Tekst źródłowy strony Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej

'''Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej''' ({{ang.|finite impulse response filter, FIR filter}}) – rodzaj [[Rekurencja|nierekursywnego]] [[filtr cyfrowy|filtru cyfrowego]].

Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski akronim tej nazwy to '''filtr SOI'''). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumie się długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnału przyjmują wartości niezerowe). Aby warunek ten był spełniony, w tego typu filtrach nie występuje pętla [[Sprzężenie zwrotne|sprzężenia zwrotnego]], co widać na poniższym schemacie (zob. [[Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej|filtr IIR]], w którym występuje pętla sprzężenia zwrotnego).

: [[Plik:Schemat FIR.svg]]
Na powyższym schemacie człony <math>b_i</math> oznaczają współczynniki filtru, a człony <math>z^{-1}</math> są opóźnieniami o jedną próbkę.

Wzór na [[transmitancja operatorowa|transmitancję]] filtru jest wielomianem opisanym za pomocą współczynników filtru:
: <math>H(z) = b_0+b_1 z^{-1}+\ldots+b_N z^{-N}=\frac{B(z)}{z^N}.</math>

[[Charakterystyka impulsowa|Odpowiedź impulsowa]] filtru FIR jest tożsama z ciągiem współczynników <math>\{b_i\}.</math>

Realizacja skomplikowanych transmitancji wymaga wielomianu wysokiego rzędu, dlatego w porównaniu z [[Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej|filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej]] dla uzyskania podobnej charakterystyki potrzeba więcej [[synteza logiczna|zasobów sprzętowych]], przez co realizacja jest bardziej [[Złożoność obliczeniowa|złożona obliczeniowo]]. Współczesne implementacje filtrów FIR wykorzystują [[Polifazowa realizacja filtru|realizacje polifazowe]] oraz transformacje ortogonalne ([[Dyskretna transformata Fouriera|DFT]], [[Dyskretna transformacja kosinusowa|DCT]]), co znacząco zmniejsza złożoność, przybliżając ją do złożoności filtrów IIR.

== Zalety i wady ==
Filtry FIR są obecnie częściej stosowane niż [[Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej|IIR]] z powodu następujących zalet:
* [[Implementacja (informatyka)|Implementacja]] filtrów FIR może być łatwo zrównoleglona, a niektóre procesory wręcz wspomagają operacje sumy iloczynów pozwalając obliczać wynik filtracji w znikomej liczbie cykli zegara.
* Projektowanie filtrów FIR jest znacznie łatwiejsze niż filtrów [[Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej|IIR]].
* Filtry FIR są zawsze stabilne, gdyż w ich funkcji transmitancji występują tylko zera, więc nie ma [[Rekurencja|rekursywności]] mogącej spowodować niestabilność.
* W wielu zastosowaniach (przetwarzanie bieżącego sygnału w blokach, przetwarzanie obrazów) skończona odpowiedź impulsowa jest bardzo pożądana.
* Łatwo jest uzyskać w tego typu filtrach liniową fazę, filtry z liniową fazą opóźniają wszystkie składowe sygnału w jednakowym stopniu.

Jedynymi, choć istotnymi, wadami filtrów FIR w porównaniu do [[Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej|IIR]] są:
* większa złożoność obliczeniowa,
* większe zapotrzebowania na [[Pamięć operacyjna|pamięć operacyjną]].

== Przykład ==
Rozważane jest działanie filtru o skończonej odpowiedzi impulsowej. Założeniem jest [[estymacja]] średniego kosztu użytkowania energii elektrycznej na podstawie rachunku za prąd z bieżącego oraz poprzedniego miesiąca. Równanie, według którego będzie dokonywana ww. estymacja, jest następujące:
: <math>y(n) = \frac{x(n) + x(n-1)}{2} = 0{,}5\cdot x(n) + 0{,}5\cdot x(n-1),</math>

gdzie:
: <math>n</math> – numer miesiąca,
: <math>y(n)</math> – estymowana wartość średnia w bieżącym miesiącu,
: <math>x(n)</math> – wartość rachunku za bieżący miesiąc,
: <math>x(n-1)</math> – wartość rachunku z poprzedniego miesiąca.

