Tekst źródłowy strony Kąt

{{Inne znaczenia|figury geometrii płaskiej|[[Kąt (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
{{spis treści}}
{{Dopracować|więcej przypisów=2024-06}}
'''Kąt''' – obszar powstały z rozcięcia [[płaszczyzna|płaszczyzny]] przez sumę dwóch różnych [[półprosta|półprostych]] o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi<ref>{{Cytuj |tytuł=Encyklopedia dla wszystkich |wydawca=[[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne|WNT]] |miejsce=Warszawa |data=2000 |s=135 |isbn=83-204-2334-1}}</ref>. Półproste nazywane są ''ramionami kąta'', wspólny początek półprostych nazywany jest ''wierzchołkiem kąta''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 4954704 | tytuł = kąt | data dostępu = 2021-10-01 }}</ref>.

Kąt można też zdefiniować jako [[część wspólna|część wspólną]] lub jako [[suma zbiorów|sumę]] dwóch [[półpłaszczyzna|półpłaszczyzn]] z [[brzeg (matematyka)|brzegiem]] wyznaczonych przez dwie [[równoległość|nierównoległe]] [[prosta|proste]]. Wówczas należy dodatkowo zdefiniować „kąt pełny” jako całą płaszczyznę, „kąt półpełny” jako półpłaszczyznę oraz „kąt zerowy” jako półprostą.

Gdy kąt obejmuje całą płaszczyznę (w przypadku „kąta pełnego”) pomocne bywa wyróżnienie na płaszczyźnie półprostej pełniącej rolę ramion i z jej początkiem jako wierzchołkiem kąta. Podobnie gdy ramiona dopełniają się do prostej (dając „kąt półpełny”), wyróżnia się czasem wspólny początek półprostych, tj. ustalony punkt powstałej prostej, jako wierzchołek.

: ''W artykule opisano kąt płaski na [[geometria euklidesowa|płaszczyźnie euklidesowej]] z uogólnieniami w [[#Uogólnienia|osobnej sekcji]].''

== Miara kąta ==
{{osobny artykuł|miara kąta}}
Kąt liczbowo wyrażony w jednostkach kąta nazywa się miarą kąta. Często, niezbyt precyzyjnie, kątem nazywa się jego miarę.

== Kąt skierowany ==
{{osobny artykuł|kąt skierowany}}
Kątem [[obrót|obrotu]] nazywa się miarę kąta (skierowanego) między dowolną prostą przechodzącą przez środek ([[punkt stały]]) obrotu a prostą będącą jej [[Obraz (matematyka)|obrazem]] (wspomniane dwie proste przecinają się we wspomnianym środku wyznaczając kąt w powyższym sensie).

