Tekst źródłowy strony Elementy Euklidesa

{{Inne znaczenia|traktatu ''Elementy''|[[element|inne artykuły o tej nazwie]]}}
[[Plik:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|thumb|300px|[[Papirus Oxyrhynchus 29|Oxyrhynchus 29]], papirus z III w. n.e. z ''Elementami'' Euklidesa]]
'''Elementy''' ([[język grecki|gr.]] {{grc|Στοιχεῖα}}, ''Stoicheia'')<ref group="uwaga">Słowo στoιχεῖoν, stoicheion (tłumaczone na łacinę jako ''elementum'') było używane przez [[Filozofia|filozofów]] w wiekach VI–IV p.n.e. m.in. na określenie tego, co [[Empedokles]] nazwał najpierw jednym z korzeni (ῥίζαι, ''rizai'') wszechrzeczy; potem utarła się nazwa cztery [[żywioły]] bądź [[Pierwiastek chemiczny|pierwiastki]] w chemii (W. Tatarkiewicz, ''Historia filozofii'', tom I, PWN, Warszawa 1958, s. 47). ''Stoicheion'' znaczyło też początek, punkt wyjścia; τὰ στoιχεῖα znaczyło więc: początki, podstawy geometrii.</ref> – pochodzący z końca [[IV wiek p.n.e.|IV wieku p.n.e.]] traktat [[geometria|geometryczny]] i [[arytmetyka|arytmetyczny]] autorstwa [[Euklides]]a, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.

''Elementy'', jedno z najsłynniejszych dzieł naukowych w historii ludzkości, ukształtowały sposób myślenia o teoriach matematycznych i stały się wzorcem do naśladowania w wielu dziedzinach nauki. Są klasycznym przykładem metody [[Rozumowanie dedukcyjne|dedukcyjnej]] i świadectwem siły rozumowania dedukcyjnego opartego na [[logika|logice]].

== Historia ==
[[Plik:Euclid Vat ms no 190 I prop 47.jpg|thumb|Codex Vaticanus 190]]
Autorem ''Elementów'' był Euklides, aczkolwiek uważa się, że większość jego dzieła to [[kompilacja (literatura)|kompilacja]] znanych już wyników. Traktaty (zaginione) poświęcone geometrii pisali bowiem już przed nim [[Demokryt]] z Abdery, [[Ksenokrates z Chalcedonu|Ksenokrates]], [[Heraklides z Pontu]], a
[[Hipokrates z Chios]] oraz Leon (uczeń Neokleidesa) i Theudios z Magnezji ze szkoły Platona napisali nawet dzieła pod tym samym co Euklides tytułem<ref>Baszmakowa I.G., ''Grecja starożytna. Kraje hellenistyczne i imperium rzymskie'', [w:] A.P. Juszkiewicz (red.), Historia matematyki, t. I, Warszawa: PWN, 1975, s. 119.</ref>. Być może jedynie niewielka część zawartości traktatu jest autorstwa Euklidesa, jednak jego dzieło okazało się o tyle doskonalsze, że wyparło wszystkie inne<ref group="uwaga">Thomas L. Heath próbował – podobnie jak wielu innych badaczy – ustalić zakres wpływu osiągnięć wcześniejszych matematyków helleńskich na poszczególne fragmenty ''Elementów''. Sądził on, że piąty postulat jest dziełem samego Euklidesa, zapewne też czwarty, a może też wszystkie pięć postulatów (Heath, ''A history of Greek mathematics'', vol.1. ''From Thales do Euclid'', s. 375, Clarendon Press, Oxford 1921; wznowione 1981). Natomiast
Wilbur Knorr, w swej szczegółowej analizie dorobku Greków przed Euklidesem, stwierdził, że główna część ''Elementów'', jeśli nie całość, była osiągnięciem poprzedników Euklidesa (W.R. Knorr, ''The ancient tradition of geometric problems'', Birkhäuser, Boston, 1986). Wyraźnie np. widać, że księgi arytmetyczne VII–X pochodzą z innego źródła niż I–VI, a księgi stereometryczne z jeszcze innych.</ref>.

Od starożytności, przez średniowiecze, aż do końca XIX wieku ''Elementy'' należały do kanonu nauczania matematyki i do dziś mogą uchodzić za wzór ścisłości i zwięzłości matematycznej wypowiedzi.

