Tekst źródłowy strony Fraktal

[[Plik:Michelmset.jpg|thumb|Fraktal]]

'''Fraktal''' ([[łacina|łac.]] ''fractus'' – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości)<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Fraktal | id = 3902416 | data dostępu = 2021-07-28 }}</ref> albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość<ref name="falconer97">Kenneth Falconer, ''Techniques in fractal geometry'', John Willey and Sons, 1997, {{ISBN|0-471-92287-0}}.</ref>:
* ma [[Trywialność (matematyka)|nietrywialną]] strukturę w każdej skali,
* struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,
* jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub [[Proces stochastyczny|stochastycznym]],
* jego [[wymiar Hausdorffa]] jest większy niż jego [[Wymiar (matematyka)|wymiar topologiczny]],
* ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
* ma ''naturalny'' („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd.

Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samopodobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, [[zbiór Mandelbrota]] ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię tej nazwy.

== Historia ==
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do [[matematyka|matematyki]] przez [[Benoît Mandelbrot]]a w latach 70. XX wieku. Odkryty przez niego [[zbiór Mandelbrota]] nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama [[zbiór|zbiorów]] o niecałkowitym [[wymiar Hausdorffa|wymiarze Hausdorffa]], postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się [[geometryczna teoria miary]], mająca swoje początki w pracach [[Constantin Carathéodory|Constantina Carathéodory’ego]] i [[Felix Hausdorff|Felixa Hausdorffa]].

Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się [[Georg Cantor]], [[Giuseppe Peano]], [[Wacław Sierpiński]], [[Paul Pierre Lévy|Paul Lévy]], a także [[Donald Knuth]]. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej [[Teoria miary|teorii miary]] wniósł [[Abram Besicovitch|Abraham Bezikowicz]], który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również [[zbiór Julii]], ściśle związany ze [[zbiór Mandelbrota|zbiorem Mandelbrota]], był badany w latach 20. zeszłego [[wiek]]u. [[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]], używając [[komputer]]a do [[wizualizacja|wizualizacji]], uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej [[antena fraktalna|anteny fraktalnej]]. Liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w [[natura|naturze]].

== Właściwości ==
[[Plik:SierpinskiTriangle.PNG|mały|Przykład fraktala: [[trójkąt Sierpińskiego]]]]
Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się [[samopodobieństwo]], to znaczy [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobieństwo]] całości do jego części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne [[przekształcenie afiniczne]]. Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną [[Wymiar podobieństwa|wymiarem samopodobieństwa]] lub [[wymiar pudełkowy|wymiarem pudełkowym]]. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.

Wiadomo, że stosunek pól płaskich (wymiaru 2) figur podobnych równa się kwadratowi skali ich podobieństwa. Na przykład [[figura geometryczna|figura]] podobna do innej w skali 3 ma dziewięć razy większe pole od tamtej (<math>9 = 3^2</math> albo <math>2 = \log_3 9</math>). W przestrzeni stosunek objętości brył (trójwymiarowych) podobnych jest [[potęgowanie|sześcianem]] skali ich podobieństwa; bryła podobna do innej w skali 2 ma osiem razy większą [[objętość (matematyka)|objętość]] od tamtej (<math>8 = 2^3</math> albo <math>3 = \log_2 8</math>). Wymiar samopodobieństwa figury daje się zatem określić jako logarytm o podstawie równej skali podobieństwa i liczbie logarytmowej wskazującej, ile razy większa od figury wyjściowej (jaką częścią figury wyjściowej) jest figura podobna do niej w tej skali. Dla fraktali liczba ta może nie być całkowita.

