Tekst źródłowy strony Elektrodynamika kwantowa

'''Elektrodynamika kwantowa''' ([[język angielski|ang.]] ''QED'' – '''''q'''uantum '''e'''lectro'''d'''ynamics'') jest to [[kwantowa teoria pola]] opisująca [[oddziaływanie elektromagnetyczne]]<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Elektrodynamika kwantowa | id = 3897319 | data dostępu = 2021-07-23 }}</ref>. Jest ona kwantowym uogólnieniem [[elektrodynamika klasyczna|elektrodynamiki klasycznej]]. Elektrodynamika kwantowa wyjaśnia takie zjawiska jak rozszczepianie [[Poziom energetyczny|poziomów energetycznych]] [[atom]]u w polach [[pole elektryczne|elektrycznych]] i [[pole magnetyczne|magnetycznych]] oraz zwiększanie się wówczas liczby [[Linie spektralne|linii widmowych]].

[[Elektrodynamika]] jest [[grupa przemienna|abelową (przemienną)]] teorią pola z [[cechowanie (fizyka)|cechowaniem]], a jej [[grupa (matematyka)|grupą]] [[Cechowanie (fizyka)|cechowania]] jest grupa [[Grupa okręgu|U(1)]]. W ujęciu technicznym można ją opisać jako [[Teoria perturbacji|teorię perturbacyjną]] elektromagnetycznej [[próżnia#Mechanika kwantowa|próżni kwantowej]]. Jest to najprostsza i historycznie pierwsza kompletna z istniejących teorii fizycznych [[oddziaływania podstawowe|oddziaływań fundamentalnych]].

== Historia ==
[[Plik:Paul Dirac, 1933, head and shoulders portrait, bw.jpg|thumb|upright=0.5|[[Paul Dirac]]]]
[[Plik:Hans Bethe.jpg|thumb|upright=0.5|[[Hans Bethe]]]]
[[Plik:Richard Feynman 1959.png|thumb|upright=0.5|[[Richard Feynman]]]]
Pierwotne sformułowanie [[Mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]], opisujące oddziaływanie promieniowania z materią, przypisuje się brytyjskiemu naukowcowi [[Paul Dirac|Paulowi Diracowi]], który w latach dwudziestych XX w. wyznaczył współczynnik [[emisja spontaniczna|emisji spontanicznej]] [[atom]]u<ref name=dirac>{{cytuj pismo |autor=P.A.M. Dirac |autor link= Paul Adrien Maurice Dirac |tytuł=The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation |czasopismo=[[Proceedings of the Royal Society of London A]] |rok=1927 |wolumin=114 |strony=243–265 |doi=10.1098/rspa.1927.0039 |bibcode = 1927RSPSA.114..243D |oznaczenie=767}}</ref>.

