Tekst źródłowy strony Iloczyn skalarny

{{Inne znaczenia|iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych|[[przestrzeń unitarna|iloczyn skalarny]] określany w abstrakcyjnych [[przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]]}}
{{spis treści}}

'''Iloczyn skalarny''' – pewna [[forma dwuliniowa]] na danej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]], tj. [[argumentowość|dwuargumentowa]] [[funkcja]] o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm [[wektor]]om danej przestrzeni liniowej [[skalar (matematyka)|wartość skalarną]]. Czasami spotyka się również nazwę ''iloczyn wewnętrzny'', który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy ''[[przestrzeń unitarna|przestrzeniami unitarnymi]]''; [[przestrzeń afiniczna|przestrzenie afiniczne]] z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się ''[[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniami euklidesowymi]]''.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]], w szczególności [[kąt]]a między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich [[prostopadłość|prostopadłości]] (nazywanej w tym kontekście ich ''[[ortogonalność|ortogonalnością]]'', która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz [[obrót|obrotu]]. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między [[geometria syntetyczna|geometrią syntetyczną]] a [[geometria analityczna|geometrią analityczną]]. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie w [[fizyka klasyczna|fizyce klasycznej]], np. [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] (branie rzutów wektora [[siła wypadkowa|siły wypadkowej]] jest tego przykładem); z kolei w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]], czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową [[przestrzeń topologiczna|strukturą topologiczną]] (zob. ''[[#Uogólnienia|Uogólnienia]]''). Przykładowo [[praca (fizyka)#Praca w mechanice|praca mechaniczna]] <math>W</math> to [[wielkość fizyczna]] wyrażająca się jako iloczyn skalarny [[siła|siły]] <math>\mathbf F</math> oraz [[przemieszczenie (fizyka)|przemieszczenia]] <math>\mathbf r.</math>

: ''W artykule opisano iloczyn skalarny określony na [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeniach współrzędnych]]<ref group="uwaga">Wektory w przestrzeni współrzędnej (jak w dowolnej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]]) zaczepione są w jej [[początek (matematyka)|początku]] (zob. [[wektor zerowy]]); można także rozpatrywać [[przestrzeń afiniczna|przestrzenie afiniczne]], w których wektory zaczepione mogą być w dowolnych punktach, jednak iloczyn skalarny może być obliczany wyłącznie dla wektorów o wspólnym początku.</ref> <math>\mathbb R^n</math> oraz <math>\mathrm{Mat}_{n \times 1}(\mathbb R)</math> wymiaru <math>n,</math> wraz z [[baza ortonormalna|ortonormalną]] [[baza standardowa|bazą standardową]], nazywany też ''zwykłym'', ''standardowym'' (w przestrzeniach afinicznych nazywa się go także ''euklidesowym''); niżej określenia te będą pomijane (użyto notacji ustalonej w artykule o przestrzeniach współrzędnych<ref group="uwaga">Elementy przestrzeni <math>\mathbb R^n,</math> czyli [[ciąg (matematyka)|ciągi]] <math>n</math>-elementowe (zapisywane w nawiasach okrągłych), nazywane będą ''wektorami'' i oznaczane będą małymi, półtłustymi, prostymi literami alfabetu łacińskiego, z kolei elementy przestrzeni <math>\mathrm{Mat}_{n \times 1}(\mathbb R),</math> czyli [[macierz]]e jednokolumnowe o <math>n</math> wierszach (zapisywane w nawiasach kwadratowych), nazywane będą ''wektorami kolumnowymi'' i oznaczane dużymi, półtłustymi, prostymi, literami alfabetu łacińskiego; składowe wektorów (kolumnowych) i skalary będą zapisywane pismem pochyłym; oznaczenia literowe wektorów i ich składowych pokrywają się, numer składowej wskazano w indeksie dolnym.</ref>). Uogólnienia opisano w [[#Uogólnienia|oddzielnej sekcji]].''

