Tekst źródłowy strony Historia matematyki

[[Plik:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|mały|230px|''[[Kompendium o liczeniu przez uzupełnienie i wyrównywanie]]'']]
'''Historia matematyki''' jest prawdopodobnie równie stara jak ludzkość, a w XXI wieku dalej jest żywa, splatając się z dziejami innych nauk, technologii oraz pozostałych obszarów [[Kultura|kultury]].

W prehistorii uformowano podstawowe pojęcia [[Arytmetyka|arytmetyczne]] i [[Geometria|geometryczne]]. Starożytność i średniowiecze znacznie rozwinęły te obszary, doprowadzając do powstania trzeciej dziedziny: [[Algebra|algebry]]. Sformułowano też wtedy podstawy [[Logika|logiki]] i [[Filozofia matematyki|filozofii matematyki]], które wywarły potem wpływ na ewolucję samej królowej nauk. Jej dzieje starożytne i średniowieczne składają się z okresów gwałtownego postępu oddzielonych całymi stuleciami stagnacji, co skończyło się w [[renesans]]ie. XVI-wieczne Włochy rozpoczęły nieprzerwany rozwój tej nauki, który trwa po dziś dzień. Czasy nowożytne to rozwój trzech dotychczasowych dziedzin, ich redefinicja i pojawienie się nowych dyscyplin jak [[kombinatoryka]], [[probabilistyka]] i [[Analiza matematyczna|analiza]], a w XIX wieku także [[topologia]], [[teoria mnogości]] i [[logika matematyczna]].

Matematyka od prehistorii stanowiła fundament [[Astronomia|astronomii]], w starożytności zaczęła się łączyć z [[Fizyka|fizyką]], a później znaleziono jej bezpośrednie zastosowania w [[Biologia|biologii]] i [[Nauki społeczne|naukach społecznych]]. Od tysiącleci matematyka jest też jednym z trzonów [[Gospodarka|gospodarki]] przez instytucję [[Bankowość|bankowości]], ubezpieczenia i wpływ na technologie, w szczególności na [[Kryptologia|kryptologię]] i [[Informatyka|informatykę]]. Matematyka wywarła też bezpośredni wpływ na politykę dzięki rozwinięciu metod głosowania i zbadaniu ich właściwości. Najstarsza nauka formalna odegrała też rolę dla różnych obszarów sztuki – nie tylko przez wpływ na technologię, ale i bezpośrednio, jako temat i źródło pewnych reguł jak proporcje i harmonia.

Mimo bycia nauką podstawową matematyka czerpie z dorobku innych dziedzin – rozwój technologii i gospodarki znacznie ułatwił jej uprawianie, np. przez wynalazki pisma, papieru, nowożytnego druku, rozwój transportu i telekomunikacji, a informatyka pozwoliła na dużo szybsze sprawdzanie niektórych hipotez – co czasem kończyło się ich obaleniem – oraz na dowodzenie automatyczne. Postępy matematyki nasilały się przy zawiązywaniu instytucji jak szkoły, naukowe czasopisma i towarzystwa. Inspiracją dla [[matematyk]]ów bywały koncepcje filozoficzne, religijne i zapotrzebowanie na rozwój innych dziedzin, a także perspektywa nagród naukowych, których od XVIII wieku pojawiły się dziesiątki. Liczba matematyków i ich publikacji na przestrzeni dziejów wzrosła o rzędy wielkości.

== Prehistoria ==
Przetrwały pewne ślady, zarówno w znaleziskach [[paleontologia|paleontologów]], jak i w języku, które wskazują, że proste obliczenia wykorzystywali [[prehistoria|prehistoryczni]] myśliwi, kobiety przewidujące datę miesiączki czy wodzowie plemienni szacujący bojową siłę swoich ludzi.

Należy przypuszczać, że proste obliczenia towarzyszyły człowiekowi od zawsze. Wiadomo, że nawet zwierzęta potrafią oceniać liczebność [[zbiór|zbiorów]] zawierających kilka elementów. Najwcześniejsze ślady liczenia znaleźć można w gramatyce. Budowa i zasady użycia [[liczebnik]]ów pozwalają ocenić, że na początku umiano określić liczebność małych zbiorów: jeden, dwa, trzy, większe postrzegano zaś po prostu jako więcej, wiele. Dzięki badaniom [[etologia|etologicznym]], [[neurofizjologia|neurofizjologicznym]] i [[socjobiologia|socjobiologicznym]] wiemy, że uwarunkowania gatunku ludzkiego skłaniają go do życia w grupach o liczebności 30–40 osobników, co zapewne sprawia, że w codziennej praktyce nie było potrzeby używania większych liczb. Typowym sposobem obliczania stosowanym przez społeczności pierwotne było liczenie na palcach lub [[paliczki|paliczkach]].

Na długo przed najwcześniejszymi źródłami pisanymi powstawały rysunki, mogące wskazywać na znajomość podstaw matematyki. Na przykład paleontologowie odkryli [[ochra|ochrowe]] skały w [[Afryka Południowa|południowoafrykańskiej]] jaskini, ozdobione wydrapanymi motywami geometrycznymi sprzed 70 tysięcy lat<ref>{{cytuj stronę |url=http://www.accessexcellence.org/WN/SU/caveart.html |tytuł=Art Prehistory |nazwisko=Henahan |imię=Sean |rok=2002 |praca=Science Updates |opublikowany=The National Health Museum |data dostępu=2006-05-06}}</ref>. Także prehistoryczne wytwory człowieka odkryte w Afryce (sprzed 35 tysięcy lat) i we Francji (sprzed 20 tysięcy lat)<ref>[http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html An old mathematical object] {{lang|en}}.</ref> wskazują na próby ilościowego określania czasu<ref>{{Cytuj stronę | url = http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf | tytuł = ''Mathematics in (central) Africa before colonization'' | opublikowany = etopia.sintlucas.be | archiwum = https://web.archive.org/web/20120207040200/http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf | zarchiwizowano = 2012-02-07}} {{lang|en}}.</ref>.

Istnieją przesłanki, że niektóre pierwsze próby liczenia były związane z przewidywaniem kolejnej menstruacji. Znajdowano na przykład rządki 28, 29 lub 30 nacięć, po których następowało nacięcie różniące się od poprzednich<ref>{{cytuj stronę |url= http://www.tacomacc.edu/home/jkellerm/Papers/Menses/Menses.htm |tytuł= How Menstruation Created Mathematics |nazwisko= Kellermeier |imię= John |rok= 2003 |praca= Ethnomathematics |opublikowany= Tacoma Community College |data dostępu= 2006-05-06 |archiwum= https://web.archive.org/web/20060505175220/http://www.tacomacc.edu/home/jkellerm/papers/menses/menses.htm |zarchiwizowano= 2006-05-05 }}</ref>. Starożytni łowcy znali też koncepcję liczenia „nic, jeden, dwa, wiele” w odniesieniu do złowionych zwierząt<ref name="Williams">{{cytuj stronę |url = http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html |tytuł = An Old Mathematical Object |nazwisko= Williams |imię = Scott W. |rok = 2005 |praca= Mathematicians of the African Diaspora |opublikowany = SUNY Buffalo mathematics department |data dostępu = 2006-05-06}}</ref>, liczenie było też zapewne istotne przy ocenianiu szans w walkach plemiennych.

[[Kość z Ishango]], znaleziona w źródłach Nilu (północno-wschodnie [[Demokratyczna Republika Konga|Kongo]]) pochodzi sprzed 20 tysięcy lat (górny [[paleolit]]). Jedna z typowych interpretacji głosi, że jest to najwcześniejsza znana demonstracja<ref name="Williams" /> [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]]. [[starożytny Egipt|Przeddynastyczni Egipcjanie]] z 5 tysiąclecia p.n.e. graficznie przedstawiali geometryczne konstrukcje przestrzenne. Geometryczne przedstawienia okręgu, elipsy, [[Trójki pitagorejskie|trójek pitagorejskich]] można odnaleźć na monumentach w [[Anglia|Anglii]] i [[Szkocja|Szkocji]] z 3 millenium p.n.e.<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Thom |imię=Alexander |nazwisko2=Thom |imię2=Archie |tytuł=The metrology and geometry of Megalithic Man |strony=132–151}} w {{cytuj książkę |nazwisko=Ruggles |imię=C.L.N. |tytuł=Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom |inni=red. |miejsce=Cambridge |wydawca=Cambridge Univ. Pr. |rok=1988 |isbn=0-521-33381-4}}</ref>

Najwcześniejsze ślady znajomości matematyki w starożytnych Indiach datują się na ok. 3000–2600 p.n.e. i są pozostałością [[cywilizacja doliny Indusu|cywilizacji doliny Indusu]] z terenu północnych Indii i dzisiejszego Pakistanu. Cywilizacja ta stworzyła dziesiętne [[jednostka miary|jednostki miary]], technikę produkcji cegieł o ustalonych [[Proporcja (arytmetyka)|proporcjach]] boków, ulice przecinające się dokładnie pod kątem prostym i sporo geometrycznych przedstawień, w tym [[prostopadłościan]]y, [[beczka (bryła geometryczna)|beczki]], [[Stożek (bryła)|stożki]], [[walec (bryła)|walce]] oraz rysunki koncentrycznych lub przecinających się okręgów i trójkątów. Pojawiły się również doniesienia, że na terenie Polski, wykorzystywano proporcje geometryczne przy wyznaczaniu miejsca wiercenia otworu w kamiennych toporach – między innymi dla kultur ceramiki wstęgowej i to już około 7000 lat temu<ref>Sebastian Tyszczuk, ''Geometryczne lokalizowanie otworu w kamiennych toporkach neolitycznych, przykład praktycznego wykorzystania optycznego pomiaru trójwymiarowego w dokumentacji zabytków'' w: ''Badania archeologiczne na Górnym Śląsku i ziemiach pogranicznych w latach 2007–2008'', Śląskie Centrum Dziedzictwa Kulturowego w Katowicach, Katowice 2009.</ref>.