''Elementy'' były wielokrotnie komentowane, poprawiane i wydawane. Ważnego ujednolicenia i uproszczenia dzieła dokonał w IV wieku [[Teon z Aleksandrii]]. Na jego pracy opierały się wszystkie późniejsze tłumaczenia i edycje, aż do odkrycia w [[1808]] w
[[Biblioteka Watykańska|Bibliotece Watykańskiej]] innego greckiego rękopisu, wcześniejszego od wersji Teona. W VIII wieku pojawiły się przekłady arabskie, zaś w XII [[Adelard z Bath]] dokonał na ich podstawie pierwszego tłumaczenia ''Elementów'' na łacinę. Autorem kolejnego ujednolicenia był [[Federico Comandino]], a jego wersja, oparta na tekstach arabskich, ukazała się w roku 1572. Nieco wcześniej (w 1505 roku) pojawiło się, również łacińskie, tłumaczenie wersji Teona. W 1703 roku ukazało się w Oksfordzie pierwsze kompletne wydanie ''Elementów'' po angielsku. Polskiego tłumaczenia ośmiu ksiąg ''Elementów'', pt. ''Początków Jeometryi xiąg ośmioro, toiest sześć pierwszych, iedenasta i dwunasta'', dokonał na początku XIX wieku [[Józef Czech (matematyk)|Józef Czech]]; ukazało się ono w roku 1807 w [[Krzemieniec (miasto)|Krzemieńcu]]. Za najlepsze uważane jest trójjęzyczne wydanie (tekst grecki z tłumaczeniem na łacinę i na niemiecki) pt. ''Euclidis Opera Omnia'', opracowane przez duńskiego filologa [[Johan Ludvig Heiberg (filolog)|Johana Ludviga Heiberga]] i wydane w latach 1883–1916.

Od roku 1482, gdy ukazało się oparte na wersjach arabskich pierwsze drukowane wydanie ''Elementów'' w [[Łacina|języku łacińskim]], doliczono się ponad 1000 wydań drukowanych i ciągle ukazują się kolejne – jedynie Biblia cieszy się większym powodzeniem u wydawców. Na układzie ''Elementów'' oparty jest też, popularny przed [[II wojna światowa|II wojną światową]], podręcznik ''Geometria'' autorstwa [[Jan Zydler|Jana Zydlera]].

== Metoda ==
[[Plik:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|thumb|200px|Okładka pierwszego (1570) angielskiego wydania ''Elementów'']]

Traktat Euklidesa ma budowę dedukcyjną – po spisaniu listy [[pojęcie pierwotne|pojęć pierwotnych]] i ich własności w postaci [[aksjomat]]ów, drogą ścisłego rozumowania wyprowadzane są kolejne twierdzenia. Jest to cecha charakterystyczna dojrzałych teorii matematycznych, a geometria taką postać osiągnęła już w czasach Euklidesa.

O precyzji rozumowań przeprowadzanych w ''Elementach'' świadczy fakt, że pierwszą większą nieścisłość zauważono dopiero w drugiej połowie XIX wieku. [[Moritz Pasch]] doszedł do wniosku, że listę aksjomatów podaną przez Euklidesa należy uzupełnić o aksjomat zwany [[aksjomat Pascha|aksjomatem Pascha]].

Poszukiwanie ścisłości, a jednocześnie prostoty rozumowań, doprowadziło matematyków do innych, niż zaproponowany przez Euklidesa, układów aksjomatów geometrii. W roku 1899 ukazała się klasyczna dziś praca [[David Hilbert|Davida Hilberta]] ''Podstawy Geometrii'' (''Grundlagen der Geometrie''), która stała się podstawą większości stosowanych dziś aksjomatyk. Na układzie 21 [[aksjomatyka Hilberta|aksjomatów Hilberta]] bazuje między innymi praca ''Podstawy geometrii'' [[Karol Borsuk|Karola Borsuka]] i [[Wanda Szmielew|Wandy Szmielew]].

== Struktura dzieła ==
Elementy spisane są w postaci trzynastu ksiąg. Oprócz treści czysto geometrycznych część z nich poświęcona jest zagadnieniom zaliczanym dziś do [[teoria liczb|teorii liczb]]. [[Proklos]] napisał słynne komentarze do I księgi ''Elementów''. Wyróżnił konstrukcje (problemata) i twierdzenia. Konstrukcje kończą się zwrotem: co było do wykonania, a twierdzenia zwrotem: co było do okazania.

=== Planimetria ===
Księgi I–VI poświęcone są geometrii płaskiej.
: '''Księga I'''
Dotyczy podstaw geometrii płaszczyzny. Euklides podaje w niej definicje podstawowych pojęć budowanej teorii, tak zwane aksjomaty, oraz pewniki (postulaty). Oto&nbsp;pięć stwierdzeń nazwanych przez Euklidesa aksjomatami:
# Wielkości równe tej samej wielkości są wzajemnie równe.
# Równe dodane do równych dają równe sumy.
# Równe odjęte od równych dają równe różnice.
# Rzeczy, które się pokrywają, są równe.
# Całość jest większa od części.

