Tekst źródłowy strony Funkcja pierwotna

[[Plik:Slope Field.png|thumb|300px|[[Pole kierunków]] funkcji <math>f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 - x + c,</math> gdzie zaznaczono trzy z nieskończenie wielu rozwiązań, które można uzyskać poprzez uzmiennienie [[stała całkowania|stałej]] <math>c.</math>]]

'''Funkcja pierwotna''' – dla danej funkcji <math>f</math> taka [[funkcja]] <math>F,</math> której [[pochodna funkcji|pochodna]] <math>F'</math> jest równa <math>f</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3956937 | tytuł = funkcja pierwotna | data dostępu = 2021-10-02 }}</ref>. Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywa się również ''całkowaniem (nieoznaczonym)'' i można go postrzegać jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne, poprzez [[podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]], związane są z [[całka oznaczona|całkami oznaczonymi]]: całka oznaczona funkcji na danym przedziale jest równa różnicy wartości funkcji pierwotnej w końcach tego przedziału.

== Wzory ==
Jeżeli <math>F</math> jest funkcją pierwotną funkcji <math>f</math> określonej i ciągłej na pewnym [[przedział (matematyka)|przedziale]], to każda inna pierwotna <math>G</math> funkcji <math>f</math> na tym przedziale różni się od <math>F</math> o stałą: istnieje liczba <math>C,</math> nazywana [[stała całkowania|stałą całkowania]], taka, że <math>G(x) = F(x) + C</math> dla wszystkich <math>x.</math> Jeżeli dziedzina <math>f</math> jest [[suma rozłączna|sumą rozłączną]] dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których <math>f</math> jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.
: <math>F(x) = \begin{cases}
-\frac{1}{x} + C_1, \quad x < 0 \\[2pt]
-\frac{1}{x} + C_2, \quad x > 0
\end{cases},</math>

jest najogólniejszą funkcją pierwotną funkcji <math>f(x) = x^{-2}</math> określonej na jej dziedzinie naturalnej <math>(-\infty, 0) \cup (0, \infty).</math>

Otóż, funkcja pierwotna funkcji <math>f</math>
: <math>\int f(x)\; \operatorname dx = F(x) + C,</math>

gdzie:
: <math>F'(x) = \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} F(x) = f(x).</math>

Wyrażenie <math>F(x) + C</math> nazywa się '''całką nieoznaczoną''' (''ogólną funkcją pierwotną'') ''funkcji podcałkowej'' <math>f;</math> czasami zmienną <math>x</math> nazywa się w tym kontekście ''zmienną całkowania''. Obecność ''[[stała całkowania|stałej całkowania]]'' <math>C</math> wynika z faktu, że pochodna stałej jest zawsze równa zeru.

Symbol <math>\textstyle \int</math> (stylizowana [[S|litera S]], od łac. ''summa''), oznaczający operację całkowania, został wprowadzony w [[1686]] roku przez niemieckiego [[matematyka]] i [[Filozofia|filozofa]] [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Leibniza]].

Ponieważ branie funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania jej pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące funkcji pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:
* podstawowa reguła całki nieoznaczonej:
*: <math>\int dx = x + C;</math>
* całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji ([[funkcja jednorodna|jednorodność]]):
*: <math>\int af(x)\; \operatorname dx = a \int f(x)\; \operatorname dx;</math>
* jeżeli <math>f</math> oraz <math>g</math> określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji <math>f</math> i <math>g</math> ([[funkcja addytywna (algebra)|addytywność]]):
*: <math>\int \big(f(x) + g(x)\big)\; \operatorname dx = \int f(x)\; \operatorname dx + \int g(x)\; \operatorname dx;</math>
* jeśli <math>n</math> jest [[Liczby rzeczywiste|liczbą rzeczywistą]], to
*: <math>\int x^n\; \operatorname dx = \begin{cases}
\frac{x^{n+1}}{n+1} + C & \text{dla } n \ne -1, \\[6pt]
\ln |x| + C & \text{dla }n = -1.
\end{cases}</math>

{{osobny artykuł|całka funkcji}}

== Własności i zastosowania ==
Całki nieoznaczone są bardzo często stosowane do obliczania [[całka oznaczona|całek oznaczonych]]. [[Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]] mówi, że jeżeli <math>F</math> jest funkcją pierwotną funkcji <math>f,</math> a <math>f</math> jest ciągła, to
: <math>\int\limits_a^b f(x)\; \operatorname dx = F(b) - F(a).</math>

Każda [[funkcja ciągła]] <math>f</math> ma funkcję pierwotną, a jedna z nich, <math>F,</math> dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji <math>f</math> z uzmiennioną górną granicą całkowania:
: <math>F(x) = \int_a^x f(t)\; \operatorname dt.</math>

Uzmiennienie dolnej granicy daje inne funkcje pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.

