Tekst źródłowy strony Funkcja Γ

[[Plik:Gamma plot.svg|mały|Wykres funkcji gamma]]
[[Plik:Factorial Interpolation.svg|mały|Czy istnieją inne funkcje niż funkcja gamma, które interpolują funkcję silnia dla dowolnych liczb rzeczywistych?]]

'''Funkcja gamma''' (zwana też funkcją gamma Eulera) – [[funkcje specjalne|funkcja specjalna]], która rozszerza pojęcie [[silnia|silni]]<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Funkcje Eulera | id = 4008200 | data dostępu = 2021-07-21}}</ref> na zbiór [[liczba|liczb]] [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[Liczby zespolone|zespolonych]].

== Definicje ==
=== Całkowa ===
Jeżeli <math>x</math> – część rzeczywista [[liczby zespolone]]j <math>z=x + i y</math> jest dodatnia, to
: <math>\Gamma(z) = \int\limits_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt, \quad x>0</math>
: – tzw. '''całka Eulera 2 rodzaju''' (całka Eulera 1 rodzaju – to [[Funkcja Β|funkcja Beta]])

=== Iloczynowa ===
Dla dowolnych liczb zespolonych <math>z=x + i y</math> mamy
: <math>\Gamma(z) = \lim_{n\to +\infty} \frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2) \dots (z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}.</math>

== Motywacja ==
Funkcja gamma może być postrzegana jako rozwiązanie następującego problemu interpolacji:
: „Znajdź gładką krzywą, która łączy punkty <math>(x, y)</math> dane przez funkcję <math>y = (x - 1)!,</math> która jest określona dla dodatnich liczb całkowitych <math>x</math>”.

Wzór <math>x! = 1 \cdot 2 \dots x</math> nie może być użyty dla niecałkowitych wartości <math>x,</math> ponieważ jest ważny tylko wtedy, gdy <math>x</math> jest liczbą naturalną.

Funkcja gamma jest dobrym rozwiązaniem, jednak nie jest to jedyne rozwiązanie: istnieje bowiem nieskończenie wiele ciągłych rozszerzeń funkcji silnia na liczby niecałkowite, gdyż przez zbiór izolowanych punktów (jaki tworzy [[wykres funkcji]] silnia) można narysować nieskończenie wiele różnych krzywych.

Funkcja gamma jest najbardziej użytecznym rozwiązaniem w praktyce, ponieważ jest [[funkcja analityczna|funkcją analityczną]] (z wyjątkiem niedodatnich [[Liczby całkowite|liczb całkowitych]]) i można ją zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.

Nie jest to także jedyna funkcja analityczna, która rozszerza silnię, ponieważ dodanie do niej dowolnej funkcji analitycznej, która zeruje się dla dodatnich liczb całkowitych, takich jak <math>\text{k sin}( m \pi x),</math> gdzie <math>m</math> – liczba całkowita, da inną funkcję interpolującą silnię. Takie funkcje nazywa się '''funkcjami pseudogamma'''. Najbardziej znaną jest {{link-interwiki|funkcja Hadamarda|Q=Q25101797}}.

== Własności funkcji Gamma ==
[[Plik:Gamma plus sin pi z.svg|mały|Dwa dobre uogólnienia analityczne funkcji silnia na zbiór liczb rzeczywistych: funkcja <math>\Gamma(z)</math> – wykres niebieski oraz funkcja <math>\Gamma(z) + sin(\pi\cdot z)</math> – wykres zielony. Obie te funkcje przecinają się dla liczb naturalnych.]]

'''Tw.''' Funkcja gamma nie ma [[Miejsce zerowe|miejsc zerowych]] (por. wykres)

'''Tw. <math>\Gamma(1)=1</math>'''

'''Tw. <math>\Gamma(n+1)=n!\quad \text{dla} \quad n \in N</math>''',

gdzie <math>N</math> – zbiór [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]],

tzn. funkcja gamma ma wartości identyczne jak silnia dla liczb naturalnych.

'''Tw.''' Dla <math>n \in N</math> mamy
: <math>\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt\pi</math>
: <math>\Gamma(n+1/p) =  \Gamma(1/p) \frac{(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^n}</math>

gdzie <math>x!^{(p)}</math> oznacza tzw. [[silnia#Silnia wielokrotna|silnię wielokrotną]] p-tą.

'''Tw.''' <math>\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)</math>

Dowód – metodą [[Całkowanie przez części|całkowania przez części]].

