Tekst źródłowy strony Indeks punktu względem krzywej

{{nie mylić z|[[liczba obrotu homeomorfizmu okręgu]] w teorii układów dynamicznych}}
'''Indeks punktu <math>a</math> względem krzywej <math>C</math>''' – liczba okrążeń [[Punkt (geometria)|punktu]] <math>z</math> wokół punktu <math>a,</math> gdy punkt <math>z</math> obiega raz [[krzywa|krzywą]] <math>C.</math> Zwyczajowo każde okrążenie jest traktowane jako „dodatnie” bądź „ujemne” w zależności od tego, czy obieg odbywa się odpowiednio w kierunku ''przeciwnym'' lub ''zgodnym do ruchu wskazówek zegara''.

== Definicja ==
[[Plik:Winding Number Animation Small.gif|thumb|300px|Obiekt poruszający się po krzywej okrąża osobę stojącą pośrodku dwukrotnie.]]
[[Funkcja]] <math>I(C,a)</math> dla krzywej zamkniętej <math>C</math> nie przechodzącej przez punkt <math>a,</math> jest zdefiniowana jako
: <math>I(C,a)=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_C \frac{dz}{z-a}</math>

nazywana jest '''indeksem''' punktu <math>a</math> względem krzywej <math>C.</math>

== Przykłady i własności ==
Funkcja indeksu przyjmuje tylko wartości [[liczby całkowite|całkowite]]; [[funkcja monotoniczna|rośnie bądź maleje]] odpowiednio, gdy parametryzacja krzywej jest na danym przedziale zgodna i niezgodna z [[orientacja (matematyka)|orientacją]] [[płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]] (mówi się wtedy o dodatniej i ujemnej orientacji krzywej).

Indeks punktu <math>0</math> względem [[orientacja (matematyka)|zorientowanego]] dodatnio [[okrąg|okręgu]] <math>K</math> o [[promień (geometria)|promieniu]] <math>r>0</math> <math>(K:z=re^{it},0\leqslant t\leqslant 2k\pi</math> dla <math>k\in\mathbb{Z}_+)</math> wynosi:
: <math>I(K,0)=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_K\frac{dz}{z}=\frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2k\pi}\frac{ire^{it}dt}{re^{it}}=\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2k\pi}dt=k.</math>

== Zobacz też ==
* [[wzór całkowy Cauchy’ego]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Leja |imię=Franciszek |autor link=Franciszek Leja |tytuł=Funkcje zespolone |wydawca=PWN |rok=1967}}

[[Kategoria:Analiza zespolona]]