Dirac opisał [[kwantyzacja|kwantyzację]] [[pole elektromagnetyczne|pola elektromagnetycznego]] jako powiązanie [[oscylator harmoniczny|oscylatorów harmonicznych]] z koncepcją [[operatory kreacji i anihilacji|operatorów kreacji i anihilacji]] cząstek. W następnych latach, dzięki pracom [[Wolfgang Pauli|Wolfganga Pauliego]], [[Eugene Wigner]]a, [[Pascual Jordan|Pascuala Jordana]], [[Werner Heisenberg|Wernera Heisenberga]] i eleganckiemu sformułowaniu elektrodynamiki kwantowej przez [[Enrico Fermi|Enrica Fermiego]]<ref name=fermi>{{cytuj pismo |autor= Enrico Fermi |tytuł=Quantum Theory of Radiation |czasopismo=[[Reviews of Modern Physics]] |rok=1932 |wolumin=4 |strony=87–132 |doi=10.1103/RevModPhys.4.87 |bibcode = 1932RvMP....4...87F}}</ref>, fizycy zaczęli wierzyć, że właściwie można przeprowadzić obliczenia dotyczące każdego fizycznego procesu przebiegającego z udziałem fotonów i cząstek naładowanych. Aczkolwiek późniejsze badania [[Felix Bloch|Feliksa Blocha]] i [[Arnold Nordsieck|Arnolda Nordsiecka]]<ref name=bloch>{{cytuj pismo |autor= Felix Bloch |autor2= Arnold Nordsieck |tytuł=Note on the Radiation Field of the Electron |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1937 |wolumin=52 |strony=54–59 |doi=10.1103/PhysRev.52.54 |bibcode = 1937PhRv...52...54B |oznaczenie=2}}</ref>, oraz [[Victor Weisskopf|Viktora Weisskopfa]]<ref name=weisskopf>{{cytuj pismo |autor= Victor Weisskopf |tytuł=On the Self-Energy and the Electromagnetic Field of the Electron |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1939 |wolumin=56 |strony=72–85 |doi=10.1103/PhysRev.56.72 |bibcode = 1939PhRv...56...72W}}</ref> w 1937 i 1939 wykazały, że takie obliczenia będą miarodajne tylko dla [[Teoria perturbacji|teorii perturbacji]] pierwszego rzędu – problem, który był już wskazany przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]]<ref name=oppenheimer>{{cytuj pismo |autor= Robert Oppenheimer |tytuł=Note on the Theory of the Interaction of Field and Matter |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1930 |wolumin=35 |strony=461–477 |doi=10.1103/PhysRev.35.461 |bibcode = 1930PhRv...35..461O |oznaczenie=5}}</ref>. W wyższych rzędach pojawiały się serie nieskończoności, czyniące obliczenia niemożliwymi i stawiające pod znakiem zapytania spójność całej teorii. Wobec braku rozwiązania tego problemu w owym czasie pojawiło się widmo fundamentalnej niekompatybilności [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]] ze [[Szczególna teoria względności|szczególną teorią względności]].

Problemy z teorią zaczęły narastać pod koniec lat 40 XX wieku. Postęp [[technika|techniki]] [[mikrofale|mikrofal]] pozwolił na precyzyjniejsze [[pomiar]]y przesunięć energetycznych w [[atom wodoru|atomie wodoru]]<ref name=lamb>{{cytuj pismo |autor= Willis Lamb |autor2=Robert Retherford |tytuł=Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1947 |wolumin=72 |strony= 241–243 |doi=10.1103/PhysRev.72.241 |bibcode = 1947PhRv...72..241L |oznaczenie=3}}</ref>, znane obecnie jako [[przesunięcie Lamba]], i [[Magnetyczny moment dipolowy|momentu magnetycznego]] elektronu<ref name=foley>{{cytuj pismo |autor= Polykarp Kusch |autor2=H. M. Foley |tytuł=On the Intrinsic Moment of the Electron |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1948 |wolumin=73 |strony=412 |doi=10.1103/PhysRev.73.412 |bibcode = 1948PhRv...73..412F |oznaczenie=3}}</ref>. Eksperymenty te jednoznacznie wyeksponowały rozbieżności, których teoria nie potrafiła wytłumaczyć.

Pierwszą wskazówkę do możliwego rozwiązania podał [[Hans Bethe]]. W 1947 roku, gdy jechał tramwajem z [[Nowy Jork|Nowego Jorku]] do [[Schenectady]]<ref name=schweber>{{cytuj książkę |nazwisko=Schweber |imię=Silvan |tytuł=QED and the Men Who Did it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga |url=https://archive.org/details/qedmenwhomadeitd0000schw |rok=1994 |isbn=978-0-691-03327-3 |rozdział=5 |strony=[https://archive.org/details/qedmenwhomadeitd0000schw/page/230 230] |wydawca=Princeton University Press}}</ref>, po wykładzie na [[konferencja na Shelter Island|konferencji na Shelter Island]], Bethe ukończył pierwsze nierelatywistyczne obliczenia przesunięcia linii atomu wodoru, zmierzonych przez Lamba i Retherforda<ref name=bethe>{{cytuj pismo |autor= Hans Bethe |tytuł=The Electromagnetic Shift of Energy Levels |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1947 |wolumin=72 |strony=339–341 |doi=10.1103/PhysRev.72.339 |bibcode = 1947PhRv...72..339B |oznaczenie=4}}</ref>. Pomimo ich ograniczeń zgodność była ogromna. Pomysł polegał na włączeniu nieskończoności do poprawek na masę i [[ładunek elektryczny]], które są w rzeczywistości skończone, tak aby uzyskać wartości tych wielkości zgodne z eksperymentem. W ten sposób nieskończoności zostały zaabsorbowane przez te stałe, co prowadziło do wartości zgodnych z doświadczeniem. Procedurę tę nazwano [[renormalizacja|renormalizacją]].

