Tekst źródłowy strony Elipsa

{{Inne znaczenia|figury geometrycznej|[[Elipsa (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
[[Plik:Ellipse-conic.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Ellipse-conic.svg|mały|Elipsa (czerwona) Elipsa otrzymana jako przecięcie [[Stożek (bryła)|stożka]] płaszczyzną.]]

'''Elipsa''' ([[język grecki|gr.]] ἔλλειψις, ''elleipsis'' – „brak, opuszczenie, pominięcie”<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.slownik-online.pl/kopalinski/EF4DD79BCF581926C12565BD00607DF5.php |tytuł = elipsa; elipsoida; eliptyczny |autor = [[Władysław Kopaliński]] |archiwum = https://web.archive.org/web/20130702035049/http://www.slownik-online.pl/kopalinski/EF4DD79BCF581926C12565BD00607DF5.php |zarchiwizowano = 2013-07-02 |praca = Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych |data dostępu = 2018-07-16}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3De%29%2Flleiyis |tytuł = ἔλλειψις |autor = Henry George Liddell |autor2 = Robert Scott |praca = A Greek-English Lexicon |język = en |data dostępu = 2018-07-16}}</ref>, zob. [[#Geneza nazwy|geneza]]) – przypadek [[zbiór ograniczony#Przestrzenie metryczne|ograniczonej]] [[krzywa stożkowa|krzywej stożkowej]], czyli [[krzywa|krzywej]] będącej częścią wspólną [[powierzchnia stożkowa|powierzchni stożkowej]] oraz przecinającej ją [[płaszczyzna|płaszczyzny]]. Elipsę można zdefiniować także jako [[miejsce geometryczne]] tych wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | tytuł = Elipsa | id = 3897552 | data dostępu = 2021-07-30}}</ref>.

Elipsy powstają jako [[Obraz (matematyka)|obrazy]] [[okrąg|okręgu]] lub [[sfera|sfery]] w [[rzut równoległy|rzucie równoległym]] i pewnych przypadkach [[Rzut środkowy|rzutu perspektywicznego.]] Okręgi są szczególnymi przypadkami elips. Elipsa jest domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej [[Stopień wielomianu|stopnia]] drugiego danej [[Funkcja uwikłana|wzorem uwikłanym]] lub [[krzywa algebraiczna|krzywej wymiernej]] drugiego stopnia. Jest najprostszą [[krzywa Lissajous|figurą Lissajous]] powstającą, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.

Elipsa jest krzywą gładką, zamkniętą, [[Symetria figury|symetryczną]] względem jej środka.

== Podstawowe pojęcia i własności ==
=== Oś wielka i oś mała ===
Odległość między [[Apsyda (astronomia)|punktami antypodycznymi]] elipsy, czyli parami punktów, których środek odcinka wyznaczany przez te punkty jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (''średnicy transwersalnej'') oraz osi małej (''średnicy sprzężonej'').[[Plik:Ellipse Properties modified.svg|thumb|294x294px|Elipsa]]

=== Półoś wielka, półoś mała ===
Niech <math>a</math> i <math>b</math> oznaczają '''[[Półoś wielka|półoś wielką]]''' oraz '''[[półoś mała|półoś małą]]''' elipsy, tj. połowy odpowiednio osi wielkiej i małej.

=== Ogniska ===
'''Ogniskami elipsy''' <math>F_1</math> oraz <math>F_2</math> nazywamy punkty na osi wielkiej, takie że suma odległości dowolnego punktu elipsy od tych punktów jest stała, równa długości osi wielkiej <math>2a.</math>

=== Półogniskowa, ogniskowa ===
'''Półogniskową''' <math>c</math> nazywamy odległości ognisk od środka elipsy:
: <math>c = \sqrt{a^2-b^2}.</math>

Jeżeli <math>a</math> jest równe <math>b,</math> to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu <math>r = a = b.</math>

'''Ogniskową elipsy''' nazywa się odległość ognisk od siebie; jest ona równa 2c.

