Tekst źródłowy strony Geometria

{{Inne znaczenia|dziedziny matematyki|''[[Geometria (Kartezjusz)|Geometria]]'' – traktat [[René Descartes|Kartezjusza]]}}
{{Dopracować|źródła=2011-10}}
[[Plik:Calabi yau.jpg|mały|Przykład [[Przestrzeń Calabiego-Yau|rozmaitości Calabiego-Yau]], używanych m.in. w [[Teoria strun|teorii strun]]]]
[[Plik:Platonic Solids Transparent.svg|mały|Istnieje pięć [[Wielościan foremny|wielościanów foremnych]] (brył platońskich) – elementarne twierdzenie euklidesowej [[Stereometria|stereometrii]], udowodnione najpóźniej przez [[Teajtet]]a (IV w. p.n.e.)]]
[[Plik:PavageHypPoincare2.svg|mały|Przykładowe pokrycie ([[Parkietaż|tesselacja]]) [[Geometria hiperboliczna|płaszczyzny hiperbolicznej]] za pomocą [[siedmiokąt]]ów foremnych – użyty tu model to [[dysk Poincarégo]]]]

'''Geometria''' ([[Język grecki|gr.]] γεωμετρία; ''geo'' – ziemia, ''metria'' – miara<ref name="epwn" />) – jedna z głównych dziedzin [[Matematyka|matematyki]]; tradycyjnie i nieformalnie definiowana jako nauka o [[Przestrzeń (fizyka)|przestrzeni]] i jej [[Podzbiór|podzbiorach]] zwanych [[Figura geometryczna|figurami]]<ref name="epwn" /><ref name="ep-pwn">''Geometria'', [w:] ''Encyklopedia Popularna PWN'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1986, {{ISBN|83-01-01-750-3}}, s. 233.</ref>. W znaczeniu precyzyjnym i ogólnym jest to nauka badająca dla wybranych [[Funkcja|przekształceń]] ich [[Niezmiennik przekształcenia|niezmienniki]], zwłaszcza inne niż [[moc zbioru]] czy [[Niezmiennik topologiczny|niezmienniki topologiczne]]<ref group="uwaga">Tymi pierwszymi zajmują się [[kombinatoryka]] i [[teoria mnogości]], odpowiednio w przypadku zbiorów skończonych i nieskończonych. Jak sugeruje nazwa, niezmiennikami topologicznymi zajmuje się [[topologia]].</ref>. W zależności od rodzaju [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]] i przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Do XIX wieku geometria badała wyłącznie [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] wymiaru nie większego niż [[Przestrzeń trójwymiarowa|trzy]] oraz odpowiadające im [[Przestrzeń rzutowa|przestrzenie rzutowe]]. W takich przestrzeniach można zdefiniować [[Relacja (matematyka)|relacje]] jak [[równoległość]] prostych, [[Prosta|współliniowość]] punktów i wielkości jak [[odległość]] czy [[miara kąta]], a przez to zachowujące je przekształcenia – odpowiednio [[Przekształcenie afiniczne|afiniczne]], [[Przekształcenie rzutowe|rzutowe]], [[Izometria|izometrie]] i [[Podobieństwo|podobieństwa]]. Zależności te opisują geometrie [[Geometria afiniczna|afiniczna]], [[Geometria rzutowa|rzutowa]] i [[Geometria euklidesowa|euklidesowa]]. Ta ostatnia jest też historycznym źródłem innych pojęć jak [[krzywa]] i jej [[Długość krzywej|długość]], a także [[Wymiar (matematyka)|wymiar]], [[pole powierzchni]], [[Objętość (matematyka)|objętość]] czy [[Krzywizna krzywej|krzywizna]]; ich uściślenie wymagało jednak metod [[Topologia|topologii]] i [[Analiza matematyczna|analizy]], zwłaszcza [[Teoria miary|teorii miary]]. Tę geometrię przestrzeni euklidesowych niskich wymiarów – niezależnie od badanych niezmienników – tradycyjnie dzieli się też na [[Planimetria|planimetrię]] i [[Stereometria|stereometrię]]. Obie doczekały się własnych poddziedzin jak [[trygonometria]], [[geometria sferyczna]], [[Geometria wykreślna|wykreślna]] czy [[Geometria absolutna|absolutna]]. Geometrię w tym historycznym znaczeniu można uprawiać zarówno w sposób [[Geometria syntetyczna|syntetyczny]] („tradycyjny”), jak i powstały później [[Geometria analityczna|analityczny]] – oparty na [[Układ współrzędnych|współrzędnych]], zwykle [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskich]]<ref name="epwn" />.

Geometria, tak jak [[arytmetyka]], należy do najstarszych nauk i tak jak ona pozostaje wiecznie żywa. Już od swoich początków te dwie dziedziny wchodzą w nieustanne interakcje; oprócz tego geometria przyczyniła się do powstania innych dyscyplin jak [[algebra]], [[Analiza matematyczna|analiza]], [[teoria grafów]] czy [[topologia]]. Rozwinięta przez [[Euklides]]a metoda [[aksjomat]]yczna była wzorcem dla różnych dziedzin, także fundamentalnych jak [[logika matematyczna]] i [[teoria mnogości]]. Geometria dostarczyła też problemów [[Teoria prawdopodobieństwa|probabilistyce]], którą finalnie oparto na pojęciu [[Miara (matematyka)|miary]] o geometrycznym rodowodzie. Te obszary „potomne” względem geometrii mocno wpłynęły na nią samą – jej formalizm, metody i zakres badań. Ten ostatni od czasów starożytnych bardzo się poszerzył; najpóźniej w XVII wieku oprócz ściśle rozumianych przestrzeni euklidesowych wprowadzono ich rzutowe odpowiedniki<ref name="epwn" />, a XIX wiek przyniósł prawdziwą eksplozję tematyki – przez rozważania wyższych wymiarów, [[Geometria nieeuklidesowa|geometrii nieuuklidesowych]] i obejmujących je [[Rozmaitość riemannowska|przestrzeni Riemanna]]<ref name="epwn" />. Uogólnienia poszły jeszcze dalej, przez pojęcia [[Rozmaitość|rozmaitości]] i [[Przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznych]], wykraczające poza geometrię. Wprowadzono także przestrzenie innego typu – skończone jak [[płaszczyzna Fana]] czy nawet [[Geometria nieprzemienna|bezpunktowe]].