== Definicja i własności ==
{{Zobacz też|forma dwuliniowa}}
'''Standardowy iloczyn skalarny''' definiuje się wzorem
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n.</math>

W zapisie macierzowym (przy użyciu [[mnożenie macierzy|mnożenia macierzy]]) ma on postać
: <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf A^\mathrm T \mathbf B,</math>

gdzie <math>\mathbf A^\mathrm T</math> oznacza [[macierz transponowana|transpozycję]] macierzy <math>\mathbf A.</math> Wzór ten jest użyteczny także w ogólnym przypadku<ref group="uwaga">Tj. w przypadku [[moduł (matematyka)|modułów]] nad [[pierścień (matematyka)|pierścieniami]]; zob. [[moduł dualny]] i [[para dwoista|para dualna]].</ref>, lecz w przypadku przestrzeni liniowych wzór ten opisuje formę dwuliniową, tj. [[funkcja|funkcję]] <math>\mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R,</math> mającą szereg własności, które służą często jako abstrakcyjna, tzn. niezależna od współrzędnych, definicja iloczynu skalarnego (zob. [[przestrzeń unitarna]]). Wśród najważniejszych można wymienić:
* [[przemienność]] (''[[funkcja symetryczna|symetryczność]]''),
*: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a,</math>
* [[rozdzielność]] względem dodawania wektorów (dwu''[[funkcja addytywna (algebra)|addytywność]]''),
*: <math>\mathbf a \cdot (\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c,</math>
*: <math>(\mathbf a + \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf c + \mathbf b \cdot \mathbf c,</math>
* zgodność z [[mnożenie przez skalar|mnożeniem przez skalar]] (dwu''[[funkcja jednorodna|jednorodność]]'')<ref group="uwaga">Rozdzielność wraz ze zgodnością z mnożeniem przez skalar, tj. addytywność i jednorodność, ze względu na każdy argument nazywa się ''[[przekształcenie liniowe|liniowością]]'' (por. [[forma liniowa]]); własność ta zachodzi ze względu na każdy z dwóch czynników, w tej sytuacji mówi się o ''[[przekształcenie dwuliniowe|dwuliniowości]]'' (por. [[forma dwuliniowa]]).</ref>,
*: <math>(r\mathbf a) \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot (r\mathbf b) = r(\mathbf a \cdot \mathbf b),</math>
* ''[[forma dwuliniowa#Własności|niezdegenerowanie]]'',
*: z warunku <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 0</math> dla wszystkich <math>\mathbf b</math>, wynika <math>\mathbf a = \mathbf 0,</math>
* ''[[Określoność formy|dodatnia określoność]]''
*: <math>\mathbf a \cdot \mathbf a > 0</math> dla <math>\mathbf a \ne \mathbf 0.</math>
*: bo <math>a_1^2 + \ldots + a_n^2 >0,</math> o ile <math>a_i\ne 0</math> dla pewnego i, co wynika z własności liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> (kwadrat liczby niezerowej jest dodatni, suma liczb dodatnich jest dodatnia)

Jeśli <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 0,</math> to wektory <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> nazywa się ''[[ortogonalność|ortogonalnymi]]''. Wprost z definicji wynika, że jeśli choć jeden czynnik jest wektorem zerowym, to iloczyn skalarny również jest zerowy; może się jednak zdarzyć, iż <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 0,</math> choć <math>\mathbf a \ne \mathbf 0</math> oraz <math>\mathbf b \ne \mathbf 0</math> (zob. ''[[#Przykłady|Przykłady]]''); mówi się wtedy czasem o ''[[prostopadłość|prostopadłości]]'' tych wektorów. Wektory zerowe są więc jedynym elementem odróżniającym ortogonalność od prostopadłości (geometrycznie wektor zerowy odpowiada [[punkt (geometria)|punktowi]], można więc uważać, że dowolny punkt jest ''prostopadły'' do wektora, odcinka czy prostej); w oznaczeniach nie odróżnia się zwykle jednego pojęcia od drugiego, oznaczając oba symbolem <math>\mathbf a \perp \mathbf b.</math>

