Tekst źródłowy strony Ideał (teoria mnogości)

{{dopracować|źródła=2019-12}}
'''Ideał''' – rodzina zbiorów w jakimś sensie ''małych''. Pojęcie ''małych zbiorów'' powinno spełniać pewne podstawowe własności:
* zbiór mniejszy od ''małego zbioru'' powinien być ''mały'',
* [[zbiór pusty]] powinien być ''mały'', ale cała przestrzeń ([[Uniwersum (matematyka)|uniwersum]]) nie powinna być ''mała'',
* [[suma zbiorów|suma]] dwóch ''małych zbiorów'' powinna być ''mała''.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów ''małych'') jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

== Definicje formalne ==
=== Ideały w porządkach ===
Niech <math>(P,\leqslant)</math> będzie [[Częściowy porządek|porządkiem częściowym]]. Powiemy, że zbiór <math>I\subseteq P</math> jest '''ideałem w zbiorze uporządkowanym <math>P</math>''', jeśli następujące warunki są spełnione:
: (i) <math>I\neq \varnothing,</math>
: (ii) jeśli <math>p,q\in P,</math> <math>p\leqslant q</math> oraz <math>q\in I,</math> to również <math>p\in I,</math>
: (iii) jeśli <math>p,q\in I,</math> to można znaleźć <math>r\in I</math> taki że <math>p\leqslant r</math> oraz <math>q\leqslant r.</math>

Ideał <math>I</math> jest '''właściwy''' jeśli dodatkowo
: (iv) <math>I\neq P.</math>

=== Ideały w algebrach Boole’a ===
Ponieważ [[algebra Boole’a]] jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na [[Algebra|algebry]] Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech <math>(\mathbb B,+,\cdot,\sim,\mathbf 0,\mathbf 1)</math> będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór <math>I</math> jest '''ideałem w algebrze Boole’a <math>\mathbb B</math>''', jeśli następujące warunki są spełnione:
: (i) <math>\mathbf 0\in I,</math>
: (ii) jeśli <math>a,b\in \mathbb B,</math> <math>a\leqslant b</math> (tzn. <math>a\cdot b=a</math>) oraz <math>b\in I,</math> to również <math>a\in I,</math>
: (iii) jeśli <math>a,b\in I,</math> to <math>a+b\in I.</math>

Ideał <math>I</math> jest '''właściwy''' jeśli dodatkowo
: (iv) <math>\mathbf 1\notin I.</math>

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

=== Ideały podzbiorów danego zbioru ===
Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru <math>S</math> (z operacjami sumy, [[Część wspólna|przekroju]] i [[Dopełnienie zbioru|dopełnienia]] zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru <math>S.</math> Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to ''rodzina małych podzbiorów <math>S</math>''.

Niech <math>S</math> będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że [[rodzina zbiorów|rodzina]] <math>I</math> podzbiorów zbioru <math>S</math> jest '''ideałem podzbiorów zbioru <math>S</math>''' jeśli następujące warunki są spełnione:
: (i) <math>\varnothing\in I,</math>
: (ii) jeśli <math>A\subseteq B\subseteq S</math> i <math>B\in I,</math> to również <math>A\in I,</math>
: (iii) jeśli <math>A,B\in I,</math> to <math>A\cup B\in I.</math>

Ideał <math>I</math> jest '''właściwy''' jeśli dodatkowo
: (iv) <math>S\notin I.</math>

=== Ideały maksymalne ===
Ideał właściwy <math>I</math> w porządku częściowym <math>(P,\leqslant)</math> jest '''ideałem maksymalnym''' jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym <math>I</math> jest samo <math>I.</math>

== Przykłady ==
=== Ideały w algebrach Boole’a ===
* Niech <math>\mathcal K_\mathcal B</math> będzie rodziną tych [[Zbiór borelowski|borelowskich]] podzbiorów [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]], które są [[Zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]]. Wówczas <math>\mathcal K_\mathcal B</math> jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
* Niech <math>\mathcal L_\mathcal B</math> będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są [[Zbiór miary zero|miary zero Lebesgue’a]]. Wówczas <math>\mathcal L_\mathcal B</math> jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
* Przypuśćmy, że <math>F</math> jest filtrem w algebrze Boole’a <math>\mathbb B.</math> Niech <math>F^c=\{\sim a:a\in F\}.</math> Wówczas <math>F^c</math> jest ideałem w <math>\mathbb B.</math> Warto zauważyć, że <math>F^c</math> jest [[Ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]] wtedy i tylko wtedy gdy <math>F</math> jest ultrafiltrem.