== Klasyfikacja ==
Kąty można też klasyfikować ze względu na pojęcia ''[[podzbiór|zawierania]]'' (kąty zerowy, półpełny i pełny), ''[[zbiór wypukły|wypukłości]]'' (kąty wypukły i wklęsły), bądź ''[[prostopadłość|prostopadłości]]'' lub ''[[przystawanie (geometria)|przystawania]]'' (kąt prosty; kąty ostry i rozwarty – z zawieraniem). Ponieważ dwa kąty płaskie o równej tej samej mierze są [[przystawanie (geometria)|przystające]], to klasyfikacji kątów można dokonać grupując je również względem ustalonego zakresu ich miar (niżej używane będą miara łukowa wraz z miarą stopniową podaną w nawiasie):
{| class="wikitable"
|+
! colspan="2" |nazwa kąta
!opis
!wzór
|-
| rowspan="5" |'''wypukły'''
|
|kąt będący [[zbiór wypukły|figurą wypukłą]]; miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π&nbsp;rad (lub 180°) albo równa 2π&nbsp;rad (lub 360°); czasem ta nierówność jest ostra – kąt wypukły musi być mniejszy od półpełnego<ref name="epwn-wyp">{{Encyklopedia PWN|id=3921523|tytuł=kąt wypukły|data dostępu=2021-10-16}}</ref>;
|α < 180°
|-
|'''zerowy'''
|kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy; jego miara jest równa 0&nbsp;rad (lub 0°);
|α = 0°
|-
|'''ostry'''
|kąt ściśle zawierający się w pewnym kącie prostym; ma miarę większą od 0&nbsp;rad (lub 0°), lecz mniejszą od π/2&nbsp;rad (lub 90°)<ref name="epwn-o">{{Encyklopedia PWN|id=3921511|tytuł=kąt ostry|data dostępu=2021-10-16}}</ref>;
|0° < α < 90°
|-
|'''[[kąt prosty|prosty]]'''
|kąt przystający do kąta mającego z nim wspólne jedno tylko ramię, podczas gdy pozostałe ramiona tworzą prostą<ref group="uwaga">Zgodnie z definicjami w [[Kąt#Kąty wyznaczane przez proste|kolejnej sekcji]]: kąt przystający do kąta doń przyległego.</ref>; jego miara wynosi π/2&nbsp;rad (lub 90°);
|α = 90°
|-
|'''rozwarty'''
|kąt ściśle zawarty w pewnym kącie półpełnym, lecz niebędący ani ostrym, ani prostym; ma miarę większą niż π/2&nbsp;rad (lub 90°), lecz mniejszą niż π&nbsp;rad (lub 180°)<ref name="epwn-ro">{{Encyklopedia PWN|id=3921516|tytuł=kąt rozwarty|data dostępu=2021-10-16}}</ref>;
|90° < α < 180°
|-
| colspan="2" |'''półpełny'''
|każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej; jego miara wynosi π&nbsp;rad (lub 180°)<ref name="epwn-pp">{{Encyklopedia PWN|id=3921514|tytuł=kąt półpełny|data dostępu=2021-10-16}}</ref>;
|α = 180°
|-
| colspan="2" |'''wklęsły'''
|kąt, który nie jest wypukły; miara takiego kąta jest większa niż π&nbsp;rad (lub 180°), lecz mniejsza niż 2π&nbsp;rad (lub 360°)<ref name="epwn-wkl">{{Encyklopedia PWN|id=3921521|tytuł=kąt wklęsły|data dostępu=2021-10-16}}</ref>.
|180°&nbsp;<&nbsp;α&nbsp;<&nbsp;360°
|-
| colspan="2" |'''pełny'''
|kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie; jego miara jest równa 2π&nbsp;rad (lub 360°)<ref name="epwn-pe">{{Encyklopedia PWN|id=3921513|tytuł=kąt pełny|data dostępu=2021-10-16}}</ref>;
|α = 360°
|}
Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne) lub pokrywają się (jeden z kątów jest wtedy zerowy, a drugi pełny), jeden z kątów można jednoznacznie zidentyfikować jako wypukły, drugi zaś jako wklęsły (w przeciwnym przypadku oba są wypukłe); czasem możliwe jest też wyróżnienie wśród nich kąta rozwartego bądź ostrego.

== Kąty wyznaczane przez proste ==
=== Dwie proste ===
<gallery widths="200">
Plik:Adjacency angles.svg|Para <math>\alpha, \beta</math> kątów przyległych
Plik:Vertical angles.png|Kąty <math>\alpha, \beta</math> są wierzchołkowe
</gallery>
Dowolne dwie [[Równoległość|nierównoległe]] proste na [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]] wyznaczają dwie pary kątów:
* pary mające wspólne ramię nazywa się [[Kąty przyległe|kątami przyległymi]];
* pary mające wspólny wyłącznie wierzchołek nazywa się [[Kąty wierzchołkowe|wierzchołkowymi]].

Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego, a miary kątów wierzchołkowych są równe.

=== Trzy proste współpękowe ===
<gallery widths="200">
Plik:Complementary angles.svg|Kąty dopełniające <math>\alpha, \beta.</math>
</gallery>

Kąty mające jedno wspólne ramię, pozostałe zaś leżące pod kątem prostym, nazywa się [[Kąty dopełniające się|kątami dopełniającymi]]. Suma ich miar jest więc równa mierze kąta prostego.

W polskiej nomenklaturze brak jest terminów opisujących związek między innymi parami kątów, obecnych jednak w innych językach, np. kątów o wspólnym jednym i tylko jednym ramieniu<ref group="uwaga">{{W języku|en|adjacent angles}}, „kąty sąsiednie/sąsiadujące, przylegające”; [[język hiszpański|hiszp.]] ''ángulos consecutivos'', „następujące, sąsiadujące”.</ref>, czy mających wspólne dokładnie dwa ramiona<ref group="uwaga">{{W języku|en|explementary angles}}, „kąty wypełniające”; {{W języku|en|conjugate angles}}, hiszp. ''ángulos conjugados'', „kąty sprzężone”.</ref>.

Suma miar kątów mających dokładnie jedno wspólne ramię jest równa mierze kąta wyznaczonego przez pozostałe ramiona tych kątów; suma miar kątów o dwóch wspólnych ramionach jest równa mierze kąta pełnego.

