Tekst źródłowy strony Granica ciągu

[[Plik:Archimedes pi.svg|mały|Sekwencja określona przez obwody boków foremnych figur, ma granicę równą obwodowi okręgu, tj. <math>2 \pi r.</math> Odpowiednia sekwencja dla wielokątów opisanych na okręgu ma taką samą granicę.]]

'''Granica ciągu''' – wartość, w której dowolnym [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczeniu]] znajdują się ''prawie wszystkie'' (tzn. wszystkie poza co najwyżej skończenie wieloma) wyrazy danego [[ciąg (matematyka)|ciągu]]. Inaczej – wartość, ''dowolnie blisko'' której leżą wszystkie wyrazy ciągu o ''dostatecznie dużych'' wskaźnikach.

<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
<div style="width:240px; font-family:arial; font-size:12px; font-weight:bold; background:#fff;">
{| class="wikitable" style="width:100%;"
|-
!''n'' !! ''n''&nbsp;sin(1/''n'')
|-
|1 || 0,841471
|-
|2 || 0,958851
|-
|colspan="2"| ...
|-
|10 || 0,998334
|-
|colspan="2"| ...
|-
|100 || 0,999983
|}
</div>
<div class="thumbcaption">
Dodatnia liczba całkowita <math>n</math> staje się coraz większa, wartość <math>n\cdot \sin\big(\tfrac{1}{n}\big)</math> staje się coraz bliższa <math>1.</math> Mówimy, że granica ciągu <math>n\cdot \sin\big(\tfrac{1}{n}\big)</math> jest równa <math>1.</math>
</div>
</div>
</div>

== Granica (właściwa) i zbieżność ==
[[Plik:Converging Sequence example.svg|mały|Wykres ciągu zbieżnego <math>a_n</math> w kolorze niebieskim. Widzimy, że gdy <math>n</math> wzrasta, wartości ciągu zbliżają się do granicy 0.]]

Niech <math>(a_n)</math> będzie [[zbiór skończony|nieskończonym]] [[ciąg (matematyka)|ciągiem]] liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[liczby zespolone|zespolonych]]. Liczbę <math>g</math> nazywa się '''granicą''' ciągu <math>(a_n),</math> jeżeli<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3907546 | tytuł = granica | data dostępu = 2021-09-30}}</ref>:
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n - g| < \varepsilon,</math>

gdzie symbol <math>|\cdot|</math> oznacza [[wartość bezwzględna|wartość bezwzględną liczby rzeczywistej]], bądź [[Wartość bezwzględna#Liczby zespolone|moduł liczby zespolonej]].

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy <math>a_n</math> leżą w [[koło|kole]] <math>K(g, \varepsilon),</math> z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w [[przedział (matematyka)|przedziale]] <math>(g - \varepsilon,\ g + \varepsilon),</math> który jest odpowiednikiem koła dla [[Oś liczbowa|osi liczbowej]].

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:
: dla dowolnej dodatniej liczby <math>\varepsilon</math> istnieje taki wskaźnik <math>N,</math> że dla wszystkich wskaźników <math>n</math> większych od <math>N</math> wyrazy <math>a_n</math> leżą w [[koło|kole]] o środku <math>g</math> i promieniu <math>\varepsilon.</math>

Granicę ciągu <math>(a_n)</math> oznacza się <math>\lim\limits_{n \to \infty} a_n</math> i czyta się: „limes <math>a\;n</math> przy <math>n</math> dążącym do nieskończoności” lub po prostu <math>\lim a_n</math> i czyta się: „limes <math>a \;n</math>”, a fakt, że <math>g</math> jest granicą ciągu <math>(a_n),</math> niekiedy oznacza się <math>a_n \xrightarrow{n \to \infty} g</math> lub <math>a_n \to g</math> i czyta się: „ciąg <math>a_n</math> ''dąży do'' <math>g</math>” lub „ciąg <math>a_n</math> ''jest zbieżny do'' <math>g</math>” (można dodać: „przy <math>n</math> dążącym do nieskończoności”).