=== Kierownice ===
'''Kierownice elipsy''' to proste prostopadłe do półosi wielkiej elipsy; są odległe od środka elipsy o
: <math>d = \frac{a^2}{c}</math>

Dla okręgu <math>(c = 0)</math> kierownice znajdują się „w nieskończoności”.

=== Mimośród ===
[[Mimośród (matematyka)|Mimośrodem]] elipsy (ekscentrycznością elipsy) nazywa się liczbę <math>e,</math> równą ilorazowi długości półogniskowej <math>c</math> do długości półosi wielkiej <math>a,</math> tj.
: <math>e = \frac{c}{a}.</math>
Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1. Jest on równy zeru, gdy <math>a = b,</math> tj. gdy elipsa redukuje się do okręgu. Gdy elipsa wydłuża się, to współczynnik <math>\tfrac{a}{b}</math> dąży do nieskończoności; wtedy mimośród [[granica (matematyka)|dąży]] do 1.

Odległość <math>ae</math> od ogniska do środka nazywana jest ''mimośrodem liniowym'' (''ekscentrycznością liniową'') elipsy.

W obliczeniach [[geodezja|geodezyjnych]] i [[kartografia|kartograficznych]] mają zastosowanie następujące oznaczenia<ref>{{Cytuj stronę |url = http://zk.gik.pw.edu.pl/Edukacja/Wyklady/Kartomat1.pps |tytuł = Kartografia matematyczna |autor = dr inż. Paweł Pędzich |opublikowany = Zakład Kartografii Politechniki Warszawskiej |data = |archiwum = https://web.archive.org/web/20140307132123/http://zk.gik.pw.edu.pl/Edukacja/Wyklady/Kartomat1.pps |zarchiwizowano = 2014-03-07 |data dostępu = 2014-03-06}}</ref>:
: {| class="wikitable"
| mimośród
| <math>e</math>
| <math>e^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2}</math>
|-
| drugi mimośród
| <math>e'</math>
| <math>{e'}^2 = \frac{a^2-b^2}{b^2}</math> &nbsp;
|-
| trzeci mimośród
| <math>e''</math> &nbsp;
| <math>{e''}^2 = m = \frac{a-b}{a+b}</math>
|}

Parametry te mają zastosowanie do [[elipsoida obrotowa|elipsoidy obrotowej]], ale wywodzą się z elipsy południkowej.

=== Spłaszczenie ===
Podobnie w obliczeniach geodezyjnych i astronomicznych są używane parametry elipsy nazywane spłaszczeniem:
: {| class="wikitable"
| (pierwsze) spłaszczenie
| <math>f = \frac{a-b}{a}</math>
| Podstawowe, odwrotność 1/f służy do określenia elipsoidy odniesienia.
|-
| drugie spłaszczenie
| <math>f' = \frac{a-b}{b}</math>
| Rzadziej używane.
|-
| trzecie spłaszczenie
| <math>n = f'' = \frac{a-b}{a+b}</math> &nbsp;
| Używane w obliczeniach geodezyjnych.
|}

== Geneza nazwy ==
Nazwa „elipsa” została zaczerpnięta (według [[Pappus z Aleksandrii|Pappusa z Aleksandrii]]) przez [[Apoloniusz z Pergi|Apoloniusza z Pergi]] z wczesnej [[pitagorejczycy|pitagorejskiej]] terminologii dotyczącej przykładania [[pole powierzchni|pól powierzchni]]: po przyłożeniu [[prostokąt]]a do [[odcinek|odcinka]] (tj. umieszczeniu podstawy prostokąta wzdłuż odcinka tak, by jeden z końców odcinka i jeden z końców podstawy pokrywały się) przyłożonemu prostokątowi „brakowało” do długości odcinka; równanie elipsy to <math>y^2 = lx \pm b^2x^2/a^2,</math> gdzie <math>l = b^2/a,</math> skąd <math>y^2 < lx,</math> a więc kwadrat [[rzędna|rzędnej]] punktu elipsy jest mniejszy niż pole prostokąta o bokach długości równych parametrowi <math>l</math> oraz [[odcięta|odciętej]].

