Tekst źródłowy strony Interpolacja Hermite’a

'''Interpolacja Hermite’a''' – interpolacja umożliwiająca znalezienie wielomianu przybliżającego według wartości
: <math>y_1=f(x_1), y_2=f(x_2),\dots,y_n=f(x_n)</math>

na <math>n</math> danych węzłach <math>x_1, x_2,\dots, x_n,</math> oraz na wartościach pochodnych na wybranych węzłach
: <math>f'(x_1), f''(x_1),\dots,f^{(k_1)}(x_1),\dots,f'(x_n),\dots,f^{(k_n)}(x_n).</math>

Węzeł zadany bez pochodnej jest '''węzłem pojedynczym''', a węzeł z danymi pochodnymi <math>1,2,\dots,k</math> jest węzłem <math>k+1</math>-krotnym.
[[Plik:Hermite's interpolation.png|thumb|400px|Funkcja <math>f(x)=\sin(x)+\cos(x)</math> (czarny) i jej wielomian interpolacyjny (czerwony) obliczony na podstawie 5 danych węzłów podwójnych w przedziale <math>[1,4],</math> wygenerowany dzięki programowi [[Mathematica]]]]

== Algorytm ==
[[Algorytm]] jest podobny jak przy [[Postać Newtona wielomianu|interpolacji Newtona]]. Kolumnę wypełnia się wszystkimi wartościami węzłów (jeżeli węzeł jest <math>k</math>-krotny, to umieszczamy go w tabeli <math>k</math> razy).

: {| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| <math>x_i</math>
| <math>f(x_i)</math>
|-
| <math>x_0</math>
| <math>f(x_0)</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
|-
| <math>x_2</math>
| <math>f(x_2)</math>
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| <math>x_n</math>
| <math>f(x_n)</math>
|}

Następnie dopisuje się do każdej kolumny kolejne [[różnica dzielona|różnice dzielone]], z tym wyjątkiem, że przy węzłach <math>k</math>-krotnych, <math>k>1,</math> gdzie, de facto, nie można obliczyć różnicy dzielonej, podstawia się wartości kolejnych pochodnych na węzłach podzielone przez [[Silnia|silnię]] ze stopnia pochodnej. (W tabeli przedstawiony jest <math>3</math>-krotny węzeł <math>x_1</math>).
: {| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| <math>x_i</math>
| <math>f(x_i)</math>
| <math>f[x_{i-1},x_i]</math>
| <math>f[x_{i-2},x_{i-1},x_i]</math>
|-
| <math>x_0</math>
| <math>f(x_0)</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
| <math>f[x_0,x_1]</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
| <math>f'(x_1)</math>
| <math>f[x_0, x_1, x_1]</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
| <math>f'(x_1)</math>
| <math>\frac{f''(x_1)}{2!}</math>
|-
| <math>x_2</math>
| <math>f(x_2)</math>
| <math>f[x_1,x_2]</math>
| <math>f[x_1, x_1, x_2]</math>
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| <math>x_n</math>
| <math>f(x_n)</math>
| <math>f[x_{n-1},x_n]</math>
| <math>f[x_{n-2},x_{n-1},x_n]</math>
|}

Tabelę uzupełnia się do końca jak przy interpolacji Newtona, uznając ciągłe pochodne na węzłach wielokrotnych jako różnice dzielone rzędu drugiego.

: {| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| <math>x_i</math>
| <math>f(x_i)</math>
| <math>f[x_{i-1},x_i]</math>
| <math>f[x_{i-2},x_{i-1},x_i]</math>
| <math>f[x_{i-3},x_{i-2},x_{i-1},x_i]</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>f[x_{i-n},\dots,x_i]</math>
|-
| <math>x_0</math>
| <math>f(x_0)</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
| <math>f[x_0,x_1]</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
| <math>f'(x_1)</math>
| <math>f[x_0,x_1,x_1]</math>
|-
| <math>x_1</math>
| <math>f(x_1)</math>
| <math>f'(x_1)</math>
| <math>\frac{f''(x_1)}{2!}</math>
| <math>f[x_0,x_1,x_1,x_1]</math>
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\ddots</math>
|-
| <math>x_n</math>
| <math>f(x_n)</math>
| <math>f[x_{n-1},x_n]</math>
| <math>f[x_{n-2},x_{n-1},x_n]</math>
| <math>f[x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1},x_n]</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>f[x_0,\dots,x_n]</math>
|}