Geometria jest podstawą różnych nauk [[Nauki przyrodnicze|przyrodniczych]] i [[Nauki techniczne|technicznych]] – między innymi [[Fizyka|fizyki]] z [[Astronomia|astronomią]], pogranicza [[Chemia fizyczna|chemii fizycznej]] ([[krystalografia]]), [[Geodezja|geodezji]] z [[Kartografia|kartografią]], [[Budownictwo|budownictwa]] z [[Architektura|architekturą]] czy [[Inżynieria mechaniczna|inżynierii mechanicznej]]. Rola geometrii dosięga też innych dziedzin kultury jak [[sztuka]] – zwłaszcza [[sztuki wizualne]] – czy [[filozofia]]. [[Matematyk]] zajmujący się geometrią to '''geometra'''. Słowo to oznacza również – zwłaszcza historycznie – [[Geometra|mierniczego]] związanego z geodezją, a „geometria” aż do XIX w. była synonimem całej matematyki{{fakt|data=2022-02}}. Geometrom ''sensu stricto'' wielokrotnie przyznawano najwyższe wyróżnienia dostępne matematykom jak [[Medal Fieldsa]], [[Nagroda Abela]] czy – wręczany naukowcom różnych dyscyplin – [[Medal Copleya]].

== Historyczny rozwój ==
=== Starożytność i średniowiecze ===
[[Plik:Rtriangle-mathsinegypt.svg|mały|[[Trójkąt egipski]] – proste narzędzie do odmierzania [[Kąt prosty|kąta prostego]] dzięki [[Twierdzenie Pitagorasa#Twierdzenie odwrotne|odwrotnemu twierdzeniu Pitagorasa]]]]
[[Plik:Westerner and Arab practicing geometry 15th century manuscript.jpg|mały|Obrazek z XV wieku przedstawiający ludzi zajętych geometrią]]

Geometria – podobnie jak inne działy matematyki – wyewoluowała od badania obiektów znanych z życia codziennego, w jej wypadku [[Figura geometryczna|kształtów]]. Zajmowali się nią już starożytni mieszkańcy [[Mezopotamia|Mezopotamii]] ([[III tysiąclecie p.n.e.]]) i [[Starożytny Egipt|Egiptu]] ([[II tysiąclecie p.n.e.]])<ref name="epwn" />. Znali oni podstawowe fakty z tej dziedziny jak [[twierdzenie Pitagorasa]]; już tam geometria dostarczyła tematów [[Teoria liczb|teorii liczb]] jak [[trójki pitagorejskie]], a także przyczyniła się do prapoczątków [[Algebra|algebry]] przez problem [[Równanie kwadratowe|równań kwadratowych]]. Wtedy pojawiły się też zgrubne oszacowania [[Pi|liczby pi]] (π): 3+1/8 = 3,125 albo (4/3)<sup>4</sup> ≈ 3,16{{fakt|data=2022-02}}.

Systematyczny i ściślejszy rozwój geometrii, oparty na definicjach i dowodach, nastąpił potem w [[Starożytna Grecja|starożytnej Grecji]]. Proces ten trwał prawie tysiąclecie, od okresu [[Okres klasyczny (starożytna Grecja)|klasycznego]] do późnego [[Cesarstwo Rzymskie|Cesarstwa Rzymskiego]]. Postępy były wielorakie:
* najpóźniej wtedy geometria wpłynęła na fundamenty i obszar badań arytmetyki, za sprawą opisania [[Liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] przez [[Pitagorejczycy|pitagorejczyków]]. Wymusiły one uściślenie ogólnego pojęcia wielkości liczbowej, czyli – mówiąc nowożytnym językiem – [[liczby rzeczywiste]]j. Doprowadziło to też do pytań o wymierność różnych [[Stała (matematyka)|stałych]] jak [[Pierwiastkowanie|pierwiastki]] liczb [[Liczby naturalne|naturalnych]], inne [[pierwiastnik]]i czy liczba pi (π);
* w tamtym okresie rozbudowano również wiedzę o [[Konstrukcje klasyczne|konstrukcjach klasycznych]], tj. rysowaniu pewnych figur za pomocą [[Cyrkiel|cyrkla]] i [[Linijka|linijki]]. Niektóre z postawionych tam problemów czekały na rozwiązanie aż do XIX wieku, kiedy zrobiono to metodami algebry i teorii liczb; za to postawiony wtedy [[problem Apoloniusza]] doczekał się licznych rozwiązań i analiz w nowożytności;
* między innymi na potrzeby tej dziedziny opisano wiele [[Krzywa|krzywych]]. Okrąg uogólniono na inne [[Krzywa stożkowa|stożkowe]] i rozważano także [[Konchoida|konchoidy]];
* dzieło [[Euklides]]a pozwoliło też jasno określić sam przedmiot geometrii. Stała się ona [[Teoria (logika)|teorią formalną]] (systemem [[Rozumowanie dedukcyjne|dedukcyjnym]]), a [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeń euklidesową]] można zdefiniować właśnie jako jej przedmiot – w oderwaniu od fizyki, intuicji czy późniejszych definicji konstrukcyjnych<ref name="epwn" />;
* [[Archimedes]] antycypował nowożytną [[Analiza matematyczna|analizę]] przez obliczanie różnych [[Miara (matematyka)|miar]] – [[Długość krzywej|długości]], [[Pole powierzchni|pól powierzchni]] i [[Objętość (matematyka)|objętości]] – dla obiektów innych niż [[wielokąt]]y czy [[wielościan]]y. Istotne postępy w tej dziedzinie zrobił też [[Pappus z Aleksandrii]], a jego wyniki nazwano potem [[Twierdzenie Pappusa-Guldina|twierdzeniem Pappusa-Guldina]];
* matematyka starogrecka to też początki [[Geometria sferyczna|geometrii sferycznej]] oraz [[Trygonometria|trygonometrii]], nazwanej tak w nowożytności{{fakt|data=2022-02}}.