Ciągi mające granice nazywa się '''zbieżnymi''', a pozostałe – '''rozbieżnymi'''. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie ''[[Granice dolna i górna|granicy górnej i dolnej]]'', czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego [[Podciąg (matematyka)|podciągów]] zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie ''[[punkt skupienia zbioru|punktu skupienia]]''. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od ''granicy niewłaściwej'' opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się '''granicą właściwą'''.

== Granice niewłaściwe ==
{{Główny artykuł|Granica niewłaściwa funkcji}}

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie ''granicy niewłaściwej''. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do [[nieskończoność|nieskończoności]].

; Liczby rzeczywiste
{{zobacz też|rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych}}
Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego <math>N</math> są większe od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ciąg ma ''granicę niewłaściwą'' w <math>+\infty,</math> bądź że jest ''rozbieżny'' do <math>+\infty.</math>

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w <math>-\infty,</math> lub że jest '''rozbieżny''' do <math>-\infty.</math>

Formalnie można to zapisać tak:
: ciąg <math>(a_n)</math> o wyrazach rzeczywistych ma
:* '''granicę niewłaściwą w <math>+\infty</math>''', jeżeli <math>\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n > M,</math>
:* '''granicę niewłaściwą w <math>-\infty</math>''', jeżeli <math>\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n < M.</math>

; Liczby zespolone
{{zobacz też|sfera Riemanna|o1=rozszerzony zbiór liczb zespolonych}}
Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego <math>N</math> są większe co do modułu od dowolnej z góry wybranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma ''granicę niewłaściwą'' w <math>\infty,</math> bądź że jest ''rozbieżny'' do <math>\infty.</math>

Formalnie:
: ciąg <math>(a_n)</math> o wyrazach zespolonych ma
:* '''granicę niewłaściwą w <math>\infty</math>''', jeżeli <math>\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n| > M.</math> Tutaj <math>|a_n|</math> oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć w następujący sposób:
: ciąg <math>(a_n)</math> ma granicę niewłaściwą, jeśli ''dla dowolnie dużego koła o środku w <math>0</math> ''prawie wszystkie'' wyrazy ciągu <math>a_n</math> leżą na zewnątrz tego koła''.

Wprowadzoną powyżej definicję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zmian zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej <math>|a_n|</math> wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. W praktyce jednak tej definicji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

== Przykłady ==
<gallery mode="packed">
Plik:Folgenglieder im KOSY.svg|Wykres ciągu, którego wyrazy dążą do granicy <math>a.</math>
Plik:Epsilonschlauch.svg|Niezależnie od wyboru <math>\varepsilon > 0,</math> istnieje taki indeks <math>N_0,</math> począwszy od którego wyrazy ciągu leżą wyłącznie w przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon).</math>
Plik:Epsilonschlauch klein.svg|Wybierając mniejszy <math>\varepsilon_1 > 0</math> można wskazać niemniejszy od <math>N_0</math> indeks <math>N_1,</math> a wszystkie wyrazy ciągu o indeksach większych od niego znajdować się będą wewnątrz przedziału <math>(a - \varepsilon_1, a + \epsilon_1).</math>
Plik:Epsilonschlauch2.svg|Dla każdego <math>\varepsilon > 0</math> jest tylko skończona liczba wyrazów ciągu poza przedziałem o szerokości <math>2\varepsilon</math> o środku w punkcie <math>a.</math>
</gallery>