=== Trzy proste niewspółpękowe ===
<gallery widths="200">
Plik:Alternateinterior.png|Kąty naprzemianległe wewnętrzne
Plik:Alternateexterior.gif|Kąty naprzemianległe zewnętrzne
</gallery>
[[Plik:Theorem 11.svg|thumb|Gdy proste <math>m, n</math> są równoległe, zaś <math>t</math> przecina je obie, to pary kątów oznaczone numerem o tej samej parzystości są przystające (tego samego koloru – zawsze jako wierzchołkowe)]]

Dowolne dwie proste <math>m, n</math> przecięte (nierównoległą do żadnej z nich) trzecią prostą <math>t,</math> nazywaną ''sieczną'' lub ''transwersalą'' (''prostą transwersalną'') wyznaczają łącznie osiem kątów wokół dwóch punktów przecięcia (por. rys. obok). Pary kątów o ramionach na ustalonej prostej <math>m</math> lub <math>n</math> są przyległe bądź wierzchołkowe (odpowiednio: pary różnej lub tej samej parzystości z kątów <math>\color{blue}1\color{black}, \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{blue}4</math> bądź <math>\color{red}5\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7\color{black}, \color{red}8</math>).

Cztery kąty leżące między prostymi <math>m, n</math> nazywa się ''wewnętrznymi'' <math>(\color{blue}3\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}6),</math> a pozostałe cztery – ''zewnętrznymi'' <math>(\color{blue}1\color{black}, \color{blue}2\color{black}, \color{red}7\color{black}, \color{red}8);</math> pary kątów nieprzyległych leżących po jednej stronie prostej <math>t</math> nazywa się ''jednostronnymi'' (różnokolorowe pary z kątów <math>\color{blue}1\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}8</math> bądź z kątów <math>\color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7</math>), z kolei pary kątów nieprzyległych branych z różnych stron tej prostej nazywa się ''naprzemianległymi''<ref group="uwaga" name="brak-nazwy">Nieprzyległe kąty naprzemianległe, które nie są wewnętrzne ani zewnętrzne, w przeciwieństwie do nieprzyległych jednostronnych niewewnętrznych i niezewnętrznych nie mają swojej ustalonej nazwy (z tego też powodu zwykle nie zalicza się ich do kątów naprzemianległych).</ref> (różnokolorowe pary z kątów <math>\color{blue}1\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7</math> bądź z kątów <math>\color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}8</math>). W ten sposób wyróżnia się po dwie pary kątów:
* '''jednostronnych wewnętrznych''' (<math>\color{blue}3\color{black}, \color{red}6</math> oraz <math>\color{blue}4\color{black}, \color{red}5</math>),
* '''jednostronnych zewnętrznych''' (<math>\color{blue}1\color{black}, \color{red}8</math> oraz <math>\color{blue}2\color{black}, \color{red}7</math>),
* '''naprzemianległych wewnętrznych''' (<math>\color{blue}3\color{black}, \color{red}5</math> oraz <math>\color{blue}4\color{black}, \color{red}6</math>),
* '''naprzemianległych zewnętrznych''' (<math>\color{blue}1\color{black}, \color{red}7</math> oraz <math>\color{blue}2\color{black}, \color{red}8</math>).
Cztery pary nieprzyległych kątów jednostronnych, które nie są wewnętrzne ani zewnętrzne, nazywa się '''odpowiadającymi'''<ref group="uwaga" name="brak-nazwy" /> (<math>\color{blue}1\color{black}, \color{red}5;</math> <math>\color{blue}2\color{black}, \color{red}6;</math> <math>\color{blue}3\color{black}, \color{red}7</math> oraz <math>\color{blue}4\color{black}, \color{red}8</math>).

; Twierdzenie: Proste <math>m, n</math> przecięte transwersalą <math>t</math> są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedna para kątów wierzchołkowych bądź odpowiadających jest przystająca (równej miary).