Odkryto także ciekawe przyrządy, takie jak dokładna [[linijka]] z dwupoziomową dziesiętną podziałką, instrument z muszli, działający jako [[kątomierz]] w zakresie od 40 do 360 stopni, inną muszlę, która pozwalała podzielić horyzont i niebo na 8-12 równych sekcji i przyrząd nawigacyjny do mierzenia pozycji gwiazd. [[Cywilizacja doliny Indusu#Pismo i język|Pismo induskie]] nie zostało dotąd odczytane, niewiele wiadomo zatem o pracach matematycznych z tego okresu. Niektórzy historycy interpretują pewne znaleziska archeologiczne jako dowody znajomości [[ósemkowy system liczbowy|ósemkowego systemu liczbowego]] i [[pi|liczby π]]<ref>{{cytuj stronę |url= http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html |tytuł= Early Indian culture – Indus civilisation |nazwisko= Pearce |imię= Ian G. |rok= 2002 |praca= Indian Mathematics: Redressing the balance |opublikowany= School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews |data dostępu= 2006-05-06 |archiwum= https://web.archive.org/web/20081228060907/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html |zarchiwizowano= 2008-12-28 }}</ref>.

Najstarszymi znanymi tekstami matematycznymi są ''[[Plimpton 322]]'' ([[Babilonia]] ok. 1900 p.n.e.), [[papirus moskiewski]] ([[starożytny Egipt|Egipt]] ok. 1850 p.n.e.), [[papirus Rhinda]] (Egipt, 1650 p.n.e.), ''[[Shulba Sutras]]'' (Indie ok. 800 p.n.e.). Wszystkie te teksty wspominają [[twierdzenie Pitagorasa]], które wydaje się najbardziej rozpowszechnionym w starożytności wynikiem matematycznym.

[[Matematyka]] egipska i sumeryjska była dalej rozwijana przez [[starożytna Grecja|Greków]], którzy ponadto usystematyzowali niezależne dotąd [[twierdzenie|twierdzenia]] w jeden spójny system<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Heath |imię=Thomas L. |tytuł=A Manual of Greek Mathematics |miejsce=Dover |rok=1963 |strony=1 |cytat=In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science}}</ref>. Dalszy rozwój matematyka zawdzięcza [[Arabowie|Arabom]]. Wiele greckich i arabskich prac matematycznych następnie przetłumaczono na łacinę, co pozwoliło na dalszy rozwój tych koncepcji w średniowiecznej [[Europa|Europie]].

== Starożytny Wschód (1800–500 p.n.e.) ==
=== Chiny ===
W 213 p.n.e. chiński cesarz [[Qin Shi Huang]] rozkazał [[Palenie ksiąg i grzebanie uczonych|spalić wszystkie książki]] niezgodne z oficjalną filozofią [[legizm|legistyczną]]. Rozkaz ten nie wszędzie został wykonany, jednak w konsekwencji niewiele dziś wiadomo o starożytnej matematyce chińskiej.

Najwcześniejszy istniejący do dziś matematyczny artefakt z Chin to pochodząca z epoki [[Dynastia Shang|Shang]] (1600–1046 p.n.e.) skorupa żółwia z zapisaną liczbą 123. Użyty jest [[Dziesiętny system liczbowy|system dziesiętny]], od góry do dołu wydrapane zostały: cyfra 1, symbol setki, cyfra 2, symbol dziesiątki, cyfra 3. Podówczas był to najbardziej zaawansowany system liczbowy na świecie<ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.chinaculture.org/gb/en_madeinchina/2005-08/18/content_71974.htm |tytuł = The use of the decimal system |opublikowany = chinaculture.org |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20160220072106/http://www.chinaculture.org/gb/en_madeinchina/2005-08/18/content_71974.htm |zarchiwizowano = 2016-02-20 |data dostępu = 2017-01-15 }}</ref>. Późniejsi Chińczycy liczyli na przyrządach takich jak [[suanpan]] i chiński [[abakus (liczydło)|abakus]]. Nie wiadomo dokładnie, kiedy suan został wynaleziony, najwcześniejsza wzmianka znajduje się w ''Dodatku do sztuki figur'' [[Xu Yue]] z roku 190 n.e.

Najstarsza chińska praca z odniesieniami do geometrii, która przetrwała palenie ksiąg, ''Mo Jing'', pochodzi z filozoficznego kanonu [[motizm]]u i została napisana ok. 330 p.n.e. Opisywała rozmaite aspekty fizyki, przy okazji omawiając też stosowane metody matematyczne.

=== Mezopotamia ===
W [[Mezopotamia|Mezopotamii]] rolę ośrodka naukowego grał [[Babilon]]. Po nastaniu panowania Greków utrzymał tę funkcję, a sumeryjska matematyka połączyła się z grecką.

W przeciwieństwie do rzadkości źródeł na temat matematyki Egiptu, w przypadku Mezopotamii od połowy XIX wieku odnaleziono ponad 400 glinianych tabliczek zapisanych [[pismo klinowe|pismem klinowym]], gdy glina była miękka i następnie utwardzonych w piecu lub na słońcu. Niektóre z nich wyglądają na ocenione [[praca domowa|prace domowe]] z matematyki.

Najstarsze pisane źródła matematyczne pochodzą od [[Sumerowie|Sumerów]], którzy zbudowali pierwszą cywilizację Mezopotamii. Stworzyli oni 3000 lat przed naszą erą złożony system miar. Około 2500 p.n.e. zapisali pismem klinowym [[tabliczka mnożenia|tabliczkę mnożenia]], zmagali się z zadaniami geometrycznymi, umieli dzielić, dodawać i odejmować<ref>{{Cytuj stronę | url = http://www.starwon.com.au/~korey/rodowod_ii.htm | tytuł = Rodowód II<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany = starwon.com.au | archiwum = https://web.archive.org/web/20071104154640/http://www.starwon.com.au/~korey/rodowod_ii.htm | zarchiwizowano = 2007-11-04}}.</ref>. Na ten okres datują się także najstarsze ślady [[sześćdziesiątkowy system liczbowy|babilońskiego systemu liczbowego]]<ref>Duncan J. Melville (2003). [https://web.archive.org/web/20180707213616/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology], ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>.

Większość znalezionych glinianych tabliczek pochodzi z okresu między 1800 a 1600 p.n.e., i dotyczy tematów takich jak [[ułamek|ułamki]], [[algebra]], [[równanie liniowe|równania liniowe]], [[równanie kwadratowe|kwadratowe]], [[równanie sześcienne|sześcienne]], oraz [[trójki pitagorejskie]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko= Aaboe |imię= Asger |tytuł= Episodes from the Early History of Mathematics |rok= 1998 |wydawca= Random House |miejsce= New York |strony= 30–31}}</ref>. W glinie wypisano także [[tablice trygonometryczne]]. Babilońska tabliczka oznaczona przez archeologów symbolem [[YBC 7289]] podaje oszacowanie wartości <math>\sqrt{2}</math> z dokładnością do pięciu miejsc dziesiętnych.

Babilońscy matematycy używali [[system liczbowy|systemu]] sześćdziesiątkowego. Jego ślady pozostały do dziś w podziale [[godzina|godziny]] na 60 [[minuta|minut]], minuty na 60 [[sekunda|sekund]] i [[Kąt#Klasyfikacja|kąta pełnego]] na 360 (60 × 6) [[stopień (kąt)|stopni]], a następnie stopnia na 60 [[minuta kątowa|minut]] i minuty na 60 [[sekunda kątowa|sekund kątowych]].

System sześćdziesiątkowy jest o tyle wygodny, że liczba 60 ma wiele [[dzielnik]]ów (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Ułatwia to dzielenie przez niewielkie liczby. Ponadto postępom matematyki sprzyjał fakt, że w odróżnieniu od [[egipski system liczbowy|zapisów Egipcjan]], Greków i [[Rzymski system zapisywania liczb|Rzymian]], system Babilończyków był prawdziwym [[System liczbowy|systemem pozycyjnym]], w którym te same znaki ([[cyfra|cyfry]]) z lewej strony reprezentowały większe wartości, niż z prawej. Nie miał on zatem ograniczeń, jeśli chodzi o maksymalną możliwą do zapisania [[liczby naturalne|liczbę]]. Nie posiadał jednak [[separator dziesiętny|separatora dziesiętnego]], którego trzeba było domyślać się z kontekstu.

=== Egipt ===
O odrębnej matematyce egipskiej można mówić do nastania panowania Greków, kiedy [[język egipski]] został zastąpiony [[język grecki|greckim]] i wraz z matematyką babilońską została ona wchłonięta przez myśl grecką. Niektóre egipskie koncepcje były później rozwijane przez matematyków arabskich, kiedy Egipcjanie zaczęli pisać ich [[alfabet arabski|alfabetem]].

Najstarszym odkrytym egipskim tekstem matematycznym jest [[papirus moskiewski]], pochodzący ze [[starożytny Egipt|starożytnego Egiptu]] z okresu [[Średnie Państwo|Średniego Państwa]], datowany 2000–1800 p.n.e. Jak wiele starożytnych tekstów matematycznych skupia się na czymś, co dziś nazwalibyśmy „[[zadanie z treścią|zadaniami z treścią]]” i miał zapewne służyć [[rozrywka matematyczna|rozrywce]]. Jedno z zadań ukazuje metodę obliczania [[objętość (matematyka)|objętości]] [[ostrosłup ścięty|ściętego ostrosłupa]] o kwadratowej podstawie:
: <math>V=(a^2+ab+b^2)\frac{h}{3}.</math>

{{Cytat
 |treść = Jeśli ci powiedzą: ścięta piramida o [[wysokość (geometria)|wysokości]] 6, z 4 w podstawie i 2 na szczycie. Powinieneś podnieść to 4 [[potęgowanie|do kwadratu]], uzyskując 16. Masz podwoić<ref>Podwoić, gdyż długość boku mniejszej [[podstawa|podstawy]] wynosi 2.</ref> 4, uzyskując 8. Podnieś 2 do kwadratu, uzyskując 4. Dodaj 16, 8 i 4, uzyskując 28. Weź trzecią część 6, czyli 2. Weź dwukrotnie<ref>Bo przed chwilą dostaliśmy 2.</ref> 28, dostaniesz 56. Zobacz, ma być 56. Prawidłowo.
 |styl = środek
}}

[[Papirus Rhinda|Papirus Matematyczny Rhinda]] (ok. 1650 p.n.e.<ref>[http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/RhindPapyrus.shtml Rhind Papyrus from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->].</ref>) to kolejny ważny egipski tekst matematyczny, podręcznik [[arytmetyka|arytmetyki]] i [[geometria|geometrii]]. Oprócz metod przeprowadzania [[mnożenie|mnożenia]], [[dzielenie|dzielenia]] i działań na ułamkach, zawiera również dowody posiadania przez Egipcjan szerszej wiedzy matematycznej<ref name="rhind">https://web.archive.org/web/20061016120307/http://www.mathpages.com/home/rhind.htm.</ref>, w szczególności znajomość [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]], [[Liczby złożone|złożonych]], średnich [[średnia arytmetyczna|arytmetycznej]], [[średnia geometryczna|geometrycznej]] i [[średnia harmoniczna|harmonicznej]], uproszczonej wersji [[sito Eratostenesa|sita Eratostenesa]] i [[Liczby doskonałe|liczb doskonałych]] (w szczególności dla liczby 6)<ref name="rhind" />. Pokazuje również metodę rozwiązywania [[równanie liniowe|równań liniowych]]<ref>{{Cytuj |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html |tytuł=Egyptian Papyri<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> |opublikowany=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk |data dostępu=2017-11-23}}</ref> oraz [[szereg arytmetyczny|szeregów arytmetycznych]] i [[szereg geometryczny|geometrycznych]]<ref>{{Cytuj |url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_algebra.html#areithmetic%20series |tytuł=Egyptian Algebra – Mathematicians of the African Diaspora<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> |opublikowany=www.math.buffalo.edu |data dostępu=2017-11-23}}</ref>.