Na przykład [[zbiór Cantora]] jest podobny do swoich dwu części w skali 3; [[wymiar Hausdorffa]] zbioru Cantora wynosi <math>d = \log 2/\log 3 = 0{,}630929754\dots</math> Analogicznie [[trójkąt Sierpińskiego]] jest podobny do swoich trzech części w skali 2, a jego wymiar Hausdorffa jest równy <math>d = \log 3/\log 2 = 1{,}584962501\dots</math> [[Dywan Sierpińskiego]] jest podobny do swoich ośmiu części w skali 3, zatem jego wymiar Hausdorffa to <math>d = \log 8/\log 3 = 1{,}892789261\dots</math>

Ogólniej, jeżeli fraktal składa się z <math>N</math> części, które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue’a zero i są podobne w skali <math>r</math> do całego fraktala, to [[wymiar Hausdorffa]] fraktala będzie równy <math>\log N/\log r.</math> Jeszcze ogólniej, jeśli założymy, że każda część jest podobna do całości w innej skali <math>r_i,\; i=1,2,\dots,N,</math> to wymiar Hausdorffa jest rozwiązaniem poniższego równania z niewiadomą <math>s</math>
: <math>\sum_{i=1}^N r_i^s = 1.</math>

Niektóre fraktale są zbiorami o [[Miara Lebesgue’a|mierze Lebesgue’a]] równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np. [[trójkąt Sierpińskiego]] i [[zbiór Cantora]] mają miarę Lebesgue’a równą zero. Ogólnie każdy fraktal, dla którego [[wymiar Hausdorffa]] jest ostro większy od [[wymiar (matematyka)|wymiaru topologicznego]], będzie mieć tę własność. Z kolei zbiór Mandelbrota i niektóre zbiory Julii mają dodatnie miary Lebesgue’a (na przykład miara Lebesgue’a zbioru Mandelbrota wynosi ok. 1,5).

== Generowanie fraktali ==
=== Atraktory IFS ===
Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru [[przekształcenie afiniczne|przekształceń afinicznych]] <math>\left\{ \mathbf{F}_i \right\}_{i=1}^n</math> będących [[Kontrakcja (matematyka)|przekształceniami zwężającymi]] (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór <math>S</math> zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):
: <math>S_0 = S,</math>
: <math>S_k = \bigcup^n_{i=1}\mathbf{F}_i(S_{k-1}).</math>

W granicy otrzymujemy:
: <math>S_\infty = \lim_{k \to \infty} S_k,</math>

atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem. Zbiór <math>\left\{ \mathbf{F}_i \right\}_{i=1}^n</math> nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń iterowanych ([[IFS (geometria fraktalna)|IFS]]), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z [[twierdzenie Banacha o kontrakcji|twierdzenia Banacha o punkcie stałym]] odwzorowania zwężającego. W ten sposób można wygenerować m.in. następujące fraktale: [[zbiór Cantora]], [[krzywa Kocha]], [[smok Heighwaya]], [[trójkąt Sierpińskiego]], [[kostka Mengera]] i [[paproć Barnsleya]].

W praktyce aby wygenerować fraktal stosuje się algorytm iteracji losowej zwany [[Gra w chaos|grą w chaos]]. Polega on na tym, że wybieramy dowolny punkt <math>x</math> i transformujemy go ''wiele'' razy, za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie <math>F_i{:}</math>
: <math>x_0=x;\; x_{n+1}=F_i(x_n).</math>

Procedurę tę powtarzamy np. ''kilka tysięcy'' razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Np. dla [[paproć Barnsleya|paproci Barnsleya]] przekształcenia <math>F_i,\; i=1,\dots,4</math> (zob. [[Paproć Barnsleya|definicję]]) losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.

=== Zbiory Julii i Mandelbrota ===
Zbiory takie jak [[zbiór Mandelbrota]], [[zbiór Julii]] czy „[[płonący statek]]” są podzbiorami [[Liczby zespolone|płaszczyzny zespolonej]]. Dla każdego punktu <math>p</math> określa się pewien [[Ciąg (matematyka)|ciąg]] <math>z_n(p).</math> Od [[Granica ciągu|zbieżności]] tego ciągu zależy, czy punkt należy do zbioru (fraktala). Ciąg określa się wzorem [[Rekurencja|rekurencyjnym]]:
: <math>z_0(p) = f(p),</math>
: <math>z_{n+1}(p) = g(z_n).</math>

Od postaci [[Funkcja|funkcji]] <math>f</math> i <math>g</math> zależy rodzaj fraktala.