'''Tw.''' <math>\Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+ \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt\pi}{2^{2\cdot z\ -1}}\cdot \Gamma (2z)</math>

'''Tw.''' Jeżeli mianownik jest niezerowy, to:
: <math>\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z) =\frac{\pi}{\sin{\pi z}},</math>
: <math>\Gamma \left(z+\frac{1}{2}\right)\cdot \Gamma \left(\frac{1}{2}-z\right) = \frac{\pi }{\cos{\pi z}}.</math>

'''Tw.''' Jeśli <math>-1<\operatorname{Re}(z)<1,</math> to:
: <math>\Gamma (z)=\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\sin{t}\,dt.</math>
'''Tw.''' Jeśli <math>0<\operatorname{Re}(z)<1,</math> to:
: <math>\Gamma (z)=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\cos{t}\,dt.</math>

'''Tw.''' Wzór iloczynowy Gaussa:
: <math>\Gamma (nz) = \frac{n^{nz}}{\sqrt{(2\pi)^{n-1}}} \cdot \Gamma(z) \cdot \Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right) \cdot \Gamma\left(z+\frac{2}{n}\right) \cdot \ldots \cdot \Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right).</math>

== Wybrane wartości funkcji Gamma ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Tabela wartości funkcji gamma
|-
! <math>x</math> || <math>\Gamma(x)</math>
|-
| −2,500 || <math>\approx -0{,}945309</math>
|-
! −2 || <math>\pm \infty</math>
|-
| −1,500 || <math>\frac{4\sqrt\pi}{3} \approx 2{,}363271801</math>
|-
! −1 || <math>\pm \infty</math>
|-
| −0,500 || <math>-2\sqrt\pi \approx -3{,}544907702</math>
|-
! 0 || <math>\pm \infty</math>
|-
| 0,143 || <math>\approx 6{,}548062940</math>
|-
| 0,167 || <math>\approx 5{,}566316002</math>
|-
| 0,200 || <math>\approx 4{,}590843712</math>
|-
| 0,250 || <math>\approx 3{,}625609908</math>
|-
| 0,333 || <math>\approx 2{,}678938535</math>
|-
| 0,500 || <math>\sqrt\pi \approx 1{,}772453851</math>
|-
! 1 || 0! = 1
|-
|<math>x_{min}</math> || <math>0{,}885603194</math>
|-
| 1,500 || <math>\frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0{,}886226925</math>
|-
! 2 || 1! = 1
|-
| 2,500 || <math>\frac{3\sqrt\pi}{4} \approx 1{,}329340388</math>
|-
! 3 || 2! = 2
|-
| 3,500 || <math>\frac{15\sqrt\pi}{8} \approx 3{,}323350970</math>
|-
! 4 || 3! = 6
|}

Dla <math>x_{min}\approx 1{,}461632145</math> funkcja <math>\Gamma(z)</math> ma [[Ekstremum funkcji|minimum lokalne]] - jest to jedyne minimum dla liczb <math>z</math>, takich że  <math>x=Re \, z>0</math>; dla <math>x>x_{min}</math> moduł funkcji <math>\Gamma(z)</math> rośnie nieograniczenie do <math>+\infty</math>.

Funkcja <math>\Gamma(z)</math> nie jest określona dla <math>z=0,-1,-2,\dots</math> – ma tam bieguny o [[Residuum funkcji holomorficznej|residuum]] <math>(-1)^z/z!.</math>

== Wykres funkcji zespolonej – techniki wizualizacji ==
Wykres funkcji rzeczywistej <math>y=f(x)</math> można narysować w 2 wymiarach. Wykres [[Funkcja zespolona|funkcji zespolonej]], mającej zarówno zespoloną dziedzinę, jak i zespolony zbiór wartości, wymagałby 4 wymiarów. Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest metoda wizualizacji za pomocą [[Powierzchnia Riemanna|powierzchni Riemanna]]; inną metodą jest [[Technika kolorowania dziedziny|technika kolorowanie dziedziny]].
[[Plik:Gamma abs arg.png|thumb|center|372x372px|Wykres funkcji zespolonej <math>\Gamma(z){:}</math> '''oś ''x''''' – części rzeczywiste liczb zespolonych postaci <math>z=x+iy,</math> '''oś ''y''''' – części urojone tych liczb, '''oś ''z''''' – <math>|\Gamma (z)|,</math> tj. [[Wartość bezwzględna|moduł funkcji gamma]]; '''kolor''' – zależy od <math>arg\, \Gamma (z),</math> tj. od wartości [[Argument liczby zespolonej|argumentu funkcji gamma]].]]
{{Grafika rozwinięta
| położenie=center
| grafika1=Gamma(z).jpg | szerokość1=150 | opis1=Kompletny wykres
| grafika2=Gamma(z) modulus.jpg | szerokość2=150 | opis2=Moduł
| grafika3=Gamma(z) argument.jpg | szerokość3=150 | opis3=Argument
| grafika4=Gamma(z) realis.jpg | szerokość4=150 | opis4=Część rzeczywista
| grafika5=Gamma(z) imaginaris.jpg | szerokość5=150 | opis5=Część urojona
| opis=Wykres funkcji zespolonej <math>\Gamma(z)</math> uzyskany [[Technika kolorowania dziedziny|techniką kolorowania dziedziny]]
}}

== Odwrotność funkcji gamma ==
: <math>\frac{1}{\Gamma (z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\right]</math>

gdzie γ to [[Stała Eulera|stała Eulera-Mascheroniego]].

