Tekst źródłowy strony Konstruktywizm w filozofii matematyki

W [[Filozofia matematyki|filozofii matematyki]] '''konstruktywizm''' zakłada, że trzeba znaleźć (lub „skonstruować”) konkretny przykład obiektu matematycznego, aby udowodnić, że taki przykład istnieje. Natomiast, w [[Matematyka klasyczna|klasycznej matematyce]] można udowodnić [[istnienie]] obiektu matematycznego bez „znajdowania” go [[Dowód wprost|wprost]], lecz zakładając jego nieistnienie, a następnie wyprowadzając z tego założenia [[Sprzeczność (kwadrat logiczny)|sprzeczność]]. Taki [[Dowód nie wprost|dowód przez sprzeczność]] można nazwać niekonstruktywnym, a konstruktywista może go odrzucić. Konstruktywistyczny punkt widzenia zakłada weryfikacyjną interpretację [[Kwantyfikator egzystencjalny|kwantyfikatora egzystencjalnego]], która jest sprzeczna z jego klasyczną interpretacją.

Istnieje wiele form konstruktywizmu{{odn|odn=a|Troelstra|1977|s=974}}. Należą do nich program [[Intuicjonizm (matematyka)|intuicjonizmu]] założony przez [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwera]], [[finityzm]] [[David Hilbert|Hilberta]] i [[Paul Bernays|Bernaysa]], [[Constructive recursive mathematics|konstruktywna matematyka rekurencyjna]] [[Nikołaj Szanin|Szanina]] i [[Andriej Markow (młodszy)|Markowa]] oraz program analizy konstruktywnej [[Errett Bishop|Bishopa]]{{odn|Bishop|1967}}. Konstruktywizm obejmuje również badania nad konstruktywnymi teoriami zbiorów, takimi jak CZF, oraz badanie teorii toposu.

Konstruktywizm jest często utożsamiany z intuicjonizmem, chociaż intuicjonizm jest tylko jednym z programów konstruktywistycznych. Intuicjonizm utrzymuje, że podstawy matematyki tkwią w intuicji indywidualnego matematyka, czyniąc z matematyki dziedzinę wewnętrznie subiektywną{{odn|odn=b|Troelstra|1977}}. Inne formy konstruktywizmu nie opierają się na tym ujęciu intuicji i są zgodne z obiektywnym poglądem na matematykę.

== Matematyka konstruktywna ==
W dużej części matematyki konstruktywnej stosuje się [[Logika intuicjonistyczna|logikę intuicjonistyczną]], która jest zasadniczo logiką klasyczną pozbawioną [[Prawo wyłączonego środka|prawa wyłączonego środka]]. Prawo to stanowi, że dla każdego zdania albo to zdanie jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie. Nie oznacza to, że prawo wyłączonego środka zostaje całkowicie odrzucone; szczególne przypadki tego prawa są możliwe do udowodnienia. Ważne jest to, że ogólne prawo nie jest przyjmowane jako [[aksjomat]]. [[Zasada niesprzeczności|Prawo niesprzeczności]] (które stwierdza, że sprzeczne zdania nie mogą być jednocześnie prawdziwe) nadal obowiązuje.

Na przykład korzystając z [[Hejtowanie arytmetyki|arytmetyki Heytinga]], można udowodnić, że dla każdego zdania ''p nie zawierającego'' ''[[kwantyfikator]]ów'', <math>\forall x,y,z,\dots \in \mathbb{N} : p \vee \neg p</math> jest twierdzeniem (gdzie ''x'', ''y'', ''z'' ... są wolnymi zmiennymi w zdaniu ''p''). W tym sensie zdania ograniczone do [[Zbiór skończony|zbiorów skończonych]] są nadal uważane za prawdziwe lub fałszywe, tak jak w klasycznej matematyce, lecz ta biwalencja nie obejmuje zdań odnoszące się do [[Nieskończoność|zbiorów nieskończonych]].