Równolegle rozwijano geometrię w [[Chiny|Chinach]]; w III w. n.e. [[Liu Hui]] obliczył liczbę pi z dokładnością wyższą niż Archimedes{{fakt|data=2022-02}}.

=== XVI i XVII wiek ===
W XVI wieku [[Adriaan van Roomen]] podał nowe rozwiązanie starożytnego [[Problem Apoloniusza|problemu Apoloniusza]], jednak jego metoda wykraczała poza [[konstrukcje klasyczne]]{{fakt|data=2022-02}}. To samo stulecie przyniosło też opis nowej [[Krzywa sferyczna|krzywej sferycznej]]: [[Loksodroma|loksodromy]], a także [[Odwzorowanie walcowe równokątne|odwzorowania walcowego Mercatora]] w [[Kartografia|kartografii]].

Najpóźniej w XVII wieku spleciono geometrię z algebrą przez narodziny [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]]. Wtedy też – między innymi na potrzeby geometryczne – narodziły się podstawy [[Analiza matematyczna|analizy]], a za nią [[geometria różniczkowa]]<ref name="epwn" />. Nowa dyscyplina doprowadziła do:
* geometrycznych [[paradoks]]ów jak [[róg Gabriela]] (trąbka Torricellego);
* postępów w [[Trygonometria|trygonometrii]] – wyrażenie [[Funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] przez [[Wzór Taylora|szeregi Taylora]] pomogło w obliczaniu dokładniejszych tablic, a potem także w znajdowaniu tożsamości, np. [[Wzór Eulera|wzoru Eulera]].

XVII wiek to też początki właściwej [[Geometria rzutowa|geometrii rzutowej]] dzięki pracom [[Gérard Desargues|Gérarda Desargues’a]] i [[Blaise Pascal|Blaise’a Pascala]].

=== XVIII wiek ===
[[Plik:Table of Geometry, Cyclopaedia, Volume 1.jpg|thumb|Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku]]
[[Plik:Catenoid1.png|mały|[[Katenoida]] – historycznie pierwsze rozwiązanie przykładowego [[Zagadnienie Plateau|zagadnienia Plateau]]]]

W tamtym stuleciu geometria podążała głównie w kierunkach wyznaczonych wcześniej – rozwijano euklidesową planimetrię i stereometrię, stosując zarówno metody klasyczne (syntetyczne), jak i nowożytne techniki algebry oraz analizy. Przykładowo:
* [[William Chapple]] udowodnił istnienie [[Wysokość trójkąta|ortocentrum]] w trójkącie{{fakt|data=2022-10}};
* [[Carl Friedrich Gauss]] udowodnił konstruowalność [[Siedemnastokąt foremny|siedemnastokąta foremnego]];
* opisano dalsze krzywe jak [[krzywa Watta]];
* dzięki postępom analizy [[Roger Cotes]] i [[Leonhard Euler]] rozwinęli trygonometrię. [[Wzór Eulera]] pozwolił wyrazić funkcje trygonometryczne za pomocą podstawowej funkcji [[Funkcja wykładnicza|wykładniczej]] (eksponensu), co pomogło w znajdowaniu dalszych tożsamości trygonometrycznych{{fakt|data=2022-02}};
* Euler rozwiązał też pewne zagadnienie [[Rachunek wariacyjny|wariacyjne]] w [[Stereometria|stereometrii]]. Udowodnił, że [[katenoida]] minimalizuje pole powierzchni rozpiętych między dwoma równymi okręgami. Pytania tego typu – dla bardziej ogólnych [[Brzeg (matematyka)|brzegów]] – nazwano potem [[Zagadnienie Plateau|zagadnieniem Plateau]]<ref>{{Cytuj |autor = [[Paweł Strzelecki (matematyk)|Paweł Strzelecki]] |url = https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/rzut_oka/Zajecia_dla_MISH_2011-12/Slajdy_files/rzut-oka6i7.pdf |tytuł = Rzut oka na współczesną matematykę, spotkanie 6: Krzywizna powierzchni i historia zagadnienia Plateau |wydawca = Instytut Matematyki, [[Uniwersytet Warszawski]] |data = 2011 |s = slajd 3}}</ref>;
* na bazie geometrii rzutowej utworzono [[Geometria wykreślna|geometrię wykreślną]];
* postawiono i rozwiązano [[Teoria prawdopodobieństwa|probabilistyczny]] problem [[Igła Buffona|igły Buffona]]. Jego wynik stworzył nową doświadczalną metodę przybliżania [[Pi|liczby pi]] (π) – takie obliczenia w XX wieku stały się znane jako [[metoda Monte Carlo]].

