Tekst źródłowy strony Gauson

'''Gauson''' ([[Język angielski|ang.]] ''Gausson'') – [[soliton]] będący rozwiązaniem [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] z nieliniowością logarytmiczną opisującego cząstkę kwantową w możliwej [[nieliniowość|nieliniowej]] [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]<ref>{{cytuj pismo |autor = Bialynicki-Birula, Iwo |autor2 = Mycielski, Jerzy |tytuł = Gaussons: Solitons of the Logarithmic Schrödinger Equation |url = http://www.cft.edu.pl/~birula/publ/GaussonsPS.pdf |czasopismo = Physica Scripta |doi = 10.1088/0031-8949/20/3-4/033 |wolumin = 20 |strony = 539 |bibcode = 1979PhyS...20..539B |wydanie = 13 |rok = 1979}}</ref><ref>{{cytuj pismo |autor = Gāhler, R. |autor2 = Klein, A.G. |autor3 = Zeilinger, A |tytuł = Neutron optical tests of nonlinear wave mechanics |czasopismo = Physical Review A |doi = 10.1103/PhysRevA.23.1611 |wolumin = 23 |strony = 1611 |bibcode = 1981PhRvA..23.1611G |wydanie = 4 |rok = 1981}}</ref>.

Niech nieliniowe równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez <math>(\hbar = 1){:}</math>
: <math>\mathrm i \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{1}{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - a \ln |\psi|^2\psi.</math>

Zakłada się tzw. niezmienniczość [[Transformacja Galileusza|Galileusza]], tzn.
: <math>\psi(x,t)=\mathrm e^{-\mathrm i E t}\psi(x-k t).</math>

Podstawiając
: <math>y=x-k t,</math>

pierwsze równanie można zapisać jako:
: <math>-\frac{1}{ 2} \left( {\frac{\partial\psi}{\partial y}+\mathrm ik}\right)^2 -a \ln |\psi|^2 \psi=\left( E + \frac{k^2}{2} \right) \psi.</math>

Ponadto podstawiając
: <math>\Psi(y)=\mathrm e^{-\mathrm iky}\psi(y)</math>

i zakładając
: <math>\Psi(y)=N \mathrm e^{-\omega y^2/2},</math>

otrzymuje się zwykłe równanie Schrödingera dla [[Kwantowy oscylator harmoniczny|oscylatora harmonicznego]]:
: <math>-\frac{1}{2} {\frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}} + a \omega y^2\Psi = \left( E + \frac{k^2}{2} + N^2 a \right) \Psi.</math>

Rozwiązaniem jest więc stan podstawowy oscylatora harmonicznego, jeśli tylko <math>(a>0){:}</math>
: <math>a \omega=\omega^2/2</math>

lub
: <math>\omega = 2a.</math>

Pełne rozwiązanie solitonowe jest więc dane przez:
: <math>\psi(x,t)=\mathrm e^{-\mathrm i E t} \mathrm e^{\mathrm ik{(x-kt)}}\mathrm e^{-a ({x-kt})^2},</math>

gdzie:
: <math>E=a(1-N^2) - k^2/2.</math>

Rozwiązanie to opisuje soliton poruszający się ze stałą prędkością <math>k</math> i niezmieniający kształtu funkcji [[Rozkład normalny|Gaussa]].

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]