Wynika stąd, że iloczyn skalarny, w przeciwieństwie do [[mnożenie|mnożenia liczb]], nie ma [[własność skracania|własności skracania]] (tj. z równości <math>xy = xz</math> nie wynika <math>y = z,</math> o ile tylko <math>x \ne 0</math>). Otóż jeśli <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf c,</math> to z prawa rozdzielności zachodzi <math>\mathbf a \cdot (\mathbf b - \mathbf c) = 0,</math> co jest możliwe wtedy, gdy są ortogonalne (tj. jeden z tych wektorów jest [[wektor zerowy|zerowy]]: <math>\mathbf a = \mathbf 0</math> lub <math>\mathbf b = \mathbf c</math> bądź są one prostopadłe, tzn. <math>\mathbf a \perp (\mathbf b - \mathbf c)</math>).

== Przykłady ==
Iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów <math>({\color{RoyalPurple}1}, {\color{RoyalPurple}3}, {\color{RoyalPurple}-5})</math> oraz <math>({\color{Maroon}4}, {\color{Maroon}-3}, {\color{Maroon}-1})</math> wynosi
: <math>({\color{RoyalPurple}1}, {\color{RoyalPurple}3}, {\color{RoyalPurple}-5}) \cdot ({\color{Maroon}4}, {\color{Maroon}-3}, {\color{Maroon}-1}) = {\color{RoyalPurple}1} \cdot {\color{Maroon}4} + {\color{RoyalPurple}3} \cdot ({\color{Maroon}-3}) + ({\color{RoyalPurple}-5}) \cdot ({\color{Maroon}-1}) = 0,</math>

choć żaden z tych wektorów nie jest [[wektor zerowy|zerowy]] – oznacza to, że wektory te są ortogonalne (prostopadłe).

W jednowymiarowej przestrzeni <math>\mathbb R</math> iloczyn skalarny dany jest jako zwykłe [[mnożenie]]. Innym przykładem iloczynu skalarnego jest tzw. [[Mnożenie macierzy#Iloczyn wewnętrzny Frobeniusa|iloczyn wewnętrzny Frobeniusa]], który jest iloczynem skalarnym na przestrzeni macierzy ustalonego typu danym „po współrzędnych”, tj. jako suma iloczynów odpowiadających sobie elementów tych macierzy (macierze dwuwymiarowe są więc traktowane jak „długie” wektory jednowymiarowe).

== Interpretacja geometryczna ==
[[Plik:Dot Product.svg|thumb|150px|<nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki>•cos(''θ'') jest [[Rzut prostokątny|rzutem]] '''A''' na '''B''']]
Iloczyn skalarny umożliwia wprowadzenie „długości” wektora, tj. jego ''modułu'' lub ''[[przestrzeń unormowana|normy]]'', mianowicie
: <math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a} = \sqrt{a_1^2 + \ldots + a_n^2},</math>

przy czym wielkość ta jest poprawnie zdefiniowana, gdyż [[pierwiastkowanie|wyrażenie podpierwiastkowe]] jest nieujemne; jest to standardowa długość wektora dana z kilkukrotnego zastosowania [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]].