=== Ideały podzbiorów danego zbioru ===
* Niech <math>S</math> będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina <math>[S]^{<\omega}</math> wszystkich skończonych podzbiorów <math>S</math> jest ideałem podzbiorów <math>S.</math> Jest on często nazywany ''ideałem [[Maurice Fréchet|Frécheta]]''.
* Niech <math>A\subsetneq X.</math> Wówczas rodzina <math>I_A</math> wszystkich podzbiorów zbioru <math>A</math> jest ideałem podzbiorów <math>X.</math> Ideały tej postaci są nazywane '''ideałami głównymi''' i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn. typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
* Niech <math>\mathcal K</math> będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a <math>\mathcal L</math> będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają [[Miara Lebesgue’a|miarę Lebesgue’a]] zero. Wówczas zarówno <math>\mathcal K,</math> jak i <math>\mathcal L</math> są ideałami podzbiorów prostej.
* Przypuśćmy, że <math>(X,\tau)</math> jest [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]]. Wówczas rodzina wszystkich [[Zbiór nigdziegęsty|nigdziegęstych]] podzbiorów przestrzeni <math>X</math> tworzy właściwy ideał podzbiorów <math>X.</math>
* Niech <math>\kappa</math> będzie nieprzeliczalną regularną [[Moc zbioru|liczbą kardynalną]] oraz niech <math>\mathcal{NS}_\kappa</math> będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów <math>\kappa,</math> których dopełnienie zawiera [[Zbiór domknięty|domknięty]] nieograniczony podzbiór <math>\kappa.</math> Rodzina <math>\mathcal{NS}_\kappa</math> jest ideałem podzbiorów <math>\kappa</math> – zbiory z tego ideału są nazywane ''niestacjonarnymi podzbiorami <math>\kappa</math>''.

== Dodatkowe pojęcia ==
* Niech <math>\kappa</math> będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał <math>I</math> podzbiorów zbioru <math>S</math> jest <math>\kappa</math>-zupełny, jeśli suma mniej niż <math>\kappa</math> zbiorów z ideału <math>I</math> należy do <math>I.</math>
* Ideały <math>\aleph_1</math>-zupełne na <math>S</math> są nazywane '''<math>\sigma</math>-ideałami podzbiorów <math>S</math>'''. Tak więc <math>\sigma</math>-ideał podzbiorów <math>S,</math> to taki ideał <math>I</math> podzbiorów <math>S,</math> który spełnia następujący warunek:
: (iii)<sup>σ</sup> jeśli <math>A_0,A_1,A_2,\dots\in I,</math> to <math>\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n\in I.</math>
* Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące [[Funkcja kardynalna|funkcje kardynalne]], nazywane też '''współczynnikami kardynalnymi ideału'''. Niech <math>I</math> będzie takim ideałem podzbiorów zbioru <math>S,</math> który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:
:: <math>\mathrm{add}(I)=\min\{|\mathcal A|: \mathcal A\subseteq I \wedge \bigcup\mathcal A\notin I\big\},</math>
:: <math>\mathrm{cov}(I)=\min\{|\mathcal A|:\mathcal A\subseteq I \wedge\bigcup\mathcal A=S\big\},</math>
:: <math>\mathrm{non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge\ A\notin I\big\},</math>
:: <math>\mathrm{cof}(I)=\min\{|\mathcal B|:\mathcal B\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in \mathcal B)(A\subseteq B)\big\}.</math>

== Własności i zastosowania ==
{{wikisłownik|ideał}}

* Każdy właściwy ideał w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez [[Alfred Tarski|Tarskiego]], wymaga pewnej formy [[Aksjomat wyboru|AC]].)
* Jeśli <math>I</math> jest ideałem podzbiorów <math>S</math> który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to
: <math>\mathrm{add}(I)\leqslant \mathrm{cov}(I)\leqslant \mathrm{cof}(I)</math> i <math>\mathrm{add}(I)\leqslant \mathrm{non}(I)\leqslant \mathrm{cof}(I).</math>
* Współczynniki kardynalne ideałów <math>\mathcal K</math> i <math>\mathcal L</math> były intensywnie studiowane także i w Polsce w [[Lata 80. XX wieku|latach 80. XX wieku]]. Są one głównymi elementami tzw. [[Diagram Cichonia|diagramu Cichonia]].

{{Algebra zbiorów}}

[[Kategoria:Rodziny zbiorów]]
[[Kategoria:Algebra zbiorów]]