Tekst źródłowy strony Elementy minimalny i maksymalny

[[Plik:Number-half-line.svg|mały|[[Półprosta]] przedstawiająca [[liczby naturalne]] <math>(\mathbb{N})</math> z [[0|zerem]] <math>(0)</math> – wariant [[Oś liczbowa|osi liczbowej]]. Elementem minimalnym jest tu zero (0), a elementu maksymalnego nie ma]]
[[Plik:KeinVerband.svg|mały|[[Diagram Hassego]] przykładowego [[Częściowy porządek|poset]]u z dwoma elementami minimalnymi (''a'', ''b'') i&nbsp;dwoma maksymalnymi (''c'', ''d'')]]
[[Plik:Lattice of the divisibility of 60 narrow 1,2,3,4.svg|mały|Diagram Hassego [[dzielnik]]ów liczby 60 z [[Relacja (matematyka)|relacją]] podzielności. Zbiór zaznaczony na czerwono, czyli {1, 2, 3, 4}, ma jeden element minimalny (1) i dwa maksymalne (3, 4)]]

'''Elementem minimalnym''' w [[częściowy porządek|zbiorze częściowo uporządkowanym]] <math>(P, \leqslant)</math> nazywamy każdy taki element <math>x,</math> że nie ma w <math>P</math> elementów mniejszych od niego. Symbolicznie<ref name="wazniak">{{otwarty dostęp}} [[Marek Zaionc]], [[Jakub Kozik]] i [[Marcin Kozik]], ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_10:_Zbiory_uporz%C4%85dkowane._Zbiory_liniowo_uporz%C4%85dkowane._Poj%C4%99cia_g%C4%99sto%C5%9Bci_i_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci Logika i teoria mnogości, wykład 10. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości]'', wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-20].</ref><ref name="mo">{{Cytuj książkę |nazwisko = Marek |imię = Wiktor | autor link = Victor W. Marek |nazwisko2 = Onyszkiewicz |imię2 = Janusz | autor link2 = Janusz Onyszkiewicz |tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |data = 2012 |wydanie = 12 |strony = 75 | isbn = 978-83-01-14547-7 }}</ref>:
: <math>\forall y \in P : y \leqslant x \Rightarrow x = y.</math>

Dualnie, '''elementem maksymalnym''' w zbiorze częściowo uporządkowanym <math>(P, \leqslant)</math> nazywamy każdy taki element <math>x,</math> że nie ma w <math>P</math> elementów większych od niego. Symbolicznie<ref name="wazniak" /><ref name="mo" />:
: <math>\forall y \in P : x \leqslant y \Rightarrow x = y.</math>

== Uwagi ==
* W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
* Element minimalny nie musi być [[Elementy najmniejszy i największy|najmniejszym]]. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

== Przykłady ==
* Rozważmy zbiór <math>\mathbb{N}</math> <math>\cup</math> <math>\{-1\},</math> gdzie <math>\mathbb{N}</math> oznacza [[liczby naturalne|zbiór liczb naturalnych]] {{nowrap|{1, 2, 3,...},}} a relacja <math>\preccurlyeq</math> częściowego porządku określona jest następująco:
:: <math>a\preccurlyeq b \iff ( a\leqslant b,\, a, b \in \mathbb{N} \,\lor \, a=b=-1 )</math>
: Z definicji wynika m.in., że <math>-1 \preccurlyeq -1,\,\, 3 \preccurlyeq 7</math>&nbsp; i nieprawda, że np. <math>-1 \preccurlyeq 2.</math>
: Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są {{nowrap|−1 oraz 1}}. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.
* W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako ''jest dopływem''. Mamy na przykład:
:: „Białka” < „Dunajec” < „Wisła”
:: „Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”
:: „Noteć” < „Warta” < „Odra”
:: „Moskwa” < „Oka” < „Wołga”
:: „Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”
: Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).
: Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

== Zobacz też ==
* [[elementy najmniejszy i największy]]
* [[funkcje minimum i maksimum]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = MaximalElement | tytuł = Maximal Element }} [dostęp 2025-01-30].

{{Teoria porządku}}

[[Kategoria:Porządki]]