Tekst źródłowy strony Harmoniki sferyczne

{{dopracować|źródła=2019-11}}
[[Plik:Harmoniki.png|mały|Rys. 1. Przykładowe harmoniki sferyczne dla <math>l=0\dots3</math> oraz <math>m = -l\dots l.</math> Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.]]
[[Plik:Rotating spherical harmonics.gif|mały|Rys. 2. Części rzeczywiste harmonik sferycznych <math>Y_\ell^m</math> dla <math>\ell = 0,\dots, 4</math> (od góry do dołu) i <math>m = 0,\dots, \ell</math> (z lewej do prawej).]]

'''Harmoniki sferyczne''', '''funkcje sferyczne'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3974410 | tytuł = funkcje sferyczne | data dostępu = 2023-08-30}}</ref> – [[Funkcja zespolona|funkcje zespolone]] dwóch zmiennych [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]], zaliczane do [[Funkcje specjalne|funkcji specjalnych]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3903287 | tytuł = funkcje specjalne | data dostępu = 2023-08-30}}</ref>. Definiuje się je jako rozwiązania [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równania różniczkowego Laplace’a]] zapisanego w [[Układ współrzędnych sferycznych|układzie współrzędnych sferycznych]]:
:: <math>\left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + \lambda \right] f(\theta, \phi) = 0,</math>

gdzie:
: <math>\theta \in(0, \pi),</math>
: <math>\phi\in(0,2\pi),</math>
: <math>\lambda</math> – parametr równania,

przy czym wartość współrzędnej radialnej <math>r</math> współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje [[operator Laplace’a]] do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr <math>\lambda</math> musi przyjmować wartości dyskretne takie że <math>\lambda=l(l+1),</math> gdzie <math>l=0,1,2,\dots</math>

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy <math>\lambda</math> jest stałą separacji tej metody.

Przez funkcje sferyczne definiuje się '''funkcje kuliste'''<ref name="epwn" />, inaczej '''harmoniki kuliste'''{{fakt|data=2023-08}}, również zaliczane do funkcji specjalnych<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3928846 | tytuł = funkcje kuliste | data dostępu = 2023-08-30}}</ref>.

== Harmoniki sferyczne ==
Jeżeli parametr <math>\lambda</math> przyjmuje dyskretne wartości, <math>\lambda=l(l+1),</math> gdzie <math>l=0,1,2,\dots,</math> to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami <math>Y^m_l(\theta, \phi),</math> przy czym indeks <math>m</math> przyjmuje wartości całkowite oraz

'''(1)''' dla <math>m\geqslant0{:}</math>
:: <math>Y^m_l(\theta, \phi) = (-1)^m \cdot C^m_l\cdot e^{im\phi} \cdot P^m_l(\cos\theta),</math>

gdzie:
: <math>l=0,1,2,\dots</math> – [[liczby naturalne]],
: <math>m=0,1,\dots,l</math> – liczby nie większe niż <math>l,</math>
: <math>P^m_l</math> – [[stowarzyszone funkcje Legendre’a]],
: <math>i</math> – [[jednostka urojona]],
: <math>C^m_l= \left[ \frac{(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}\right]^{1/2}</math> – stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny;

'''(2)''' dla <math>m\leqslant 0{:}</math>
:: <math>Y^m_l(\theta, \phi) = (-1)^m\cdot Y^{*(-m)}_l(\theta, \phi),</math>

gdzie:
: <math>l=0,1,2,\dots,</math>
: <math>m=0,-1,\dots,-l</math> – liczby nie mniejsze niż <math>-l,</math>
: <math>Y^{*(-m)}_l(\theta, \phi)</math> – [[sprzężenie zespolone]] funkcji <math>Y^{-m}_l(\theta, \phi)</math> zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje <math>Y^m_l(\theta, \phi)</math> nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby <math>l</math> jest w sumie <math>2l+1</math> [[Liniowa niezależność|liniowo niezależnych]] rozwiązań postaci <math>Y^m_l(\theta, \phi),</math> gdzie <math>m\in (-l, -l+1,\dots, l).</math>

== Własności harmonik sferycznych ==
[[Ortonormalność]]:
: <math>\int\limits_\Omega d\Omega\, \, Y_l^m(\theta, \phi) \cdot Y_{l'}^{m'\!*} (\theta, \phi) = \int\limits_0^{2 \pi} d\phi\int\limits_0^\pi d\theta \, \sin\theta \cdot Y_l^m(\theta,\phi) \cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta, \phi) = \delta_{ll'}\delta^{mm'},</math>

tj. harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb <math>l, l'</math> lub <math>m, m'</math> są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że <math>\theta \in(0, \pi)</math> oraz <math>\phi\in(0,2\pi).</math>