Ślad tej relacji można też zaobserwować w równaniu ogólnym [[Krzywa stożkowa|krzywej stożkowej]]:
: <math>ax^2 + 2hxy + bx^2 + 2gx + 2fy + c = 0,</math>

gdzie <math>a,b,c,f,g,h</math> – parametry krzywej.

Dla elipsy spełniona jest nierówność <math>h^2 < ab.</math>

== Kreślenie elipsy ==
[[Plik:Drawing an ellipse (pin and string).jpg|thumb|334x334px|Elipsa narysowana za pomocą dwóch szpilek, pętli oraz długopisu]]
[[Plik:L-Ellipsenzirkel.png|thumb|251x251px|Model elipsografu]]

=== Metoda szpilek i sznurka ===
Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):
: Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.

Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany [[prostokąt]], styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:
: Niech <math>A, B, C, D</math> będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie <math>AB</math> jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w <math>A</math> i promieniu równym długości krótszego boku <math>AD,</math> a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez <math>B.</math> Długość <math>L</math> odcinka od <math>B</math> do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości <math>\tfrac{L}{2}</math> od środka.
: Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta). Oznacza to, że długość sznurka jest określona wzorem <math>k_k = 2c+2a,</math> gdzie <math>2c</math> jest długością ogniskowej<ref group="uwaga">Tak nazywa się czasem odległość między ogniskami.</ref>, a <math>2a</math> to długość osi wielkiej.

=== Metoda cyrkla i linijki ===
Elipsa może być także nakreślona za pomocą [[linijka|linijki]], [[ekierka|ekierki]] oraz rysika:
: Należy nakreślić dwie proste prostopadłe <math>M, N</math> na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty <math>A, B, C.</math> Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt <math>A</math> zawsze leżał na prostej <math>M,</math> a punkt <math>B</math> na prostej <math>N</math> i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze, śladem punktu <math>C</math> na linijce otrzymuje się elipsę.

Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą [[frezarka|frezarek]] (ręcznych). Innymi przyrządami korzystającymi z tej zasady są [[elipsograf]] i [[cyrkiel drążkowy]]: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt <math>C</math>) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych w płycie.

== Równania analityczne elipsy ==
('''1''') W [[Układ współrzędnych kartezjańskich|układzie współrzędnych kartezjańskim]] <math>(x, y)</math> elipsa mająca środek w początku układu współrzędnych, o osi wielkiej skierowanej wzdłuż osi <math>OX,</math> dana jest równaniem analitycznym
: <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,</math>

gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są długościami półosi; <math>a>b.</math>

Wtedy ogniska mają współrzędne <math>F_1 = (-c,0)</math> i <math>F_2 = (c,0).</math>

('''2''') W [[układ współrzędnych biegunowych|układzie współrzędnych biegunowych]] <math>(r, \theta)</math> elipsę opisuje wzór
: <math>r^2 = \frac{b^2}{1 - e^2 \cos^2 \theta} = \frac{a^2b^2}{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta},</math>

gdzie <math>e</math> jest mimośrodem.

('''3''') Elipsa dana jest też układem [[Równanie parametryczne|równań parametrycznych]]
: <math>\begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t, \end{cases}</math>

gdzie <math>0 \leqslant t < 2\pi</math> – parametr.

Postać parametryczna jest wygodna do a) kreślenia numerycznego elipsy b) obliczeń numerycznych, np. łuku elipsy.