Badania Eulera nad [[wielościan]]ami doprowadziły do powstania [[Teoria grafów|teorii grafów]], a koncepcje geometryczne zastosowano w algebrze ([[płaszczyzna zespolona]]). [[Johann Heinrich Lambert]] udowodnił niewymierność liczby pi, co było pierwszym krokiem do wykazania w XIX wieku, że [[kwadratura koła]] i [[rektyfikacja okręgu]] nie są możliwe [[Konstrukcje klasyczne|metodami klasycznymi]].

=== XIX wiek ===
[[Plik:Regular heptagon.svg|mały|[[Siedmiokąt]] foremny. Z [[Twierdzenie Gaussa-Wantzela|twierdzenia Gaussa-Wantzela]] oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się [[Konstrukcje klasyczne|skonstruować klasycznie]]. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych [[Liczby Fermata|liczb Fermata]] (3, 5, 17...)]]

XIX wiek przyniósł rewolucję – z jednej strony zaczęto rozważać przestrzenie euklidesowe wyższych wymiarów, a z drugiej pojawiły się badania [[Geometria nieeuklidesowa|geometrii nieeuklidesowych]] jak [[Geometria hiperboliczna|hiperboliczna]] ([[Nikołaj Łobaczewski|Łobaczewskiego]]) i [[Geometria eliptyczna|eliptyczna]]. Te dwa kierunki uogólnień połączono przez dużo szersze pojęcie [[Rozmaitość riemannowska|rozmaitości Riemanna]]<ref name="epwn" />. Doprecyzowanie starych pojęć geometrii, zwłaszcza [[Geometria różniczkowa|różniczkowej]], a także klasyfikacja ogromu nowo rozważanych przestrzeni stworzyły [[Topologia|topologię]]. Pojęcie przestrzeni stało się przez to dużo szersze od pierwotnego znaczenia, abstrakcyjne, obejmujące też np. dowolne [[Przestrzeń metryczna|przestrzenie metryczne]] czy [[Przestrzeń liniowa|liniowe]], a wymiar niektórych z nich sięgnął [[Nieskończoność|nieskończoności]]. Poszczególnymi rodzajami przestrzeni i ich niektórymi aspektami zajęły się nauki traktowane jako odrębne od geometrii jak topologia czy [[algebra liniowa]]. Przez to geometrię zdefiniowano na nowo, w ramach [[Program erlangeński|programu erlangeńskiego]] – właśnie jako teorię [[Niezmiennik przekształcenia|niezmienników]], zwłaszcza innych niż te [[Niezmiennik topologiczny|topologiczne]]<ref name="epwn" />. Analiza niezmienników jest też podstawą badania innych obiektów matematycznych (np. [[Przestrzeń topologiczna|przestrzenie topologiczne]] czy [[Algebra ogólna|struktury algebraiczne]]), a wśród niezmienników mogą być pojęcia bardzo ogólne i abstrakcyjne jak [[punkt stały]].

Geometria XIX-wieczna wydała też inne owoce:
* udało się rozstrzygnąć starożytne problemy konstrukcji klasycznych. Metodami algebry i teorii liczb udowodniono, że trzy wielkie problemy tego typu – [[trysekcja kąta]], [[kwadratura koła]] i [[podwojenie sześcianu]] (problem delijski) – są nierozwiązywalne. [[Twierdzenie Gaussa-Wantzela]] podało też kryterium konstruowalności [[Wielokąt foremny|wielokątów foremnych]], które w szczególności wyklucza klasyczną konstrukcję [[siedmiokąt]]a foremnego. Zagadnienie konstruowalnych wielokątów foremnych zredukowano do poszukiwania [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]] wśród [[Liczby Fermata|liczb Fermata]] – liczby należące do [[Część wspólna|obydwu zbiorów naraz]] pojawiają się we wzorze na możliwe liczby boków w konstruowalnych wielokątach foremnych;
* [[David Hilbert]] uściślił [[aksjomat]]ykę geometrii, co pozwoliło na badanie jej metodami [[Metamatematyka|metamatematycznymi]]<ref name="epwn" />;
* rozwinięto teorię [[Figura o stałej szerokości|figur o stałej szerokości]] jak [[trójkąt Reuleaux]]; m.in. udowodniono [[twierdzenie Barbiera]] o obwodzie takich kształtów;
* [[Hermann Grassmann]] rozwinął wielowymiarową geometrię analityczną. Był to kamień milowy w rozwoju [[Algebra liniowa|algebry liniowej]] i krok ku jej ogólnej, [[Algebra abstrakcyjna|abstrakcyjnej]] postaci;
* geometria różniczkowa stworzyła [[Tensor|rachunek tensorowy]], który stał się nową dziedziną algebry ([[algebra wieloliniowa]]) i analizy<ref name="epwn" />.

=== XX i XXI wiek ===
[[Plik:PenroseFlowers.png|mały|Fragment przykładowego [[Parkietaż Penrose’a|parkietażu Penrose’a]] w wersji P3, opartej na dwóch [[romb]]ach]]

Wiek XX przyniósł jeszcze nowsze, „egzotyczne” obszary badań jak [[geometria skończona]] i [[Geometria nieprzemienna|nieprzemienna]]. Rozwinięto też wcześniejsze kierunki jak [[geometria algebraiczna]] czy [[fraktal]]na<ref name="epwn" />; geometrię zastosowano również w [[Teoria katastrof|teorii katastrof]] i [[Topologia|topologii]] ([[hipoteza geometryzacyjna]] Thurstona)<ref name="epwn" />.