Papirus Rhinda sugeruje również znajomość pierwocin [[geometria analityczna|geometrii analitycznej]]. Znajdują się w nim bowiem:
* metoda obliczenia [[pi|liczby π]] z dokładnością lepszą niż 1%,
* próba [[kwadratura koła|kwadratury koła]],
* najstarsze znane użycie [[Funkcje trygonometryczne|kotangensa]].

Z [[papirus berliński|papirusu berlińskiego]] (ok. 1300 p.n.e.<ref>{{Cytuj | url=http://www.hum.ku.dk/cni/papcoll/high008.html | tytuł=The Papyrus Carlsberg Collection: Medical treatise<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=hum.ku.dk | język=en | archiwum=https://web.archive.org/web/20080316222324/http://www.hum.ku.dk/cni/papcoll/high008.html | zarchiwizowano=2008-03-16 | data dostępu=2021-06-11}}</ref><ref>{{Cytuj stronę | url = http://www.aams.org.au/contents.php?subdir=library%2Fhistory%2F&filename=pharonic_egypt | tytuł = AAMS – Australian Academy of Medicine and Surgery<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany = aams.org.au | archiwum = https://web.archive.org/web/20190305173434/http://www.aams.org.au/contents.php?subdir=library%2Fhistory%2F&filename=pharonic_egypt | zarchiwizowano = 2019-03-05}}.</ref>) wynika, że starożytni Egipcjanie potrafili rozwiązywać [[równanie kwadratowe|równania kwadratowe]]<ref>{{Cytuj |url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin |tytuł=Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> |opublikowany=www.math.buffalo.edu |data dostępu=2017-11-23}}</ref>.

== Starożytne Indie (ok. 900 p.n.e. – 200 n.e.) ==
Najstarsze ślady matematyki w Indiach to ''[[Shatapatha Brahmana]]'' (IX wiek p.n.e.), gdzie obliczono wartość liczby π z dokładnością do dwóch miejsc dziesiętnych<ref>{{Cytuj |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html |tytuł=4: Mathematics in the service of religion: I. Vedas and Vedangas<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> |opublikowany=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk |data dostępu=2017-11-23 |archiwum=https://web.archive.org/web/20090426035326/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html |zarchiwizowano=2009-04-26 }}</ref>, oraz [[Sulba Sutras]] (ok. 800–500 p.n.e.) gdzie użyto [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]], [[Liczby pierwsze|pierwszych]], [[Proporcja (arytmetyka)#Reguła trzech|reguły trzech]] (rozwiązywanie [[Proporcja (arytmetyka)|proporcji]]), [[pierwiastek sześcienny|pierwiastka sześciennego]], [[pierwiastek kwadratowy|pierwiastków kwadratowych]] obliczonych z dokładnością do 5 miejsc po przecinku, przybliżonej [[kwadratura koła|kwadratury koła]], [[Trójki pitagorejskie|trójek pitagorejskich]], rozwiązywano [[równanie liniowe|równania liniowe]] i [[równanie kwadratowe|kwadratowe]], oraz udowodniono [[twierdzenie Pitagorasa]].

[[Panini (gramatyk)|Panini]] (ok. V wieku p.n.e.) skodyfikował reguły gramatyczne [[sanskryt]]u. Jego notacja była zbliżona do współczesnego zapisu matematycznego, z metaregułami, [[Funkcja|przekształceniami]] i [[Rekurencja|rekursją]]. Rozwinął swój formalizm do tego stopnia, że jego gramatyka może być dziś przetwarzana metodami komputerowymi. [[Pingala]] (żył gdzieś w przedziale III–I wiek p.n.e.) w swoim traktacie o [[prozodia|prozodii]] używał konstrukcji zbliżonej do [[dwójkowy system liczbowy|dwójkowego systemu liczbowego]]. Jego [[kombinatoryka|kombinatoryczna]] dyskusja [[metrum (muzyka)|metrum muzycznego]], przypomina [[dwumian Newtona]]. Praca Pingali zawiera też ideę [[ciąg Fibonacciego|liczb Fibonacciego]] (zwanych ''mātrāmeru'').

<!--akapit: The [[Brāhmī]] script was developed at least from the [[Maurya dynasty]] in the [[4th century BC]], with recent archeological evidence appearing to push back that date to around [[600 BC]]. The [[Brahmi numerals]] date to the 3rd century BC.-->

Pomiędzy 400 p.n.e. a 200 n.e., matematycy [[dźinizm|dźinijscy]] zaczęli studiować matematykę dla samej przyjemności badań. Odkryli nieskończone [[Moc zbioru|liczby kardynalne]], [[teoria mnogości|teorię mnogości]], [[logarytm]]y, prawa [[Potęgowanie|potęgowania]], [[równanie sześcienne|równania sześcienne]], [[równanie czwartego stopnia|czwartego stopnia]], [[ciąg (matematyka)|ciągi]], [[szereg (matematyka)|szeregi]], [[permutacja|permutacje]], kombinacje ([[kombinacja z powtórzeniami|z powtórzeniami]] i [[kombinacja bez powtórzeń|bez powtórzeń]]), oraz [[pierwiastek kwadratowy]]. ''[[Manuskrypt z Bakhshali]]'', napisany między 200 p.n.e. a 200 n.e. zawierał rozwiązania [[układ równań liniowych|układów równań liniowych]] z pięcioma [[niewiadoma|niewiadomymi]], rozwiązania równania kwadratowego, szeregi arytmetyczny i geometryczny, <!-- compound series,--> kwadratowe równania nieoznaczone, [[układ równań|układy równań]], zastosowanie [[0|zera]] oraz [[Znak liczby|liczb ujemnych]]. Rozwinięcia liczb niewymiernych, w szczególności pierwiastków kwadratowych liczb rzędu miliona, sięgały 11 miejsc dziesiętnych.

== Grecja (ok. 600 p.n.e. – 450 n.e.) ==
[[Plik:Thales.jpg|mały|[[Tales z Miletu]]]]
[[Plik:Kapitolinischer Pythagoras.jpg|mały|[[Pitagoras|Pitagoras z Samos]]]]

Termin „matematyka grecka” odnosi się do tekstów napisanych po [[język grecki|grecku]] w okresie od ok. 600 p.n.e. do 450 n.e.<ref name="Eves">{{cytuj książkę |nazwisko=Eves |imię=Howard |tytuł=An Introduction to the History of Mathematics |wydawca=Saunders |rok=1990 |isbn=0-03-029558-0}}</ref> Matematycy greccy żyli w miastach rozsianych od [[Półwysep Apeniński|Półwyspu Apenińskiego]] po północną [[Afryka|Afrykę]], lecz jednoczyła ich kultura i język.

Matematyka grecka była bardziej wyrafinowana od osiągnięć wcześniejszych kultur. Świadectwa, które przetrwały do naszych czasów, wskazują na umiejętność [[rozumowanie indukcyjne|rozumowania indukcyjnego]], to znaczy konstruowania reguł na podstawie obserwacji. Grecy używali [[logika|logiki]] do wyprowadzania wniosków z [[definicja|definicji]] i [[aksjomat]]ów<ref>Martin Bernal, ''Animadversions on the Origins of Western Science'', s. 72–83 w Michael H. Shank, red., ''The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages'' (Chicago: Univ. of Chicago Pr.) 2000, na temat [[Dowód (matematyka)|dowodów matematycznych]], zob. s. 75.</ref>.

Uważa się, że podwaliny matematyki greckiej położyli [[Tales z Miletu]] (ok. 624 p.n.e. – ok. 546 p.n.e.) i [[Pitagoras]] (ok. 582 p.n.e. – ok. 507 p.n.e.). Jakkolwiek rozmiar wpływu jest dyskusyjny, byli oni zapewne zainspirowani ideami egipskimi, babilońskimi i prawdopodobnie indyjskimi. Zgodnie z legendą Pitagoras podróżował do Egiptu, aby uczyć się matematyki, geometrii i astronomii od kapłanów egipskich.

Tales używał geometrii, aby rozwiązywać problemy takie jak obliczanie wysokości [[piramida|piramid]] lub odległości statków od brzegu. Pitagorasowi przypisywany jest pierwszy dowód [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia]] nazwanego jego imieniem, choć sformułowanie tego twierdzenia jest dużo starsze<ref name="Eves" />. W swoich [[komentarz (gatunek literacki)|komentarzach]] do [[Euklides]]a [[Prokul]] twierdził jednak, że Pitagoras sformułował swoje twierdzenie i skonstruował [[trójki pitagorejskie]]. [[Akademia (starożytność)|Akademia Platońska]] miała motto: ''Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii''.