Definiując <math>a_i</math> jako wartości na przekątnej, <math>i=1,2,3,\dots,m,</math> gdzie <math>m</math> to suma krotności węzłów, otrzymuje się wielomian:
: <math>w(x)=\sum_{i=0}^m a_i \prod_{j=0}^{i-1} (x-\bar{x}_j),</math>

gdzie <math>\bar{x}_i={x_1, x_1,\dots,x_1,x_2,x_2,\dots,x_2,\dots,x_n},</math> przy czym każdy <math>k</math>-krotny węzeł występuje <math>k</math> razy.

== Przykład ==
Należy znaleźć wielomian interpolacyjny, przybliżający funkcję o zadanych węzłach dwukrotnych:
: <math>\begin{array}{lcl} x_1=1 &,& x_2=3 \\ f(x_1)=3 &,& f(x_2)=5 \\f'(x_1)=2 &,& f'(x_2)=6 \end{array}</math>

Zapisuje się wartości w tabeli:
: {| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| <math>x_i</math>
| <math>f(x_i)</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>3</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>3</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>5</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>5</math>
|}

Następnie w miejsce powtarzającego się węzła wstawia się wartości pochodnej, a w pozostałe miejsca (w tym przypadku jedno) wstawia się odpowiednią różnicę dzieloną:

: {| class="wikitable" style="text-align:center"
|- align="center"
| <math>x_i</math>
| <math>f(x_i)</math>
| <math>R_2(x_i)</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>3</math>
| –
|-
| <math>1</math>
| <math>3</math>
| <math>2</math>
|-
| <math>3</math>
| <math>5</math>
| <math>1</math>
|-"
| <math>3</math>
| <math>5</math>
| <math>6</math>
|}

Następnie uzupełnia się do końca tabelę:
: {| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| <math>x_i</math>
| <math>f(x_i)</math>
| <math>R_2(x_i)</math>
| <math>R_3(x_i)</math>
| <math>R_4(x_i)</math>
|-
| <math>1</math>
| <math>3</math>
| –
| –
| –
|-
| <math>1</math>
| <math>3</math>
| <math>2</math>
| –
| –
|-
| <math>3</math>
| <math>5</math>
| <math>1</math>
| <math>-\frac{1}{2}</math>
| –
|-
| <math>3</math>
| <math>5</math>
| <math>6</math>
| <math>\frac{5}{2}</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
|}

Zatem otrzymuje się wielomian:
: <math>w(x)=3+2(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}(x-1)^2(x-3)=\frac{3}{2}x^3-8x^2+\frac{27}{2}x-4.</math>

Łatwo sprawdzić, że interpoluje on dane punkty:
: <math>w(1)=\frac{3}{2}-8+\frac{27}{2}-4=3</math>

: <math>w'(1)=\frac{9}{2}-16+\frac{27}{2}=2</math>

: <math>w(3)=\frac{3}{2}\cdot 27 - 8\cdot 9 + \frac{27}{2}\cdot 3 - 4 = 5</math>

: <math>w'(3)=\frac{9}{2}\cdot 9 - 16\cdot 3 + \frac{27}{2} = 6.</math>

== Zobacz też ==
* [[interpolacja wielomianowa]]
* [[Interpolacja wielomianowa#Wielomian Lagrange'a|postać Lagrange’a wielomianu]]
* [[postać Newtona wielomianu]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj stronę |url =http://www.staff.amu.edu.pl/~rmiw/MEN331/cwiczenia5.html |tytuł =Metody numeryczne, ćwiczenie 5 |autor =Rafał Witkowski |język =pl |data dostępu =2012-11-10 |archiwum =https://web.archive.org/web/20121230092150/http://www.staff.amu.edu.pl/~rmiw/MEN331/cwiczenia5.html |zarchiwizowano =2012-12-30 }}

[[Kategoria:Interpolacja]]
[[Kategoria:Wielomiany]]
[[Kategoria:Analiza rzeczywista]]