Tekst źródłowy strony Funkcja q-wykładnicza

{{spis treści}}
'''Funkcja <math>q</math>-wykładnicza''' – [[q-analog|<math>q</math>-analog]] [[funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]].

== Definicja ==
'''Funkcję <math>q</math>-wykładniczą''' lub '''<math>q</math>-eksponentę''' <math>e_q(z)</math> definiuje się jako
: <math>e_q(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} = \sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \dots (1-q)},</math>
gdzie <math>[n]_q!</math> oznacza [[q-silnia|<math>q</math>-silnię]], a
: <math>(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1}) \dots (1-q)</math>
to [[symbol q-Pochhammera|symbol <math>q</math>-Pochhammera]]. To, że jest to <math>q</math>-analog funkcji wykładniczej wynika z własności
: <math>\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z),</math>
gdzie pochodna po lewej oznacza [[q-pochodna|<math>q</math>-pochodną]]. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając <math>q</math>-pochodną [[jednomian]]u:
: <math>\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} = [n]_q z^{n-1}.</math>

Symbol <math>[n]_q</math> oznacza [[q-nawias|<math>q</math>-nawias]].

== Własności ==
Dla rzeczywistych <math>q > 1</math> funkcja <math>e_q(z)</math> jest [[funkcja całkowita|funkcją całkowitą]] zmiennej <math>z.</math> Dla <math>q < 1</math> funkcja <math>e_q(z)</math> jest regularna w kuli <math>|z| < \tfrac{1}{1-q}.</math>

== Związki ==
Dla <math>q < 1</math> w bliskim związku z funkcją <math>q</math>-wykładniczą jest funkcja <math>E_q(t)</math> niespełniająca tożsamości
: <math>e_q(z) = E_q(z(1-q)).</math>

Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym [[podstawowy szereg hipergeometryczny|podstawowego szeregu hipergeometrycznego]]: 
: <math>E_q(z) = \;_1\phi_0 (0;q, z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-q^n z}.</math>

[[Kategoria:Q-analogi]]