[[Pitagorejczycy]] odkryli istnienie [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]]. [[Eudoksos z Knidos]] (408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) wymyślił [[metoda wyczerpywania|metodę wyczerpywania]], pierwowzór [[całkowanie numeryczne|całkowania numerycznego]]. [[Arystoteles]] (384 p.n.e. – ok. 322 p.n.e.) jako pierwszy opisał prawa [[logika|logiki]]. [[Euklides]] (ok. 300 p.n.e.) jako pierwszy użył schematu, do dziś popularnego w pracach matematycznych: definicja, aksjomat, twierdzenie, dowód. Badał także [[krzywa stożkowa|krzywe stożkowe]]. Jego dzieło, ''[[Elementy]]'', jest jednym z najważniejszych tekstów naukowych w historii<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Eves |imię=Howard |tytuł=An Introduction to the History of Mathematics |wydawca=Saunders |rok=1990 |isbn=0-03-029558-0 |strony=141 |cytat=No work, except The Bible, has been more widely used...}}</ref>. Oprócz podsumowania ówczesnej wiedzy geometrycznej ''Elementy'' zawierają także [[Pierwiastek kwadratowy z 2#Dowód niewymierności|dowód niewymierności pierwiastka z dwóch]] i [[Dowód (matematyka)|dowód]], że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Do znajdowania liczb pierwszych używane było [[sito Eratostenesa]] (ok. 230 p.n.e.).

Jednym z największych greckich matematyków był [[Archimedes]] (287–212 p.n.e.) z [[Syrakuzy|Syrakuz]]. Według [[Plutarch]]a zginął, gdy rozważając pewien problem geometryczny, ośmielił się zwrócić uwagę rzymskiemu żołnierzowi, który przeszedł po wykreślonych na piasku [[figura geometryczna|figurach]].

== Chiny (ok. 500 p.n.e. – 1300 n.e.) ==
[[Plik:九章算術.gif|mały|''Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki'']]
[[Plik:Zhang Heng.jpg|mały|[[Zhang Heng]] (78–139)]]

Pomimo incydentu palenia ksiąg, [[dynastia Han]] (202 p.n.e. – 220 n.e.) tworzyła później dzieła matematyczne, opierające się na zaginionych pracach. Najważniejszym z nich było ''[[Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki]]'', dokonana ok. 179 kompilacja prac, z których część istniała wcześniej pod innymi tytułami. Dzieło składało się z 246 opisanych słownie problemów, dotyczących rolnictwa, handlu, zastosowania geometrii do obliczania proporcji [[Pagoda|chińskich pagod]], budowy wież, inżynierii, [[pomiar geodezyjny|pomiarów geodezyjnych]], i opisywało m.in. rozwiązywanie [[trójkąt prostokątny|trójkątów prostokątnych]] i obliczanie [[pi|liczby π]]. Wykorzystywało także [[zasada Cavalieriego|zasadę Cavalieriego]] ponad tysiąc lat przed odkryciem jej przez Cavalierego na Zachodzie. Dzieło zawiera również dowód [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]] i wzór na [[Metoda eliminacji Gaussa|eliminację Gaussa]]. Praca była komentowana przez [[Liu Hui]] w III wieku n.e.

Dodatkowo matematyczne prace [[Zhang Heng]] (78–139), astronoma i wynalazcy z epoki Han, także zawierały obliczenie liczby π, różniące się jednak metodą od wyniku Liu Hui. Zhang Heng używał wzoru na π do obliczania objętości [[kula|kuli]].

Powstała także praca matematyka i [[teoria muzyki|teoretyka muzyki]] [[Jing Fang]] (78–37 p.n.e.). Używając [[komat pitagorejski|komatu pitagorejskiego]], Jing zauważył, że 53 [[kwinta (interwał)|kwinty]] odpowiadają w przybliżeniu 31 [[oktawa (interwał)|oktawom]]. Doprowadziło to później do odkrycia [[system równomiernie temperowany|skali temperowanej]], i zostało precyzyjnie wyprowadzone dopiero w XVII wieku przez [[Nicholas Mercator|Nicholasa Mercatora]].

Chińczycy stworzyli złożone [[kombinatoryka|kombinatoryczne]] diagramy zwane [[kwadrat magiczny (matematyka)|kwadratami magicznymi]] i [[koło magiczne|kołami magicznymi]], opisane w czasach starożytnych, a następnie dopracowane przez [[Yang Hui]] (1238–1398).

[[Zu Chongzhi]] (V wiek, okres [[Dynastie Południowe i Północne|Dynastii Południowych i Północnych]]) obliczył wartość π z dokładnością do siedmiu miejsc dziesiętnych, co pozostało przez prawie tysiąc lat najlepszym oszacowaniem tej liczby.

W tysiąc lat po upadku [[dynastia Han|dynastii Han]], w okresie [[dynastia Tang|dynastii Tang]] i [[dynastia Song|Song]], chińska matematyka świetnie prosperowała, podczas gdy europejska nie istniała. Dokonania Chińczyków, dużo później ponownie odkryte na Zachodzie, obejmowały [[Znak liczby|liczby ujemne]], [[dwumian Newtona]], [[macierz]]e, metody rozwiązywania [[układ równań liniowych|układów równań liniowych]], [[chińskie twierdzenie o resztach]], [[trójkąt Pascala]], i [[Proporcja (arytmetyka)#Reguła trzech|regułę trzech]]. Oprócz Zu Chongzhi istotny wkład do chińskiej matematyki tego okresu wnieśli m.in. [[Yi Xing]], [[Shen Kuo]], [[Qin Jiushao]], i [[Zhu Shijie]]. Uczony Shen Kuo stosował m.in. [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunek różniczkowy]], [[trygonometria|trygonometrię]], [[metrologia|metrologię]], [[permutacja|permutacje]], obliczył także konieczny rozmiar wolnej przestrzeni niezbędny do rozwinięcia określonych formacji bitewnych, oraz najdłuższą możliwą kampanię militarną przy określonych zasobach żywności.

Nawet gdy europejska nauka rozkwitła w dobie [[renesans]]u, chińska i europejska matematyka pozostawały odrębnymi tradycjami, przy czym postępy Chińczyków były coraz wolniejsze. Wzajemne odkrycie tych dwóch kultur naukowych nastąpiło za sprawą [[jezuici|jezuickich]] [[misjonarz]]y, takich jak [[Matteo Ricci]], którzy przenosili idee matematyczne w obydwie strony w okresie od XVI do XVIII wieku.

== Klasyczna matematyka indyjska (ok. 400–1600) ==
[[Plik:2064 aryabhata-crp.jpg|mały|[[Arjabhata|Aryabhata]]]]
W tekście ''[[Surjasiddhanta|Surja Siddhanta]]'' (ok. 400) podano [[funkcje trygonometryczne]]: sinus, cosinus i cosecans, wyprowadzono też wzory na pozycję [[Ciało niebieskie|ciał niebieskich]]. Kosmiczne cykle opisane w tekście, skopiowane z wcześniejszych prac, odpowiadają średniemu [[rok gwiazdowy|roku gwiazdowemu]] równemu 365,2563627 dni, co stanowi oszacowanie tylko o 1,4 sekundy większe od przyjmowanej dziś wartości 365,25636305 dni. Ta praca została przetłumaczona w [[średniowiecze|średniowieczu]] na [[język arabski|arabski]] i [[łacina|łacinę]].

[[Arjabhata|Aryabhata]] w 499 wprowadził funkcję trygonometryczną [[funkcje trygonometryczne|sinus versus]] <math>(1-\cos x),</math> stworzył pierwsze [[tablice trygonometryczne]] sinusów, rozwinął [[algebra|algebrę]], wielkości [[nieskończenie małe]], [[równanie różnicowe|równania różnicowe]] i uzyskiwał rozwiązania [[równanie liniowe|równań liniowych]] w [[liczby całkowite|liczbach całkowitych]], używając metody zbliżonej do dzisiejszej, dokonywał także obliczeń astronomicznych opartych na [[Heliocentryzm|systemie heliocentrycznym]]. Arabskie tłumaczenie jego ''Aryabhatiya'' było dostępne od VIII wieku, a tłumaczenie łacińskie od XIII wieku. Oszacował on także wartość liczby π jako 3,1416. [[Madhawa z Sangamagramy]] później w XIV wieku obliczył π z dokładnością do 11 miejsc po przecinku: 3,14159265359.

W VII wieku [[Brahmagupta]] sformułował [[twierdzenie Brahmagupty]], [[tożsamość Brahmagupty]] oraz [[Wzór Herona#Wzór Brahmagupty|wzór Brahmagupty]], i po raz pierwszy w historii w ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brahma-sphuta-siddhanta]]'', jasno wytłumaczył użycie zera, jako [[cyfra|cyfry]] dziesiętnej, objaśnił też [[cyfry arabskie]]. To z tłumaczenia tego tekstu (około 770 roku) arabscy matematycy przyjęli ideę [[system liczbowy|systemu liczbowego]], który później został zaadaptowany jako cyfry arabskie. Arabowie zanieśli ten system do Europy w XII wieku, a obecnie jest powszechnie używany na całym świecie. W X wieku komentarze [[Halayudha|Halayudhy]] do pracy [[Pingala|Pingali]] zawierały studium [[ciąg Fibonacciego|ciągu Fibonacciego]] i [[trójkąt Pascala|trójkąta Pascala]], opisywały też podstawy rachunku [[macierz]]y.

W XII wieku [[Bhaskaraćarja|Bhaskara]] pierwszy rozważał [[rachunek różnicowy]], a także ideę [[Pochodna funkcji|pochodnej funkcji]]. Sformułował też [[twierdzenie Rolle’a]] (szczególny przypadek [[twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)|twierdzenia Lagrange’a]]), badał [[równanie Pella]], i pochodną funkcji sinus. W XIV wieku oraz później [[Madhawa z Sangamagramy]] i inni matematycy ze szkoły [[Kerala]] rozwinęli jego idee. Stworzyli koncepcje [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]], [[liczba zmiennoprzecinkowa|liczby zmiennoprzecinkowej]], a także fundamentalne idee [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowego]], włącznie z twierdzeniem Lagrange’a, [[Całka|całkowaniem]] wyraz po wyrazie, związkiem pomiędzy polem powierzchni pod [[wykres funkcji|wykresem funkcji]] a [[funkcja pierwotna|funkcją pierwotną]] ([[podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]]), [[kryterium całkowe|kryterium całkowym]], oraz [[iteracja|iteracyjne]] metody rozwiązywania [[równanie nieliniowe|równań nieliniowych]], [[szereg (matematyka)|szeregi nieskończone]], [[szereg potęgowy|szeregi potęgowe]], [[Wzór Taylora|szereg Taylora]] i [[szereg trygonometryczny|szeregi trygonometryczne]]. W XVI wieku [[Jyeshtadeva]] zebrał wiele osiągnięć i twierdzeń Szkoły Kerala w ''Yuktibhasa'', pierwszym w historii opracowaniu [[rachunek różnicowy|rachunku różnicowego]], w którym wprowadził także idee [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku całkowego]]. Postęp matematyczny w Indiach został skutecznie zahamowany w końcu XVI wieku w związku z zawieruchami politycznymi.

