Tekst źródłowy strony Funkcja addytywna zbioru

{{inne znaczenia|własności funkcji określonej na ciele zbiorów|[[funkcja addytywna (algebra)|addytywność]] funkcji w algebrze i analizie, [[Funkcja addytywna (teoria liczb)|addytywność]] funkcji w teorii liczb oraz [[addytywność (fizyka)|addytywność]] w fizyce}}
{{spis treści}}
'''Funkcja addytywna zbioru''' – [[funkcja]] określona na pewnej [[Rodzina zbiorów|rodzinie zbiorów]] o wartościach w [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych]], której wartość dla [[suma zbiorów|sumy]] dwu [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] jest [[dodawanie|sumą]] wartości dla każdego z tych zbiorów. Z pojęciem addytywności blisko związane są pojęcia ''podaddytywności'', ''σ-addytywności'' oraz ''σ-podaddytywności'' (funkcje dwóch ostatnich rodzajów definiuje się zwykle na [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałach]] lub [[σ-pierścień|σ-pierścieniach zbiorów]]).

== Definicje ==
Niech <math>\mathcal A</math> będzie [[rodzina zbiorów|rodziną zbiorów]] oraz niech <math>f\colon \mathcal A \to \mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}.</math> O funkcji <math>f</math> mówi się, że jest
* '''addytywna''', jeśli
: <math>f(A \cup B) = f(A) + f(B)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] <math>A, B \in \mathcal A,</math> dla których <math>A \cup B \in \mathcal A.</math>
* '''podaddytywna''' lub '''subaddytywna''', jeśli
: <math>f(A \cup B) \leqslant f(A) + f(B)</math> dla wszystkich zbiorów <math>A, B \in \mathcal A,</math> dla których <math>A \cup B \in \mathcal A.</math>
* '''skończenie addytywna''' jeśli
: <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^n~A_k\right) = \sum_{k = 0}^n~f(A_k)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne|parami rozłącznych zbiorów]] <math>A_0, A_1, \dots, A_n \in \mathcal A,</math> dla których <math>A_0 \cup A_1 \cup \ldots \cup A_n \in \mathcal A.</math>
* '''skończenie podaddytywna''' lub '''skończenie subaddytywna''', jeśli
: <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^n~A_k\right) \leqslant \sum_{k = 0}^n~f(A_k)</math> dla wszystkich zbiorów <math>A_0, A_1, \dots, A_n \in \mathcal A,</math> dla których <math>A_0 \cup A_1 \cup \ldots \cup A_n \in \mathcal A.</math>
* '''przeliczalnie addytywna''' lub '''σ-addytywna''' jeśli
: <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^\infty~A_k\right) = \sum_{k = 0}^\infty~f(A_k)</math> dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów <math>A_0, A_1, A_2, \dots \in \mathcal A,</math> dla których <math>\bigcup_{k = 0}^\infty~A_k \in \mathcal A.</math>
* '''przeliczalnie podaddytywna''', '''przeliczalnie subaddytywna''', '''σ-podaddytywna''' lub '''σ-subaddytywna''', jeśli
: <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^\infty~A_k\right) \leqslant \sum_{k = 0}^\infty~f(A_k)</math> dla wszystkich zbiorów <math>A_0, A_1, A_2, \dots \in \mathcal A,</math> dla których <math>\bigcup_{k = 0}^\infty~A_k \in \mathcal A.</math>

Powyższe funkcje mają częstokroć swoje dodatkowe nazwy wynikłe z ich zastosowań:
* funkcje skończenie addytywne: ''[[miara skończenie addytywna|miary skończenie addytywne]]'',
* funkcje przeliczalnie addytywne: ''[[miara (matematyka)|miary]] (przeliczalnie addytywne)''.

Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej [[Algebra ogólna|strukturze algebraicznej]] wyposażonej w [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[Grupa przemienna|grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), w szczególności: zbiorze liczb rzeczywistych, zespolonych, czy ich rozszerzeniach, które spełniają warunki analogiczne do powyższych. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeniach liniowo-topologicznych]] nazywa się ''[[miara wektorowa|miarami wektorowymi]]''.

== Własności ==
W przypadku, gdy <math>\mathcal A</math> jest (co najmniej) [[pierścień zbiorów|pierścieniem zbiorów]], wymaganie należenia sumy danych zbiorów do rodziny w definicji funkcji skończenie (pod)addytywnych jest spełnione automatycznie, podobnie ma się rzecz, gdy <math>\mathcal A</math> jest [[σ-pierścień|σ-pierścieniem zbiorów]] i funkcji przeliczalnie (pod)addytywnych. Ponadto definicje (pod)addytywności i skończonej (pod)addytywności pokrywają się wtedy na mocy zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] (nie jest tak w ogólności, tzn. dla [[półpierścień zbiorów|półpierścieni zbiorów]]).

Jeśli powyższe funkcje przyjmują wartości w <math>\mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\},</math> to zakłada się, że wszystkie sumy (szeregi) po prawych stronach definicji mają być dobrze określone, tzn. nie występują tam jednocześnie składniki <math>-\infty</math> i <math>+\infty.</math>

Jeśli <math>\varnothing \in \mathcal A,</math> to zwykle przyjmuje się, iż <math>f(\varnothing) = 0,</math> co nazywa się żargonowo ''znikaniem na zbiorze pustym'', wówczas [[Zbiór przeliczalny|przeliczalne]] warianty (sub)addytywności pociągają za sobą skończone. Jeżeli funkcja addytywna przyjmuje [[Liczby rzeczywiste|wartości rzeczywiste]] (skończone), zespolone bądź wektorowe, to znikanie na [[Zbiór pusty|zbiorze pustym]] wynika w istocie z jej addytywności. W przypadku funkcji o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych jest to równoważne warunkowi, by <math>f(\varnothing) \ne \pm\infty,</math> bądź by <math>f</math> nie była [[Tożsamość algebraiczna|tożsamościowo]] równa <math>\pm\infty.</math>

== Przykłady ==
* [[Miara wektorowa|Wahanie miary wektorowej]] jest [[Funkcja addytywna (algebra)|funkcją addytywną]].
* Dowolna [[podmiara]] jest funkcją podaddytywną.
* Każda [[miara (matematyka)|miara]] (np. wahanie σ-addytywnej miary wektorowej) jest funkcją σ-addytywną.
* Dowolna [[miara zewnętrzna]] jest funkcją σ-podaddytywną.

== Rozszerzanie ==
{{osobny artykuł|twierdzenie Hahna-Kołmogorowa}}
Okazuje się, że premiary (przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów znikające na zbiorze pustym) można rozszerzyć w dość naturalny sposób do [[miara zewnętrzna|miar zewnętrznych]], które są zdefiniowane dla [[zbiór potęgowy|wszystkich podzbiorów]] przestrzeni <math>X.</math> Dokładniej, jeżeli <math>\mu_0</math> jest premiarą określoną na pierścieniu podzbiorów przestrzeni <math>X,</math> to funkcja zbiorów <math>\mu^*</math> określona wzorem
: <math>\mu^*(S) = \inf\left\{\sum_{i = 1}^\infty \mu_0(S_i)\colon S_i \in X, S \subseteq \bigcup_{i = 1}^\infty S_i \right\}</math>
jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] na <math>X</math> (zob. [[miara zewnętrzna#Konstrukcje|metoda I konstrukcji miary zewnętrznej]]).

== Zobacz też ==
* [[ścisła addytywność miar wektorowych]]

{{Homomorfizmy}}

[[Kategoria:Typy funkcji matematycznych|Addytywna zbioru]]
[[Kategoria:Teoria miary]]