Za punkty należące do danego zbioru uznaje się te, dla których:
: <math>\lim_{n \to \infty}z_n \neq \infty.</math>

Przykłady
* [[zbiór Mandelbrota]]: <math>f(p)=0, \quad z_{n+1} = z_n^2+p,</math>
* [[zbiór Julii]] zależy dodatkowo od ustalonego parametru <math>c</math> (dla każdego <math>c</math> otrzymujemy inny zbiór): <math>f(p) = p, \quad z_{n+1} = z_n^2+c,</math>
* „[[płonący statek]]”: <math>f(p) = 0,\quad z_{n+1} = (|\Re \{z_n\}|+i|\Im \{z_n\}|)^2 + p.</math>

W praktyce liczenie ogranicza się do kilkudziesięciu iteracji lub do momentu, gdy <math>|z_n|>2.</math> Uzyskiwane kolory w obrazach fraktali (zwłaszcza zbiorów Julii) realizuje się np. zliczając, jak szybko poszczególne punkty rozbiegają się do nieskończoności i przydzielając im w zależności od tego różne barwy.

== W przyrodzie ==
[[Plik:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|thumb|[[Kalafior rzymski]] (romanesco) jest przykładem występowania fraktali w przyrodzie]]
[[Plik:Fractal weeds.jpg|mały|Fraktalna budowa zbóż]]
Struktury o budowie fraktalnej są powszechnie spotykane w przyrodzie. Przykładem mogą być krystaliczne [[Dendryt (krystalografia)|dendryty]] (np. płatki śniegu), system naczyń krwionośnych, systemy wodne rzek, błyskawice lub kwiaty kalafiora.

== Przykłady ==
[[Plik:2-dimensional repetitive Lyapunov-fractal pattern.png|mały|Fraktal Lyapunova]]
„Klasycznymi fraktalami”, badanymi (czasem długo) przed powstaniem samego pojęcia fraktala, są m.in.:
* [[zbiór Cantora]] i związane z nim „[[Funkcja osobliwa|diabelskie schody]]”,
* krzywe: [[funkcja Weierstrassa]], [[krzywa Kocha]], [[krzywa Peana]] i [[krzywa Lévy’ego]],
* [[trójkąt Sierpińskiego]], [[dywan Sierpińskiego]], w oryginale opisane przez autora jako krzywe na płaszczyźnie, fakt „niewidoczny” we współczesnych konstrukcjach. Uogólnienie „trójwymiarowe” dywanu to [[kostka Mengera]],
* [[smok Heighwaya]],
* [[zbiór Julii]].

Inne ważne przykłady:
* fraktale otrzymywane w schemacie [[IFS (geometria fraktalna)|IFS]] (''iterated function system''), zob. niżej,
* [[bifurkacje Feigenbauma]],
* [[dziwny atraktor|dziwne atraktory]] w [[Układ dynamiczny|układach dynamicznych]],
* [[fraktale Liapunowa]],
* [[zbiór Mandelbrota]].

=== Fraktale w matematyce ===
<gallery>
Plik:Mandelbrot-similar1.png|Zbiór Mandelbrota
Plik:Mandelbrot-similar2.png|Zbiór Mandelbrota – powiększony fragment
Plik:Mandelbrot-similar3.png|Zbiór Mandelbrota – kolejne powiększenie
Plik:Mandelbrot-similar4.png|Zbiór Mandelbrota – kolejne powiększenie
Plik:Menger.png|Kostka Mengera (IFS)
Plik:Fraktal banacha1.png|Atraktor IFS
Plik:Fraktal banacha2.png|Atraktor IFS
Plik:Bransleys_fern.png|Paproć Barnsleya (Atraktor IFS)
Plik:qjulia.jpg|Zbiór Julii w przestrzeni kwaternionów
Plik:Fractals-julia.gif|Zbiór Julii
Plik:Koch Snowflake 7th iteration.svg|Siódma iteracja krzywej Kocha
Plik:Dodecaedron fractal.jpg|Fraktal w przestrzeni trójwymiarowej
Plik:Smith-Volterra-Cantor set.svg|Etapy konstrukcji zbioru Cantora
Plik:Cantorkub (Fraktal).jpg|Kostka Cantora
Plik:Dragon curve.png|Krzywe smocze mogą wypełnić płaszczyznę
Plik:Levy C Curve.svg|Krzywa C Lévy’ego
Plik:Sierpiński curve order 4.svg|4 etap konstrukcji krzywej Sierpińskiego
</gallery>

=== Fraktale w grafice komputerowej ===
Istnieje wiele programów przeznaczonych do tworzenia obrazów fraktalnych, np. [[Fractint]], [[Ultra Fractal]], [[XenoDream]], [[Tierazon]], [[FractalExplorer]], [[Apophysis]], [[Sterling (program)|Sterling]], [[QuaSZ]], [[XaoS]] i [[GIMP|Gimp]].

