |tytuł = Algebra abstrakcyjna w zadaniach |rok = 2006 |wydanie = 5 |wydawca = PWN |isbn = 83-01-14388-6}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Widomski |imię = J. |tytuł = Ontologia liczby |miejsce = Kraków |rok = 1996}}

Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce:
* {{cytuj książkę |nazwisko = Miś |imię = Bogdan |autor link = Bogdan Miś |tytuł = Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1989}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/numbers/v-1 Numbers]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Główne rodzaje liczb}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby| ]]
[[Kategoria:Byłe Dobre Artykuły]]