[[Plik:Parallel postulate.svg|thumb|300px|Piąty postulat Euklidesa]]
Słynnych pięć pewników (lub postulatów) Euklidesa brzmi w wolnym tłumaczeniu następująco:
# Dowolne dwa punkty można połączyć prostą.
# Dowolną prostą można przedłużyć nieograniczenie.
# Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
# Wszystkie kąty proste są równe.
# Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Uwaga: Euklides pisze o przedłużaniu „prostych”. Ta pozorna sprzeczność pojęciowa wynika stąd, że Grecy nie posługiwali się pojęciem [[nieskończoność|nieskończoności]] tak, jak my dziś je używamy. Nieskończoność oznaczała dla nich nieograniczoną możliwość kontynuacji czegoś skończonego, tak więc [[prosta]] w ich rozumieniu była tym, co dziś nazywane jest [[odcinek|odcinkiem]].

Natychmiast z tego widać, dlaczego '''[[Postulat Euklidesa|piąty pewnik Euklidesa]]''' budził tyle wątpliwości wśród całych pokoleń matematyków. Pierwsze ślady tego znajdują się w ''Komentarzu do pierwszej księgi Elementów'' [[Proklos]]a. Zauważa on, iż sformułowanie tego pewnika zajmuje prawie tyle miejsca, co pozostałych czterech, a jego „pewność” daleka jest od oczywistości. Uporczywe starania, by wyprowadzić piąty pewnik z pozostałych, doprowadziły na początku XVIII wieku Włocha [[Giovanni Gerolamo Saccheri|Giovanniego Saccheriego]] do zapoczątkowania tak zwanej [[geometria absolutna|geometrii absolutnej]], czyli bazującej na czterech pierwszych aksjomatach (choć on sam traktował to jako „ćwiczenie intelektualne”, w którym absurdalność wniosków opartych na zaprzeczeniu V postulatu ma potwierdzać jego prawdziwość).

Dalsze badania matematyków wykazały, że piąty pewnik Euklidesa nie zależy od pierwszych czterech i, zastępując go zaprzeczeniem, można otrzymywać inną geometrię. Ponieważ pewnik ten równoważny jest stwierdzeniu:
: ''Do danej prostej, przez dany punkt, można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną'',
analizowano konsekwencje jego modyfikacji. Okazało się, że spójne geometrie można uzyskać w dwóch przypadkach: przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić nieskończenie wiele prostych rozłącznych z daną lub nie da się poprowadzić żadnej prostej rozłącznej (to ostatnie zdanie wymaga modyfikacji 2. aksjomatu). Pierwszą drogą poszli [[Carl Friedrich Gauss|Carl Gauss]], [[János Bolyai]] i&nbsp;[[Nikołaj Łobaczewski]], otrzymując tak zwaną [[geometria hiperboliczna|geometrię hiperboliczną]], drugą poszedł w połowie XIX stulecia [[Bernhard Riemann]], twórca [[geometria eliptyczna|geometrii eliptycznej]]. Ostateczną akceptację [[Geometria nieeuklidesowa|geometrii nieeuklidesowych]] zapewniły modele [[geometria hiperboliczna|geometrii Bolyai-Łobaczewskiego]] zaproponowane w XIX wieku przez [[Eugenio Beltrami]]ego oraz&nbsp;[[Felix Klein|Feliksa Kleina]].

Z pierwszej księgi ''Elementów'' pochodzą również dobrze znane wszystkim określenia:
: ''punkt jest tym, co nie ma części'';
: ''linia to długość bez szerokości'';
: ''powierzchnia to coś, co ma tylko długość i szerokość''

i inne. Dziś „punkt”, „linia” i „powierzchnia” stanowią [[pojęcie pierwotne|pojęcia pierwotne]], to znaczy niepodlegające definiowaniu (choć de facto aksjomaty <u>są</u> definicjami tego typu pojęć, tak zwanymi definicjami w uwikłaniu). Najwyraźniej jednak Euklides uważał, że czytelnikowi należy podsunąć pewne intuicje, choć sam nigdzie do nich się nie odwołuje.

Oprócz tego w księdze I Euklides opisuje kilka podstawowych konstrukcji geometrycznych ([[Symetralna odcinka|symetralna]] odcinka, [[Dwusieczna kąta|dwusieczna]] kąta), dowodzi elementarnych własności kątów, trójkąta i [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]].