<gallery>
Plik:Apophysis fractal flame.jpg
Plik:Fractal Flame linear yaprak001.jpg
Plik:Fractal Flame linear kelebek003.jpg
Plik:Fractal Flame linear kabuklu001.jpg
Plik:Fractal-plant.svg
Plik:Fractal weeds.jpg
Plik:Fractal tree (Plate b - 3).jpg
Plik:Electricsheep-21120.jpg
Plik:Electricsheep-25131.jpg
Plik:Electricsheep-1177.jpg
Plik:Electricsheep-18467.jpg
Plik:Electricsheep-21158.jpg
Plik:Electricsheep-21194.jpg
Plik:Electricsheep-24265.jpg
Plik:Fractal v 02.jpg
Plik:Fractal Sentinel SterlingW3165.jpg
Plik:Fractal tower Sterling2 1837.jpg
Plik:Hidden Mandarin fractal Sterling2 3365.jpg
Plik:Baroque_bug_fractal_SterlingW2589.jpg
Plik:Alien generator Tiera4172aa.JPG
</gallery>

=== Fraktalopodobne obiekty w świecie rzeczywistym ===
<gallery>
Plik:Romanesco Brassica oleracea Richard Bartz.jpg|Zdjęcie [[kalafior]]a ''Brassica oleracea''
Plik:2003-32-GravitationalLens.jpg|Zdjęcie wykonane teleskopem Hubble’a
Plik:Actinoform cloud.jpg|Chmura
Plik:6137 - Gadmertal - Sky above Triftbahn lower station.JPG|Chmury
Plik:Golfstrom.jpg|[[Prąd Zatokowy|Golfstrom]]
Plik:Fjords highlighted by snow.jpg|[[Fiord]]y Sognefjorden i {{link-interwiki|Hardangerfjorden|Q=Q841491}}
Plik:Fjords 5.81273E 61.84781N.jpg|Fiordy
Plik:USA 10660 Bryce Canyon Luca Galuzzi 2007.jpg|Formacje skalne
Plik:Spiral Aloe from above.JPG|[[Aloes wielkolistny]]
</gallery>

== Zobacz też ==
{{Commons|Fractal}}
{{Wikisłownik|fraktal}}
* [[teoria ośrodków centralnych]]
* [[sztuka fraktalna]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj|autor = Michael Fielding Barnsley |tytuł = Fractals Everywhere |data = 1993 |isbn = 0-12-079061-0 |wydanie = 2nd ed. |inni = Hawley Rising |miejsce = Boston |wydawca = Academic Press Professional |oclc = 28025975}}
* Falconer, Kenneth. ''Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications''. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. {{ISBN|0-470-84861-8}}.
* {{Cytuj|autor = Jacek Kudrewicz |tytuł = Fraktale i chaos |data = 1996 |isbn = 83-204-1927-1 |miejsce = Warszawa |wydawca = WNT |oclc = 749317426}}
* Mandelbrot, Benoît B., ''The Fractal Geometry of Nature'', New York: W.H. Freeman and Co., 1982, {{ISBN|0-7167-1186-9}}.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=1-O80mq4aDA Fraktale]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki” na [[YouTube]], 17 sierpnia 2017 [dostęp 2024-09-04].
* [[dmoz:Science/Math/Chaos and Fractals/|Fraktale w katalogu DMOZ]] (ang.) [dostęp 2021-07-28].
* {{otwarty dostęp}} Alex Rosenthal i George Zaidan, ''[https://www.youtube.com/watch?v=0C75vRVL5lE The case of the missing fractals]'', kanał TED-Ed na [[YouTube]], 29 kwietnia 2014 [dostęp 2024-08-24].

{{Działy geometrii}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Figury geometryczne]]
[[Kategoria:Geometria fraktalna| ]]