Tekst źródłowy strony Konwencje w teoriach relatywistycznych

'''Konwencje w teoriach relatywistycznych''' – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych ([[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]], [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]], [[Elektrodynamika|elektrodynamice]], [[Relatywistyczna mechanika kwantowa|relatywistycznej mechanice kwantowej]]).

== Konwencja sumacyjna Einsteina ==
[[Konwencja sumacyjna Einsteina]] to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania <math>\sum,</math> jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np. <math>\sum_{j=0}^3 g_{ij}A^j = g_{ij}A^j</math> – indeksem sumacyjnym (niemym) jest <math>j.</math>

== Tensor metryczny ==
('''1''') [[Tensor metryczny]] danego [[Współrzędne krzywoliniowe|układu współrzędnych krzywoliniowych]]:
: <math>g^{\mu\nu}</math> – składowe kontrawariantne tensora metrycznego
: <math>g_{\mu\nu}</math> – składowe kowariantne tensora metrycznego

('''2''') [[Wyznacznik]] kowariantnego tensora metrycznego <math>g_{\mu\nu}</math> tradycyjnie oznacza się literą <math>g,</math> tj.
: <math>g\equiv \det(g_{\alpha \beta})</math>

('''3''') Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.
: <math>[g^{\mu\nu}] = [g_{\mu\nu}]^{-1}</math>

== Indeksy greckie ==
Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego (<math>\alpha, \beta,\gamma,\dots,\mu,\nu,\tau</math> itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru <math>n</math> przestrzeni, w której rozważa się tensory.

a) W [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]], która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu <math>\{0,1,2,3\}</math> (lub <math>\{1,2,3,4\}</math>), np.

:* <math>x_\nu</math> – [[Współrzędne krzywoliniowe|składowe kowariantne]] [[czterowektor]]a [[Położenie|położenia]], przy czym:
:** <math>x_0</math> – składowa czasowa
:** <math>x_1, x_2, x_3</math> – składowe przestrzenne
:* <math>p_\mu</math> – składowe kowariantne czterowektora [[Pęd (fizyka)|pędu]], przy czym:
:** <math>p_0</math> – składowa czasowa,
:** <math>p_1, p_2, p_3</math> – składowe przestrzenne

b) Ogólnie, dla przestrzeni <math>n</math>-wymiarowych indeksy przyjmują <math>n</math> wartości, np. ze zbioru <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math> lub <math>\{1,2,\dots,n\}.</math>

== Indeksy łacińskie ==
Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np. <math>i,j,k</math> przebiegają zbiór wartości <math>\{1,2,3\}.</math>

Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.

Np.
: <math>x_i</math> – składowe przestrzenne 3-wektora [[Położenie|położenia]], <math>i=1,2,3</math>
: <math>p_i</math> – składowe przestrzenne 3-wektora [[Pęd (fizyka)|pędu]], <math>i=1,2,3</math>
: <math>T_{ij}</math> – składowe przestrzenne [[Tensor napięć-energii|tensora napięć-energii]], <math>i,j=1,2,3</math>

== Podnoszenie/opuszczanie wskaźników ==
{{osobny artykuł|podnoszenie i opuszczanie wskaźników}}
('''1''') Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: [[tensor]]a) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny
: <math>V_\mu = g_{\mu\nu} V^\nu</math>

('''2''') Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: [[tensor]]a) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny
: <math>V^\mu = g^{\mu\nu} V_\nu</math>

== Pochodna cząstkowa i kowariantna ==
W [[Współrzędne krzywoliniowe|układach krzywoliniowych nieortogonalnych]] sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. [[Pochodna kowariantna|pochodną kowariantną]], która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).

Oznaczenia:
* w teorii względności:
** pochodna cząstkowa 1-go rzędu – '''przecinek''': <math>V_{,\mu}</math>
** pochodna cząstkowa 2-go rzędu – '''przecinek''': <math>V_{,\mu\nu}</math>
** pochodna kowariantna – '''średnik''': <math>V_{;\mu}</math>
* w mechanice kwantowej:
** pochodna cząstkowa – stylizowana delta: <math>\partial_\mu V</math>
** pochodna kowariantna – duża litera <math>\operatorname{D}{:}</math> <math>\operatorname{D}_\mu V</math>
* w mechanice klasycznej:
** pochodna cząstkowa – '''przecinek''': <math>V_{,\mu}</math>
** pochodna kowariantna – [[Symbol nabla|nabla]]: <math>\operatorname{\nabla}_\mu V</math>

== Zobacz też ==
* [[tensor]]
* [[tensor metryczny]]
* [[współrzędne krzywoliniowe]]

== Bibliografia ==
* P.K. Raszewski: ''Geometria Riemanna i analiza tensorowa''. Warszawa: PWN, 1958.
* John Lighton Synge: ''Rachunek tensorowy''. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.

[[Kategoria:Teoria względności]]