== Matematyka arabska i islamska (ok. 800–1500) ==
[[Plik:1983 CPA 5426.jpg|mały|[[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi]]]]
W [[Kalifat|Kalifacie]], utworzonym na terenach [[Bliski Wschód|Bliskiego Wschodu]], [[Azja Środkowa|Azji Środkowej]], [[Afryka Północna|Północnej Afryki]], [[Półwysep Iberyjski|Półwyspu Iberyjskiego]] i części [[Półwysep Indyjski|Półwyspu Indyjskiego]] w VIII wieku, dokonano znaczących postępów w dziedzinie matematyki.

Chociaż większość matematycznych tekstów świata islamskiego było napisanych po [[język arabski|arabsku]], jednak nie wszystkie były pisane przez [[Arabowie|Arabów]], wielu ważnych islamskich matematyków było [[Persowie|Persami]]. Arabski wówczas służył jako wspólny język pisany uczonych islamskich, tak jak w świecie hellenistycznym [[język grecki|grecki]], w średniowieczu [[łacina]] a obecnie [[język angielski]].

[[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi]], [[Historia Iranu|perski]] nadworny matematyk i astronom [[kalif]]a z [[Bagdad]]u napisał w IX wieku kilka ważnych dzieł o indyjskim systemie liczbowym (zwanym potem [[cyfry arabskie|cyframi arabskimi]]) i metodach rozwiązywania [[Równanie|równań]]. Jego dzieło ''O rachowaniu cyframi indyjskimi'', napisane około 825, wraz z pracą arabskiego matematyka [[Al-Kindi]], pozwoliło rozprzestrzenić się matematyce indyjskiej oraz [[cyfry arabskie|cyfrom arabskim]] w Europie. Słowo ''[[algorytm]]'' pochodzi od łacińskiej formy jego imienia, Algoritmi, a słowo ''[[algebra]]'' od tytułu jednej z jego prac, ''[[Al-Jabr wa-al-Muqabilah|Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala]]'' (''[[Kompendium o liczeniu przez uzupełnienie i wyrównywanie]]''). Al-Chuwarizmi jest nazywany „ojcem algebry”, ze względu na spisanie starożytnych metod algebraicznych, jak i jego własny wkład w tę dziedzinę<ref>{{Cytuj stronę | url = http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm | tytuł = The History of Algebra | opublikowany = ucs.louisiana.edu | archiwum = https://web.archive.org/web/20141009100628/http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm | zarchiwizowano = 2014-10-09}} {{lang|en}}; [[Uniwersytet Stanu Luizjana|Louisiana State University]].</ref>. Kolejne postępy w algebrze uczynił [[Abu Bakr al-Karaji]] (953–1029) w swoim traktacie ''al-Fakhri'', gdzie rozszerzył metodologię, włączając do niej [[Liczby całkowite|całkowite]] [[Potęgowanie|potęgi]] i całkowite [[Pierwiastkowanie|pierwiastki]] [[niewiadoma|niewiadomych]]. W X wieku [[Abu al-Wafa]] przetłumaczył prace [[Diofantos]]a na arabski i wprowadził funkcję [[funkcje trygonometryczne|tangens]].

Pierwszy znany [[Dowód (matematyka)|dowód]] z użyciem [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] pojawił się w dziele autorstwa [[Al-Karaji]] ok. roku 1000 n.e., gdzie została ona zastosowana do [[dwumian Newtona|dwumianu Newtona]], [[trójkąt Pascala|trójkąta Pascala]], i sumy [[potęgowanie|sześcianów]] początkowych liczb naturalnych<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Katz |imię=Victor J. |tytuł=History of Mathematics: An Introduction |rok=1998 |strony=255–259 |wydawca=[[Addison-Wesley]] |isbn=0321016181}}</ref>. [[Ibn al-Hajsam]] był pierwszym matematykiem, który wyprowadził wzór na sumę czwartych potęg, a następnie używając indukcji, podał metodę uogólnienia tego wzoru na sumę dowolnych potęg naturalnych, co miało fundamentalne znaczenie dla rozwoju [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku całkowego]]<ref>{{cytuj pismo |nazwisko=Katz |imię=Victor J. |tytuł=Ideas of Calculus in Islam and India |czasopismo=Mathematics Magazine |rok=1995 |oznaczenie=68 (3) |strony=163–174}}</ref>.

[[Omar Chajjam]], dwunastowieczny poeta, ale także matematyk, napisał ''Dyskusje trudności u Euklidesa'', krytyczną rozprawę na temat ''[[Elementy|Elementów]]'' Euklidesa ze szczególnym uwzględnieniem [[Postulat Euklidesa|postulatu równoległości]], kładąc w ten sposób podwaliny [[geometria analityczna|geometrii analitycznej]] i [[geometria nieeuklidesowa|nieeuklidesowej]]. Jako pierwszy znalazł też ogólne geometryczne rozwiązanie [[Równanie sześcienne|równań trzeciego stopnia]]. Miał również wpływ na reformę [[kalendarz irański|kalendarza]]. Perski matematyk [[Nasir ad-Din Tusi|Nasir al-Din Tusi]] (Nasireddin) w XIII wieku rozwijał [[geometria sferyczna|geometrię sferyczną]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Syed |imię=M.H. |tytuł=Islam and Science |rok=2005 |wydawca=Anmol Publications PVT. LTD. |isbn=8-1261-1345-6 |strony=71}}</ref>. On również napisał wpływową pracę na temat postulatu równoległości Euklidesa. W XV wieku [[Ghijas ad-Din Kaszi]] obliczył wartość [[pi|liczby π]] z dokładnością do 16 miejsc dziesiętnych. Kaszi znał też algorytm obliczania pierwiastków dowolnego stopnia, będący szczególnym przypadkiem metod podanych wiele stuleci później przez [[Paolo Ruffini|Ruffiniego]] i [[William George Horner|Hornera]]. Innymi ważnymi islamskimi matematykami byli [[al-Samawal]], [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]], [[Thabit ibn Qurra]], [[Abu Kamil]] i [[Abu Sahl al-Kuhi]].

Kolejnymi osiągnięciami islamskiej matematyki tego okresu było dodanie [[separator dziesiętny|separatora dziesiętnego]] do [[cyfry arabskie|cyfr arabskich]], wprowadzenie wszystkich używanych dzisiaj [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], wprowadzenie przez [[al-Kindi]] elementów [[kryptologia|kryptoanalizy]] (w tym [[atak statystyczny|ataku statystycznego]]), rozwój [[geometria analityczna|geometrii analitycznej]], pierwszy ogólny wzór rachunku całkowego autorstwa [[Ibn al-Hajsam]], zapoczątkowanie [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]] przez [[Omar Chajjam|Omara Chajjam]], pierwsze próby odrzucenia [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] i [[Postulat Euklidesa|postulatu równoległości]] przez [[Nasir ad-Din Tusi]], rozwój [[geometria nieeuklidesowa|geometrii nieeuklidesowej]] przez [[Sadr al-Din]], i wiele innych osiągnięć w algebrze, [[arytmetyka|arytmetyce]], [[Kryptologia|kryptografii]], [[geometria|geometrii]], [[teoria liczb|teorii liczb]] i [[trygonometria|trygonometrii]].

W czasach [[Imperium Osmańskie]]go (od XV wieku) rozwój islamskiej matematyki uległ stagnacji, podobnie jak wcześniej rozwój matematyki greckiej po podbiciu Greków przez Rzymian.

John J. O’Connor i Edmund F. Robertson napisali w ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]'':

{{Cytat
 |treść = Najnowsze badania rzuciły nowe światło na dług, jaki mamy wobec islamskich matematyków. Z pewnością wiele idei, które uważano za błyskotliwe koncepcje Europejczyków XVI, XVII i XVIII stulecia, obecnie okazuje się ponownym odkryciem koncepcji znanych arabskim/islamskim matematykom cztery stulecia wcześniej. Pod wieloma względami dzisiejsza matematyka jest bliższa stylem matematyce islamskiej niż osiągnięciom starożytnej Grecji.
 |styl = środek
}}

== Średniowieczna matematyka europejska (ok. 500–1400) ==
Zainteresowanie matematyką w średniowiecznej Europie miało inne przyczyny niż dziś. Wierzono, że matematyka dostarcza klucza do zrozumienia porządku Stworzenia, zgodnie z [[Platon|platońskim]] dialogiem ''[[Timajos (dialog)|Timajos]]'' i biblijnym wersetem głoszącym, iż [[Bóg]] „wszystko urządził według miary i liczby, i wagi<ref>Tłumaczenie według [[Biblia Tysiąclecia|Biblii Tysiąclecia]]: http://biblia.deon.pl/rozdzial.php?id=205.</ref>” ([[Księga Mądrości|Mdr]] 11:20).

=== Wczesne średniowiecze (ok. 500–1100) ===
[[Anicius Manlius Severinus Boethius|Boethius]] znalazł miejsce dla matematyki wśród [[Sztuki wyzwolone|siedmiu sztuk wyzwolonych]], gdzie tzw. [[Sztuki wyzwolone#Quadrivium|quadrivium]] obejmowało [[arytmetyka|arytmetykę]], [[geometria|geometrię]], [[astronomia|astronomię]] i [[muzyka|muzykę]]. Napisał też ''De institutione arithmetica'', wolne tłumaczenie ''Wprowadzenia do arytmetyki'' Greka [[Nikomachos z Gerazy|Nikomachosa]], ''De institutione musica'', także wyprowadzone z dzieł greckich, oraz serię fragmentów ''Elementów'' Euklidesa. Jego prace były raczej teoretyczne niż praktyczne i stanowiły bazę dla badań matematycznych aż do odkrycia oryginalnych dzieł Greków i Arabów<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Caldwell |imię=John |tytuł=De Institutione Arithmetica and De Institutione Musica |rok=1981 |strony=135–154}} w {{cytuj książkę |nazwisko=Gibson |imię=Margaret |tytuł=Boethius: His Life, Thought, and Influence |inni=red. |miejsce=Oxford |wydawca=Basil Blackwell}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor=Folkerts |autor2=Menso |tytuł=„Boethius” Geometrie II |miejsce=Wiesbaden |wydawca=Franz Steiner Verlag |rok=1970}}</ref>.

