Tekst źródłowy strony Funkcje hiperboliczne

[[Plik:hiperbola z funkcji cosh(t) i sinh(t).png|mały|]]
[[Plik:Hyperbolic Sine.svg|mały|[[Wykres funkcji|Wykres]] funkcji sinh]]
[[Plik:cosh.svg|mały|Wykres funkcji cosh to [[krzywa łańcuchowa]].]]
[[Plik:sinh cosh tanh.png|mały|Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny]]
[[Plik:csch sech coth.png|mały|Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny]]

'''Funkcje hiperboliczne''' – zbiór sześciu [[Funkcja|funkcji]] zdefiniowanych przez [[Arytmetyka elementarna|działania arytmetyczne]] na [[Funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN |id = 3911806 |tytuł = funkcje hiperboliczne |data dostępu = 2021-10-02}}</ref>:
{| class="wikitable"
|+
!nazwa
!symbole
!wzory
|-
|sinus hiperboliczny
|<math>\sinh x, \operatorname{sh} x</math>
|<math>\frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>
|-
|cosinus hiperboliczny
|<math>\cosh x, \operatorname{ch} x</math>
|<math>\frac{e^x + e^{-x}}{2}</math>
|-
|tangens hiperboliczny
|<math>\operatorname{tgh} x, \operatorname{th} x</math>
|<math>\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math>
|-
|cotangens hiperboliczny
|<math>\operatorname{ctgh} x, \operatorname{cth} x</math>
|<math>\frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math>
|-
|secans hiperboliczny
|<math>\operatorname{sech} x</math>
|<math>\frac{1}{\cosh x} = {\frac{2}{e^x+e^{-x}}}</math>
|-
|cosecans hiperboliczny
|<math>\operatorname{cosech} x</math>
|<math>\frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x-e^{-x}}</math>
|}
Funkcje te mogą mieć dziedzinę [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistą]] lub [[Liczby zespolone|zespoloną]] i zalicza się je do [[Funkcje elementarne|funkcji elementarnych]]<ref name="epwn" />. Mają własności analogiczne do [[Funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]]. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli <math>x^2-y^2=1</math> (jej prawej, dodatniej części).

Przez funkcje hiperboliczne można definiować [[Funkcje hiperboliczne odwrotne|funkcje polowe]], inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to [[Funkcja odwrotna|funkcje odwrotne]] tych hiperbolicznych, wyrażane też przez [[logarytm]]y.

== Dzieje ==
Do nauki wprowadził je włoski matematyk [[Vincenzo Riccati]], który publikował swoje rozważania w ''Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium'', wydawanym między 1757 a 1762 rokiem<ref>Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, ''Euler at 300: an appreciation'', Mathematical Association of America, 2007, s. 100.</ref>. Nadał im on nazwy ''sinus i cosinus hiperbolico'' i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we [[Francja|Francji]]. 

Szwajcarski matematyk [[Johann Heinrich Lambert]] upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w [[Trygonometria|trygonometrii]] w dziele ''Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques'' (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego<ref>Georg F. Becker, ''Hyperbolic functions'', Read Books, 1931, s. xlviii.</ref>.

== Związki trygonometryczne ==
{{zobacz też|funkcje trygonometryczne}}
Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci <math>(\cos x, \sin x)</math> jest [[okrąg|okręgiem]] ([[okrąg jednostkowy|jednostkowym]]), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci <math>(\cosh x, \sinh x)</math> wyznacza [[hiperbola (matematyka)|hiperbolę]].

Prawdziwe są również wzory:
: <math>\sinh 2t = 2 \sinh t \cosh t,</math>
: <math>\cosh 2t = \cosh^2 t + \sinh^2 t,</math>
: <math>\sinh x + \cosh x = e^x.</math>

Ponadto korzystając ze [[wzór Eulera|wzoru Eulera]]
: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math>

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w [[liczby zespolone|liczbach zespolonych]]:
: <math>\sinh ix = i \sin x,</math>
: <math>\cosh ix = \cos x,</math>
: <math>\operatorname{tgh} ix = i \operatorname{tg} x,</math>
: <math>\operatorname{ctgh} ix = -i \operatorname{ctg} x,</math>

skąd:
: <math>\sinh x = -i \sin ix,</math>
: <math>\cosh x = \cos ix,</math>
: <math>\operatorname{tgh} x = -i \operatorname{tg} ix,</math>
: <math>\operatorname{ctgh} x = i \operatorname{ctg} ix.</math>

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi [[liczby urojone|liczb urojonych]] z okresem <math>2\pi i</math> (sinh, cosh, sech, csech), albo <math>\pi i</math> (tgh, ctgh).

== Własności ==
* Sinus hiperboliczny jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|funkcją nieparzystą]] i [[Funkcja monotoniczna|funkcją rosnącą]].
* Cosinus hiperboliczny jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|funkcją parzystą]] i [[Funkcja monotoniczna|funkcją rosnącą]] dla <math>x>0</math> i [[Funkcja monotoniczna|malejącą]] dla <math>x<0.</math>
* Tangens hiperboliczny jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|funkcją nieparzystą]].

Jeśli <math>\varphi</math> oznacza [[złoty podział|złotą proporcję]], to:
* <math>\sinh \ln \varphi = \tfrac{1}{2},</math>
* <math>\cosh \ln \varphi  =\tfrac{1}{2} \sqrt 5.</math>

== Zależności hiperboliczne ==
{{osobny artykuł|jedynka hiperboliczna}}
Odpowiednikiem „[[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]]”
: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math>

jest tzw. „[[jedynka hiperboliczna]]”:
: <math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.</math>

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

== Pochodne i całki ==
{{Wikiźródła|tekst=nie|Całki funkcji hiperbolicznych|tabelę całek funkcji hiperbolicznych}}
: <math>\sinh'x = \cosh x,</math>

: <math>\cosh'x = \sinh x,</math>

: <math>\operatorname{tgh}'x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \operatorname{tgh}^2 x,</math>

: <math>\operatorname{ctgh}'x = \frac{-1}{\sinh^2 x} = 1 - \operatorname{ctgh}^2 x.</math>

== Rozwinięcia ==
; Szeregi potęgowe
: <math>\sinh z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\dots,</math>

: <math>\cosh z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!} = 1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\dots</math>

; Iloczyny nieskończone
: <math>\sinh x = x \prod_{n=1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right),</math>

: <math>\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right).</math>

== Zobacz też ==
* [[złota funkcja]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld|adres=HyperbolicFunctions |tytuł=Hyperbolic Functions |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hyperbolic_functions Hyperbolic functions]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Krzywe stożkowe}}
{{Funkcje elementarne}}
{{Trygonometria}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje elementarne|H]]