== Przykłady harmonik sferycznych ==
Poniższa tabela zawiera w '''danej kolumnie''' <math>2l+1=1,3,5,7</math> harmonik <math>Y^m_l(\theta, \phi)</math> odpowiadających danej wartości <math>l</math>
{| class="wikitable"
|+ Kilka pierwszych harmonik sferycznych
|<math>Y_l^m</math>
! l = 0
! l = 1
! l = 2
! l = 3
|-
! m = -3
|
|
|
|<math>\sqrt\tfrac{35}{64 \pi} \sin^3{\theta}\,e^{-3i \phi}</math>
|-
! m = −2
|
|
|<math>\sqrt\tfrac{15}{32 \pi} \sin^2{\theta} \, e^{-2i \phi}</math>
|<math>\sqrt\tfrac{105}{32\pi} \sin^2{\theta}\cos{\theta}\,e^{-2i \phi}</math>
|-
! m = −1
|
|<math>\sqrt\tfrac{3}{8 \pi} \sin{\theta} \, e^{-i \phi}</math>
|<math>\sqrt\tfrac{15}{8 \pi} \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{-i \phi}</math>
|<math>\sqrt\tfrac{21}{64 \pi} \sin{\theta}\left( 5 \cos^2{\theta} - 1\right)\,e^{-i \phi}</math>
|-
! m = 0
|<math>\sqrt\tfrac{1}{4 \pi}</math>
|<math>\sqrt\tfrac{3}{4 \pi} \cos{\theta}</math>
|<math>\sqrt\tfrac{5}{16 \pi} \left( 3 \cos^2{\theta} - 1 \right)</math>
|<math>\sqrt\tfrac{7}{16 \pi} \left( 5 \cos^3{\theta} - 3 \cos{\theta}\right)</math>
|-
! m = 1
|
|<math>-\sqrt\tfrac{3}{8 \pi} \sin{\theta} \, e^{i \phi}</math>
|<math>-\sqrt\tfrac{15}{8 \pi} \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{i \phi}</math>
|<math>-\sqrt\tfrac{21}{64\pi} \sin{\theta}\left( 5 \cos^2{\theta} - 1\right)\,e^{i \phi}</math>
|-
! m = 2
|
|
|<math>\sqrt\tfrac{15}{32 \pi} \sin^2{\theta} \, e^{2i \phi}</math>
|<math>\sqrt\tfrac{105}{32 \pi} \sin^2{\theta}\cos{\theta}\,e^{2i \phi}</math>
|-
! m = 3
|
|
|
|<math>-\sqrt\tfrac{35}{64 \pi} \sin^3{\theta}\,e^{3i \phi}</math>
|}

== Wykresy harmonik ==
Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych <math>\theta \in(0, \pi)</math> oraz <math>\phi\in(0,2\pi).</math> Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rys. 1.

== Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a ==
Ogólne rozwiązanie <math>f(\theta, \phi)</math> równania Laplace’a można wyrazić za pomocą [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] dwóch lub większej liczby funkcji <math>Y^m_l(\theta, \phi)</math> o różnych wartościach parametrów <math>l,m.</math> Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie [[Zagadnienie Cauchy’ego|warunki początkowe]] lub brzegowe.

== Równanie Laplace’a w mechanice kwantowej ==
=== W równaniu Schrödingera ===
Równanie Laplace’a pojawia się w [[Mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. Np. przy rozwiązywaniu [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) [[operator Hamiltona]] ma postać
: <math>\hat H (\vec r, t)= -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta+V(\vec r),</math>

gdzie <math>m</math> – masa elektronu, <math>\Delta</math> – [[operator Laplace’a]] trzech zmiennych, opisujących położenie <math>\vec r</math> elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną [[Energia potencjalna|energii potencjalnej]] <math>V(\vec r)</math> elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem
: <math>V(\vec r)\propto \frac{e^2}{r},</math>

gdzie <math>e</math> – wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne <math>r, \phi</math> oraz <math>\theta</math> w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej <math>r</math> od zmiennych kątowych <math>\phi, \theta</math> otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace’a zmiennych <math>\phi, \theta.</math> Rozwiązania tego równania stanowią część [[Funkcja falowa|funkcji falowej]] elektronu, zwanej [[orbital]]em; jej kwadrat przedstawia [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|gęstość prawdopodobieństwa]] znalezienia elektronu w atomie.

=== W równaniu własnym operatora momentu pędu ===
Równanie Laplace’a pojawia się także w postaci [[Moment pędu#W mechanice kwantowej|operatora kwadrat momentu pędu]], '''odpowiadającego operatorowi Hamiltona''' swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.
: <math>\hat L^2= -\hbar^2 \Delta</math>

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych
: <math>\hat L^2= -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right].</math>

Z rozwiązania [[Równanie własne|równania własnego]] tego operatora
: <math>\hat L^2\psi(\theta,\psi)=L^2 \psi(\theta,\phi)</math>

otrzymuje się jako '''funkcje własne''' harmoniki sferyczne
: <math>\psi(\phi, \theta)\propto{Y_l^m(\theta ,\phi)}</math>

oraz '''wartości własne'''
: <math>L^2=\hbar^2\, l(l+1),</math>

które są dyskretne, gdyż <math>l=0,1,2,\dots</math> Oznacza to, że także wartości moment pędu <math>L</math> są dyskretne (skwantowane), bo <math>L=\hbar\sqrt{l(l+1)}.</math>

Danej wartości <math>L</math> momentu pędu odpowiada <math>2l+1</math> różnych funkcji własnych <math>Y_l^m(\theta ,\phi),</math> <math>m=0,-1,\dots,-l</math> operatora <math>\hat L</math> mających różne wartości liczby <math>m.</math> [[Wektory i wartości własne|Wartości własne]] operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb <math>m,</math> a tej samej liczbie <math>l.</math> W takiej sytuacji mówi się, że [[Poziom energetyczny|poziomy energetyczne]] swobodnego atomu są '''zdegenerowane'''.

=== Magnetyczna liczba kwantowa m ===
Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym [[Pole magnetyczne|polu magnetycznym]] – obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu ([[Efekt Zeemana|zjawisko Zeemana]]). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb <math>l</math> oraz <math>m</math> odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby <math>m</math> implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę <math>m</math> nazywa się '''magnetyczną liczbą kwantową'''. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

== Zobacz też ==
* [[funkcje sferyczne]] w innym znaczeniu
* [[harmonika (matematyka)|harmonika]]
* [[stowarzyszone funkcje Legendre’a]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = SphericalHarmonic | tytuł = Spherical Harmonic}} [dostęp 2023-08-30].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Spherical_harmonics Spherical harmonics]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].

{{Funkcje specjalne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje specjalne]]