=== Odnowienie matematyki europejskiej (1100–1400) ===
W XII wieku europejscy szkolarze podróżowali do [[Hiszpania|Hiszpanii]] i na [[Sycylia|Sycylię]] poszukując naukowych tekstów arabskich. Wśród nich były:
* dzieło [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi|al-Chuwarizmiego]] ''[[Kompendium o liczeniu przez uzupełnienie i wyrównywanie|al-Jabr wa-al-Muqabilah]]'' przetłumaczone na łacinę przez [[Robert z Chester|Roberta z Chester]];
* kompletny tekst ''Elementów'' Euklidesa, przetłumaczony w wielu wersjach przez [[Adelard z Bath|Adelarda z Bath]], [[Herman z Karyntii]], i [[Gerard z Cremony]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=d’Alverny |imię=Marie-Thérèse |tytuł=Translations and Translators |strony=421–462}} w {{cytuj książkę |nazwisko=Benson |imię=Robert L. |nazwisko2=Constable |imię2=Giles |tytuł=Renaissance and Renewal in the Twelfth Century |miejsce=Cambridge |wydawca=Harvard Univ. Pr. |rok=1982}}</ref><ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Beaujouan |imię=Guy |tytuł=The Transformation of the Quadrivium |strony=463–487}} w {{cytuj książkę |nazwisko=Benson |imię=Robert L. |nazwisko2=Constable |imię2=Giles |tytuł=Renaissance and Renewal in the Twelfth Century |miejsce=Cambridge |wydawca=Harvard Univ. Pr. |rok=1982}}</ref>.

Nowe źródła zapoczątkowały odnowę w matematyce. [[Fibonacci]], pisząc ''[[Liber abaci|Liber Abaci]]'' (1202, rozszerzona w 1254), dokonał pierwszych znaczących postępów matematyki europejskiej od wcześniejszych o ponad tysiąc lat czasów [[Eratostenes]]a. Praca wprowadziła do Europy [[cyfry arabskie]] i omawiała wiele innych problemów matematycznych.<!-- Needs to spell out what Fibonacci did, not just praise it. --> Czternaste stulecie przyniosło rozwój nowych idei w wielu dziedzinach matematyki<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Grant |imię=Edward |nazwisko2=Murdoch |imię2=John E. |tytuł=Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages |rok=1987 |miejsce=Cambridge |wydawca=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-32260-X}}</ref>.

[[Fibonacci]] używał do oznaczania [[Pierwiastkowanie|pierwiastka]] symbolu przypominającego literę [[R]]. Znak pierwiastka, którego dziś używamy, pochodzi dopiero z XVI wieku. Po raz pierwszy zaczął go używać niemiecki matematyk [[Christoff Rudolff]].

Jednym z istotnych problemów, które stymulowały rozwój matematyki w średniowieczu, była analiza [[ruch (fizyka)|ruchu]] ciała pod wpływem siły.

[[Thomas Bradwardine]] twierdził, że [[prędkość]] (v) rośnie liniowo, gdy stosunek [[siła|siły]] do [[Opór aero(hydro)dynamiczny|oporu]] rośnie wykładniczo. Bradwardine wyraził to w formie serii przykładów, a [[logarytm]] nie był jeszcze wymyślony. Dzisiaj jego (błędny) wniosek zapisalibyśmy:
: <math>v = \log \frac{F}{R}.</math>

Analiza Bradwardine’a, choć doprowadziła (jak wiemy dzisiaj) do błędnej konkluzji, jest przykładem użycia techniki, którą [[al-Kindi]] i [[Arnold de Villanova]] stosowali do zupełnie innego problemu fizycznego<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Murdoch |imię=John E. |tytuł=Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology |rok=1969 |strony=215–254}} według ''Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge'' (Montréal: Institut d’Études Médiévales), s. 224–227.</ref>.

Jeden z czternastowiecznych tzw. [[Rachmistrzowie Oksfordzcy|Rachmistrzów Oksfordzkich]], [[William Heytesbury]], z braku [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowego]] i koncepcji [[granica funkcji|granicy]], zaproponował określenie prędkości chwilowej jako drogi, którą przebyłoby ciało, gdyby dalej poruszało się [[ruch jednostajny|ruchem jednostajnym]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Clagett |imię=Marshall |tytuł=The Science of Mechanics in the Middle Ages |rok=1961 |miejsce=Madison |wydawca=Univ. of Wisconsin Pr. |strony=210, 214–15, 236}}</ref>.

Heytesbury i inni obliczyli odległość pokonaną przez ciało poruszające się [[ruch jednostajnie przyspieszony|ruchem jednostajnie przyspieszonym]] (co dziś rozwiązuje się przez [[Całka|całkowanie]]), zauważając, że „ciało poruszające się, jednostajnie zwiększając lub zmniejszając swą prędkość, pokona w ciągu określonego czasu odległość dokładnie równą tej, którą pokonałoby, poruszając się w tym samym czasie ze stałą średnią prędkością”<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Clagett |imię=Marshall |tytuł=The Science of Mechanics in the Middle Ages |rok=1961 |miejsce=Madison |wydawca=Univ. of Wisconsin Pr. |strony=284}}</ref>.

[[Mikołaj z Oresme|Nicole Oresme]] z [[Uniwersytet Paryski|Uniwersytetu Paryskiego]] i Włoch [[Giovanni di Casali]] niezależnie przedstawili graficzną demonstrację tej zależności, prawidłowo zakładając, że powierzchnia pod wykresem prędkości reprezentuje całkowitą drogę<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Clagett |imię=Marshall |tytuł=The Science of Mechanics in the Middle Ages |rok=1961 |miejsce=Madison |wydawca=Univ. of Wisconsin Pr. |strony=332–345, 382–391}}</ref>. W późniejszym matematycznym komentarzu do Euklidesa Oresme zauważył, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała w kolejnych chwilach czasowych można opisać kolejnymi [[parzystość liczb|liczbami nieparzystymi]], a ponieważ już Euklides udowodnił, że suma <math>n</math> początkowych liczb nieparzystych wynosi <math>n^2,</math> więc całkowita droga pokonana przez ciało rośnie z kwadratem czasu<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Oresme |imię=Nicole |tytuł=Questions on the ''Geometry'' of Euclid |strony=560–565, Q. 14}} za {{cytuj książkę |nazwisko=Clagett |imię=Marshall |tytuł=Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions |inni=red. |miejsce=Madison |wydawca=Univ. of Wisconsin Pr. |rok=1968}}</ref>.

== XV i XVI wiek ==
W Europie w początkach [[renesans]]u matematyka ciągle ograniczona była przez [[Rzymski system zapisywania liczb|rzymski system liczbowy]] i użycie nieścisłego i przydługiego języka zamiast krótkich i ścisłych wzorów. Nie było znaku [[Plus i minus|plus]], [[Plus i minus|minus]] czy <math>x</math> na oznaczenie [[niewiadoma|niewiadomej]].

Powszechne używane symbole [[Działanie algebraiczne|działań matematycznych]], takie jak „+” i „−” pojawiły się w matematyce w XV wieku. Po raz pierwszy zaczęto używać ich w [[handel|handlu]]. Matematycy przyjęli je od handlarzy, aby tymi znakami zastąpić używane wcześniej litery „p” i „m” dla oznaczenia dodawania i odejmowania.

W opublikowanej w 1489 roku książce [[Johannes Widman]] po raz pierwszy używał znaków „+” i „−” do oznaczania działań matematycznych. Widman nie używał jednak tych symboli systematycznie, znaku „+” używał czasem jako symbolu dodawania, a czasem ogólnie w zdaniu zamiast litery „i”. Systematycznie znaków „+” i „−” do oznaczania dodawania i odejmowania zaczęto używać w XVI wieku.

Symbol mnożenia „×” wymyślił angielski matematyk [[William Oughtred]] na przełomie XVI i XVII wieku.

W 1557 roku [[Robert Recorde]] wprowadził symbol „=” jako [[znak równości]].

W XVI wieku europejska matematyka poczyniła postępy bez precedensu w historii świata. [[Scipione del Ferro]] znalazł ok. 1510 ogólne rozwiązanie [[równanie sześcienne|równania sześciennego]]. Po raz pierwszy jego wynik opublikował jednak [[Johannes Petreius]] w [[Norymberga|Norymberdze]] w ''Ars magna'' [[Girolamo Cardano|Gerolama Cardana]], wraz z rozwiązaniem równania czwartego stopnia ucznia Cardana, [[Lodovico Ferrari|Lodovica Ferrariego]].

Od tej chwili badania matematyczne nabrały rozpędu, stymulując i będąc stymulowane przez potrzeby [[nauki przyrodnicze|nauk przyrodniczych]]. Dodatkowo rozwój był wspomagany przez wynalazek [[druk]]u. Pierwszą wydrukowaną książką matematyczną była [[Theoricae nova planetarum]] [[Austria]]ka [[Georg von Peurbach|Georga von Peurbacha]] (1472), a drugą wydana w 1478 książka o [[arytmetyka|arytmetyce]] w handlu [[Larte de labbacho]]. W 1482 [[Erhard Ratdolt]] wydrukował ''Elementy'' Euklidesa.

Napędzana potrzebami [[nawigacja|nawigacji]] i [[kartografia|kartografii]], [[trygonometria]] stała się prężną gałęzią matematyki. [[Bartłomiej Pitiscus|Bartholomaeus Pitiscus]] w 1595 użył tego słowa jako pierwszy, w tytule swego dzieła ''Trygonometrii''. Tablice sinusów i cosinusów [[Regiomontanus]]a zostały opublikowane w 1533<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Grattan-Guinness |imię = Ivor |tytuł = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences |rok = 1997 |wydawca = W.W. Norton |isbn =0-393-32030-8}}</ref>.