Ponieważ długość wektora jest niezależna od wprowadzonego [[Układ współrzędnych|układu współrzędnych]] oraz z własności iloczynu skalarnego wynika
: <math>(\mathbf a - \mathbf b) \cdot (\mathbf a - \mathbf b) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b,</math>

czyli
: <math>|\mathbf a - \mathbf b|^2 = |\mathbf a|^2 + |\mathbf b|^2 - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b,</math>

więc
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = ( |\mathbf a|^2 + |\mathbf b|^2 - |\mathbf a - \mathbf b|^2 ) : 2</math>

i dlatego iloczyn skalarny jest również niezależny od układu współrzędnych. Weźmy pod uwagę płaszczyznę wyznaczoną przez wektory <math>\mathbf a, \mathbf b.</math> Jeśli za osie układu współrzędnych w tej płaszczyźnie przyjmiemy oś zawierającą wektor <math>\mathbf b</math> i z nim zgodną oraz oś prostopadłą do tego wektora, to
: <math>\mathbf a = (|\mathbf a| \cos\theta, |\mathbf a| \sin\theta),</math> <math>\mathbf b = (|\mathbf b|, 0).</math>

Wtedy <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a|\ |\mathbf b| \cos\theta</math> i dlatego kąt <math>\theta</math> między wektorami <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> dany jest wzorem
: <math>\theta = \arccos\; \frac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a|\ |\mathbf b|},</math>

gdzie <math>\arccos</math> oznacza funkcję [[funkcje cyklometryczne|arcus cosinus]] (odwrotną do funkcji [[funkcje trygonometryczne|cosinus]]). Można też rozumować następująco. Jeśli wektory <math>\mathbf a, \mathbf b</math> leżą względem siebie pod kątem <math>\theta,</math> a wektor <math>\mathbf c</math> jest dany jako <math>\mathbf c = \mathbf a - \mathbf b,</math> dzięki czemu wektory te tworzą [[trójkąt]], to zgodnie z [[twierdzenie cosinusów|twierdzeniem cosinusów]] dla tego trójkąta zachodzi
: <math>|\mathbf c|^2 = |\mathbf a|^2 + |\mathbf b|^2 - 2|\mathbf a|\ |\mathbf b| \cos\theta,</math>

a ponieważ [[potęgowanie|kwadrat]] modułu jest równy iloczynowi skalarnemu wektora przez siebie, to
: <math>\mathbf c \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2|\mathbf a|\ |\mathbf b| \cos\theta,</math>

skoro jednak <math>\mathbf c = \mathbf a - \mathbf b,</math> to także
: <math>\mathbf c \cdot \mathbf c = (\mathbf a - \mathbf b) \cdot (\mathbf a - \mathbf b),</math>

czyli
: <math>\mathbf c \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2(\mathbf a \cdot \mathbf b)</math>

na mocy prawa rozdzielności. Porównując pierwsze i trzecie równanie na <math>\mathbf c \cdot \mathbf c,</math> otrzymuje się
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2(\mathbf a \cdot \mathbf b) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2|\mathbf a|\ |\mathbf b| \cos\theta,</math>

co po redukcji wyrazów podobnych i skróceniu czynnika <math>(-2)</math> daje<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Iloczyn skalarny | id = 3914172 | data dostępu = 2021-07-30}}</ref>
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a|\ |\mathbf b| \cos\theta.</math>

Wielkość <math>|\mathbf a| \cos\theta</math> jest równa długości (modułowi) [[rzut prostokątny|rzutu]] wektora <math>\mathbf a</math> na wektor <math>\mathbf b,</math> stąd powyższy wzór umożliwia geometryczną interpretację iloczynu skalarnego jako iloczynu długości tego rzutu przez długość <math>\mathbf b.</math> Z postaci tej można dużo łatwiej odczytać, iż (niezerowe) wektory prostopadłe, tj. takie, dla których <math>\theta</math> jest nieparzystą wielokrotnością <math>90^\circ,</math> mają iloczyn skalarny równy zeru.