* Granicą ciągu <math>(1, 2, 5, 13)</math> jest liczba <math>13.</math> W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
* Granicą ciągu <math>a_n = \tfrac{1}{n}</math> jest <math>0.</math>
*: Dla dowolnego <math>\varepsilon</math> wystarczy za <math>N</math> wziąć dowolną [[Liczby naturalne|liczbę naturalną]] większą od <math>\tfrac{1}{\varepsilon}.</math><ref group="uwaga">Można tu skorzystać z [[aksjomat Archimedesa|aksjomatu Archimedesa]].</ref> Wówczas dla dowolnego wskaźnika <math>n > N</math> otrzymuje się <math>n > \tfrac{1}{\varepsilon},</math> czyli <math>\tfrac{1}{n} < \varepsilon.</math>
*: Przykładowo dla <math>\varepsilon = \tfrac{1}{1000}</math> wszystkie wyrazy ciągu <math>a_{1001},\, a_{1002},\, a_{1003},\, \dots</math> oddalone są od zera o nie więcej niż <math>\tfrac{1}{1000}.</math>
* Granicą ciągu <math>b_n = \tfrac{n}{n+1}</math> jest <math>1.</math>
*: Dla dowolnego <math>\varepsilon</math> wystarczy za <math>N</math> wziąć dowolną liczbę naturalną większą od <math>\tfrac{1}{\varepsilon} - 1.</math> Wtedy dla dowolnego indeksu <math>n > N</math> zachodzi <math>n > \tfrac{1}{\varepsilon} - 1,</math> czyli <math>\tfrac{1}{n+1} < \varepsilon,</math> skąd <math>\tfrac{n}{n+1} > 1 - \varepsilon.</math>
*: Przykładowo dla <math>\varepsilon = \tfrac{1}{1000}</math> wszystkie wyrazy ciągu <math>a_{1000},\, a_{1001},\, a_{1002},\, \dots</math> są oddalone od jedynki nie więcej niż o <math>\tfrac{1}{1000}.</math>
* Ciąg <math>a_n = n</math> jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą <math>+\infty.</math>
* Ciąg <math>a_n = n(-1)^n</math> jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej <math>+\infty</math> ani <math>-\infty,</math> ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą <math>\infty</math> (w sensie definicji dla ciągów zespolonych); podciąg <math>a_{2n}</math> jest zbieżny do <math>+\infty,</math> natomiast podciąg <math>a_{2n-1}</math> jest zbieżny do <math>-\infty.</math>
* Ciągi <math>a_n = (-1)^n</math> oraz <math>b_n = (-1)^n + \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}</math> są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio <math>-1</math> oraz <math>1;</math> w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
* Ciąg <math>a_n = \{n\pi\},</math> gdzie <math>\{\cdot\}</math> oznacza [[podłoga i sufit|część ułamkową]] liczby, ma granicę dolną <math>0</math> i górną <math>1,</math> każdy punkt przedziału <math>[0,1]</math> jest punktem skupienia.
* Ciąg liczb zespolonych <math>a_n = i^n</math> nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
* Ciąg liczb zespolonych <math>a_n =\tfrac{n}{17}\cdot e^{i\cdot n/17}</math> ma granicę niewłaściwą <math>\infty.</math>

== Własności ==
[[Plik:Cauchy sequence illustration.svg|mały|Wykres ciągu Cauchy’ego <math>(x_n)</math> oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi [[Odcięta|odciętych]], wartość na osi [[Rzędna|rzędnych]]). Widzimy, że sekwencja wydaje się zbiegać do punktu granicznego, ponieważ wyrazy ciągu zbliżają się do siebie wraz ze wzrostem <math>n.</math> W liczbach rzeczywistych każdy [[ciąg Cauchy’ego]] zbiega się do pewnej granicy.]]

* Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
* Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony<ref group="uwaga">Dowód: niech dany będzie ciąg <math>\{a_n\},</math> zbieżny do <math>g\in\mathbb R.</math> Niech <math>\varepsilon =1.</math> Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie <math>N,</math> że dla każdego <math>n>N</math> zachodzi <math>|a_n-g|<1.</math>

Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
: <math>-1-|g|\leqslant -1+g<a_n<1+g\leqslant 1+|g|,</math>

co oznacza, że
: <math>|a_n|<1+|g|.</math>

Połóżmy teraz <math>M=\max \{|a_1|,|a_2|,\dots |a_N|,1+|g|\}.</math> Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów <math>\{a_n\},</math> co oznacza, że jest on ograniczony.</ref><ref name=krasiński>{{Cytuj książkę |nazwisko = Krasiński |imię = Tadeusz |tytuł = Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej |wydawca = [[Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego]] |rok = 2003 |strony = 54–56 |isbn = 83-7171-636-2}}</ref>. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
* Dowolny nieskończony [[Podciąg (matematyka)|podciąg]] ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
* Jeśli ciągi <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math> są zbieżne oraz <math>a_n \leqslant b_n</math> dla każdego naturalnego <math>n,</math> to <math>\lim a_n \leqslant \lim b_n.</math>
* [[Twierdzenie o trzech ciągach]]: jeśli ciągi <math>(a_n)</math> i <math>(c_n)</math> są zbieżne do wspólnej granicy <math>g,</math> przy czym <math>a_n \leqslant b_n \leqslant c_n</math> dla każdego naturalnego <math>n,</math> to ciąg <math>(b_n)</math> również jest zbieżny i to do granicy <math>g.</math>
* Jeśli ciągi <math>(a_n),\, (b_n)</math> są ciągami zbieżnymi odpowiednio do <math>a</math> oraz do <math>b,</math> to wykonalne są działania:
** <math>\lim\,(a_n + b_n) = a + b,</math>
** <math>\lim\,(a_n - b_n) = a - b,</math>
** <math>\lim\,(a_n \cdot b_n) = a \cdot b,</math>
** <math>\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b},</math> o ile tylko <math>b \ne 0</math> oraz <math>b_n \ne 0</math> dla każdego <math>n.</math>
* [[Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa]]: z każdego rzeczywistego lub zespolonego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
* Każdy ciąg liczb rzeczywistych [[funkcja monotoniczna|monotoniczny]] i [[funkcja ograniczona|ograniczony]] ma granicę<ref group="uwaga">Dowód: Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór <math>\{a_n, n\in \mathbb N\}</math> ma ograniczenie, a zatem posiada [[Kresy dolny i górny|kres górny]] <math>a.</math>

Wybierzmy <math>\varepsilon>0.</math> Z własności kresu górnego istnieje takie <math>N,</math> dla którego zachodzi <math>a_N>a-\varepsilon.</math>
Dla <math>n>N,</math> dzięki monotoniczności, mamy
: <math>a_n\geqslant a_N>a-\varepsilon</math>

a jednocześnie
: <math>a_n\leqslant a< a+\varepsilon,</math>

co oznacza, że
: <math>|a_n-a|<\varepsilon,</math>

ale to dowodzi, że <math>a</math> jest granicą ciągu <math>(a_n).</math></ref><ref group="uwaga">Warunek ten jest w istocie jedną z wersji [[aksjomat ciągłości|aksjomatu ciągłości]] zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].</ref>.

* Ciąg liczbowy rzeczywisty lub zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]]<ref group="uwaga">Implikacja: ''jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, to jest zbieżny'' oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest [[przestrzeń zupełna|przestrzenią zupełną]]. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.</ref>.

== Zbieżność w przestrzeniach metrycznych ==
Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]]. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech <math>(X, d)</math> będzie przestrzenią metryczną. Ciąg <math>(a_n)</math> elementów tej przestrzeni jest '''zbieżny''' do <math>g \in X,</math> jeśli:
: <math>\forall {\varepsilon > 0}\; \exists N\; \forall {n > N}:\; d(a_n, g) < \varepsilon.</math>

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu <math>(a_n)</math> jest żądanie, by ciąg <math>(d_n)</math> gdzie <math>d_n := d(a_n, g)</math> był zbieżny do zera<ref name="epwn" />.