[[Funkcje trygonometryczne]] kątów dopełniających („komplementarnych”<ref group="uwaga">[[Łacina|Łac.]] ''complementum'', „dopełnienie”; od ''complēre'', „wypełnić, uzupełnić”, od ''com-'', „wraz, z, razem; dogłębnie” + ''plēre'', „napełniać”; [[język grecki|gr.]] πλήρης ''plērēs'', „pełny”, od πλήθειν ''plēthein'', „być pełnym”.</ref>) dany kąt nazywa się ''kofunkcjami'': sinus kąta dopełniającego nazywa się kosinusem danego kąta, podobnie ma się rzecz z tangensem i kotangensem oraz sekansem i kosekansem. Kofunkcją dla kofunkcji danego kąta jest funkcja tego kąta, gdyż kątem dopełniającym do kąta dopełniającego dany kąt jest on sam – dlatego kofunkcją dla kosinusa, kotangensa, czy kosekansa są odpowiednio sinus, tangens i sekans. Analogiczne uwagi obowiązują dla funkcji [[funkcje cyklometryczne|cyklometrycznych]], [[funkcje hiperboliczne|hiperbolicznych]] oraz [[funkcje hiperboliczne odwrotne|area]].

== Kąty związane z okręgiem ==
[[Plik:Circleangles.JPG|thumb|Kąty oparte na tym samym łuku okręgu: ogólny (czarny), wpisany (niebieski), środkowy (zielony) oraz kąt dopisany (czerwony)]]
{{osobny artykuł|okrąg|kąt środkowy|kąt wpisany|kąt dopisany}}

Dowolny kąt, który wycina z okręgu ustalony łuk, nazywa się '''opartym''' na tym łuku<ref group="uwaga">Wskazanie końców łuku jest niewystarczające, dla ustalonych dwóch ramion dany kąt można wybrać na dwa sposoby – do wyróżnienia jednego z nich, oprócz posiłkowania się miarą lub inną własnością kąta możliwe jest też doprecyzowanie łuku, który dany kąt wycina w okręgu: do tego celu wykorzystuje się również pojęcia ''łuku skierowanego/zorientowanego'' (zob. [[geometria uporządkowania|relacja leżenia między]]) lub ''kąta skierowanego/zorientowanego''.</ref>. Kąt, którego wierzchołek leży w środku danego okręgu, nazywa się '''środkowym'''; ponieważ okrąg jest zbiorem punktów równoodległych od jego środka, to „ilość” punktów ([[długość łuku]]) wspólna z danym kątem środkowym [[stosunek (matematyka)|w stosunku]] do ich odległości od środka opisuje „rozmiar” tego kąta – obserwacja ta została wykorzystana do określenia [[Miara łukowa kąta|miary łukowej]] dowolnego kąta, jak przedstawiono to wyżej. '''Kątem wpisanym''' w ustalony okrąg nazywa się dowolny kąt, którego wierzchołek leży na tym okręgu, a jego ramiona są zarazem jego [[sieczna|siecznymi]], z kolei '''kąt dopisany''' do okręgu w wybranym jego punkcie, to kąt ostry o wierzchołku w tymże punkcie, którego jedno ramię jest sieczną, a drugie – styczną wspomnianego okręgu; można go traktować jako zdegenerowany przypadek kąta wpisanego, w którym jedna z siecznych staje się styczną.

; Twierdzenie o kątach wpisanych: Miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe.
; Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym: Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.
; Twierdzenie o stycznej i siecznej: Miara kąta dopisanego wycinającego dany łuk jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym łuku.

== Uogólnienia ==
Definiuje się również kąty między innymi płaskimi figurami geometrycznymi niż (pół)proste: tego samego rodzaju, np. [[wektor]]ami (analogicznie), [[krzywa|krzywymi]] (w danym punkcie, w tym [[okrąg|okręgami]]: jako kąt między [[styczna|stycznymi]], o ile istnieją i są wyznaczone jednoznacznie).

Rozpatruje się także pojęcie kąta w przestrzeni trójwymiarowej i wielowymiarowej, np. między [[płaszczyzna]]mi (definiowane np. za pomocą [[wektor normalny|wektorów normalnych]]), czy prostą i płaszczyzną (jako kąt między prostą a jej [[Rzut (geometria)|rzutem prostopadłym]] na płaszczyznę).

{{sekcja stub|przedstawić inne rodzaje kątów w geometrii euklidesowej (np. bryłowe) oraz spoza niej.}}

== Zobacz też ==
* [[kąt wewnętrzny]], [[kąt zewnętrzny]]
* [[kąt dwuścienny]]
* [[twierdzenie Talesa]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* „Encyklopedia Matematyka”, wyd. Greg, {{ISBN|978-83-7517-015-3}} (kąt skierowany)

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Agnieszka Badeńska, ''[https://www.youtube.com/watch?v=nmTMkZgas3c Kąty i ich mierzenie]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki” na [[YouTube]], 18 września 2017 [dostęp 2024-09-04].

{{Kąty}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Kąty| ]]