== Uogólnienia ==
=== Przestrzenie liniowe ===
{{Zobacz też|przestrzeń liniowa|baza (przestrzeń liniowa)|o2=baza}}
Opisane własności geometryczne wynikają w dużej mierze z ustalenia [[baza ortonormalna|bazy ortonormalnej]], jaką jest [[baza standardowa]]. W gruncie rzeczy pojęcie prostopadłości ma sens geometryczny i przy podanej definicji wymaga bazy standardowej. Z kolei ortogonalność jest definiowana za pomocą iloczynu skalarnego i pokrywa się z prostopadłością w przypadku użycia bazy standardowej. Różnice między tymi pojęciami często rozmywa się, bo dowolna [[przestrzeń liniowa]] skończonego wymiaru ma tę samą strukturę, co [[przestrzeń współrzędnych]] o tej samej liczbie wymiarów (przestrzenie te są [[izomorfizm|izomorficzne]]).

Innym zagadnieniem jest trudność definiowania pojęć geometrycznych (nawet w przypadku przestrzeni współrzędnych) w przypadku więcej niż trzech wymiarów – iloczyn skalarny jest wygodnym sposobem wprowadzenia zarówno długości (tj. ''normy''), jak i kąta. Struktura unitarna (tj. obecność iloczynu skalarnego) czyni z przestrzeni liniowej [[przestrzeń unormowana|przestrzeń unormowaną]], która z kolei wprowadza w niej [[przestrzeń metryczna|strukturę metryczną]] (pojęcie odległości). Stopniowe odrzucanie dodatkowych struktur umożliwiło wyabstrahowanie uogólnień pojęć długości i odległości w postaci normy i metryki.

Z interpretacji geometrycznej wynika, iż standardowy iloczyn skalarny jest [[niezmiennik przekształcenia|niezmienniczy]] ze względu na [[izometria|izometrie]]: [[obrót|obroty]], [[Symetria figury|odbicia]] (w przypadku przestrzeni afinicznych: [[przekształcenie afiniczne|przekształcenia afiniczne]] zachowujące [[początek (matematyka)|początek]] przestrzeni). [[Przekształcenie liniowe|Przekształcenia liniowe]], które zachowują powyższe własności, a w ogólności: przekształcenia, które zachowują iloczyn skalarny, nazywa się ''[[przekształcenie unitarne|przekształceniami unitarnymi]]'' lub ''ortogonalnymi'', a [[macierz przekształcenia liniowego|macierze tych przekształceń]] – ''[[macierz unitarna|macierzami unitarnymi]]'' lub ''[[macierz ortogonalna|ortogonalnymi]]''. Innymi słowy przekształcenia unitarne przeprowadzają [[baza ortonormalna|bazy ortonormalne]] na bazy ortonormalne, tj. zachowują normy wektorów (są [[izometria]]mi) i kąty między nimi (są [[odwzorowanie równokątne|przekształceniami równokątnymi]] zachowującymi orientację), w szczególności mają jednostkowy [[wyznacznik]] i [[ślad (algebra liniowa)|ślad]] równy stopniowi macierzy.

=== Przestrzenie unitarne ===
{{osobny artykuł|przestrzeń unitarna}}
[[pierścień wielomianów|Przestrzeń wielomianów]] jednej zmiennej bądź [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeń funkcyjną]] [[funkcja całkowalna#Całkowalność z kwadratem|funkcji całkowalnych z kwadratem]] o wartościach rzeczywistych określonych na [[przedział jednostkowy|odcinku jednostkowym]] mają nieskończone bazy (różnych [[moc zbioru|mocy]]; są one izomorficzne z przestrzeniami współrzędnych odpowiednio: nieskończoną i uogólnioną, zob. [[przykłady przestrzeni liniowych]]), jednak możliwe jest w nich określenie iloczynu skalarnego: odpowiednio wzorem <math>\mathrm f \cdot \mathrm g = \sum f_i g_i,</math> gdzie <math>\mathrm h = h_0 + h_1 X + h_2 X^2 + \ldots</math> jest wielomianem zmiennej <math>X,</math> przy czym suma ta jest zawsze skończona (z definicji [[wielomian]]u), oraz <math>f \cdot g = \int f(x) g(x)\; \mathrm dx</math> (całka istnieje z założenia).

