Tekst źródłowy strony Kwaterniony

[[Plik:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|Tablica pamiątkowa na moście [[Broom Bridge]], gdzie [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] wpadł na pomysł kwaternionów i wyrył ich równanie w kamieniu mostu<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Bruno |imię = Leonard C. |tytuł = Math and mathematicians: the history of math discoveries around the world |url = https://archive.org/details/mathmathematicia00brun |inni = Baker, Lawrence W. |wydawca = U X L |miejsce = Detroit, Mich. |data = 2003 |strony = 210 |isbn = 0787638137 |oclc = 41497065 |język = en}}</ref>]]

'''Kwaterniony''', dawniej '''czwarki Hamiltona'''<ref group="uwaga">Nazwa ta użyta została m.in. w tytule wykładu Władysława Kretkowskiego „Teorya czwarków Wiliama Hamiltona wraz z niektóremi zastosowaniami do geometryi”, który wygłoszony został na Uniwersytecie Lwowskim w roku akademickim 1882/83.</ref><ref>[[Danuta Ciesielska]] – referat [https://web.archive.org/web/20150721061222/http://algebra.up.krakow.pl/abstr-all-strona3.pdf?w=no „Oblicze dziewiętnastowiecznej algebry na polskich uczelniach”].</ref> – [[Struktura matematyczna|struktura algebraiczna]] ([[liczba|liczby]]) będąca rozszerzeniem [[ciało (matematyka)|ciała]] [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]]<ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = Kwaterniony |id = 3929640 |data dostępu = 2021-07-24}}</ref>, należąca do klasy zbiorów [[liczby hiperzespolone|liczb hiperzespolonych]]. Kwaterniony zostały wprowadzone przez [[Irlandia|irlandzkiego]] [[matematyk]]a [[William Rowan Hamilton|Williama Hamiltona]] w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły [[przemienność|przemienności]] (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed [[macierz]]ami). Kwaterniony znajdują zastosowanie w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję [[#Zastosowania|Zastosowania]].

Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, [[norma (matematyka)|unormowaną]] [[Algebra nad ciałem|algebrę]] z dzieleniem nad [[liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]]. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez <math>\mathbb H</math> od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w [[algebra|algebrze]], ponieważ zgodnie z [[Twierdzenie Frobeniusa o algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych|twierdzeniem Frobeniusa]] jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako [[podpierścień]].

== Konstrukcje ==
{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+ tabelka mnożenia
|-
!width=15| ×
!width=20| e
!width=20| ''i''
!width=20| ''j''
!width=20| ''k''
|-
! e
| e || ''i'' || ''j'' || ''k''
|-
! ''i''
| ''i'' || –e || ''k'' || –''j''
|-
! ''j''
| ''j'' || –''k'' || –e || ''i''
|-
! ''k''
| ''k'' || ''j'' || –''i'' || –e
|}

Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.

=== Kwaternion jako suma algebraiczna ===
Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać:
: <math>q=a e+b i+c j+d k,</math> gdzie: <math>a, b, c, d \in \mathbb R</math> zaś <math>e, i, j, k</math> to pewne obiekty (''jednostki urojone'') podobne do wartości <math>i</math> w liczbach zespolonych, gdyż zachodzi zależność <math>i^2=j^2=k^2=-1.</math>

Dodawanie i [[mnożenie]] kwaternionów, w postaci algebraicznej, wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych <math>e, i, j, k,</math> przy czym mnożenie jednostek <math>e, i, j, k</math> z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.

<math>e</math> jest to [[element neutralny]], tak jak w przypadku innych [[Struktura matematyczna|struktur algebraicznych]] jak np. [[Grupa (matematyka)|grup]]. Często nie uwzględniany w zapisie kwaternionu, dlatego <math>a \in \mathbb R</math> nazywa się czasami '''częścią rzeczywistą''' kwaternionu <math>q.</math>

Wtedy:
: <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1,</math>
: <math>ij = -ji = k,</math>
: <math>ki = -ik = j,</math>
: <math>jk = -kj = i.</math>

=== Przykład ===
Niech
: <math>x=2+3i+4k,</math>
: <math>y=2+3j+2k.</math>

Wtedy
: <math>x+y=4+3i+3j+6k,</math>

: <math>\begin{align}xy &=(2+3i+4k)(2+3j+2k) \\
&= 2(2+3j+2k)+3i(2+3j+2k)+4k(2+3j+2k) \\
&= 4+6j+4k+6i+9ij+6ik+8k+12kj+8k^2 \\
&= 4+6j+4k+6i+9k+6(-j)+8k+12(-i)+8(-1) \\
&= -4-6i+21k.\end{align}</math>