Istnieje wiele funkcji, których funkcje pierwotne nie mogą być wyrażone za pomocą [[Funkcje elementarne|funkcji elementarnych]] (takich jak [[wielomian]]y, [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]], [[funkcja wykładnicza|funkcje wykładnicze]], [[logarytm]]y, [[funkcje trygonometryczne]], [[funkcje cyklometryczne|funkcje odwrotne do trygonometrycznych]] i ich złożenia). Przykładami mogą być
: <math>\int e^{-x^2}\; \operatorname dx,\qquad \int \frac{\sin x}{x}\; \operatorname dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\; \operatorname dx,\qquad \int x^x\; \operatorname dx.</math>
<!-- Więcej informacji można znaleźć w artykule o [[różniczkowa teoria Galois|różniczkowej teorii Galois]].-->

== Metody całkowania ==
Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie [[algorytm Rischa]], który pozwala dla każdej [[funkcje elementarne|funkcji elementarnej]] sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających [[obliczenia symboliczne]].

Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.

=== Całkowanie przez części ===
{{osobny artykuł|całkowanie przez części}}
Jeśli funkcje <math>f</math> i <math>g</math> są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:
: <math>\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx.</math>

=== Całkowanie przez podstawienie ===
{{osobny artykuł|całkowanie przez podstawienie}}
Jeśli funkcja rzeczywista <math>f</math> jest [[funkcja ciągła|ciągła]] w przedziale <math>X,</math> a funkcja <math>g</math> ma ciągłą [[Pochodna funkcji|pochodną]] w przedziale <math>T</math> i jest [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowym]] odwzorowaniem <math>T</math> na <math>X,</math> to:
: <math>\int f(x)\; \operatorname dx = F(x)+C</math> wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>\int f\big(g(t)\big)g'(t)\; \operatorname dt=F(g(t))+C.</math>

Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając <math>g^{-1}(x)</math> zamiast <math>t.</math> Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając <math>g(t)</math> zamiast <math>x.</math>

Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:
: jeżeli <math>\int f(x)dx=F(x)+C,</math> to <math>\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C.</math>

=== Całkowanie funkcji wymiernych ===
<!--{{osobny artykuł|całkowanie funkcji wymiernych}} (jeśli będzie taki artykuł, ale to nie ważne)-->
Każdą [[funkcja wymierna|funkcję wymierną]] można rozłożyć na sumę [[Wielomian|funkcji wielomianowej]] i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci
: <math>\frac{A}{(x-a)^n},</math>

albo postaci
: <math>\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n},</math> gdzie <math>p^2-4q<0</math>

(<math>n</math> to [[Liczby naturalne|liczba naturalna]] w obu przypadkach).

Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.

Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:
: <math>\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}dx=\frac{B}{2}\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}dx+\left( C-\frac{Bp}{2}\right) \int\frac{1}{(x^2+px+q)^n}dx.</math>

W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie <math>y=x^2+px+q.</math>

W drugim składniku stosowany jest wzór [[Rekurencja|rekurencyjny]]:
: <math>\int \frac{1}{(T(x))^n}dx=\begin{cases}
\frac{2}\sqrt{-\Delta}\operatorname{arctg}\frac{2x+p}\sqrt{-\Delta}& \mbox{ dla } n=1, \\
\frac{1}{(1-n)\Delta}\left( \frac{2x+p}{(T(x))^{n-1}}+(4n-6)\int\frac{1}{(T(x))^{n-1}}dx\right)& \mbox{ dla } n>1,
\end{cases}</math>

gdzie:
: <math>T(x)=x^2+px+q,</math>
: <math>\Delta=p^2-4q.</math>

Całka z funkcji wymiernej to całka postaci
: <math>\int{\frac{L(x)}{M(x)}dx}{:}</math>

gdzie <math>L(x)</math> oraz <math>M(x)</math> są wielomianami

Rozpatrzmy trzy przypadki

1.
: <math>\deg L(x)\geqslant \deg M(x)</math>

Niech <math>L(x)=W(x)M(x)+R(x)</math>
: <math>\int{\frac{L(x)}{M(x)}dx}=\int{\frac{W(x)M(x)+R(x)}{M(x)}dx}</math>
: <math>\int{\frac{L(x)}{M(x)}dx}=\int{W(x)dx}+\int{\frac{R(x)}{M(x)}dx}</math>

Jeśli mamy stopień licznika większy lub równy stopniowi mianownika dzielimy licznik przez mianownik

2.
: <math>\gcd (M(x),M'(x))\neq const</math>
: <math>\int{\frac{R(x)}{M(x)}dx}=\frac{R_1(x)}{M_1(x)}+\int{\frac{R_2(x)}{M_2(x)}dx}</math>

