Tekst źródłowy strony Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

{{dopracować|źródła=2013-01}}
[[Plik:DisNormal04.svg|mały|Rozkład normalny nazywany też rozkładem Gaussa]]
'''Funkcja gęstości prawdopodobieństwa''' ('''gęstość zmiennej losowej''') – nieujemna [[funkcja rzeczywista]], określona dla [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkładu prawdopodobieństwa]], taka że [[całka]] z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są ''rozkładami ciągłymi''.

== Definicja formalna ==
Niech <math>P</math> będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni <math>\mathbb{R}^N</math> (w szczególności na prostej rzeczywistej <math>\mathbb{R}</math>).

'''Gęstością rozkładu prawdopodobieństwa''' <math>P</math> nazywa się nieujemną [[Funkcja mierzalna|funkcję borelowską]] <math>f\colon \mathbb{R}^N\to \mathbb{R_+}\cup\{0\},</math> taką, że dla każdego [[Zbiór borelowski|zbioru borelowskiego]] <math>B\subseteq \mathbb{R}^N</math> zachodzi równość:
: <math>P(B)=\int\limits_B f(x) dx,</math>

tzn. całka z funkcji <math>f</math> obliczona na zbiorze <math>B</math> jest równa prawdopodobieństwu <math>P(B)</math> przypisanemu zbiorowi <math>B.</math>

W szczególnych przypadkach konieczne jest użycie [[Całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]].

== Unormowanie gęstości ==
'''Tw. 1''' (o unormowaniu gęstości) Jeśli <math>f</math> jest gęstością rozkładu <math>P,</math> to w szczególności, na mocy powyższej definicji:
:<math>\int\limits_{!\mathbb{R}^N} f(x) dx=1,</math>

tzn. całka z funkcji gęstości, obliczona na całej przestrzeni <math>\mathbb{R}^N</math> jest równa 1.

'''Tw. 2''' (o istnieniu rozkładu dla danej gęstości)

Każda [[funkcja dodatnia|nieujemna]] funkcja borelowska <math>f,</math> spełniająca powyższy warunek, jest gęstością jakiegoś rozkładu prawdopodobieństwa <math>P.</math>

== Gęstość a dystrybuanta – przypadek 1-wymiarowy ==
'''Tw. 3''' (o obliczaniu dystrybuanty)

Załóżmy, że <math>f</math> jest gęstością rozkładu <math>P.</math> Wówczas [[Dystrybuanta|dystrybuantę]] <math>F_P</math> rozkładu <math>P</math> można wyznaczyć z gęstości
: <math>F_P(x)\equiv P(\,\,(-\infty, x]\,\,)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt.</math>

Jeśli więc istnieje gęstość, to za jej pomocą można w prosty sposób wyrazić dystrybuantę rozkładu. Jest to przydatne, gdy dystrybuanty nie daje się wyrazić w sposób [[całka elementarna|elementarny]] (np. dla [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]]).

'''Tw. 4.''' Warunkiem koniecznym i wystarczającym na istnienie gęstości dla danego rozkładu <math>P</math> jest [[Ciągłość bezwzględna|bezwzględna ciągłość]] jego dystrybuanty.

Sama ciągłość nie jest [[Warunek wystarczający|warunkiem wystarczającym]] – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. [[funkcja Cantora|dystrybuanta Cantora]]).

'''Tw. 5.''' Jeśli <math>F</math> jest dystrybuantą, to jest ona prawie wszędzie [[Pochodna funkcji|różniczkowalna]] oraz jeśli <math>F'</math> (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

== Gęstość a wartość oczekiwana – przypadek 1-wymiarowy ==
'''Tw. 6.''' Jeżeli <math>X</math> jest jednowymiarową [[Zmienna losowa|zmienną losową]] o rozkładzie ciągłym z gęstością <math>f(x),</math> to jej [[wartość oczekiwana]] wyraża się wzorem:
: <math>E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx.</math>

== Gęstość sumy zmiennych losowych ==
'''Tw. 7'''

'''a)''' Jeżeli <math>X</math> i <math>Y</math> są [[Zależność zmiennych losowych|niezależnymi zmiennymi losowymi]] oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły.

'''b)''' Jeśli ponadto obydwie zmienne losowe mają [[Ciągły rozkład prawdopodobieństwa|rozkłady ciągłe]], to gęstość ich sumy jest [[splot (analiza matematycznaa)|splotem]] ich gęstości.

