Tekst źródłowy strony Jednostka urojona

{{spis treści}}
'''Jednostka''' albo '''jedność urojona''' ([[łacina|łac.]] ''imaginarius'', „urojony, zmyślony”) – ustalona [[Liczby zespolone|liczba zespolona]] <math>i,</math> której [[Kwadrat (algebra)|kwadrat]] jest równy <math>-1.</math> Jednostka urojona jest więc przykładem [[liczby urojone]]j. Symbol <math>\mathrm i</math> zaproponował w 1777 roku [[Leonhard Euler]], a rozpropagował począwszy od 1801 roku [[Carl Friedrich Gauss]]<ref>{{cytuj książkę |tytuł=Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia |inni=Juszkiewicz A.P. (red.) |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |tom=3 |rok=1977 |strony=72}}</ref>. W zastosowaniach [[inżynieria|inżynierskich]] jednostkę urojoną oznacza się literą <math>j</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3913643 | tytuł = i | data dostępu = 2021-12-28 }}</ref>. Ma to na celu uniknięcie pomyłki z [[wartość chwilowa przebiegu czasowego|wartością chwilową]] [[natężenie prądu elektrycznego|natężenia prądu]], która w [[elektronika|elektronice]] i [[Elektrotechnika|inżynierii elektrycznej]] jest oznaczana literą <math>i.</math>

Istnieją dwa pierwiastki równania <math>x^2=-1</math><ref group="uwaga">Wybór któregokolwiek z tych pierwiastków jako <math>i</math> nie wpływa na teorię, bowiem przy każdym wyborze powstaną izomorficzne ze sobą struktury.</ref> różniące się znakiem, a mówiąc ściśle – są wzajemnie przeciwne<ref group="uwaga">Liczby zespolone nierzeczywiste nie mają znaku i nie są ani dodatnie, ani ujemne.</ref>. Często dla <math>i</math> stosuje się oznaczenie <math>\sqrt{-1},</math> które ze względu na niejednoznaczność należy traktować jako symbol [[Pierwiastkowanie|pierwiastka algebraicznego]] (a nie arytmetycznego) z liczby <math>-1.</math>

Całkowite potęgi liczby <math>i</math> powtarzają się cyklicznie. Dla <math>k \in \mathbb Z{:}</math>
: <math>i^n=\begin{cases} 1, & n=4k \\ i, & n=4k+1 \\ -1, & n=4k+2 \\ -i, & n=4k+3 \end{cases}</math>

[[Benjamin Peirce]] w 1864 używając [[wzór Eulera|wzoru Eulera]], tj. <math>i=e^{i (\pi/2 + 2k \pi)}</math> dla k=0, podał formułę  
<ref name="OConnor">{{Cytuj|autor=J.J. O'Connor, E.F. Robertson|tytuł=The number e|data=2001|miejsce=Szkocja|wydawca=MacTutor History of Mathematic|url=<!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html}}</ref>,

:<math>i^{-i} = \sqrt{e^\pi}</math>

== Interpretacje ==
=== Algebra abstrakcyjna ===
[[ciało (matematyka)|Ciało]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R</math> nie jest [[ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]], tzn. istnieją [[wielomian]]y zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań. Każdy wielomian można rozłożyć w nim na czynniki liniowe lub kwadratowe, ale nie każdy można rozłożyć na czynniki liniowe. Okazuje się, że dodając formalnie do <math>\mathbb R</math> jednostkę urojoną <math>i,</math> otrzymuje się liczby zespolone tworzące [[ciało liczbowe]] algebraicznie domknięte.

W tym celu rozpatruje się formalne liczby postaci <math>a + bi,</math> gdzie <math>a, b \in \mathbb R</math><ref>{{cytuj książkę |autor=И.М. Яглом |tytuł=Комплексные числа и их применение в геометрии |wydawca=Едиториал УРСС |miejsce=Москва |rok=2004 |strony=7–9}}</ref>. Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych ([[przemienność|przemienności]] i [[łączność (matematyka)|łączności]] [[dodawanie|dodawania]] oraz [[mnożenie|mnożenia]], a także z [[Rozdzielność|rozdzielności]] mnożenia względem dodawania) oraz ze wspomnianej wyżej własności elementu <math>i</math> wynikają wzory na
* dodawanie,
*: <math>(a + bi) + (c + di)=(a + c) + (b + d)i,</math>
* mnożenie
*: <math>(a + bi)(c + di)=(ac - bd) + (ad + bc)i.</math>

Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci <math>a + bi</math> z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało.