W istocie [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|LEJ Brouwer]], założyciel szkoły intuicjonistycznej, uważał prawo wyłączonego środka jako wyabstrahowane z doświadczenia skończonego, a następnie zastosowane do nieskończonego bez uzasadnienia. Na przykład [[hipoteza Goldbacha]] to stwierdzenie, że każda liczba parzysta (większa niż 2) jest sumą dwóch [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]]. Dla każdej konkretnej liczby parzystej można sprawdzić, czy jest ona sumą dwóch liczb pierwszych (na przykład poprzez wyszukiwanie wyczerpujące), więc każda z nich jest albo sumą dwóch liczb pierwszych, albo nie. I jak dotąd każda sprawdzona w ten sposób liczba była rzeczywiście sumą dwóch liczb pierwszych.

Ale nie jest znany dowód, że wszystkie liczby spełniają tę hipotezę, ani dowód, że nie wszystkie spełniają; nie wiadomo nawet, czy musi istnieć dowód lub obalenie hipotezy Goldbacha (hipoteza może być ''nierozstrzygalna'' w tradycyjnej [[Teoria mnogości|teorii mnogości]] ZF). Dlatego według Brouwera nie można twierdzić, że „albo hipoteza Goldbacha jest prawdziwa, albo nie”. I chociaż hipoteza może kiedyś zostać rozwiązana, argument ten ma zastosowanie do podobnych nierozwiązanych problemów; dla Brouwera prawo wyłączonego środka było równoznaczne z założeniem, że ''każdy'' problem matematyczny ma rozwiązanie.

Po pominięciu prawa wyłączonego środka jako aksjomatu, pozostały [[System formalny|system logiczny]] ma właściwość istnienia, której nie posiada logika klasyczna: zawsze, gdy <math>\exists_{x\in X} P(x)</math> jest udowodnione konstruktywnie, to w rzeczywistości <math>P(a)</math> jest udowodnione konstruktywnie dla (przynajmniej) jednego konkretnego <math>a\in X,</math> zwanego często świadkiem. W ten sposób dowód istnienia obiektu matematycznego jest związany z możliwością jego konstrukcji.

== Miejsce konstruktywizmu w matematyce ==
Niektórzy matematycy byli podejrzliwi, a nawet antagonistycznie nastawieni do konstruktywizmu matematycznego, przede wszystkim z powodu ograniczeń, jakie ich zdaniem stwarzał on dla analizy konstruktywnej. Poglądy te z całą mocą wyraził [[David Hilbert|Davida Hilberta]] w 1928 roku, pisząc w [[Grundlagen der Mathematik]]: „Odebranie matematykowi zasady wyłączonego środka byłoby tym samym, co zakazanie astronomowi używania teleskopu, a bokserowi używania pięści”<ref>[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: [http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/ Constructive Mathematics].</ref>.

[[Errett Bishop]] w swojej publikacji z 1967 roku ''Foundations of Constructive Analysis''{{odn|Bishop|1967}} dążył do rozwiania tych obaw, opracowując wiele tradycyjnych analiz w ramach analizy konstruktywnej.

Wprawdzie większość matematyków nie akceptuje tezy konstruktywistów, że tylko matematyka oparta na metodach konstruktywnych jest prawidłowa, ale metody konstruktywistyczne budzą coraz większe zainteresowanie z powodów nieideologicznych. Dla przykładu, konstruktywistyczne dowody w analizie mogą zapewnić [[Witness extraction|ekstrakcję świadków]] w taki sposób, że działając w ramach ograniczeń metod konstruktywnych, znalezienie świadków teorii może być łatwiejsze niż przy użyciu metod klasycznych. Zastosowania matematyki konstruktywnej znajdują się również w [[Rachunek lambda z typami|typowanych rachunkach lambda]], teorii toposu i [[Logika kategoryczna|logice kategorycznej]], które są ważnymi dziedzinami w matematyce podstawowej i [[Informatyka|informatyce]]. W algebrze, dla takich bytów jak [[topos]]y i [[algebra Hopfa]], struktura wspiera wewnętrzny język, który jest konstruktywną teorią; praca w ramach ograniczeń tego języka jest często bardziej intuicyjna i elastyczna niż praca na zewnątrz przy pomocy takich metod, jak wnioskowanie o zbiorze możliwych algebr konkretnych i ich [[homomorfizm]]ach.