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:
: ciąg <math>x_n</math> jest zbieżny do <math>g,</math> jeśli w dowolnej kuli o środku w <math>g</math> mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>x_n.</math>

Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest [[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]] (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również [[twierdzenie odwrotne]], to znaczy powyższe warunki są równoważne).

'''Przykłady'''
* Zbiór <math>\mathbb R</math> jako przestrzeń metryczna z metryką <math>d(a,b):= |a-b|.</math> Podobnie ze zbiorem <math>\mathbb C</math>
* Zbiór <math>\mathbb Q</math> [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] jako przestrzeń metryczna z metryką <math>d(a,b):= |a-b|.</math> W tej przestrzeni np. ciąg <math>a_n:=(1+\tfrac{1}{n})^n</math> nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
* [[przestrzeń unormowana|Przestrzeniach liniowa z normą]] <math>\|\cdot\|,</math> jeśli przyjąć jako metrykę <math>d(a, b) = \|a - b\|.</math>
* Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

== Zbieżność w przestrzeniach topologicznych ==
Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniach topologicznych]] przez zastąpienie kul [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczeniami]].

Niech <math>(X, \tau)</math> będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg <math>(x_n)</math> elementów tej przestrzeni jest '''zbieżny''' do <math>x \in X,</math> jeśli
: <math>\forall_{U \in \tau}\; \left(x \in U \Rightarrow \exists_N\; \forall_{n > N}\; x_n \in U\right).</math>

co można wyrazić:
: ''dla dowolnego otoczenia <math>U</math> punktu <math>x</math> istnieje taki wskaźnik <math>N,</math> że dla wszystkich wskaźników <math>n>N</math> wyrazy <math>a_n</math> leżą w otoczeniu <math>U,</math>''

lub inaczej:
: ''w dowolnym otoczeniu <math>U</math> punktu <math>x</math> mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>x_n.</math>''

W [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzeniach Hausdorffa]] (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu<ref group="uwaga">W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy ''granicą'' nazywa się zbiór takich punktów.</ref>.

'''Przykłady'''
* Zbiór <math>\mathbb R</math> z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych <math>(a,b),\ \ a,b\in \mathbb R.</math> Podobnie ze zbiorem <math>\mathbb C,</math> tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci <math>\{z\in\mathbb C : |z-g|<r\},\ \ g\in\mathbb C,\ r\in \mathbb R</math> lub prostokątów postaci <math>\{z\in\mathbb C : a<\operatorname{Re} z<b \wedge c<\operatorname{Im} z<d\},\ \ a,b,c,d\in \mathbb R.</math>
* Dowolna przestrzeń z topologią [[Przestrzeń antydyskretna|antydyskretną]]. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
* (''[[Uzwarcenie]] prostej. 1 sposób'') Przestrzeń topologiczna <math>\mathbb R</math> uzupełniona o dwa elementy <math>-\infty, +\infty</math> z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci <math>(a, \infty)\cup\{+\infty\}</math> oraz <math>(-\infty,a)\cup\{-\infty\}, \ a\in\mathbb R.</math> Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio <math>-\infty</math> i <math>+\infty.</math> Wówczas zbieżność ciągu do punktu <math>+\infty</math> w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej <math>+\infty.</math> Analogicznie dla zbieżności do punktu <math>-\infty.</math> W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej <math>\mathbb R</math> do <math>\mathbb R\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\}</math> powstaje przestrzeń [[homeomorfizm|homeomorficzna]] z odcinkiem [[Domknięcie (topologia)|domkniętym]] oznaczana zazwyczaj <math>\overline\mathbb R.</math>
* (''[[Uzwarcenie]] płaszczyzny'') Przestrzeń topologiczna <math>\mathbb C</math> uzupełniona o element <math>\infty</math> z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci <math>\{z\in \mathbb C: |z-g|>r\}\cup\{\infty\}, g\in \mathbb C, r\in \mathbb R</math> (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci <math>\{z: \operatorname{Re} z< a \vee \operatorname{Re} z>b \vee \operatorname{Im} z <c \vee \operatorname{Im} z>d\}\cup\{\infty\}, a,b,c,d\in \mathbb R</math> (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu <math>\infty.</math> Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu <math>\infty</math> w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej <math>\infty.</math> W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej <math>\mathbb C</math> do <math>\mathbb C\cup\{\infty\}</math> powstaje przestrzeń [[homeomorfizm|homeomorficzna]] ze sferą oznaczana zazwyczaj <math>\mathbb C^*</math> lub <math>\widehat\mathbb C.</math>
* (''[[Uzwarcenie]] prostej. 2 sposób'') Przestrzeń topologiczna <math>\mathbb R</math> uzupełniona element <math>\infty</math> z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci <math>(-\infty,a)\cup(b, +\infty)\cup\{\infty\}</math> <math>a,b\in\mathbb R.</math> Są to otoczenia otwarte punktu <math>\infty.</math> Wówczas zbieżność ciągu do punktu <math>\infty</math> w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej <math>\infty.</math> W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej <math>\mathbb R</math> do <math>\mathbb R\cup\{\infty\}</math> powstaje przestrzeń [[homeomorfizm|homeomorficzna]] z okręgiem oznaczana zazwyczaj <math>\mathbb R^*</math> lub <math>\widehat\mathbb R.</math>