=== Układ współrzędnych ===
[[Plik:Complex numbers imaginary unit.svg|thumb|Jednostka urojona '''i''' w układzie współrzędnych]]
Przełomem w nauce o liczbach zespolonych był tak zwany [[diagram Arganda]] – interpretacja geometryczna liczb zespolonych wprowadzona po raz pierwszy nie tyle przez Szwajcara [[Jean-Robert Argand|Jeana Roberta Arganda]], ile przez norweskiego geodetę-kartografa Duńskiej Akademii Nauk [[Caspar Wessel|Caspara Wessela]] w jego jedynej pracy matematycznej ''Próba analitycznego przedstawienia kierunku i jego zastosowań, przede wszystkim w rozwiązywaniu wielokątów płaskich i sferycznych''<ref>{{cytuj pismo |nazwisko=Wessel |imię=Caspar |autor link=| tytuł=Om directionens Analytiske Betegning et Forsög anwendt fornemellig til plane og sphaeriske Polygoners oplösning |czasopismo=Danske Vidensk. Selsk. skr. |data=1799}}</ref><ref>{{cytuj książkę |tytuł=Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia |inni=Juszkiewicz A. P. (red.) |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |rok=1977 |strony=69}}</ref>. Zamiarem Wessela było stworzenie aparatu służącego do rozwiązywania zadań geodezyjnych.

Bliska idei Wessela jest konstrukcja, której ideę można streścić następująco<ref>{{cytuj książkę |autor=Lew Pontriagin |tytuł=Metoda współrzędnych |wydawca=WSiP |miejsce=Warszawa |rok=1995 |strony=12–32 |isbn=83-02-05257-4}}</ref>:
* na płaszczyźnie wprowadza się [[układ współrzędnych kartezjańskich]] (zwykle przedstawia się ją jako prostopadłe [[oś liczbowa|osie liczbowe]] przecinające się w tzw. [[początek (matematyka)|początku układu]], przy czym [[Odcięta|oś odciętych]] skierowana jest od lewej do prawej, a oś rzędnych – od dołu do góry);
* tak jak liczbę rzeczywistą <math>r</math> można utożsamiać z punktem <math>\mathrm r</math> o współrzędnej <math>r</math> na osi liczbowej, tak i liczbę zespoloną <math>z=a + bi</math> można utożsamiać z punktem <math>\mathrm z</math> o współrzędnych <math>(a, b)</math> płaszczyzny;
* ''jednostkę urojoną'' <math>i</math> można wtedy utożsamiać z punktem <math>\mathrm i</math> o współrzędnych <math>(0, 1).</math>

=== Przestrzenie unitarne i euklidesowe ===
{{Zobacz też|przestrzeń unitarna|przestrzeń euklidesowa}}
Każdy punkt płaszczyzny można utożsamić jednoznacznie z jego [[wektor wodzący|wektorem wodzącym]] zaczepionym w [[początek (matematyka)|początku układu współrzędnych]]; z kolei każdy wektor wodzący można utożsamić z [[wektor|wektorem swobodnym]] przez niego wyznaczonym. Formalnie mówienie o wektorach wodzących możliwe jest w [[przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]], z kolei układ współrzędnych kartezjańskich wymaga [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]], czyli tzw. ''przestrzeni unitarnej'' (przestrzeni liniowej euklidesowej). O wektorach swobodnych mówić można w obecności [[przestrzeń afiniczna|struktury afinicznej]], która dodana do [[Przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]] czyni z niej tzw. ''przestrzeń euklidesową'' (przestrzeni afinicznej euklidesowej).

W dwuwymiarowej przestrzeni unitarnej bądź euklidesowej <math>E^2</math> ze standardowym iloczynem skalarnym jednostka urojona <math>\mathbf i=[0, 1]</math> jest prostopadła do jednostki rzeczywistej <math>\mathbf 1=[1, 0],</math> przy czym oba te wektory tworzą [[baza ortonormalna|bazę ortonormalną]] wspomnianej przestrzeni.