Fizyk [[Lee Smolin]] w książce ''Three Roads to Quantum Gravity'', że teoria toposów jest „właściwą formą [[Logika|logiki]] dla kosmologii” i „w swoich pierwszych formach była nazywana ''logiką intuicjonistyczną''”. „W tym rodzaju logiki twierdzenia, które obserwator może wypowiedzieć na temat Wszechświata, dzielą się na co najmniej trzy grupy: te, które możemy uznać za prawdziwe, te, które możemy uznać za fałszywe i te, o których prawdziwości nie możemy w tej chwili zdecydować”.

== Matematycy, którzy wnieśli znaczący wkład w konstruktywizm ==
* [[Leopold Kronecker]] (stary konstruktywizm, półintuicjonizm)
* [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|LEJ Brouwer]] (twórca intuicjonizmu)
* [[Andriej Markow (młodszy)|AA Markow]] (ojciec rosyjskiej szkoły konstruktywizmu)
* [[Arend Heyting]] (sformalizowana logika intuicjonistyczna i teorie)
* [[Per Martin-Löf]] (twórca konstruktywnych teorii typów)
* [[Errett Bishop]] (promował wersję konstruktywizmu uważaną za zgodną z matematyką klasyczną)
* [[Paul Lorenzen]] (opracował analizę konstruktywną)

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Beeson |imię = Michael J. |autor link = Michael J. Beeson |tytuł = Foundations of Constructive Mathematics: Metamathematical Studies |wydawca = 9783540121732 |rok = 1985 |isbn = 9783540121732 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Bishop |imię = Errett |autor link = Errett Bishop |tytuł = Foundations of Constructive Analysis |wydawca = New York: Academic Press |rok = 1967 |isbn = 4-87187-714-0 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Bridges |imię = Douglas |autor link = Douglas Bridges |nazwisko2 = Richman |imię2 = Fred |autor link2 = Fred Richman |tytuł = Varieties of Constructive Mathematics |wydawca = Cambridge University Press |rok = 1987 |doi = 10.1017/CBO9780511565663 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Edwards |imię = Harold Mortimer |autor link = Harold Edwards (mathematician) |tytuł = Essays in Constructive Mathematics |wydawca = Springer-Verlag |rok = 2005 |isbn = 0-387-21978-1 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Feferman |imię = Solomon |autor link = Solomon Feferman |tytuł = Relationships between Constructive, Predicative and Classical Systems of Analysis |url = http://math.stanford.edu/~feferman/papers/relationships.pdf |rok = 1997 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko = Troelstra |imię = Anne Sjerp |autor link = Anne Sjerp Troelstra |tytuł = Aspects of Constructive Mathematics |czasopismo = Handbook of Mathematical Logic |wolumin = 90 |strony = 973–1052 |rok = 1977 |doi = 10.1016/S0049-237X(08)71127-3 |język = en |odn = a}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Troelstra |imię = Anne Sjerp |autor link = Anne Sjerp Troelstra |tytuł = Choice Sequences: A Chapter of Intuitionistic Mathematics |wydawca = Oxford University Press |rok = 1977 |isbn = 0-19-853163-X |język = en |odn = b}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Troelstra |imię = Anne Sjerp |autor link = Anne Sjerp Troelstra |nazwisko2 = Van Dalen |imię2 = Dirk |autor link2 = Dirk van Dalen |tytuł = Constructivism in Mathematics: An Introduction, Volume 1 |wydawca = Elsevier Science |rok = 1988 |isbn = 9780444702661 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Troelstra |imię = Anne Sjerp |autor link = Anne Sjerp Troelstra |tytuł = History of constructivism in the 20th century |url = https://web.archive.org/web/20140222050211/http://staff.science.uva.nl/~anne/hhhist.pdf |wydawca = University of Amsterdam, ITLI Prepublication Series ML-91-05 |rok = 1991 |język = en |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* [https://iep.utm.edu/constructive-mathematics/ Internet Encyclopedia of Philosophy: Constructive Mathematics]
* [http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry]

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Epistemologia]]
[[Kategoria:Logika matematyczna]]
[[Kategoria:Filozofia matematyki]]