== Historia ==
[[Zenon z Elei]] znany jest ze sformułowania [[paradoksy Zenona z Elei|paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne]]. [[Leukippos|Leucyp z Miletu]], [[Demokryt|Demokryt z Abdery]], [[Antyfont|Antyfont z Ramnus]], [[Eudoksos z Knidos]] i [[Archimedes|Archimedes z Syrakuz]] wynaleźli [[metoda wyczerpywania|metodę wyczerpywania]], która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości; ostatniemu z nich znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest [[szereg geometryczny|szeregiem geometrycznym]].

[[Isaac Newton]] zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (''Analysis with infinite series'', napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (''Method of fluxions and infinite series'', napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (''Tractatus de Quadratura Curvarum'', napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego ''Optiks''), później rozważał on rozwinięcie dwumienne <math>(x + o)^n,</math> które linearyzuje, ''biorąc granice'', tzn. przyjmując <math>o \to 0.</math>

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak [[Leonhard Euler]], udawało się zsumować pewne szeregi ''rozbieżne'' dzięki „zatrzymaniu się w odpowiednim momencie”; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku [[Joseph Louis Lagrange]] w swojej pracy ''Théorie des fonctions analytiques'' (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. [[Carl Friedrich Gauss]] w dziele o [[szereg hipergeometryczny|szeregach hipergeometrycznych]] (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego <math>\varepsilon</math> istnieje taki wskaźnik <math>N,</math> że…) niezależnie podali:
* [[Bernard Bolzano]] (''Der binomische Lehrsatz'', [[Praga]] 1816, wówczas niezauważona);
* [[Augustin Louis Cauchy]] w jego ''Cours d’analyse'' (1821).

== Zobacz też ==
* [[ciąg uogólniony#Definicja|granica ciągów uogólnionych]]
* [[granica funkcji]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = temat/matematyka/analiza/2019/03/24/Zbieznosc/ | autor = Marta Szumańska | tytuł = Zbieżność | data = kwiecień 2019 | data dostępu = 2022-07-19}}
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=HjGsBon9f5A Granica ciągu – intuicja]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 16 lutego 2015 [dostęp 2024-06-23].
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=D6rIe5VFhQg Ciągi liczbowe cz. II – Granica ciągu]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].

{{Ciągi liczbowe}}
{{Funkcje ciągłe}}

[[Kategoria:Granice|Ciągu]]
[[Kategoria:Przestrzenie metryczne]]
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]