Postępy nastąpiły również na drugim biegunie abstrakcji, w klasycznej [[Planimetria|planimetrii]] wielokątów i innych prostych figur:
* rozwinięto teorię [[parkietaż]]u (tesselacji), m.in. znajdując aperiodyczne zestawy kafelek – zdolne do pokrycia płaszczyzny wyłącznie w sposób nieokresowy. Najprostsze z nich, zwane [[Parkietaż Penrose’a|parkietażami Penrose’a]], składają się z tylko kilku elementów podstawowych;
* udowodniono [[twierdzenie Blaschkego-Lebesgue’a]] – [[trójkąt Reuleaux]] wśród [[Figura o stałej szerokości|figur o stałej szerokości]] ma najmniejsze pole.

Rozwiązano też problemy bliskie geometrii rozumianej klasycznie, choć klasyfikowane inaczej – przykładem jest [[Twierdzenie o czterech barwach|zagadnienie czterech barw]] w teorii [[Graf planarny|grafów planarnych]].

Od początku XXI wieku udało się między innymi ostatecznie udowodnić [[postulat Keplera]]{{fakt|data=2022-02}}. [[Grigorij Perelman]] w 2003 roku udowodnił hipotezę [[William Thurston|Thurstona]], a przez to wynikającą z niej [[Hipoteza Poincarégo|hipotezę Poincarégo]] w pierwotnym, trójwymiarowym przypadku. Był to tryumf metod geometrycznych w topologii, uważanej za bardziej ogólną i w pewnym sensie bardziej fundamentalną od geometrii<ref name="epwn" />. Mimo to dalej bez odpowiedzi pozostają niektóre pytania „przyziemne” i „prozaiczne”, zadane elementarnie jak:
* planimetryczny [[problem przesunięcia sofy]];
* wywodząca się z geometrii, ale bliższa teorii liczb hipoteza [[Prostopadłościan idealny|prostopadłościanu idealnego]] (stan na luty 2022).

=== Aksjomaty Euklidesa ===
Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji ([[Tales z Miletu]]). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło [[Euklides]]a ''[[Elementy Euklidesa|Elementy]]'' (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, [[Arytmetyka|arytmetykę]] oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami [[Logika|logiki]] na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i [[aksjomat]]ów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.

Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiego [[René Descartes|Kartezjusza]] pracy ''La géométrie'', (1637), co zapoczątkowało rozwój [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]]. W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to także [[Pierre de Fermat]], który jednak nie opublikował swych wyników.

=== Geometrie nieeuklidesowe ===
Pięć aksjomatów podanych przez Euklidesa przez dwa tysiąclecia stanowiło podstawę budowy geometrii. Dopiero w drugiej połowie XIX w. stwierdzono, że nie są one wystarczające. W roku 1882 matematyk niemiecki [[Moritz Pasch]] podał konieczne uzupełnienia. Pełny zestaw aksjomatów [[Geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] wraz z dowodem niesprzeczności tego systemu opublikował w 1899 matematyk niemiecki [[David Hilbert]]. Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego. Przez wiele wieków próbowano wyprowadzić ten aksjomat z pozostałych aksjomatów podanych przez Euklidesa. Próby te (które, jak dziś wiadomo, nie mogły przynieść sukcesu) przyczyniły się do rozwoju innych teorii, a także do powstania geometrii innych niż euklidesowa.

Geometrie te noszą nazwę [[Geometria nieeuklidesowa|geometrii nieeuklidesowych]], a wspólną ich cechą jest to, że nie jest w nich spełniony piąty aksjomat Euklidesa (przykładami mogą tu być [[geometria hiperboliczna]] i [[geometria eliptyczna]]). Jedna z takich geometrii, [[Rozmaitość riemannowska|geometria Riemanna]], została zastosowana przy konstruowaniu [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | tytuł = Geometria | id = 3904953 | data dostępu = 2021-07-30}}</ref>. Teoria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej bez aksjomatu Euklidesa nazywa się [[Geometria absolutna|geometrią absolutną]]. W geometrii absolutnej można wprowadzić na przykład odległość punktów i długość odcinka. Do geometrii absolutnej należą te twierdzenia, które są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii, w której prawdziwe jest zaprzeczenie piątego aksjomatu.

Powstanie [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowego i całkowego]] dało początek [[Geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]]. Podwaliny geometrii różniczkowej stworzył szwajcarski matematyk i fizyk [[Leonhard Euler]], a rozwinął ją w znacznym stopniu niemiecki matematyk i fizyk [[Carl Friedrich Gauss]]. Pod koniec XVIII wieku powstała [[geometria wykreślna]] obejmująca metody graficznego przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Jednocześnie skrystalizowała się [[geometria rzutowa]], której pewne twierdzenia (na przykład twierdzenie Desargues’a) znane były już wcześniej. Do dalszego rozwoju geometrii duży wkład wniósł matematyk niemiecki [[Bernhard Riemann]], który w 1854 roku dzięki użyciu metod geometrii różniczkowej ogłosił nową teorię. Zaproponował zastąpienie pojęcia płaszczyzny pojęciem powierzchni oraz pojęcia prostej pojęciem [[Linia geodezyjna|linii geodezyjnej]], tj. takiej krzywej, leżącej na powierzchni, której łuk o końcach ''P'', ''Q'' jest najkrótszym z leżących na powierzchni łuków o końcach ''P'' i ''Q'' dla ''P'' i ''Q'' dostatecznie bliskich. Teorię [[Powierzchnia Riemanna|powierzchni Riemanna]] uogólnia się na wyższe wymiary, co znajduje zastosowanie w fizyce teoretycznej.

