Tekst źródłowy strony Kąty Eulera

'''Kąty Eulera''' – układ trzech [[kąt]]ów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwóch [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskich układów współrzędnych]] o jednakowej [[Układ współrzędnych kartezjańskich|skrętności]] w trójwymiarowej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3899071 | tytuł = Eulera kąty | data dostępu = 2022-06-27 }}</ref>. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]].

== Definicja formalna ==
[[Plik:Kąty Eulera.svg|thumb|300px|Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych]]
Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany [[Układ współrzędnych kartezjańskich|układ współrzędnych]] <math>Ox'y'z'</math> można otrzymać z danego układu <math>Oxyz</math> przez złożenie trzech [[obrót|obrotów]] wokół [[oś współrzędnych|osi]] układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest kwestią konwencji.

('''1''') Załóżmy najpierw, że osie <math>z</math> i <math>z'</math> nie są [[Równoległość|równoległe]], a zatem [[płaszczyzna]] <math>Ozz'</math> jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś <math>z</math> na oś <math>z',</math> jest obrót o odpowiedni kąt wokół [[linia węzłów|linii węzłów]] <math>w,</math> tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny <math>Ozz'</math> w punkcie <math>O.</math> Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi <math>z</math> i <math>z',</math> jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny <math>Oxy</math> i <math>Ox'y'.</math> Tak więc układ <math>Oxyz</math> można nałożyć na <math>Ox'y'z',</math> dokonując kolejno następujących trzech obrotów:
# obrót wokół osi <math>z,</math> taki by oś <math>x</math> pokryła się z linią węzłów <math>w</math>
# obrót wokół osi <math>x</math> <math>(=w),</math> taki by oś <math>z</math> pokryła się z osią <math>z'</math>
# obrót wokół osi <math>z</math> <math>(=z'),</math> taki by oś <math>x</math> pokryła się z osią <math>x'</math> (wtedy też oś <math>y</math> pokryje się z osią <math>y'</math>).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o <math>\pi</math>) prowadzące do ustawienia osi <math>x</math> wzdłuż linii węzłów ''w'', lecz nadające jej przeciwne [[zwrot wektora|zwroty]]. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem [[iloczyn wektorowy|iloczynu wektorowego]] [[Wektor jednostkowy|wersorów]] osi <math>z</math> i <math>z'</math> <math>e_z \times e_z'</math> (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu <math>(0,\pi).</math>

Poszczególne kąty Eulera <math>(\varphi,\psi,\theta)</math> [[parametryzacja (matematyka)|parametryzują]] powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:
* <math>\varphi</math> – kąt mierzony od osi <math>x</math> do osi węzłów <math>w</math> w kierunku wyznaczonym osią <math>z;</math> jest to kąt obrotu 1.
* <math>\theta</math> – kąt mierzony od osi <math>z</math> do <math>z'</math> w kierunku wyznaczonym osią węzłów <math>w;</math> jest to kąt obrotu 2.
* <math>\psi</math> – kąt mierzony od osi węzłów <math>w</math> do osi <math>x'</math> w kierunku wyznaczonym osią <math>z';</math> jest to kąt obrotu 3.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi <math>z,</math> można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów <math>(\varphi,\psi,\theta) \in [0,2\pi)\times[0,2\pi)\times(0,\pi).</math>

('''2''') Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie <math>z</math> i <math>z'</math> są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna <math>Ozz'</math> i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś <math>z</math> można przekształcić na oś <math>z'</math> w wyniku obrotu (o kąt <math>0</math> lub <math>\pi,</math> zależnie od zwrotu osi <math>z'</math>) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt <math>O</math> i leżącej w płaszczyźnie <math>Oxy = Ox'y'.</math> Mamy zatem <math>\theta=0</math> lub <math>\theta=\pi,</math> a ustawienie osi <math>x',</math> <math>y'</math> jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów <math>\varphi</math> i <math>\psi.</math>

== Związek z macierzą obrotu ==
[[Macierz obrotu|Macierze obrotów]] 1., 2. i 3. mają we współrzędnych <math>(x,y,z)</math> postacie:
: <math>
A_1 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\varphi & -\sin\varphi\\
0 & \sin\varphi & \cos\varphi
\end{bmatrix},\qquad
A_2 = \begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0\\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{bmatrix},\qquad
A_3 = \begin{bmatrix}
\cos\psi & -\sin\psi & 0\\
\sin\psi & \cos\psi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},</math>

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu <math>Oxyz</math> do <math>Ox'y'z'</math> przedstawia się następująco:

: <math>
A = A_3 A_2 A_1 = \begin{bmatrix}
\cos\varphi\cos\psi - \sin\varphi\sin\psi\cos\theta &
\sin\varphi\cos\psi + \cos\varphi\sin\psi\cos\theta & \sin\psi\sin\theta\\
-\cos\varphi\sin\psi - \sin\varphi\cos\psi\cos\theta &
-\sin\varphi\sin\psi + \cos\varphi\cos\psi\cos\theta & \cos\psi\sin\theta\\
\sin\varphi\sin\theta & -\cos\varphi\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}.</math>

Jest to [[Macierz ortogonalna#Specjalna macierz ortogonalna|specjalna macierz ortogonalna]], tj. [[macierz ortogonalna]] o [[wyznacznik]]u równym jedności.

== Zobacz też ==
* [[elementy orbitalne]]
* [[grupa obrotów]]
* [[macierz obrotu]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* [[Grzegorz Białkowski]], ''Mechanika klasyczna'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1975.

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Geometria analityczna]]
[[Kategoria:Leonhard Euler]]