: '''Księga II'''
Poświęcona jest temu, co dziś nazywamy [[algebra geometryczna|algebrą geometryczną]], czyli interpretacjom geometrycznym podstawowych wzorów algebry. [[Grecy]] uprawiali bowiem arytmetykę sposobem geometrycznym – na przykład dodawanie liczb realizowali jako dodawanie odpowiednich odcinków. W księdze II Euklides konstruuje, między innymi, dla danego odcinka o długości <math>a</math> odcinek o długości <math>\sqrt{a}</math> oraz dowodzi [[Wzory skróconego mnożenia|wzorów skróconego mnożenia]].

: '''Księga III'''
To geometria [[okrąg|okręgu]]. Euklides omawia tu pojęcie [[kąt wpisany|kąta wpisanego]], pojęcie [[styczna|stycznej do okręgu]] i zagadnienie [[potęga punktu|potęgi punktu względem okręgu]].

: '''Księga IV'''
Omawia możliwości opisania wielokąta na okręgu i okręgu na wielokącie oraz wpisania wielokąta w okrąg i okręgu w wielokąt. Ponadto są tu podane konstrukcje trój-, czworo-, pięcio-, sześcio-, dziesięcio- i piętnastokątów [[wielokąt foremny|foremnych]].

: '''Księga V'''
Jest najbardziej abstrakcyjną księgą ''Elementów''. Przedstawia teorię proporcji [[Eudoksos z Knidos|Eudoksosa]] wielkości (to wspólne uogólnienie długości odcinków, miar kątów, pól figur płaskich i objętości brył), w swej idei bardzo zbliżoną do teorii [[Liczby rzeczywiste|przekrojów Dedekinda]]. Omówione są w niej wszystkie dobrze znane własności [[Proporcja (arytmetyka)|proporcji]].

: '''Księga VI'''
Zawiera zastosowania teorii proporcji do teorii podobieństwa wielokątów, przedstawia dowód [[twierdzenie Talesa|twierdzenia Talesa]] i twierdzenia o podobieństwie trójkątów oraz zajmuje się związkami między stosunkami odcinków a polami powierzchni figur na nich opartych.

=== Arytmetyka ===
Księgi VII–X omawiają zagadnienia arytmetyczne.

: '''Księga VII'''
Omawia podstawowe własności liczb: podzielność, [[Liczby pierwsze|bycie liczbą pierwszą]], pojęcia [[największy wspólny dzielnik|największego wspólnego dzielnika]] i [[najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszej wspólnej wielokrotności]] oraz [[algorytm Euklidesa]].

: '''Księga VIII'''
Głównym jej tematem są rozważania na temat postaci liczb <math>a, b</math> spełniających proporcję <math>a:x = x:b,</math> czyli konstrukcji [[ciąg geometryczny|ciągów geometrycznych]].

: '''Księga IX'''
Euklides wykorzystuje tu materiał dwóch poprzednich ksiąg do wykazania, że dla dowolnie wielu liczb pierwszych istnieje liczba pierwsza większa od każdej z nich (jest to [[Nieskończoność#Historia|nieskończoność potencjalna]] zbioru liczb pierwszych), omówienia konstrukcji [[Liczby doskonałe|liczb doskonałych]] oraz&nbsp;[[sito Eratostenesa|sita&nbsp;Eratostenesa]].

: '''Księga X'''
Poświęcona jest odcinkom (wielkościom) ''niewspółmiernym'', odpowiednikom dzisiejszych [[Liczby niewymierne|liczb niewymiernych]].

=== Stereometria ===
Księgi XI–XIII to systematyczny wykład geometrii przestrzeni.
: '''Księga XI'''
Przedstawia podstawowe pojęcia geometrii przestrzeni – podaje własności prostych i płaszczyzn w przestrzeni, prostopadłość i równoległość, kąty bryłowe i ich własności. Zamieszczone są tu również sposoby obliczania objętości [[równoległościan]]ów.

: '''Księga XII'''
Zawiera opis [[metoda wyczerpywania|metody wyczerpywania]], która służyła starożytnym do rozwiązywania zadań wymagających [[Całka Riemanna|całkowania]]. Dzięki temu możliwe stało się znalezienie wzorów na objętość stożka, ostrosłupa, walca i kuli. Zanotowany jest fakt, że objętości kul mają się do siebie tak, jak sześciany ich promieni.

: '''Księga XIII'''
Przypuszcza się, że nie jest ona dziełem Euklidesa, a została dodana do ''Elementów'' później.