Od ogłoszenia przez matematyka niemieckiego [[Felix Klein|Felixa Kleina]] programu erlangeńskiego zaczęła się rozwijać [[geometria afiniczna]].

=== Późniejsze kierunki ===
[[Plik:Fano plane with colored lines.svg|mały|[[Płaszczyzna Fana]] – przykład skończonej [[Przestrzeń rzutowa|przestrzeni rzutowej]]; każdą z siedmiu [[Prosta|prostych]] zaznaczono innym kolorem]]

Za pewnego rodzaju uogólnienie geometrii można uważać [[Topologia|topologię]]. Coraz większego znaczenia zaczęła nabierać [[geometria algebraiczna]]. Geometria nie jest jednolitym działem; składa się z wielu różnorodnych dziedzin, w których specjaliści stosują odmienne metody.

Relatywnie nowym działem geometrii są „geometrie skończone”, w których liczba punktów na prostej jest skończona. Najważniejsze przykłady skończonych geometrii afinicznych i rzutowych otrzymuje się korzystając z istnienia ciał skończonych Galois. Inne tego typu geometrie skończone nazywa się egzotycznymi. W ramach klasycznej geometrii wyodrębniła się też geometria zbiorów wypukłych oraz – często uważana za ogólniejszą – [[geometria kombinatoryczna]], zajmująca się na przykład ekonomicznym pokryciem płaszczyzny lub ogólniej ''n''-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (kartezjańskiej) przez równoległe przesunięcia danego zbioru ograniczonego, wypukłego, domkniętego, o niepustym wnętrzu.

== Wpływ poza matematykę ==
=== Fizyka z astronomią ===
[[Plik:World line.svg|mały|[[Stożek świetlny]] – podstawa formalizmu [[Teoria względności|teorii względności]]]]

Od starożytności rozwijane są [[optyka geometryczna]] i badania [[Tor ruchu|trajektorii]] ciał, w tym [[mechanika nieba]]. W tych dziedzinach odkrywano nieoczekiwane zastosowania dla geometrii, np. występowanie figur opisanych dużo wcześniej na potrzeby czysto matematyczne. Przykładowo:
* w XVII wieku [[Johannes Kepler]] zaobserwował, że [[elipsa]] badana przez [[Apoloniusz z Pergi|Apoloniusza z Pergi]] jest dokładniejszym modelem orbity [[Mars]]a niż używane dotąd [[Okrąg|okręgi]] z [[epicykl]]ami – będące podstawą zarówno teorii [[Klaudiusz Ptolemeusz|Ptolemeusza]], jak i tej [[Mikołaj Kopernik|Kopernika]]{{fakt|data=2022-02}}. Wyjaśnienie eliptycznych orbit planet doprowadziło do sformułowania [[Prawo powszechnego ciążenia|prawa powszechnego ciążenia]] przez [[Isaac Newton|Isaaca Newtona]];
* w tym samym stuleciu postawiono też [[Mechanika klasyczna|mechaniczne]] problemy [[Tautochrona (fizyka)|tautochrony]] oraz [[Brachistochrona|brachistochrony]]; jak się okazało – oba rozwiązuje rozważana już wcześniej [[cykloida]].

W XX wieku geometria znowu wpłynęła na podstawy mechaniki i [[Grawitacja|grawitacji]]:

* kilka lat po ogłoszeniu [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]] przez [[Albert Einstein|Alberta Einsteina]] sformułowano ją w języku pseudoeuklidesowej [[Czasoprzestrzeń Minkowskiego|czasoprzestrzeni Minkowskiego]]. Pozwoliło to Einsteinowi na stworzenie nowej teorii ciążenia – [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]]<ref name="epwn" />, opartej na szerszej klasie [[Rozmaitość pseudoriemannowska|rozmaitości pseudoriemannowskich]];

* [[geometria różniczkowa]] dostarczyła potem dalszych [[Teoria pola (fizyka)|teorii pola]], a także zmieniła perspektywę na wcześniejsze teorie, m.in. dzięki formalizmowi [[Przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowych]] czy [[Wiązka włóknista|wiązek włóknistych]]{{fakt|data=2022-02}};

* wysunięto też hipotezy, że [[czasoprzestrzeń]] ma więcej niż cztery wymiary ([[teoria Kaluzy-Kleina]], [[supergrawitacja]], [[teoria strun]]); był to bodziec do rozwoju geometrii i topologii w takich obszarach.

Geometria przysłużyła się nie tylko fizyce fundamentalnej, ale i [[Fizyka materii skondensowanej|materii skondensowanej]] – [[parkietaż Penrose’a]] znalazł zastosowanie do opisu [[kwazikryształ]]ów. Istnieją całe [[Czasopismo naukowe|czasopisma naukowe]] poświęcone związkom geometrii z fizyką<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://www.journals.elsevier.com/journal-of-geometry-and-physics Journal of Geometry and Physics]'' {{lang|en}}, journals.elsevier.com [dostęp 2022-02-14].</ref>.

=== Inne dyscypliny ===
[[Plik:God the Geometer.jpg|mały|[[Jezus Chrystus]] jako geometra z cyrklem – malowidło z XIII wieku]]

[[Geometria algebraiczna]], zwłaszcza [[Krzywa eliptyczna|krzywych eliptycznych]], w XX wieku została użyta w [[Kryptologia|kryptologii]]{{fakt|data=2022-02}}.