== Własności gęstości – przypadek 2-wymiarowy ==
=== Objętość bryły ograniczonej funkcją gęstości ===
'''Tw. 8.''' [[Objętość]] bryły ograniczonej od góry funkcją gęstości dwóch zmiennych, a od dołu płaszczyzną <math>z=0</math> jest zawsze równe <math>1,</math> tzn.
: <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x, y)\ dy\ dx = 1.</math>

Wkład do całki z wartości funkcji równych <math>0</math> wynosi <math>0,</math> dlatego można zawęzić powyższe całkowanie do niezerowych obszarów funkcji gęstości. Np. jeśli obszar ten ma postać prostokąta <math>[x_1,x_2]\times[y_1,y_2],</math> to
: <math>\int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} f(x, y)\ dy\ dx = 1.</math>

=== Prawdopodobieństwo wystąpienia wartości z pewnego obszaru płaszczyzny ===
Aby obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania wyniku z pewnego obszaru <math>D</math> płaszczyzny, to trzeba dokonać całkowania z funkcji gęstości po tym obszarze, tj.
: <math>P(D)=\iint\limits_D f(x, y)\ dy\ dx.</math>

Jeżeli np. liczymy sumaryczne prawdopodobieństwo otrzymania wartości należącej do prostokąta <math>[x_1,x_2]\times[y_1,y_2],</math> to jest równa wartości całki z funkcji gęstości oznaczonej granicami przedziałów:
: <math>P(x_1 < X < x_2, y_1 < Y < y_2) = \int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} f(x, y)\ dy\ dx.</math>

=== Twierdzenie o niezależności zmiennych losowych ===
Zmienne losowe <math>X, Y</math> posiadające swoje funkcje gęstości
: <math>f_1(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ dy,</math>
: <math>f_2(y) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ dx.</math>

są niezależne, jeżeli funkcja <math>f(x,y)</math> jest gęstością wektora losowego <math>(X, Y),</math> czyli prawdziwe jest równanie:
: <math>f(x, y)=f_1(x)\cdot f_2(y).</math>

== Mechanika kwantowa ==
W [[Mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] stan [[Układ fizyczny|układu fizycznego]] opisuje się np. przez podanie wzajemnych [[Położenie|położeń]] i [[Pęd (fizyka)|pędów]] poszczególnych części układu. Układy fizyczne uznaje się za identyczne, gdy złożone są z takich samych cząstek, mających odpowiednio takie same wzajemne położenia i pędy. Mechanika klasyczna opiera się tu na założeniu, że położenia i pędy można w zasadzie dowolnie dokładnie zmierzyć. Jednak nie jest to prawdą w przypadku, gdy mamy do czynienia z cząstkami o małych masach. W tym wypadku dokładniejszy opis rzeczywistego zachowania się układów fizycznych daje [[mechanika kwantowa]].

W mechanice kwantowej z konieczności rezygnuje się z jednoczesnego przypisywania cząstkom położeń i pędów. W zamian za to stan układu fizycznego opisywany jest za pomocą [[funkcja falowa|funkcji falowej]]. Układy fizyczne są uznawane za identyczne, jeśli przypisuje się im identyczne funkcje falowe. Jednak [[pomiar]] wielkości mierzalnej (tzw. [[obserwabla|obserwabli]]) przeprowadzany na identycznych układach może prowadzić do różnych wyników. Np. mierząc [[położenie|położenia]], [[Pęd (fizyka)#Pęd w mechanice kwantowej|pędy]], [[poziom energetyczny|energie]] cząstek opisywanych taką samą funkcją falową <math>\psi (r)</math> otrzymamy wyniki o pewnym rozkładzie losowym, przy tym np. gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>r</math> jest równa kwadratowi [[Wartość bezwzględna|modułu]] funkcji falowej:
: <math>\rho (r) = \psi (r)^*\cdot \psi (r) = \left| \psi (r) \right|^2,</math>

gdzie <math>^*</math> oznacza [[liczby zespolone|sprzężenie zespolone]].

W ogólności wyniki każdego pomiaru dokonywanego na identycznych układach są wielowymiarową zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa.

[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]
[[Kategoria:Statystyka]]
[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]