Zawiera omówienie [[złoty podział|złotego podziału]] odcinka oraz rozważania na temat [[wielościan foremny|wielościanów foremnych]] (tak zwanych brył platońskich). Ostatnie twierdzenie brzmi: ''Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych''.

Uwaga: podane przez Euklidesa określenie wielościanu foremnego jest nieco odmienne od dzisiejszego. Uważał on za foremne wielościany, których ściany są przystającymi [[wielokąt foremny|wielokątami foremnymi]]. Dzisiaj żąda się dodatkowo [[Zbiór wypukły|wypukłości]] takiej bryły i przystawania [[kąt bryłowy|kątów bryłowych]] (być może milcząco Euklides przyjmował te&nbsp;założenia za oczywiste). W roku 1947 [[Hans Freudenthal]] i [[Bartel Leendert van der Waerden|Bartel van der Waerden]] znaleźli wielościany spełniające warunki foremności podane w ''Elementach'', lecz&nbsp;nieforemne według obecnej definicji.

== Znaczenie ==
Na strukturze dzieła Euklidesa wzorowali się zarówno matematycy i fizycy ([[Galileusz]], [[Isaac Newton|Newton]]), jak i filozofowie ([[Baruch Spinoza|Spinoza]] i jego ''Ethica modo geometrico exposita''). Przez stulecia było ono wzorem ścisłości i logicznej struktury i można w nim dopatrywać się zaczątków metodologii naukowej i późniejszej przewagi technicznej Zachodu nad kulturami Dalekiego Wschodu, poczynając od XVI wieku. ''Elementy'' Euklidesa były używane powszechnie jako podręcznik niemal do końca XIX wieku, czyli przez 2000 lat, zaś liczbą tłumaczeń na rozmaite języki świata ustępują jedynie [[Biblia|Biblii]].

W każdej kolejnej konstrukcji i twierdzeniu w ''Elementach'' ważną rolę odgrywa użycie diagramu z oznaczeniami literowymi, co później stało się ustalonym wzorcem.
{{Osobny artykuł|Diagram w greckiej geometrii}}

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = [[Stefan Kulczycki (matematyk)|Stefan Kulczycki]]; |tytuł = Z dziejów matematyki greckiej |data = 1975 |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN}}
* {{Cytuj |autor = I.G. Baszmakowa |rozdział = Grecja starożytna. Kraje hellenistyczne i imperium rzymskie |redaktor = A.P. Juszkiewicz |tytuł = Historia matematyki |wolumin = I |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |data = 1975 |s = 64–168}}
* {{Cytuj |autor = [[Marek Kordos]]; |tytuł = Wykłady z historii matematyki |data = 2005 |isbn = 83-89716-04-6 |wydanie = Wydanie nowe |miejsce = Warszawa |wydawca = Script |oclc = 749445354}}
* {{Cytuj |autor = [[Witold Więsław]]; |tytuł = Matematyka i jej historia |data = 1997 |isbn = 83-905456-7-5 |miejsce = Opole |wydawca = Nowik |oclc = 749148053}}
* Euklides, ''Elementy. Księgi V–VI'', przełożyli Piotr Błaszczyk i Kazimierz Mrówka, Copernicus Center Press, Kraków 2013. {{ISBN|978-83-7886-013-6}}.

== Linki zewnętrzne ==
{{Wikicytaty|z Elementów|Co było do dowiedzenia}}
{{commonscat|Elements of Euclid}}

; Polskojęzyczne
* {{cytuj stronę |url = http://www.interklasa.pl/euklides/ksiegi.php |tytuł = Polskojęzyczne (niepełne) tłumaczenie ''Elementów'' Euklidesa |autor = |opublikowany = |data = |język = |data dostępu = 2018-12-11}}
* Tłumaczenie Elementów Euklidesa z 1807 r.: [https://kpbc.umk.pl/dlibra/publication/37/edition/66/content Euklidesa Początków geometryi ksiąg ośmioro, to jest sześć pierwszych, jedenasta i dwunasta]. [dostęp 2023-11-01]. 

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = Elements | tytuł = Elements }} [dostęp 2024-03-07].
* {{cytuj stronę |url = http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html |tytuł = ''Elementy'' ilustrowane apletami w Javie |autor = David E. Joyce |opublikowany = |data = |język = en |data dostępu = 2015-10-01}}
* {{cytuj stronę |url = http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html |tytuł = Angielskie wydanie 6 pierwszych ksiąg przez Olivera Byrne’a z 1847 |autor = |opublikowany = |data = |język = en |data dostępu = 2015-10-01}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Geometria euklidesowa]]
[[Kategoria:Książki matematyczne]]
[[Kategoria:Byłe Artykuły na Medal]]