Odwrotność funkcji gamma jest określona na całej [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]], gdyż funkcja <math>\Gamma(z)</math> nie ma miejsc zerowych – taką funkcję nazywa się [[Funkcja całkowita|funkcją całkowitą]].

== Logarytmiczna pochodna funkcji gamma ==
[[Plik:PolyGamma plot.gif|thumb|251x251px|Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma]]
'''Df. [[pochodna logarytmiczna|Logarytmiczną pochodną]] funkcji gamma''' albo '''funkcją di-gamma''' nazywa się funkcję postaci
: <math>\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)},</math>

gdzie <math>z\neq 0,-1,-2,\dots</math>

'''Tw.''' <math>\psi(z)=-\gamma+\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\right),</math>

gdzie <math>\gamma</math> – [[Stała Eulera|stała Eulera-Mascheroniego]]

'''Tw.''' <math>\psi'(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\left(z+k\right)^2}.</math>

'''Tw.''' Dla <math>x>>1</math> słuszne jest przybliżenie:
: <math>\psi(x)\approx \ln x-\frac{1}{2x}.</math>

== Funkcja poligamma ==
'''Df. Funkcją poligamma ''n''-tego rzędu''' nazywamy <math>n+1</math>-szą pochodną funkcji <math>\ln\Gamma(z),</math> tj.
: <math>\psi^{(n)}(z)=\frac{d^n\psi(z)}{dz^n}=\left(\frac{d}{dz}\right)^{n+1}\ln\Gamma(z),</math>

Wtedy:
: <math>\psi(z)=\psi^{(0)}(z).</math>

'''Df.''' Funkcją tri-gamma (lub trój-gamma) nazywa się funkcją <math>\psi^{(1)}.</math>

{{Grafika rozwinięta
| tytuł=Funkcja <math>\ln\Gamma(z)</math> i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej
| położenie=center
| grafika1=Complex LogGamma.jpg | szerokość1=140 | opis1=<math>\ln\Gamma(z)</math>
| grafika2=Complex Polygamma 0.jpg | szerokość2=140 | opis2=<math>\psi^{(0)}(z)</math> (digamma)
| grafika3=Complex Polygamma 1.jpg | szerokość3=140 | opis3=<math>\psi^{(1)}(z)</math> (trigamma)
| grafika4=Complex Polygamma 2.jpg | szerokość4=140 | opis4=<math>\psi^{(2)}(z)</math>
| grafika5=Complex Polygamma 3.jpg | szerokość5=140 | opis5=<math>\psi^{(3)}(z)</math>
| grafika6=Complex Polygamma 4.jpg | szerokość6=140 | opis6=<math>\psi^{(4)}(z)</math>
| opis=Wykresy funkcji zespolonej uzyskane [[Technika kolorowania dziedziny|techniką kolorowania dziedziny]]
}}

== Zastosowania funkcji gamma ==
Funkcja gamma ma ogromnie liczne zastosowania (<u>sekcja wymaga rozwinięcia</u>)
* Na funkcji gamma opiera się [[Symbol q-Pochhammera|symbol Pochhammera]]<ref>{{MathWorld|adres=PochhammerSymbol |tytuł=Pochhammer Symbol |data dostępu=2018-01-21}}</ref>.
* Wzór na objętość n-wymiarowej [[Hipersfera|hipersfery]]: <math>S_n=(2*\pi^{n/2})/(\Gamma(1/2n))</math><ref>{{MathWorld|adres=Hypersphere |tytuł=Hypersphere |data dostępu=2018-01-21}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[Funkcja Β|funkcja beta]]
* [[funkcje specjalne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, ''Poradnik encyklopedyczny. Matematyka'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN]], Warszawa 2010, s. 192–193.

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld|adres=GammaFunction |tytuł=Gamma Function |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.mathworks.com/cmsimages/ml_gammafunction_wl_7164.gif |tytuł = Wykres modułu z funkcji Gamma w zespolonych |opublikowany = mathworks.com |archiwum = https://web.archive.org/web/20091220012848/http://www.mathworks.com/cmsimages/ml_gammafunction_wl_7164.gif |zarchiwizowano = 2009-12-20}}
<u>Kalkulator online:</u>
* Kalkulator '''funkcji gamma''' online [https://keisan.casio.com/exec/system/1180573444 https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451]
* Kalkulator '''odwrotnej funkcji gamma''' online [https://keisan.casio.com/exec/system/1180573445 https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451]
* Kalkulator '''funkcji ln gamma''' online [https://keisan.casio.com/exec/system/1180573442 https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451]

{{Funkcje specjalne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje specjalne]]
[[Kategoria:Analiza zespolona]]