Tekst źródłowy strony Funkcja theta Ramanujana

'''Funkcja theta Ramanujana''' – uogólnia postać [[funkcje theta Jacobiego|funkcji theta Jacobiego]], przy zachowaniu ich ogólnych własności. Przy zapisie zgodnym z funkcją theta Ramanujana [[iloczyn mieszany Jacobiego]] przybiera najbardziej przejrzystą formę. Funkcja została nazwana na cześć jej twórcy, hinduskiego matematyka samouka [[Srinivasa Ramanujan|Srinivasy Ramanujana]].

== Definicja ==
Funkcję można opisać wzorem:
: <math>f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty
a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}</math>

dla <math>|ab|<1.</math> Tożsamość [[iloczyn mieszany Jacobiego|iloczynu mieszanego Jacobiego]] przybiera postać
: <math>f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty.</math>

Wyrażenie <math>(a;q)_n</math> oznacza [[symbol q-Pochhammera]]. Wynikają z tego tożsamości:
: <math>f(q,q) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}
= \frac {(-q;q^2)_\infty (q^2;q^2)_\infty}
{(-q^2;q^2)_\infty (q; q^2)_\infty}</math>

oraz
: <math>f(q,q^3) = \sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2}
= \frac{(q^2;q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty}</math>

oraz
: <math>f(-q,-q^2) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = (q;q)_\infty</math>

Ostatnia z nich, będąc funkcją Eulera (nie mylić z [[Funkcja φ|funkcją φ]]) jest ściśle związana z [[Funkcja modularna Dedekinda|funkcją modularną Dedekinda]].

== Bibliografia ==
* {{MathWorld | Ramanujan Theta Functions | Ramanujan Theta Functions}}

[[Kategoria:Funkcje specjalne|theta Ramanujana]]
[[Kategoria:Q-analogi]]