Pod koniec wieku, dzięki m.in. Regiomontanusowi (1436–1476) i [[François Viète]] (1540–1603), matematyka używała cyfr arabskich i [[zapis matematyczny|zapisu]] w formie bliskiej dzisiejszej notacji.

== XVII wiek ==
XVII wiek przyniósł niespotykaną eksplozję myśli naukowej w całej Europie. Włoch [[Galileusz]] zaobserwował [[satelita|satelity]] [[Jowisz]]a, używając [[teleskop]]u bazującego na zabawce importowanej z [[Holandia|Holandii]]. [[Dania|Duńczyk]] [[Tycho Brahe]] zebrał imponujący materiał obserwacji pozycji [[planeta|planet]] na niebie. Jego uczeń, [[Niemcy|Niemiec]] [[Johannes Kepler|Jan Kepler]], na ich podstawie stworzył matematyczną teorię ruchu planet ([[prawa Keplera]]).

[[Szkocja|Szkot]] [[John Napier]] (1550–1617) wprowadził do matematyki [[ułamek dziesiętny|ułamki dziesiętne]], dopracowane później przez [[Simon Stevin|Simona Stevina]]. Za pomocą tych ułamków i koncepcji antycypujących [[granica ciągu|granicę ciągu]], Napier badał także stałą, którą później Euler nazwał [[podstawa logarytmu naturalnego|liczbą e]]. Napier odkrył [[logarytm naturalny]].

[[Geometria analityczna]], zapoczątkowana przez [[René Descartes|Kartezjusza]] (1596–1650), [[Francja|francuskiego]] matematyka i filozofa, wprowadziła rewolucyjne pojęcie [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskiego układu współrzędnych]].

Dzięki pracom wcześniejszych badaczy [[Anglia|Anglik]] [[Isaac Newton]] odkrył [[zasady dynamiki Newtona|podstawowe zasady dynamiki]], wyprowadził z nich prawa Keplera i stworzył przy tej okazji podstawy teorii, którą dziś znamy jako [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunek różniczkowy]]. Niezależnie od niego, [[Niemcy|Niemiec]] [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], stworzył rachunek różniczkowy wraz z zapisem stosowanym do dziś.

Nauka (w tym matematyka) stała się przedsięwzięciem międzynarodowym, które ostatecznie ogarnęło cały cywilizowany świat<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Eves |imię=Howard |tytuł=An Introduction to the History of Mathematics |wydawca=Saunders |rok=1990 |isbn=0-03-029558-0 |strony=379 |cytat=...the concepts of calculus...(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated.}}</ref>.

Zaczęły też powstawać nowe dziedziny matematyki. [[Pierre de Fermat]] i [[Blaise Pascal]] stworzyli podstawy [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] i [[kombinatoryka|kombinatoryki]], początkowo stosując je do [[hazard|gier hazardowych]].

Szwajcarski matematyk [[Johann Rahn]] w roku 1659 jako pierwszy zaczął używać znaku „÷” do oznaczania dzielenia. Uproszczona forma tego znaku to po prostu „:”.

== XVIII wiek ==
[[Plik:Leonhard Euler.jpg|mały|[[Leonhard Euler]] pędzla [[Emanuel Handmann|Emanuela Handmanna]]]]

[[Leonhard Euler]] (1707–1783) dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak [[rachunek różniczkowy i całkowy]] i [[teoria grafów]]. Wniósł duży wkład do terminologii i notacji matematycznej obowiązujących do dzisiaj, szczególnie w dziedzinie [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]]. Na przykład jako pierwszy w historii użył pojęcia i oznaczenia [[Funkcja|funkcji]]<ref name="function">{{cytuj książkę |nazwisko=Dunham |imię= William |tytuł= Euler: The Master of Us All |rok= 1999 |wydawca=The Mathematical Association of America |strony=17}}</ref>. Znany jest z prac w dziedzinach [[mechanika|mechaniki]], [[optyka|optyki]] i [[astronomia|astronomii]].

Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i co więcej – jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane [[Pierre Simon de Laplace|Laplace’owi]] zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:
{{Cytat
 |treść = Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich<ref name="Laplace">{{cytuj książkę |nazwisko = Dunham |imię = William |tytuł = Euler: The Master of Us All |rok = 1999 |wydawca =The Mathematical Association of America |strony = xiii |cytat=Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.}}</ref>.
 |styl = środek
 |szerokość = 50%
}}
Uczony ten należy do grona najbardziej twórczych – jego dzieła zapełniłyby 60–80 tomów [[quarto (ujednoznacznienie)|kwarto]]<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko=Finkel |imię=B.F. |tytuł= Biography- Leonard Euler |czasopismo= The American Mathematical Monthly |oznaczenie=1897 |wolumin=4 |strony= 300}}</ref>.

Euler stworzył też tzw. [[wzór Eulera#Tożsamość Eulera|wzór Eulera]] uważany niekiedy<ref>Sondaż wśród czytelników ''Mathematical Intelligence'', Nahin, 2006, s. 2–3 (sondaż opublikowany w numerze z lata 1990).</ref> za najpiękniejszą formułę matematyczną, łączącą pięć najważniejszych matematycznych stałych:
: <math>e^{i \pi} +1 = 0</math>

W czasach oświecenia utworzono też pierwszą nagrodę naukową: [[Medal Copleya]], przyznawany między innymi matematykom.

== XIX wiek ==
[[Plik:noneuclid.png|mały|400px|Zachowanie [[prosta|prostych]] równoległych w każdym z trzech typów [[geometria absolutna|geometrii absolutnej]]]]
W XIX stuleciu matematyka stawała się coraz bardziej abstrakcyjna. Jednym z najważniejszych przedstawicieli tego okresu był [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855). Pomijając jego wkład w inne dziedziny nauki, jego prace wniosły rewolucyjne idee do teorii [[funkcja zespolona|funkcji zmiennych zespolonych]], [[geometria|geometrii]], zbieżności [[szereg (matematyka)|szeregów]]. Dał pierwsze poprawne dowody [[Zasadnicze twierdzenie algebry|podstawowego twierdzenia algebry]] i [[prawo wzajemności reszt kwadratowych|prawa wzajemności reszt kwadratowych]]. Położył podwaliny pod późniejszy rozwój [[statystyka|statystyki]].

W XIX wieku rozwijano dwie formy [[geometria nieeuklidesowa|geometrii nieeuklidesowej]], w których [[Postulat Euklidesa|postulat równoległości]] nie zachodzi.

[[Rosja|Rosyjski]] matematyk [[Nikołaj Łobaczewski]] i jego rywal, [[Węgry|węgierski]] matematyk [[János Bolyai|Janos Bolyai]], niezależnie odkryli [[geometria hiperboliczna|geometrię hiperboliczną]]. W tej geometrii do każdej prostej istnieje nieskończona liczba równoległych przechodzących przez ten sam punkt, a suma [[kąt wewnętrzny|kątów wewnętrznych]] w trójkącie jest zawsze mniejsza od 180°. [[Geometria eliptyczna]] została odkryta później w XIX wieku przez [[Niemcy|niemieckiego]] matematyka [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]]. Nie ma w niej prostych równoległych, a suma kątów wewnętrznych jest większa od 180°. Szczególnym jej przypadkiem jest [[geometria sferyczna|geometria powierzchni kuli]], rozwijana na potrzeby żeglarzy i astronomów już w starożytności. Riemann uogólnił też wszystkie trzy rodzaje geometrii (eliptyczną, hiperboliczną i euklidesową) w jedną [[Rozmaitość riemannowska|przestrzeń Riemanna]] i zdefiniował [[rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], która uogólniła pojęcia [[krzywa|krzywej]] i [[powierzchnia|powierzchni]].

Także w XIX wieku [[William Rowan Hamilton]] wprowadził [[algebra nieprzemienna|algebrę nieprzemienną]], w tym uogólnienie [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] – [[kwaterniony]].

Oprócz otwarcia nowych dziedzin rozwoju matematyki, istniejące gałęzie uzyskały mocniejsze podstawy logiczne, szczególnie [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunek różniczkowy]], dzięki [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy’emu]] i [[Karl Weierstrass|Weierstrassowi]].

[[Wielka Brytania|Brytyjski]] matematyk [[George Boole]] stworzył nowy rodzaj algebry, zwany [[Algebra Boole’a|algebrą Boole’a]]. System ten zunifikował [[rachunek zdań]] oraz [[Algebra zbiorów (nauka)|algebrę zbiorów]]. Dziś jest podstawą pracy komputerów.

Po raz pierwszy matematyka poznała granice własnych możliwości. [[Norwegia|Norweg]] [[Niels Henrik Abel]], i [[Francja|Francuz]] [[Évariste Galois]], udowodnili, że nie ma ogólnej metody algebraicznej rozwiązywania równań stopnia większego niż 4. Pozwoliło to przy okazji innym dziewiętnastowiecznym matematykom udowodnić, że [[linijka]] i [[cyrkiel]] nie są wystarczające do przeprowadzenia dokładnego:
* podziału kąta na trzy równe części ([[trysekcja kąta]]),
* konstrukcji boku sześcianu o dwa razy większej objętości ([[podwojenie sześcianu]])
* konstrukcji kwadratu o powierzchni takiej, jak dane koło ([[kwadratura koła]])
W ten sposób rozstrzygnięto trzy największe matematyczne problemy starożytności.

Badania Abela i Galois pozwoliły na dalszy rozwój [[teoria grup|teorii grup]] i zbliżonych działów [[Algebra ogólna|algebry abstrakcyjnej]]. W XX wieku fizycy i chemicy uznali teorię grup za idealną metodę badania [[Symetria figury|symetrii]].

W 1874 roku [[Georg Cantor]] (1845–1919) stworzył podstawy [[teoria mnogości|teorii mnogości]], która stała się wspólnym językiem różnych gałęzi matematyki.

W XIX wieku powstały także pierwsze towarzystwa matematyczne [[London Mathematical Society]] w 1865, [[Société Mathématique de France]] w 1872, [[Edinburgh Mathematical Society]] w 1883, [[Circolo Mathematico di Palermo]] w 1884, i [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne]] w 1888.