=== Algebra Clifforda ===
{{Zobacz też|algebra Clifforda}}
Dla jednowymiarowej przestrzeni liniowej <math>\mathbb R \mathbf e</math> nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętej na wektorze <math>\mathbf e</math> algebra Clifforda [[forma kwadratowa|formy kwadratowej]] <math>f\colon \mathbb R \mathbf e \times \mathbb R \mathbf e \to \mathbb R</math> spełniającej <math>f(\mathbf e, \mathbf e)=-1</math> ma strukturę ciała liczb zespolonych (jest z nim [[izomorfizm|izomorficzna]]), a <math>\mathbf e</math> jest w niej jednostką urojoną<ref>{{cytuj książkę |autor=Dale Husemoller |tytuł=Fibre bundles (tłum. ros. Расслоенные пространства) |wydawca=Мир |miejsce=Москва |rok=1970 |strony=224–225}}</ref>.

== Uogólnienia ==
{{Zobacz też|konstrukcja Cayleya-Dicksona}}
Konstrukcja ciała liczb zespolonych polegająca na wprowadzeniu jednostki urojonej do ciała liczb rzeczywistych zastosowana do ciała liczb zespolonych umożliwia tworzenie innych struktur tego rodzaju, które jednak nie tworzą ciał. Zupełnie analogicznie jak w przypadku zespolonym określając na [[para uporządkowana|parach uporządkowanych]] liczb zespolonych <math>(z, t), (u, v)</math><ref>{{cytuj książkę |autor=Wacław Sierpiński |tytuł=Arytmetyka teoretyczna |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |wydanie=4 |rok=1968 |strony=259–263}}</ref> działania
* dodawania,
*: <math>(z, t) + (u, v)=(z + u, t + v),</math>
* mnożenia,
*: <math>(z, t) \cdot (u, v)=(zu - t\overline v, zv + t\overline u),</math>

otrzymuje się [[pierścień z dzieleniem]] [[kwaterniony|kwaternionów]] będący czterowymiarową [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad ciałem liczb rzeczywistych [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|rozpiętą]] na czterech wektorach
: <math>\mathbf 1=[1, 0], \quad \mathbf i=[i, 0], \quad \mathbf j=[0, 1] \quad \text{ oraz } \quad \mathbf k=[0, i],</math>

z których trzy ostatnie, spełniające <math>\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=-\mathbf 1,</math> można traktować jako jednostki urojone. Podobnie źródłem wielu jednostek urojonych są [[Aksjomaty i konstrukcje liczb|algebry Clifforda]].

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|jednostka urojona}}
* [[lista stałych matematycznych]]
* [[wzór Eulera]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |tytuł = Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia |inni = A.P. Juszkiewicz (red.) |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |tom = 3 |rok = 1977}}
* {{cytuj książkę |autor = И.М. Яглом |tytuł = Комплексные числа и их применение в геометрии |wydawca = Едиториал УРСС |miejsce = Москва |rok = 2004}}
* {{cytuj książkę |autor = Lew Pontriagin |tytuł = Metoda współrzędnych |wydawca = WSiP |miejsce = Warszawa |rok = 1995 |strony = |isbn = 83-02-05257-4}}
* {{cytuj książkę |autor = Dale Husemoller |tytuł = Fibre bundles |wydawca = McGraw-Hill Book Company |miejsce = New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney |rok = 1966}}
* {{cytuj książkę |autor = Gaston Casanova |tytuł = ĽAlgèbre Vectorielle |wydawca = Presses Universitaires de France |miejsce = |rok = 1976}}
* {{cytuj książkę |autor = [[Wacław Sierpiński]] |tytuł = Arytmetyka teoretyczna |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |wydanie = 4 |rok = 1968}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld|adres=ImaginaryUnit |tytuł=Imaginary Unit |data dostępu=12 grudnia 2020}}

{{Liczby zespolone}}

[[Kategoria:Liczby zespolone]]
[[Kategoria:Stałe matematyczne]]