Pojęcia geometryczne i sama natura tej nauki to istotne elementy doktryn [[Pitagorejczycy|pitagorejskich]] i [[Platonizm|platońskich]]. Przykładowo [[Platon]] próbował powiązać klasyczne [[żywioły]] z [[Wielościan foremny|bryłami platońskimi]] – istnienie pięciu takich figur miało być racją stojącą za:
* czterema klasycznymi substancjami [[Empedokles]]a (ogień, powietrze, woda i ziemia);
* hipotetyczną [[Eter (filozofia)|kwitensencją]] tworzącą świat niebiański{{fakt|data=2022-02}}.

Tradycyjnie geometrię zaliczano do siedmiu [[Sztuki wyzwolone|sztuk wyzwolonych]], a konkretniej do czterech bardziej zaawansowanych ({{łac.|quadrivium}}) – jako jednego z rozwinięć [[Arytmetyka|arytmetyki]]. Sposób wykładu geometrii przez [[Euklides]]a był też inspiracją dla niektórych [[System filozoficzny|systemów filozoficznych]] jak ten [[Baruch Spinoza|Barucha Spinozy]].

Niektóre koncepcje geometryczne bywają używane w [[Sztuka|sztuce]], czasem jako jej główny temat. Klasycznym przykładem jest tu [[złoty podział]], opisany złotą liczbą fi (φ) i powiązany ze „złotymi figurami” jak [[Złoty trójkąt (matematyka)|złoty trójkąt]], [[trójkąt Keplera]], [[złoty prostokąt]], [[złota spirala]] itp. Od starożytności są one używane w [[Architektura|architekturze]] ([[Partenon]]), [[Typografia|typografii]] i innych [[Sztuki plastyczne|sztukach plastycznych]], a nawet [[Muzyka|muzyce]]{{fakt|data=2022-02}}. Motywy geometryczne pojawiają się też w klasyce malarstwa (''[[Melancholia I]]'' [[Albrecht Dürer|Albrechta Dürera]], ''[[Corpus Hypercubus]]'' [[Salvador Dalí|Salvadora Dalego]]). Postępy w geometrii i topologii – np. opisanie [[Geometria hiperboliczna|płaszczyzny hiperbolicznej]] czy [[Wstęga Möbiusa|wstęgi Möbiusa]] – były też inspiracją dla wielu prac [[Maurits Cornelis Escher|Mauritsa Cornelisa Eschera]].

== Geometria w Polsce ==
[[Plik:Stanisław Grzepski Geometria.jpg|thumb|Pierwsza książka o geometrii wydana po polsku – ''Geometria to jest miernicka nauka'' [[Stanisław Grzepski|Stanisława Grzepskiego]] (1566)]]
{{związana kategoria|Polscy geometrzy (matematycy)}}

Od czasów [[Nowożytność|nowożytnych]] Polscy uczeni mieli pewne osiągnięcia w geometrii; w tej epoce pojawiła się też polskojęzyczna literatura na ten temat:

* [[Mikołaj Kopernik]] na potrzeby astronomii udowodnił [[Twierdzenie Kopernika|twierdzenie nazwane od jego nazwiska]], związane z ruchem [[Okrąg|okręgów]]. Kopernik nie był jednak pierwszy – wcześniej opisywali je [[Proklos]] (V w.) i [[Nasir ad-Din Tusi]] (XIII w.).

* W 1566 roku wydano pierwszą książkę popularyzującą geometrię w języku polskim. Była to ''Geometria, To jest Miernicka Nauka, po Polsku krótko napisana z Greckich i z Łacińskich ksiąg'' autorstwa [[Stanisław Grzepski|Stanisława Grzepskiego]], opublikowana w [[Kraków|Krakowie]]. Był to zarazem pierwszy w Polsce podręcznik [[Geodezja|geodezji]] oraz [[Miernictwo|miernictwa]]{{r|Geometria}}.

* W XVII wieku [[Adam Adamandy Kochański]] podał przybliżoną metodę [[Rektyfikacja okręgu|rektyfikacji okręgu]], zwaną [[Konstrukcja Kochańskiego|konstrukcją Kochańskiego]]. Opiera się ona na skonstruowaniu odpowiedniego [[pierwiastnik]]a: liczby <math>\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}= 3{,}14153\dots \approx \pi</math><ref>{{MathWorld|KochanskisApproximation|Kochanski’s Approximation}} [dostęp 2022-02-13].</ref>.

* Pewien wkład do geometrii [[fraktal]]nej miał [[Wacław Sierpiński]]. Upamiętniają go nazwy kilku figur jak [[dywan Sierpińskiego]], [[trójkąt Sierpińskiego]] czy [[piramida Sierpińskiego]].

* Na pograniczu stereometrii euklidesowej oraz [[Teoria miary|teorii miary]] sformułowano [[paradoks Banacha-Tarskiego]]. Mówi on, że przy pewnych założeniach w [[Teoria mnogości|teorii mnogości]] – jak często używany [[aksjomat wyboru]] – można „podwoić” kulę. Formalnie oznacza to podział na skończoną liczbę części, z których bez deformacji da się złożyć dwie nowe kule, w dodatku tej samej wielkości, co figura wyjściowa.

Oprócz tego:
* [[Geometria wykreślna|geometrią wykreślną]] zajmował się polski premier [[Kazimierz Bartel]], który wykładał ją na [[Politechnika Lwowska|Politechnice Lwowskiej]];
* [[Geometria różniczkowa|geometrię różniczkową]] badali m.in. [[Władysław Ślebodziński]] i [[Roman Sikorski]];
* [[Michał Heller]] ze współpracownikami zastosował [[Geometria nieprzemienna|geometrię nieprzemienną]] do [[Teoria względności|teorii względności]], zwłaszcza do opisu [[Osobliwość (astronomia)|osobliwości czasoprzestrzennych]] i do [[Grawitacja kwantowa|kwantowania grawitacji]], w tym do [[Kosmologia kwantowa|kosmologii kwantowej]]{{fakt|data=2022-02}}.