'''Uwaga:''' Parametr <math>t</math> nie ma sensu kąta <math>\alpha</math> nachylenia promienia wodzącego punktów elipsy do osi <math>OX,</math> jak to ma miejsce w równaniach parametrycznych okręgu. Jest to istotne przy obliczeniach łuku elipsy (patrz niżej); zachodzi jednak związek:
: <math>tg(\alpha)=\frac{b}{a}tg(t).</math>

== Własności ==
=== Pole elipsy ===
[[Pole powierzchni]] ograniczonej przez elipsę opisuje prosty wzór:
: <math>S = \pi ab.</math>

=== Obwód elipsy ===
– nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w [[Wyrażenie algebraiczne|postaci algebraicznej]].

('''1''') '''Wzory przybliżone''' na [[Obwód (geometria)|obwód]] elipsy
: <math>\ell\approx\pi \left(\tfrac32(a+b)-\sqrt{ab}\right);</math>

lepsze przybliżenie
: <math>\ell\approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\;\right];</math>

jeszcze lepsze przybliżenie
: <math>\ell\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}\right),</math>

gdzie <math>h = (a-b)^2 / (a+b)^2.</math>

'''2''') '''Dokładny wzór''' na obwód elipsy wyraża się tzw. <u>[[całki eliptyczne|całką eliptyczną zupełną]] <math>E</math> drugiego rodzaju</u>
: <math>\ell = 4a\ E(e) = 4a\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-e^2 \sin^2\theta} \ d\theta = 4a\int_0^1 \frac{\sqrt{1-e^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ dt,</math>
: gdzie <math>e</math> – mimośród, <math>a</math> – półoś wielka elipsy.
Np. dla <math>a = 2</math> oraz <math>b = 1</math> mimośród wynosi <math>e = 0{,}866025,</math> co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy <math>l = 9{,}6884482.</math>
: ''Uwagi:''
: ''(1) Całki eliptyczne są stablicowane; są kalkulatory online całek eliptycznych.''
: ''(2) Istnieją różne konwencje zapisu funkcji <math>E{:}</math> w niektórych argumentem jest kwadrat mimośrodu, nie sam mimośród; właściwy wzór pod znakiem całki wyrażonej przez mimośród <math>e</math>'' ''będzie zawierał <math>e</math> w drugiej potędze (nigdy w pierwszej czy czwartej).''

=== Długość łuku elipsy ===
Długość łuku elipsy oblicza się za pomocą [[Całki eliptyczne|całki eliptycznej niezupełnej drugiego rodzaju]]<ref>Dokładniejsze informacje można znaleźć na [http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html stronie Wolfram MathWorld o elipsie].</ref> („niezupełność” całki oznacza, że liczy się nie cały obwód, ale łuk w zadanym zakresie kątów.)

('''a''') Łuk elipsy o półosiach <math>a, b,</math> ograniczony kątami <math>\alpha_1, \alpha_2,</math> mierzonymi od osi <math>OX</math> do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez różnicę całek eliptycznych niezupełnych 2 rodzaju wzorem
: <math>\ell(\alpha_1,\alpha_2) = a\,E(e, \psi_2)-a\,E(e,\psi_1),</math>

gdzie: <math>\psi_2=arctg\Big(\frac{a}{b}tg(\alpha_2)\Big),</math> <math>e = \sqrt{1-(b/a)^2}</math> – mimośród elipsy.

(wartości parametrów <math>\psi_1,\psi_2,</math> którym odpowiadają katy <math>\phi_1,\phi_2</math> ograniczające łuk elipsy, wynikają z równań parametrycznych elipsy)

('''b''') Łuk elipsy o półosiach <math>a, b,</math> ograniczony kątami <math>\alpha_1=0, \alpha_2,</math> mierzonymi od osi <math>OX</math> do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez całkę eliptyczną niezupełną 2 rodzaju wzorem
: <math>\ell(\alpha_1=0,\alpha_2) = a\,E(e, \psi_2),</math>

gdzie <math>\psi_2=arctg\Big(\frac{a}{b}tg(\alpha_2)\Big).</math>[[Plik:Elipse tangent.svg|thumb|300px|Rys. 1 – własność stycznej]]

=== Styczna ===
Styczna w punkcie <math>P</math> do elipsy o ogniskach <math>F_1,\ F_2</math> jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta <math>\Delta F_1PF_2.</math> Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).