=== Kwaterniony jako macierze zespolone ===
Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni <math>M_{2 \times 2}(\mathbb C)</math> postaci
: <math>\begin{bmatrix}z & w\\-\overline w & \overline z\end{bmatrix},</math>

gdzie <math>z,w\in \mathbb C.</math>

Podstawowe własności:
* suma dwu kwaternionów jest kwaternionem:
: <math>\begin{bmatrix}z & w\\-\overline w & \overline z\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}x & y\\-\overline y & \overline x\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
z+x & w+y\\
-\overline {(w+y)} & \overline {z+x}
\end{bmatrix},</math>
* podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem:
: <math>\begin{bmatrix}
z & w\\-\overline w & \overline z\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}x & y\\-\overline y & \overline x
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
zx-w\overline y & zy+w\overline x\\
-\overline {(zy+w\overline x)} & \overline {(zx-w\overline y)}
\end{bmatrix},</math>
* dla kwaternionu <math>q \ne 0</math> istnieje kwaternion odwrotny do <math>q</math> zadany wzorem:
: <math>q^{-1} = \begin{bmatrix}
z & w \\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{|z|^2+|w|^2} \cdot \begin{bmatrix}
\overline z & -w \\
\overline w & z
\end{bmatrix}.</math>
* [[Macierz jednostkowa]] i zerowa
: <math>
\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\;
\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}</math>
: są oczywiście kwaternionami.
* Należy zauważyć, że np.
: <math>
\begin{bmatrix}i&0\\ 0&-i\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}0&1\\-1& 0\end{bmatrix} = \ -
\begin{bmatrix}0&1\\-1& 0\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}i&0\\ 0&-i\end{bmatrix},</math>
: czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.

Z konstrukcji macierzowej bezpośrednio wynika izomorficzność tabelki mnożenia jednostek kwaternionu po prawej.
: <math>
\begin{bmatrix}z & w\\-\overline w & \overline z\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a+bi & c+di\\-c+di & a-bi\end{bmatrix}
= a\begin{bmatrix}1&0\\ 0& 1\end{bmatrix}
+ b\begin{bmatrix}i&0\\ 0&-i\end{bmatrix}
+ c\begin{bmatrix}0&1\\-1& 0\end{bmatrix}
+ d\begin{bmatrix}0&i\\ i& 0\end{bmatrix}.</math>

I wystarczy przyjąć oznaczenia:
: <math>
\mathbf e=\begin{bmatrix}1&0\\ 0& 1\end{bmatrix},\quad
\mathbf i=\begin{bmatrix}i&0\\ 0&-i\end{bmatrix},\quad
\mathbf j=\begin{bmatrix}0&1\\-1& 0\end{bmatrix},\quad
\mathbf k=\begin{bmatrix}0&i\\ i& 0\end{bmatrix}.</math>

=== Kwaternion jako para liczb zespolonych. ===
W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych: <math>q = (z, w),</math> gdzie <math>z, w \in \mathbb C.</math> W tym zbiorze definiuje się działania:
* dodawanie
: <math>(z, w)+(x,y)=(z+x,w+y),</math>
* mnożenie
: <math>(z,w)\cdot(x,y) = (zx-w\overline y,\ zy+w\overline x).</math>

Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.

=== Kwaternion jako macierz rzeczywista ===
Innym sposobem zapisu macierzowego jest<ref>{{MathWorld|adres=Quaternion |tytuł=Quaternion |data dostępu=29 kwietnia 2009}}</ref>
: <math>\begin{bmatrix}
 \;\; a & \;\; b & -d & -c \\
 -b & \;\; a & -c & \;\; d \\
 \;\; d & \;\; c & \;\; a & \;\; b \\
 \;\; c & -d & -b & \;\; a
\end{bmatrix},\;{}</math> dla <math>a, b, c, d \in \mathbb R.</math>

== Własności algebraiczne kwaternionów ==
Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych <math>M_{2 \times 2}(\mathbb C){:}</math>
* dodawanie kwaternionów jest [[Łączność (matematyka)|łączne]] i przemienne, czyli <math>(q+r)+s = q+(r+s)</math> oraz <math>q+r = r+q,</math>
* mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli <math>(qr)s = q(rs),</math> ale nie jest przemienne (np. <math>\mathbf{ij} \neq \mathbf{ji}</math>),
* zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
** <math>q(r+s)=qr+qs,</math>
** <math>(r+s)q=rq+sq,</math>
* każdy niezerowy element ma element odwrotny do siebie.