== Znaczący geometrzy ==
{{Grafika rozwinięta
| całkowita szerokość = 200
| liczba kolumn = 2

| grafika1 = Euklid-von-Alexandria 1.jpg
| grafika2 = Frans Hals - Portret van René Descartes (cropped).jpg
| grafika3 = Blaise Pascal Versailles.JPG
| grafika4 = Leonhard Euler.jpg
| grafika5 = Carl Friedrich Gauss 1840 by Jensen.jpg
| grafika6 = Lobachevsky 03 crop.jpg
| grafika7 = Bernhard Riemann 3.jpg
| grafika8 = Benoit Mandelbrot, TED 2010.jpg
| grafika9 = Roger Penrose, 1978 Sept (portion B).jpg
| grafika10 = William Thurston.jpg

| opis = zasłużeni dla geometrii – w kolejnych wierszach:<br />
• [[Euklides]] (IV–III w. p.n.e.),<br />
• [[René Descartes]] (XVII w.),<br />
• [[Blaise Pascal]] (XVII w.),<br />
• [[Leonhard Euler]] (XVIII w.),<br />
• [[Carl Friedrich Gauss|C.F. Gauss]] (XVIII–XIX w.),<br />
• [[Nikołaj Łobaczewski]] (XIX w.),<br />
• [[Bernhard Riemann]] (XIX w.),<br />
• [[Benoît Mandelbrot]] (XX–XXI w.),<br />
• [[Roger Penrose]] (XX–XXI w.),<br />
• [[William Thurston]] (XX–XXI w.)
}}
{{związana kategoria|Geometrzy}}
{{Układ wielokolumnowy |szerokość=20em <!-- od 8 do 20 --> |liczba=2 |
* [[Tales z Miletu]] (VII–VI w. p.n.e.)
* [[Pitagoras]] z [[Samos]] (VI w. p.n.e.)
* [[Teajtet]] (IV w. p.n.e.)
* [[Euklides]] z Aleksandrii (IV–III w. p.n.e.)
* [[Apoloniusz z Pergi]] (III w. p.n.e.)
* [[Archimedes]] z Syrakuz (III w. p.n.e.)
* [[Heron z Aleksandrii]] (I w.)
* [[Pappus z Aleksandrii]] (III–IV w.)
* [[René Descartes]] (1596–1650)
* [[Bonaventura Cavalieri]] (1598–1647)
* [[Gilles de Roberval]] (1602–1675)
* [[Vincenzo Viviani]] (1622–1703)
* [[Blaise Pascal]] (1623–1662)
* [[Leonhard Euler]] (1707–1783)
* [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855)
* [[Nikołaj Łobaczewski]] (1792–1856)
* [[János Bolyai]] (1802–1860)
* [[Pierre Laurent Wantzel]] (1814–1848)
* [[Gabriel Lamé]] (1795–1870)
* [[Jean Frédéric Frenet]] (1816–1900)
* [[Bernhard Riemann]] (1826–1866)
* [[Elwin Bruno Christoffel]] (1829–1900)
* [[Eugenio Beltrami]] (1835–1900)
* [[Gregorio Ricci-Curbastro]] (1853–1925)
* [[Hermann Minkowski]] (1864–1909)
* [[Tullio Levi-Civita]] (1873–1941)
* [[Marcel Grossmann]] (1878–1936)
* [[Oswald Veblen]] (1880–1960)
* [[Kazimierz Bartel]] (1882–1941)
* [[Władysław Ślebodziński]] (1884–1972)
* [[Benoît Mandelbrot]] (1924–2010)
* [[Michael Atiyah]] (1929–2019)
* [[Roger Penrose]] (1931–)
* [[Michaił Gromow (matematyk)|Michaił Gromow]] (1943–)
* [[William Thurston]] (1946–2012)
* [[Alain Connes]] (1947–)
}}

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
<references>
* <ref name="Geometria">{{Cytuj stronę |url = http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0225/ |tytuł = Geometria To iest Miernicka Náuká. Po polsku krótko nápisána z Greckich y z Łáćińskich Kśiąg. Teraz nowo wydaná |autor = Stanisław Grzepski |praca = Akademicka Biblioteka Cyfrowa AGH |opublikowany = Łázarz Andrysowic wybijał w Krakowie 1566 |język = pl |data dostępu = 2014-05-10}}</ref>
</references>

== Linki zewnętrzne ==
{{Siostrzane projekty
 |commons   = category:Geometry
 |słownik   = geometria
 |źródła    =
 |cytaty    = geometria
 |news      =
 |books     =
 |podróże   =
 |species   =
 |wikiwerek =
}}
; Polskojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} [[Michał Heller]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=V_taWyLjTbw Geometria]'', kanał [[Centrum Nauki Kopernik w Warszawie]] na [[YouTube]], 30 października 2015 [dostęp 2022-02-12].
* {{otwarty dostęp}} [[Jan Zydler]], ''[http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/ Geometria]'' (podręcznik), wiw.pl [dostęp 2022-02-12].

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = Geometry | tytuł = Geometry}} [dostęp 2023-06-01].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Geometry Geometry]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].
* {{SEP | url = geometry-19th/ | autor = Roberto Toretti | tytuł = Nineteenth Century Geometry | data = 2016-10-20 | data dostępu = 2018-08-07 | tytuł polski = (Geometria XIX wieku)}}
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/geometry-philosophical-issues-in/v-1 Geometry, philosophical issues in]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].

{{Działy geometrii}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Geometria| ]]