Tekst źródłowy strony Epimorfizm

[[Plik:Epimorphism-01.png|thumb|220px|[[Diagram przemienny]] epimorfizmu]]
'''Epimorfizm''' – w [[teoria kategorii|teorii kategorii]], [[Kategoria (matematyka)|morfizm]] <math>f\colon X \to Y</math> mający [[własność skracania|prawostronną własność skracania]], tj. dla wszystkich morfizmów <math>g_1, g_2\colon Y \to Z</math> spełniony jest warunek{{odn|Semadeni|Wiweger|1978|s=49}}:
: <math>g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2.</math>

Epimorfizmy są odpowiednikami [[Surjekcja|funkcji „na”]], lecz nie są one z nimi tożsame. [[Dualność (teoria kategorii)|Pojęciem dualnym]] do epimorfizmu jest [[monomorfizm]].

Wielu autorów książek o [[algebra|algebrze abstrakcyjnej]] i [[algebra uniwersalna|uniwersalnej]] definiuje '''epimorfizm''' jako [[homomorfizm]] „na” (surjektywny)<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Epimorfizm | id = 3898279 | data dostępu = 2021-07-29}}</ref>. Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

{{Spis treści}}

== Epimorfizm konormalny ==
Jeśli dany epimorfizm jest [[jądro (teoria kategorii)|kojądrem]] jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas '''epimorfizmem konormalnym'''{{odn|Semadeni|Wiweger|1978|s=250}}.

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się '''kategorią konormalną'''. Każda z kategorii [[kategoria (matematyka)|'''Gr''']], [[kategoria (matematyka)|'''Ab''']], [[kategoria (matematyka)|'''Vect''']] jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu
: <math>\alpha\colon A \to B.</math>

Jest ono równe [[grupa ilorazowa|grupie ilorazowej]] <math>B/G,</math> gdzie <math>G</math> jest najmniejszą [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] zawierającą <math>\alpha(A).</math>

== Przykłady ==
* Epimorfizmami w kategorii [[kategoria (matematyka)|'''Set''']] są odwzorowania „na”.
: Niech <math>f\colon X \to Y</math> będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki <math>y_0 \in Y \setminus f(X).</math> Niech <math>y_1 \in f(X).</math> Niech <math>Z = \{y_0, y_1\}</math> oraz
: <math>g_0(y) = y_0</math> dla <math>y \in Y,</math>
: <math>g_1(y) = \begin{cases}
y_0, & y \in f(X)\\
y_1, & y \notin f(X)
\end{cases}.</math>
: Wtedy <math>g_0f = g_1f</math> i <math>g_0 \neq g_1,</math> co jest sprzeczne z tym, że <math>f</math> jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje <math>y_0 \in Y \setminus f(X)</math> i funkcja <math>f</math> jest „na”.
* [[Kategoria (matematyka)|Morfizmy identycznościowe]] są epimorfizmami.

== Zobacz też ==
* [[izomorfizm]]
* [[monomorfizm]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Semadeni |imię = Zbigniew |autor link = Zbigniew Semadeni |nazwisko2 = Wiweger |imię2 = Antoni |autor link2 = Antoni Wiweger |tytuł = Wstęp do teorii kategorii i funktorów |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 45 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |wydanie = 2 |strony = |odn = tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |autor = Bucur I. |autor2 = Deleanu A. |tytuł = Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.) |wydawca = Мир |miejsce = Москва |rok = 1972 |isbn =}}
* {{cytuj stronę |url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/ |tytuł = Abstract and Concrete Categories |autor = Jiri Adámek |autor2 = Horst Herrlich |autor3 = George E. Strecker |opublikowany = 2005-01-18 |data = |język = en |data dostępu = 2011-08-26}}

{{Homomorfizmy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Morfizmy]]
[[Kategoria:Algebraiczne własności elementów]]