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc [[Grupa przemienna|grupę abelową]]. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową.

Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą [[Pierścień (matematyka)|pierścień]] nieprzemienny [[pierścień z dzieleniem|z dzieleniem]]. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty [[Ciało (matematyka)|ciała]] z wyjątkiem przemienności <math>qr = rq.</math>

=== Niektóre podstruktury ===
Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciała:
* kwaterniony postaci <math>q=a+0\mathbf i+0\mathbf j+0\mathbf k, a \in \mathbb R</math> można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,
* następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]:
** <math>\{q=a+b\mathbf i: a, b\in \mathbb R\},</math>
** <math>\{q=a+b\mathbf j: a, b\in \mathbb R\},</math>
** <math>\{q=a+b\mathbf k: a, b\in \mathbb R\}.</math>

==== Grupa kwaternionów ====
{{osobny artykuł|Grupa kwaternionów}}
Zbiór <math>\{ \mathbf {e, -e, i, -i, j, -j, k, -k} \}</math> z mnożeniem tworzy [[Grupa (matematyka)|grupę]] zwaną ''grupą kwaternionów'' i oznaczaną symbolem <math>Q_8</math> (od liczby elementów).

== Sprzężenie ==
'''Sprzężenie''' w kwaternionach jest funkcją określoną następująco:

dla postaci macierzowej:
: <math>\overline \begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\overline z & -w\\
\overline w & z
\end{bmatrix},</math>

dla postaci algebraicznej:
: <math>\overline{a\mathbf e+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k}=a\mathbf e-b\mathbf i-c\mathbf j-d\mathbf k,</math>

dla postaci par liczb zespolonych:
: <math>\overline{(z,w)}=(\overline z,-w).</math>

Własności sprzężenia
* <math>\overline {q+r}= \overline q + \overline r,</math>
* <math>\overline {qr}= \overline r \cdot \overline q,</math>
* <math>\overline{\overline {q}}= q.</math>

== Wyznacznik i moduł ==
'''Wyznacznik''' kwaternionu <math>q</math> definiuje wzór:

dla postaci macierzowej:
: <math>\det q= \det\begin{vmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{vmatrix} = |z|^2+|w|^2,</math>

dla postaci algebraicznej:
: <math>\det q=\det (a\mathbf e+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k)=a^2+b^2+c^2+d^2,</math>

dla par liczb zespolonych:
: <math>\det q=\det (z,w) = |z|^2+|w|^2.</math>

Oczywiście dla <math>q \ne 0</math>
: <math>\det q > 0.</math>

'''Moduł''' jest to pierwiastek z wyznacznika:
: <math>|q|=\sqrt{\det q}.</math>

Własności modułu kwaternionów:
* <math>|q|=|\overline q|=|-q|,</math>
* <math>q\cdot \overline q=|q|^2= \det q,</math>
* <math>|q\cdot r|=|q|\cdot|r|,</math>
* <math>|q+r|\leqslant|q|+|r|</math> ([[nierówność trójkąta]]).

== Geometryczna interpretacja mnożenia ==
Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej <math>a + \mathrm v.</math> W tej postaci <math>a \in \mathbb R,</math> zaś <math>\mathrm v \in \mathbb R^3</math> jest wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: <math>\mathrm{vw} = -(\mathrm v \cdot \mathrm w) + \mathrm v \times \mathrm w,</math> a dwóch kwaternionów – jako: <math>(a + \mathrm v)(b + \mathrm w) = ab - (\mathrm v \cdot \mathrm w) + a\mathrm w + b\mathrm v + \mathrm v \times \mathrm w.</math>

We wzorach tych kropka oznacza [[iloczyn skalarny]], a krzyżyk [[iloczyn wektorowy]] w przestrzeni trójwymiarowej.

== Obroty przestrzeni trójwymiarowej ==
Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową <math>S^3</math> w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z [[grupa obrotów|grupą obrotów]] <math>SO(3)</math> przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi <math>h</math> [[obrót]] <math>T_h</math> według wzoru:
: <math>T_h(x) = h x h^{-1}.</math>

Wówczas:
* [[Funkcja|przekształcenie]] <math>T_h</math> jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych,
* przekształcenie <math>h \mapsto T_h</math> definiuje podwójne nakrycie grupy <math>SO(3)</math> przez sferę <math>S^3,</math>
* jeśli wyrazimy kwaternion <math>h</math> w postaci wykładniczej <math>e^{va},</math> wtedy <math>T_h</math> jest obrotem wokół osi <math>v</math> kąt <math>2a.</math>