Bazując na intuicji Bethego i podstawowych pracach [[Shin’ichirō Tomonaga|Sin-Itiro Tomanagi]]<ref name=tomonaga>{{cytuj pismo |autor= Sin-Itiro Tomonaga |tytuł=On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields |czasopismo=[[Progress of Theoretical Physics]] |rok=1946 |wolumin=1 |strony= 27–42 |doi=10.1143/PTP.1.27 |oznaczenie=2}}</ref>, [[Julian Schwinger|Juliana Schwingera]]<ref name=schwinger1>{{cytuj pismo |autor= Julian Schwinger |tytuł=On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1948 |wolumin=73 |strony= 416–417 |doi=10.1103/PhysRev.73.416 |bibcode = 1948PhRv...73..416S |oznaczenie=4}}</ref><ref name=schwinger2>{{cytuj pismo |autor= Julian Schwinger |tytuł=Quantum Electrodynamics. I. A Covariant Formulation |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1948 |wolumin=74 |strony= 1439–1461 |doi=10.1103/PhysRev.74.1439 |bibcode = 1948PhRv...74.1439S |oznaczenie=10}}</ref>, [[Richard Feynman|Richarda Feynmana]]<ref name=feynman1>{{cytuj pismo |autor= Richard Feynman |tytuł=Space–Time Approach to Quantum Electrodynamics |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1949 |wolumin=76 |strony= 769–789 |doi=10.1103/PhysRev.76.769 |bibcode = 1949PhRv...76..769F |oznaczenie=6}}</ref><ref name=feynman2>{{cytuj pismo |autor= Richard Feynman |tytuł=The Theory of Positrons |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1949 |wolumin=76 |strony= 749–759 |doi=10.1103/PhysRev.76.749 |bibcode = 1949PhRv...76..749F |oznaczenie=6}}</ref><ref name=feynman3>{{cytuj pismo |autor= Richard Feynman |tytuł=Mathematical Formulation of the Quantum Theory of Electromagnetic Interaction |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1950 |wolumin=80 |strony= 440–457 |doi=10.1103/PhysRev.80.440 |bibcode = 1950PhRv...80..440F |oznaczenie=3}}</ref> i [[Freeman Dyson|Freemana Dysona]]<ref name=dyson1>{{cytuj pismo |autor= Freeman Dyson |tytuł=The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1949 |wolumin=75 |strony= 486–502 |doi=10.1103/PhysRev.75.486 |bibcode = 1949PhRv...75..486D |oznaczenie=3}}</ref><ref name=dyson2>{{cytuj pismo |autor= Freeman Dyson |tytuł=The S Matrix in Quantum Electrodynamics |czasopismo=[[Physical Review]] |rok=1949 |wolumin=75 |strony= 1736–1755 |doi=10.1103/PhysRev.75.1736 |bibcode = 1949PhRv...75.1736D |oznaczenie=11}}</ref>, stało się możliwe otrzymanie formuły w pełni zgodnej z symetrią Lorentza, w której na każdym poziomie perturbacji kwantowej występowały skończone wartości. Za swoją pracę [[Shin’ichirō Tomonaga|Sin-Itiro Tomonaga]], [[Julian Schwinger]] i [[Richard Feynman]] zostali razem nagrodzeni [[Laureaci Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki|nagrodą Nobla z fizyki]] w 1965 roku<ref name=nobel65>{{cytuj stronę |url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/index.html|tytuł = The Nobel Prize in Physics 1965 |opublikowany = Nobel Foundation |data dostępu=2008-10-09}}</ref>.

