Tekst źródłowy strony Kwantowy rotator sztywny

'''Rotator sztywny''' – model w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]], gdzie występuje układ dwóch [[cząstka|cząstek]], związanych ze sobą. Może on się obracać w przestrzeni, podczas gdy odległość pomiędzy cząstkami się nie zmienia.

== Układ cząstek w rotatorze ==
Dla mechaniki kwantowej [[ruch translacyjny]] nie jest interesujący, zatem rozpatruje się tylko ruch cząstek w [[układ środka masy|układzie środka mas]]. Dzięki temu można wprowadzić tzw. [[masa zredukowana|masę zredukowaną]], w której [[energia kinetyczna]] ruchu dwóch cząstek o masach <math>m_1</math> i <math>m_2</math> równa się energii kinetycznej jednej cząstki o masie <math>\mu{:}</math>
:: <math>\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2},</math>

gdzie:
: <math>\mu</math> – masa zredukowana,
: <math>m_1,</math> <math>m_2</math> – masy składników.

Dla takiego układu [[równanie Schrödingera]] ma postać:
:: <math>\left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + \hat V\right] \psi = E \psi,</math>

gdzie:
: <math>\nabla^2 = \Delta</math> to [[Operator Laplace’a|laplasjan]],
: <math>\hbar</math> – stała Diraca,
: <math>\hat V</math> – operator energii potencjalnej.

Rotator sztywny to typowy układ, gdzie występują [[więzy]]. Ruch musi być ograniczony do takiego, by nie naruszyć odległości pomiędzy cząstkami. Dobrze jest wówczas wprowadzić współrzędne sferyczne:
:: <math>x=x(r,\theta,\phi)=r \sin\theta \cos\phi,</math>
:: <math>y=y(r,\theta,\phi)=r \sin\theta \sin\phi,</math>
:: <math>z=z(r,\theta,\phi)=r \cos\theta.</math>

gdzie:
: <math>r</math> – długość wektora,
: <math>\theta</math> – kąt azymutalny,
: <math>\phi</math> – kąt biegunowy.

Wówczas element objętości przyjmuje postać:
:: <math>\mathrm d\tau = r^2\ \sin\theta\ \mathrm dr\ \mathrm d\theta\ \mathrm d\phi.</math>

We współrzędnych sferycznych [[operator Laplace’a]] ma postać:
:: <math>\Delta
=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)
+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right),
</math>

a [[operator Hamiltona]] ma postać:
:: <math>\hat H = -\frac{\hbar^2}{2I} \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right],</math>

gdzie:
: <math>I = \mu R^2</math> – oznacza [[moment bezwładności]].

Energia całkowita rotatora klasycznego jest równa energii kinetycznej. Oznaczając przez <math>Y</math> jego funkcje własne, można napisać równanie Schrödingera:
:: <math>- \frac{\hbar^2}{2I} \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right] Y = EY.</math>

Można je zapisać również w postaci:
:: <math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} Y = \lambda Y,</math>

gdzie:
: <math>\lambda = \frac{2IE}{\hbar^2}.</math>

== Rozwiązanie ==
Aby rozwiązać równanie Schrödingera, można przedstawić funkcję <math>Y</math> w postaci:
:: <math>Y (\theta, \phi) = \Theta (\theta) \Phi (\phi).</math>

Poprzez podstawienie tego iloczynu do równania Schrödingera, pomnożeniu przez <math>\sin^2 \theta/\Theta\Phi</math> i po prostych przekształceniach, otrzymamy:
:: <math>\frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \right) + \lambda {\sin^2 \theta} = -\frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \varphi^2}.</math>

Lewa strona tego równania zależy wyłącznie od zmiennej kąta azymutalnego, natomiast prawa tylko od kąta biegunowego. Zatem obie strony muszą być równe pewnej stałej <math>M.</math> Dzięki temu rozwiązaniem tego równania jest funkcja:
:: <math>\Phi_M (\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm e^{\mathrm iM \varphi},\quad M = 0, \pm 1, \pm 2\dots</math>

Funkcja <math>\Phi_M</math> musi być funkcją jednoznaczną. Sens fizyczny rozwiązania tego równania przedstawia funkcja:
:: <math>\lambda = J(J+1),</math>

z której można otrzymać wyrażenie na energię:
:: <math>E_J = \frac{\hbar^2}{2I} J(J+1).</math>

Zatem energia zależy od kwantowej liczby rotacji <math>J.</math> Dzięki temu można przedstawić rozwiązanie równania Schrödingera w ostatecznej postaci:
:: <math>Y^M_J (\theta, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} N_{J, |M|} P^{|M|}_J (\cos\theta) \mathrm e^{\mathrm iM \varphi},</math>

gdzie:
: <math>N_{J, |M|} = \left[\frac{2J+1}{2} \frac{(J+|M|!)}{(J-|M|!)}\right]^\frac{1}{2}</math> – czynnik normalizacji,
: <math>P^m_l(x) = (1-x^2)^{m/2}\frac{\mathrm d^m}{\mathrm dx^m}P_l(x)</math> – [[Stowarzyszone funkcje Legendre’a|stowarzyszony wielomian Legendre’a]].

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kołos |imię = Włodzimierz |autor link = Włodzimierz Kołos |tytuł = Chemia kwantowa |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |miejsce = Warszawa |data = 1978 |strony = 34–40}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kęcki |imię = Zbigniew |autor link = Zbigniew Kęcki |tytuł = Podstawy spektroskopii molekularnej |wydanie = 3 |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |miejsce = Warszawa |data = 1992 |strony = 38–42 |isbn = 83-01-10503-8}}

[[Kategoria:Chemia kwantowa]]

[[es:Rotor rígido#El rotor rígido lineal mecanocuántico]]
[[fr:Rotateur rigide#Rotateur linéaire rigide quantique]]