[[Plik:Elipse angles proof.svg|thumb|250px|Dowód własności stycznej]]
; <nowiki>Dowód:</nowiki>
Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie <math>Q</math> różnym od <math>P.</math>

Niech <math>F_1'</math> będzie odbiciem <math>F_1</math> w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że
: <math>F_1P = F_1'P,</math> więc <math>F_2P+PF_1' = 2a,</math>

gdzie <math>a</math> oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że
: <math>F_2Q+QF_1' = 2a.</math>

Ponieważ kąt <math>F_1 P F_1'</math> jest kątem zewnętrznym trójkąta <math>F_1 P F_2,</math> to punkty <math>F_1',P,F_2</math> są współliniowe, więc <math>F_1',Q,F_2</math> są niewspółliniowe.

Stąd <math>F_2P + PF_1' < F_2Q + QF_1'.</math> Jest to sprzeczne z <math>F_2P + PF_1' = 2a = F_2Q + QF_1'.</math>

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

[[Plik:Elipse angles.svg|thumb|300px|Rys. 2 – własność dwóch stycznych]]

=== Dwie styczne ===
Gdy z punktu <math>S</math> leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach <math>K</math> i <math>L,</math> to
: <math>\angle KSF_1 = \angle LSF_2,</math>
: <math>\angle KF_1S = \angle LF_1S.</math>

(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).

; <nowiki>Dowód pierwszej równości:</nowiki>
[[Plik:Elipse tangent proof.svg|thumb|300px|Dowód własności dwóch stycznych]]
Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez <math>F_1',\ F_1'',\ F_2',\ F_2''.</math>

Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że <math>F_2F_1' = F_2F_1'' = 2a</math> (<math>a</math> – duża półoś). Oprócz tego, <math>SF_1' = SF_1'',</math> bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem <math>\Delta SF_2F_1' = \Delta SF_2F_1'',</math>

więc <math>\angle SF_2F_1' = \angle SF_2F_1''</math>

oraz <math>\angle F_2SF_1' = \angle F_2SF_1''.</math>
: <math>\angle F_2SF_1'' = \angle KSL+\angle F_1''SL-\angle KSF_2,</math>
: <math>\angle F_2SF_1' = \angle KSL'+\angle F_2SK-\angle L'SF_1',</math> gdzie <math>L'</math> – odbicie <math>L</math> w <math>SK.</math>

Lewe części tych równości są równe, oraz, <math>\angle KSL = \angle KSL';</math> stąd <math>\angle F_2SK-\angle L'SF_1' = \angle F_1''SL-\angle KSF_2,</math>

czyli <math>2\angle KSF_2 = \angle F_1''SL+\angle L'SF_1'.</math>

Ponieważ <math>\angle L'SF_1' = \angle F_1''SL,</math>

to <math>\angle KSF_2 = \angle F_1''SL = \angle L'SF_1' = \angle LSF_1.</math>

Więc mamy <math>\angle KSF_2 = \angle LSF_1,</math> a stąd wynika równość <math>\angle KSF_1 = \angle LSF_2,</math> którą trzeba było udowodnić.

[[Plik:Elipse triangle.svg|thumb|300px|Rys. 3 – trójkąt opisany]]

=== Trójkąt opisany ===
Gdy punkty <math>F_1,\ F_2</math> leżące wewnątrz trójkąta <math>ABC</math> spełniają
:: <math>\angle CBF_1 = \angle ABF_2,</math>
:: <math>\angle BAF_1 = \angle CAF_2,</math>

to istnieje elipsa o ogniskach <math>F_1,\ F_2</math> wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również <math>\angle BCF_1 = \angle ACF_2.</math> Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na trójkącie.