: <math>M_1(x)=\gcd (M(x),M'(x))</math>
: <math>M(x)=M_1(x)M_2(x)</math>

Mianownik <math>M_2(x)</math> posiada te same pierwiastki co mianownik <math>M(x),</math> tyle że pojedyncze, a krotność pierwiastków mianownika <math>M_1(x)</math> jest o jeden mniejsza niż krotność pierwiastków mianownika <math>M(x)</math>
: <math>\deg R_1(x) < \deg M_1(x)</math>
: <math>\deg R_2(x) < \deg M_2(x)</math>

Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość
: <math>\int{\frac{R(x)}{M(x)}dx}=\frac{R_1(x)}{M_1(x)}+\int{\frac{R_2(x)}{M_2(x)}dx}</math> aby je obliczyć

3.
: <math>\gcd (M_2(x),M'_2(x)) = const</math>

Niech <math>M_2(x)=(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_k)(x^2+p_1 x+q_1)(x^2+p_2 x+q_2)\ldots(x^2+p_m x+q_m)</math>
: <math>\int{\frac{R_2(x)}{M_2(x)}dx}=\int{\frac{A_1}{x-a_1}dx}+\int{\frac{A_2}{x-a_2}dx}+\ldots+\int{\frac{A_k}{x-a_k}dx}+\int{\frac{B_1 x+C_1}{x^2+p_1 x+q_1}dx}+\int{\frac{B_2 x+C_2}{x^2+p_2 x+q_2}dx}+\ldots+\int{\frac{B_m x+C_m}{x^2+p_m x+q_m}dx}+</math>

=== Całkowanie niektórych innych funkcji ===
<!--{{osobny artykuł|podstawienia Eulera}} (jeśli będzie taki artykuł, ale to nie ważne)-->
Każdą całkę funkcji postaci <math>R(\sin x,\ \cos x),</math> gdzie <math>R</math> jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie<ref name="poradnik_438">Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 438.</ref>:
: <math>t = \operatorname{tg}\; \tfrac{x}{2}.</math>

Wówczas
: <math>\operatorname dx=\tfrac{2\operatorname dt}{1+t^2},</math>
: <math>\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2},</math>
: <math>\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2},</math>
: <math>\operatorname{tg}\; x=\tfrac{2t}{1-t^2},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\; x=\tfrac{1-t^2}{2t},</math>
: <math>\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2},</math>
: <math>\csc x=\tfrac{1+t^2}{2t}.</math>

Funkcje postaci
: <math>R\left( \sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}\right),</math>

gdzie <math>ad-bc\ne 0,</math> daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie
: <math>\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}=t,</math>

skąd
: <math>x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n}.</math>

Dla funkcji postaci
: <math>R(x,\ \sqrt{ax^2+bx+c}),</math>

gdzie <math>a>0,\ \Delta=b^2-4ac\ne 0,</math> stosuje się tzw. '''pierwsze podstawienie Eulera'''
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=(t-x)\sqrt{a},</math>

skąd
: <math>x=\frac{at^2-c}{2at+b}.</math>

Natomiast w przypadku
: <math>a<0,\ \Delta=b^2-4ac>0</math>

stosowane jest '''drugie podstawienie Eulera'''
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x+\frac{b}{2x}\right) t-\frac{1}{2}\sqrt\frac{\Delta}{-a},</math>

skąd
: <math>x=\frac{t}{t^2-a}\sqrt\frac{\Delta}{-a}-\frac{b}{2a}.</math>

{{Multisource|Tablica całek|tablicę podstawowych całek|Całki funkcji wymiernych|tablicę całek funkcji wymiernych|Całki funkcji niewymiernych|tablicę całek funkcji niewymiernych|Całki funkcji wykładniczych|tablicę całek funkcji wykładniczych|Całki funkcji logarytmicznych|tablicę całek funkcji logarytmicznych|Całki funkcji trygonometrycznych|tablicę całek funkcji trygonometrycznych|Całki funkcji arcus|tablicę całek funkcji cyklometrycznych|Całki funkcji hiperbolicznych|tablicę całek funkcji hiperbolicznych|Całki funkcji area|tablicę całek funkcji odwrotnych do hiperbolicznych}}
{{wikisłownik|całka nieoznaczona}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/watch?v=ACY_xMlPdCg Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 31 marca 2015 [dostęp 2024-06-23].
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=1FmSQvoKwoI Całka nieoznaczona cz. I – Funkcja pierwotna, pojęcie całki]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
* {{otwarty dostęp}} [https://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Online Integral Calculator], [[Wolfram Alpha]], wolframalpha.com – kalkulator obliczający całki nieoznaczone.

{{Całki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki]]
[[Kategoria:Typy funkcji matematycznych|P]]
[[Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne]]