Tekst źródłowy strony Grupoid

'''Grupoid''', rzadziej '''magma''' – [[zbiór]] <math>G</math> z określonym na nim dowolnym [[działanie dwuargumentowe|działaniem dwuargumentowym]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3908315 | tytuł = grupoid | data dostępu = 2021-10-08 }}</ref>, czyli pewną [[Funkcja|funkcją]]
: <math>\cdot\colon G \times G \to G</math><ref>{{cytuj książkę |autor=A. H. Clifford |autor2=G. B. Preston |autor link= |tytuł=The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie) |wydawca=Nauka |miejsce=Moskwa|strony=15 |wydanie=1 |rok=1972}}</ref>.

Zazwyczaj zamiast <math>\cdot(x,y)</math> stosuje się notację multiplikatywną <math>x \cdot y</math> lub po prostu <math>xy,</math> rzadziej notację addytywną <math>x + y.</math> Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest [[przemienność|przemienne]].

Grupoid jest [[algebra ogólna|algebrą]] <math>\mathcal A,</math> której [[Algebra ogólna|sygnatura]] składa się z jednej operacji 2-arnej.

== Podgrupoidy i zbiory generujące ==
Niepusty podzbiór <math>P</math> grupoidu <math>G</math> nazywany jest '''podgrupoidem''' grupoidu <math>G,</math> jeśli z <math>a \in P</math> i <math>b \in P</math> wynika, że
: <math>ab \in P.</math>

Jeśli <math>A</math> jest podzbiorem grupoidu <math>G,</math> to część wspólna wszystkich podgrupoidów <math>G</math> zawierających <math>A</math> jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu <math>G</math> zawierającym zbiór <math>A;</math> grupoid ten nazywany jest podgrupoidem grupoidu <math>G</math> generowanym przez <math>A</math> i oznaczany czasem przez symbol <math>\langle A\rangle.</math> Na przykład w grupoidzie [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>\mathbb{N}</math> z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem [[Parzystość liczb|liczb parzystych]]. W grupoidzie liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid [[Potęgowanie|potęg]] liczby 2 o [[Potęgowanie|wykładnikach całkowitych nieujemnych]].

W grupoidzie liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> z działaniem dodawania zbiorem generującym <math>\mathbb{N}</math> jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> z działaniem mnożenia zbiorem generującym <math>\mathbb{N}</math> jest zbiór [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]]. Wynika to z [[Podstawowe twierdzenie arytmetyki|podstawowego twierdzenia arytmetyki]].

== Rząd grupoidu ==
Jeśli <math>G</math> jest grupoidem, to [[Moc zbioru|moc]] <math>|G|</math> zbioru <math>G</math> nazywamy jego '''rzędem'''. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą [[Tablica Cayleya|tablicy Cayleya]]. Grupoid <math>\mathbb{Z}_4</math> reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo <math>\mathbb{Z}_4</math> = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

== Elementy neutralne grupoidu ==
W grupoidzie <math>G</math> element <math>e</math> (<math>f</math>) nazywamy '''lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym''', jeśli dla każdego <math>x \in G</math> spełniona jest równość <math>ex = x</math> (<math>xf = x</math>). Jeśli grupoid <math>G</math> zawiera zarówno lewostronny element neutralny <math>e,</math> jak i prawostronny element neutralny <math>f,</math> to <math>e = f,</math> bo <math>e = ef = f.</math> Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:
# grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
# grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
# grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
# grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

== Ideały grupoidu ==
Jeśli <math>A</math> i <math>B</math> są podzbiorami grupoidu <math>G,</math> to ich iloczynem <math>AB</math> nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci <math>ab,</math> gdzie <math>a \in A, b \in B.</math> Jeśli <math>A = \{a\} (B = \{b\}),</math> to iloczyn <math>AB</math> zapisujemy <math>aB</math> (odpowiednio <math>Ab</math>).

'''Lewym (prawym) ideałem''' grupoidu <math>G</math> nazywamy taki niepusty podzbiór <math>A</math> zbioru <math>G,</math> że <math>GA \subseteq G</math> <math>(AG \subseteq G).</math> '''Ideałem dwustronnym''', albo po prostu '''ideałem grupoidu''' <math>G</math> nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> z działaniem mnożenia ideałami są [[suma zbiorów|sumy mnogościowe]] zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid <math>G</math> nazywamy '''grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym)''', jeśli <math>G</math> jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy '''grupoidem pierwszym''', jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli <math>A</math> jest niepustym podzbiorem grupoidu <math>G,</math> to [[część wspólna]] wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających <math>A</math> nazywamy '''ideałem''' (odp. lewym, prawym lub obustronnym) '''generowanym''' przez <math>A.</math>

== Homomorfizm grupoidów ==
Odwzorowanie <math>\varphi\colon G \to H,</math> gdzie <math>(G, \circ)</math> i <math>(H, \cdot)</math> są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:
: <math>\varphi (a \circ b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b)</math>
Jeśli homomorfizm grupoidów jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym]], to jest nazywany '''izomorfizmem'''.

== Przykłady ==
* [[grupa (matematyka)|grupa]]
* [[półgrupa]]
* [[monoid]],
* [[quasi-grupa]]
* zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] z działaniem potęgowania, tzn. <math>(\mathbb{N},^\wedge),</math> gdzie <math>^\wedge(a,b)=a^b</math>
* zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania
* zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |autor=A.H. Clifford |autor2=G.B. Preston |autor link= |tytuł=The algebraic theory of semigroups |wydawca = [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]] |strony= |wydanie= |rok=1964}}
* {{cytuj książkę |autor=A.G. Kurosz |autor link= |tytuł=Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.) |url= |wydawca=Nauka |strony= |wydanie=2 |rok=1973 |isbn= |data dostępu=}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Groupoid | tytuł = Groupoid }} [dostęp 2024-03-07].
* {{MathWorld | adres = Magma | tytuł = Magma }} [dostęp 2024-03-07].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Magma Magma]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].

{{Struktury algebraiczne}}
{{Działania dwuargumentowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebra niełączna]]
[[Kategoria:Struktury z jednym działaniem]]