Powyższe równanie nazywa się '''równaniem różnicowym filtru'''.

Założeniem jest, że rachunki <math>x(n)</math> za kolejne miesiące wyglądały następująco:

: {| class="wikitable" style="text-align: center"
!width="50px"| <math>n</math>
!width="30px"| 1
!width="30px"| 2
!width="30px"| 3
!width="30px"| 4
!width="30px"| 5
!width="30px"| 6
!width="30px"| 7
!width="30px"| 8
!width="30px"| 9
!width="30px"| 10
!width="30px"| 11
!width="30px"| 12
|-
! <math>x(n)</math>
| 24
| 27
| 31
| 59
| 33
| 37
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|-
! <math>y(n)</math>
| 12
| 25,5
| 29
| 45
| 46
| 35
| 18,5
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|}

Przykładowo, dla miesiąca <math>n=4</math> otrzymuje się:
: <math>y(4) = 0{,}5 \cdot x(4) + 0{,}5 \cdot x(3) = 0{,}5\cdot 59 + 0{,}5\cdot 31 = 45.</math>

Dla miesiąca <math>n=1</math> przyjmuje się, że <math>x(0)=0,</math> w związku z czym:
: <math>y(1)=0{,}5\cdot x(1) + 0{,}5\cdot x(0) = 0{,}5\cdot 24 + 0{,}5\cdot 0 = 12.</math>

Wykres kolejnych rachunków i estymowanych średnich przedstawiony jest na rysunku poniżej (sygnał określony jest tylko dla dyskretnych wartości <math>n,</math> natomiast linie pomagają zaobserwować trend sygnału):
: [[Plik:Soi ex.svg|600px|Przebieg wejściowy x(n) i odpowiedź filtru y(n)]].

Na podstawie tego prostego przykładu można wysnuć następujące, użyteczne wnioski:
* wejściem filtru jest sygnał <math>x(n)</math> będący wartością rachunku za aktualny miesiąc;
* wyjściem filtru jest sygnał <math>y(n)</math> będący średnią ruchomą z dwóch ostatnich rachunków (tj. bieżącego i poprzedniego);
* zaprojektowany filtr ''wygładza'' sygnał wejściowy – nagła zmiana sygnału wejściowego dla <math>n=4</math> została stłumiona;
* od chwili <math>n=7</math> sygnał wejściowy <math>x(n)</math> zanika, co powoduje, że sygnał wyjściowy <math>y(n)</math> również zanika, ale od chwili <math>n=8</math> – jest to cecha charakterystyczna filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI), tj. zanik sygnału wymuszającego powoduje, zanik sygnału wyjściowego w skończonym czasie.

Realizację powyższego filtru przedstawiono na poniższym rysunku, gdzie blok opóźniający o jedną próbkę oznaczono przez <math>z^{-1}</math> (patrz [[Transformacja Z|transformata Z]]).
: [[Plik:Soi diag ex.svg|300px|Przykładowy filtr uśredniający SOI]]

== Zobacz też ==
* [[cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]
* [[filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej]]

== Bibliografia ==
* Bartosz Ziółko, [[Mariusz Ziółko]]: ''Przetwarzanie mowy''. Wydawnictwa AGH, 2012.
* Michał Tadeusiewicz: ''Signals and Systems''. Wydawnictwo [[Politechnika Łódzka|Politechniki Łódzkiej]], 2004.
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Barański |imię = Przemysław |tytuł = Przekształcenie Z. Zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań |wydawca = Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej |data = 2014 |isbn = 978-83-7283-638-0}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę |url = http://www.dsp.agh.edu.pl/doku.php?id=pl:dydaktyka:przetwarzaniesygnalowcyfrowych |tytuł = Materiały dydaktyczne DSP AGH |opublikowany = dsp.agh.edu.pl |archiwum = https://web.archive.org/web/20131203003552/http://www.dsp.agh.edu.pl/doku.php?id=pl:dydaktyka:przetwarzaniesygnalowcyfrowych |zarchiwizowano = 2013-12-03}}

[[Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]
[[Kategoria:Filtry|S]]