== Zastosowania ==
[[Plik:qjulia.jpg|thumb|150px|[[Zbiór Julii]] w przestrzeni kwaternionów]]
Kwaterniony są używane w [[grafika komputerowa|grafice komputerowej]] do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie [[DirectX]]<ref name="DirectX">Dokumentacja: https://archive.is/20130427031150/http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/microsoft.windowsmobile.directx.quaternion.aspx</ref>. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D. Części urojone kwaternionu służą do zdefiniowania płaszczyzny obrotu (opisują wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu), część rzeczywista do określenia kąta obrotu. Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące [[Interpolacja (matematyka)|interpolacji]] SLERP i LERP.

Ciekawym wizualnie zastosowaniem kwaternionów są wizualizacje rozszerzonych zbiorów [[Zbiór Mandelbrota|Mandelbrota]] oraz [[Zbiór Julii|Julii]] ([[fraktal]]e w przestrzeni [[Grafika 3D|3D]]), gdzie tworzy się przecięcie [[Przestrzeń euklidesowa|czterowymiarowej przestrzeni]] kwaternionów z [[Hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]] trójwymiarową.

Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]], m.in. w [[astronomia sferyczna|mechanice niebieskiej]] – obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji [[wiązka wektorowa|wiązek wektorowych]] w [[geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]]. Użyto ich też w [[teoria liczb|teorii liczb]] do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w [[równanie różniczkowe cząstkowe|równaniach różniczkowych cząstkowych]]).

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie [[zasada lokalno-globalna|zasady lokalno-globalnej]] Minkowskiego-Hasse), [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]] ([[krzywa stożkowa|stożkowe]] jako [[rozmaitość|rozmaitości]] Severi-Brauera); pojawiają się w teorii [[kohomologia|kohomologii]] Galois ([[kohomologia etalna|kohomologii etalnych]]) jako elementy rzędu 2 w [[grupa Brauera|grupie Brauera]] ciała (słynne [[twierdzenie Merkurjewa]] z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy [[iloczyn tensorowy|iloczynów tensorowych]] uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna [[K-teoria]] [[rzutowa krzywa stożkowa|rzutowej krzywej stożkowej]] wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria [[kwadryka|kwadryki]] rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Algebry Clifforda|algebry Clifforda]], która jest albo algebrą [[macierz]]y nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] dwóch takich algebr (macierzy).

== Zobacz też ==
* [[bikwaterniony]]
* [[kokwaterniony]]
* [[macierze Pauliego]]
* [[oktawy Cayleya]]
* [[tessariny]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Literatura dodatkowa ==
* Garret Birkhoff, [[Saunders Mac Lane]], ''Przegląd algebry współczesnej'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1963.
* {{cytuj książkę |nazwisko = Sierpiński |imię = Wacław |autor link = Wacław Sierpiński |tytuł = Arytmetyka teoretyczna |wydawca = PWN |rok = 1968}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{Pismo Delta | url = 2016/09/liczby-zespolone-i-kwaterniony/ | autor = Zbigniew Marciniak | tytuł = Liczby zespolone i kwaterniony | data = wrzesień 2016 | data dostępu = 2024-11-03 }}
* {{Pismo Delta | url = 2016/10/liczby-zespolone-i-kwaterniony/ | autor = Zbigniew Marciniak | tytuł = Liczby zespolone i kwaterniony | data = październik 2016 | data dostępu = 2024-11-03 }}
* {{otwarty dostęp}} Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=HMDb9zJ2BdA Kwaterniony]'', [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] – [[Uniwersytet Jagielloński]] (CKBI UJ), kanał „Copernicus” na [[YouTube]], 30 listopada 2021 [dostęp 2022-03-19] – wykład [[Popularyzacja nauki|popularnonaukowy]].

; Obcojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Quaternion Quaternion]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
* {{otwarty dostęp}} Grant Sanderson, ''[https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg Visualizing quaternions (4d numbers) with stereographic projection]'', kanał [[3blue1brown]] na [[YouTube]], 6 września 2018 [dostęp 2021-03-15].
* [http://docs-hoffmann.de/quater12012002.pdf Kwaterniony w grafice komputerowej i mechanice (Gernot Hoffman)]
* [http://theworld.com/~sweetser/java/qcalc/qcalc.html Kalkulator dla kwaternionów]

{{Algebry nad ciałami liczbowymi}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby hiperzespolone]]
[[Kategoria:Liczby]]