; <nowiki>Dowód:</nowiki>
Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do <math>AB.</math> Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) otrzymujemy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych, otrzymujemy równość <math>\angle BCF_1 = \angle ACF_2.</math>

Dokonując rachunku na kątach, otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

[[Plik:Elipse circle.svg|thumb|300px|Rys. 4 – okrąg opisany]]

=== Okrąg opisany ===
Niech <math>X</math> będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów <math>X</math> jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

; <nowiki>Dowód:</nowiki>
[[Plik:Elipse circle proof.svg|thumb|300px|Dowód twierdzenia o okręgu opisanym]]
Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach <math>X,\ Y.</math> Są one symetryczne względem środka <math>S</math> elipsy, więc <math>F_1XF_2Y</math> jest równoległobokiem.

Niech <math>A,\ D</math> będą rzutami prostokątnymi ognisk <math>F_1,\ F_2</math> na styczną w <math>Y,</math> zaś <math>B,\ C</math> na styczną w <math>X.</math> Odbijamy <math>X</math> w prostej <math>AB,</math> otrzymując punkt <math>X'.</math>

Punkty <math>B,\ D</math> są symetryczne względem <math>S,</math> więc <math>BX' = BX = YD.</math>

Stąd <math>BDYX'</math> jest równoległobokiem, czyli <math>BD = YX'.</math>

Ale <math>YX' = YF_1+F_1X' = YF_1+F_1X.</math>

Więc <math>BD = YF_1+YF_2 = 2a,</math> gdzie <math>a</math> – duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).

<math>BD</math> jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie <math>ABCD,</math> którego środkiem jest <math>S</math> więc <math>BS = DS = a,</math> co należało pokazać.

== Definicja elipsy za pomocą ustalonego punktu, prostej i mimośrodu ==
Niech będą ustalone na płaszczyźnie: punkt <math>F,</math> prosta <math>k</math> oraz liczba rzeczywista <math>e.</math>

Elipsa jest zbiorem punktów płaszczyzny, dla których stosunek odległości od punktu <math>F</math> do odległości tych punktów od prostej <math>k</math> jest stały i równy <math>e,</math> takie że <math>0<e<1;</math> punkt <math>F</math> jest wtedy jednym z ognisk elipsy, prosta <math>k</math> jej kierownicą, a liczba <math>e</math> mimośrodem. Analogicznie dla mimośrodu równego 1 otrzymamy parabolę, dla mimośrodu większego niż 1 otrzymamy hiperbolę.

== Uogólnienia ==
Elipsa jest szczególnym przypadkiem [[superelipsa|superelipsy]]. Odpowiednikiem elipsy w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]] jest [[elipsoida]].

== Zobacz też ==
{{Siostrzane projekty
 |commons   = Category:Ellipses
 |słownik   = elipsa
 |źródła    =
 |cytaty    = Elipsa
 |news      =
 |books     =
 |podróże   =
 |species   =
 |wikiwerek =
}}
* [[Całki eliptyczne|całka eliptyczna]] – tu m.in.: Tabela całek eliptycznych zupełnych 2-go rodzaju E(k)
* [[Prawa Keplera#Prawa Keplera|prawa Keplera]]
* [[długość krzywej]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{Pismo Delta | url = 2010/10/o-robaku-i-elipsach/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = O robaku i elipsach | data = październik 2010 | data dostępu = 2024-11-01 }}
* {{Pismo Delta | url = 2024/12/zle-rysuje-stozki/ | autor = Michał Miśkiewicz | tytuł = Źle rysuję stożki! | data = grudzień 2024 | data dostępu = 2024-12-05 }}

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = Ellipse |tytuł=Ellipse |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ellipse Ellipse]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
* {{otwarty dostęp}} Grant Sanderson, ''[https://www.youtube.com/watch?v=pQa_tWZmlGs Why slicing a cone gives an ellipse]'', kanał [[3blue1brown]] na [[YouTube]], 1 sierpnia 2018 [dostęp 2021-03-14].

{{Krzywe stożkowe}}
{{Bryły obrotowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Krzywe stożkowe]]
[[Kategoria:Zamknięte krzywe płaskie]]