Z powodu możliwości pomylenia zwykłego iloczynu funkcji z ich iloczynem skalarnym ten drugi oznacza się zwykle symbolami:
* <math>\langle s, t \rangle</math> lub <math>(s, t)</math> (identycznie oznacza się np. [[przedział (matematyka)|przedziały]] bądź [[para uporządkowana|pary uporządkowane]] – z kontekstu wynika znaczenie symboli)
* <math>\langle s| t \rangle</math> lub <math>(s| t)</math>

=== Reprezentacja macierzowa ===
{{Zobacz też|forma dwuliniowa#Macierz formy|o1=macierz formy dwuliniowej|macierz Grama}}
Iloczyn skalarny, jak każdą formę dwuliniową, można przedstawić w postaci macierzy; przykładowo niech <math>E = \{\mathbf E_1, \dots, \mathbf E_n\}</math> będzie [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] (niekoniecznie standardową) przestrzeni <math>\mathrm{Mat}_{n \times 1}(\mathbb R).</math> Iloczyn skalarny wektorów (kolumnowych) tej przestrzeni dany jest wtedy jako
: <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf A_E \mathbf M \mathbf B^E,</math>

gdzie <math>\mathbf V^E</math> oznacza wektor kolumnowy, a <math>\mathbf V_E</math> to wektor wierszowy współrzędnych wektora (kolumnowego) <math>\mathbf V</math> wyrażonych w bazie <math>E</math><ref group="uwaga">Tj. <math>(\mathbf V_E)^\mathrm T = \mathbf V^E;</math> jeśli <math>\mathbf V_E</math> jest wektorem kolumnowym współrzędnych wektora <math>\mathbf V</math> w bazie <math>E,</math> to <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = (\mathbf A_E)^\mathrm T \mathbf M \mathbf B_E.</math></ref>, zaś macierz <math>\mathbf M</math> stopnia <math>n</math> jest reprezentacją macierzową iloczynu skalarnego (która musi być [[Określoność formy|dodatnio określona]] i [[macierz symetryczna|symetryczna]]) w bazie <math>E</math> opisywanego wzorem
: <math>\mathbf M = \begin{bmatrix}
\mathbf E_1 \cdot \mathbf E_1 & \dots & \mathbf E_1 \cdot \mathbf E_n \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf E_n \cdot \mathbf E_1 & \dots & \mathbf E_n \cdot \mathbf E_n
\end{bmatrix};</math>

w szczególności jeśli <math>E</math> jest [[baza standardowa|bazą standardową]], to <math>\mathbf M = \mathbf I</math> jest [[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]], co prowadzi przedstawionego w sekcji ''[[#Definicja|Definicja]]'' wzoru dla macierzy.

== Zobacz też ==
* [[iloczyn wektorowy]]
* [[nierówność Cauchy’ego-Schwarza]]
* [[nierówność trójkąta]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{Pismo Delta | url = 1976/09/iloczyn-skalarny/ | autor = Krzysztof Nowiński | tytuł = Iloczyn skalarny | data = wrzesień 1976 | data dostępu = 2024-11-03 }}
{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2024-09-09]:
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=46FNKY8PW6Q Iloczyn skalarny wektorów]'', kanał [[Khan Academy]], 13 października 2018.
* Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=eDxEJgmUOng Iloczyny wektorów cz. I. Iloczyn skalarny]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT”, 30 stycznia 2024.

; Anglojęzyczne
* [http://www.falstad.com/dotproduct/ Demonstracja iloczynu skalarnego wykonana w Javie]
* [http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu/brown/cs/exploratories/applets/dotProduct/dot_product_guide.html Inna demonstracja iloczynu skalarnego w Javie]
* [http://www.mathreference.com/la,dot.html Iloczyn skalarny wektorów zespolonych]

{{Formy na przestrzeniach liniowych}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Działania na wektorach]]
[[Kategoria:Działania dwuargumentowe]]
[[Kategoria:Formy dwuliniowe i półtoraliniowe]]