Przed XX wiekiem na całym świecie w tym samym czasie żyło tylko kilku kreatywnych matematyków. Trudno było się utrzymać z tej profesji, więc matematycy albo byli bogaci z urodzenia, jak Napier, albo wspomagani przez bogatych patronów, jak Gauss. Kilku udawało się nędznie wyżyć, nauczając na uniwersytecie (np. Fourier). [[Niels Henrik Abel]], po utracie stanowiska zmarł w biedzie z niedożywienia i [[gruźlica człowieka|gruźlicy]] w wieku 26 lat.

== XX wiek ==
[[Plik:FourColorMapEx.png|mały|Mapa ilustrująca [[Twierdzenie o czterech barwach|zagadnienie czterech barw]]]]

W 1900 [[David Hilbert]] zaprezentował listę [[Problemy Hilberta|23 nierozwiązanych problemów matematyki]] na [[Międzynarodowy Kongres Matematyków|Międzynarodowym Kongresie Matematyków]]. Problemy te, z wielu odległych dziedzin, nadały kierunek większości działów dwudziestowiecznej matematyki. Dziś dziesięć z nich zostało rozwiązanych, siedem rozwiązanych częściowo, dwa są ciągle otwarte. Pozostałe cztery były sformułowane zbyt ogólnie, aby jednoznacznie ocenić, czy są rozwiązane.

Początkowo teoria mnogości Cantora nie była dostatecznie ściśle sformalizowana. [[Bertrand Russell]] (1872–1970) odkrył jednak, że zbyt szerokie ich rozumienie prowadzi do wewnętrznej sprzeczności w podstawach matematyki ([[antynomia Russella]]). Po okresie kryzysu w matematyce powstały ścisłe aksjomatyczne definicje teorii mnogości, nieprowadzące już do sprzeczności.

W drugim dziesięcioleciu XX wieku [[Srinivasa Ramanujan|Srinivasa Aiyangar Ramanujan]] (1887–1920) stworzył ponad 3000 twierdzeń, dotyczących takich dziedzin, jak właściwości [[liczby wysoce złożone|liczb wysoce złożonych]] (''highly composite numbers''), <!--[[partition function (number theory)|partition function]] i ich [[asymptota|asymptoty]],--> czy [[funkcja theta Ramanujana]]. Dokonał także przełomów i odkryć w dziedzinie [[Funkcja Γ|funkcji gamma]], [[forma modularna|form modularnych]], [[zbieżność szeregu|zbieżności szeregów]], [[szereg hipergeometryczny|szeregów hipergeometrycznych]] i teorii [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]].

W 1931 [[Kurt Gödel]] opublikował dwa swoje [[twierdzenia o niezupełności]], które pokazały granice logiki matematycznej. Zakończyły one marzenie Davida Hilberta o kompletnym i spójnym systemie matematycznym. Okazało się, że jeśli [[struktura matematyczna|taki system]] obejmuje arytmetykę i ma skończoną liczbę aksjomatów, to zawsze da się w nim pokazać [[twierdzenie prawdziwe]], które nie daje się wyprowadzić z tych aksjomatów.

W 1964 [[Paul Cohen]] dzięki nowatorskiej metodzie [[forsing]]u udowodnił [[niezależność (logika)|niezależność]] [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] od [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|standardowych aksjomatów teorii mnogości]].

[[Wolfgang Haken]] i [[Kenneth Appel]] wykorzystali komputer do udowodnienia [[twierdzenie o czterech barwach|twierdzenia o czterech barwach]] w 1976. [[Andrew Wiles]], przepracowawszy samotnie wiele lat w swoim gabinecie, udowodnił [[wielkie twierdzenie Fermata]] w 1995. Współpraca matematyków osiągnęła skalę niespotykaną wcześniej. [[Klasyfikacja skończonych grup prostych]] (zwana też twierdzeniem olbrzymim, ang. ''enormous theorem'') zajmuje dziesięć tysięcy stron rozrzuconych po 500 artykułach w różnych pismach naukowych, głównie z lat 1955–1983, autorstwa ponad 100 osób.

Nowe gałęzie matematyki, między innymi [[logika matematyczna]], [[topologia]], [[Złożoność obliczeniowa|teoria złożoności]] i [[teoria gier]], poszerzyły zakres pytań, na które można znaleźć odpowiedź metodami matematycznymi.

Grupa francuskich matematyków próbowała zebrać całość matematyki w spójny ścisły system, publikując pod pseudonimem [[Nicolas Bourbaki]]. Ich praca miała, obok niewątpliwych walorów naukowych, także kontrowersyjny wpływ na [[nauczanie matematyki]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Mashaal |imię=Maurice |tytuł=Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians |wydawca=American Mathematical Society |rok=2006 |id={{ISBN |0-8218-3967-5}}, {{ISBN |978-0821839676}}}}</ref>.

W XX wieku odkryto także obiekty zwane [[fraktal]]ami, które wykazują własność [[samopodobieństwo|samopodobieństwa]]: cały fraktal jest często [[Podobieństwo|podobny]] do swojej części. Okazało się, że [[geometria fraktalna]] pozwala często lepiej opisać złożoność kształtów spotykanych w przyrodzie, takich jak skały, czy rośliny, od geometrii klasycznej. Fraktale pozwalają tworzyć realistyczne krajobrazy, które można z dowolną dokładnością powiększać.

XX wiek to także początki [[Medal Fieldsa|Medalu Fieldsa]], innych nagród i stowarzyszeń jak [[Polskie Towarzystwo Matematyczne]].

== XXI wiek ==
Jednym z ważniejszych wydarzeń w matematyce w XXI wieku było rozwiązanie trzeciego z [[Problemy milenijne|problemów milenijnych]] – potwierdzenie [[Hipoteza Poincarégo|hipotezy Poincarégo]]. Dokonał tego w roku 2003<ref>[http://www.rp.pl/artykul/450751-Tajemniczy-geniusz-z-Petersburga-.html Tajemniczy geniusz z Petersburga – Rzeczpospolita].</ref> [[Grigorij Perelman]].

W trzecim tysiącleciu zaczęto też przyznawać [[Nagroda Abela|Nagrodę Abela]], która przez swoje podobieństwo do [[Nagroda Nobla|Nagrody Nobla]] stała się bardziej prestiżowa od najzacniejszego wcześniej Medalu Fieldsa{{fakt|data=2023-01}}.

== Zobacz też ==
* [[Trygonometria#Historia|historia funkcji trygonometrycznych]]
* [[historia liczb]]
* [[historia nauki]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Aaboe |imię=Asger |tytuł=Episodes from the Early History of Mathematics |rok=1964 |wydawca=Random House |miejsce=Nowy Jork}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Boyer |imię=C.B. |tytuł=A History of Mathematics |wydanie=2 |miejsce=New York |wydawca=Wiley |rok=1989 |isbn=0-471-09763-2}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Eves |imię=Howard |tytuł=An Introduction to the History of Mathematics |wydawca=Saunders |rok=1990 |isbn=0-03-029558-0}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Hoffman |imię=Paul |tytuł=The Man Who Loved Only Numbers: The Story of [[Paul Erdős]] and the Search for Mathematical Truth |miejsce=Nowy Jork |wydawca=Hyperion |rok=1998 |isbn=0-7868-6362-5}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Grattan-Guinness |imię=Ivor |tytuł=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences |wydawca=The Johns Hopkins University Press |rok=2003 |isbn=0-8018-7397-5}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=van der Waerden |imię=B.L. |tytuł=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations |wydawca=Springer |rok=1983 |isbn=0-3871-2159-5}}
* O’Connor, John J. i Robertson, Edmund F. [[MacTutor History of Mathematics archive]].
* {{cytuj książkę |nazwisko= Stigler |imię= Stephen M. |autor link= Stephen Stigler |tytuł= The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 |rok= 1990 |wydawca= Belknap Press |isbn=0-674-40341-X}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Bell |imię= E.T. |tytuł= Men of Mathematics |wydawca= Simon and Schuster |rok= 1937}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Gillings |imię= Richard J. |tytuł= Mathematics in the time of the pharaohs |wydawca= M.I.T. Press |miejsce= Cambridge, MA |rok= 1972}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Heath |imię= Sir Thomas |tytuł= A History of Greek Mathematics |wydawca= Dover |rok= 1981 |isbn=0-486-24073-8}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Menninger |imię= Karl W. |tytuł= Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers |rok= 1969 |wydawca= MIT Press |isbn=0-262-13040-8}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Burton |imię=David M. |tytuł=The History of Mathematics: An Introduction |wydawca=McGraw Hill |rok=1997}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Katz |imię=Victor J. |tytuł=A History of Mathematics: An Introduction |wydanie=2 |wydawca=[[Addison-Wesley]] |rok=1998}}
* Kline, Morris. ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times''.

Z polskojęzycznej literatury tematu można wymienić:
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kordos |imię=Marek |autor link = Marek Kordos |tytuł=Wykłady z historii matematyki |wydawca=SCRIPT |miejsce=Warszawa |rok=2006 |isbn=83-89716-09-7}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Więsław |imię=Witold |autor link=Witold Więsław |tytuł=Matematyka i jej historia |wydawca=Wydawnictwo NOWIK |miejsce=Opole |rok=1997 |isbn=83-905456-7-5}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2024/09/kilka-problemow-z-matematyki-starozytnych-chin/ | autor = Krzysztof R. Apt | tytuł = Kilka problemów z matematyki starożytnych Chin | data = wrzesień 2024 | data dostępu = 2024-09-03 }}
* {{otwarty dostęp}} [[Zdzisław Pogoda]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=lqfO-B_zGik Bliżej Nauki: Prawdy i mity w historii matematyki]'', kanał [[Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego|FAIS UJ]] na [[YouTube]], 12 stycznia 2017 [dostęp 2023-02-18].
* [http://hint.org.pl/itd=matem Polskie piśmiennictwo matematyczne dostępne w Sieci] (Katalog HINT)
* {{SEP |url = geometry-19th/ |autor = Roberto Toretti |tytuł = Nineteenth Century Geometry |data = 2016-10-20 |data dostępu = 2018-01-03 | tytuł polski = (Geometria XIX wieku) }}

{{Historia nauki}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Historia matematyki| ]]

[[as:গণিত#গণিতৰ ইতিহাস]]