== Spojrzenie Feynmana na elektrodynamikę kwantową ==
=== Wprowadzenie ===
Pod koniec życia [[Richard Feynman]] dał serię wykładów na temat QED dla szerszej publiczności (ang. ''QED. The Strange Theory of Light and Matter'', 1985)<ref name="feynbook1">{{cytuj książkę |nazwisko=Feynman |imię=Richard |tytuł=QED: The Strange Theory of Light and Matter |url=https://archive.org/details/strangetheoryqed00feyn |rok=1985 |isbn=978-0-691-12575-6 |rozdział= 1 |strony=[https://archive.org/details/strangetheoryqed00feyn/page/6 6] |wydawca=Princeton University Press}}</ref><ref name="feynbook2">{{cytuj książkę |nazwisko=Feynman |imię=Richard |tytuł=QED: The Strange Theory of Light and Matter |url=https://archive.org/details/strangetheoryqed00feyn |rok=1985 |isbn=978-0-691-12575-6 |strony=[https://archive.org/details/strangetheoryqed00feyn/page/128 128] |wydawca=Princeton University Press}}</ref>. Wykłady te zostały opublikowane w Polsce jako [[QED. Osobliwa teoria światła i materii]]<ref name="Osobliwa_teoria">{{Cytuj książkę |autor = Richard P. Feynman (tłumaczenie: Helena Białkowska) |tytuł = QED. Osobliwa teoria światła i materii (tytuł oryginału: QED. The Theory of Light and Matter) |wydawca = [[Prószyński i S-ka]] |rok = 2002 |isbn = 83-7255-186-3}}</ref>, klasyczna, niematematyczna<sup>[''[[Wikipedia:Weryfikowalność|potrzebne źródło]]'']</sup> pozycja, przedstawiająca punkt widzenia opisany poniżej.

Kluczowym elementem reprezentacji Feynmana są trzy podstawowe akcje:
* [[Foton]] przemieszcza się z jednego punktu czasoprzestrzeni do innego.
* [[Elektron]] przemieszcza się z jednego punktu czasoprzestrzeni do innego.
* Elektron emituje lub absorbuje foton w danym miejscu i czasie.

[[Plik:Qed elementary rules.jpg|thumb|300px|Elementy [[diagram Feynmana|diagramów Feynmana]]]]
Akcje te są reprezentowane w postaci wizualnych stenogramów przez trzy podstawowe elementy [[diagram Feynmana|diagramów Feynmana]]: falowana linia dla fotonu, prosta linia dla elektronu oraz połączenie dwóch linii prostych i jednej falowanej jako reprezentacja emisji lub absorpcji fotonu przez elektron. Wszystkie one są pokazane na rysunku z prawej.

Ważnym jest, aby nie nadinterpretowywać tych diagramów. Nie implikują one nic na temat tego, w jaki sposób cząstka dostaje się z jednego punktu do drugiego. Diagram nie oznacza, że cząstki poruszają się po linii prostej lub falowanej. Nie sugerują, że cząstki poruszają się ze stałą prędkością. Fakt, że foton jest często reprezentowany, przez konwencję, w postaci linii falowanej zamiast prostej, nie oznacza, że jest on bardziej falowy niż elektron. Ilustracje są po prostu symbolami następujących akcji, wymienionych powyżej: fotony i elektrony przemieszczają się, jakoś, z punktu do punktu, i elektrony, jakoś, emitują i absorbują fotony. Nie wiemy, jak to się dzieje, ale teoria mówi nam, z jakim prawdopodobieństwem możemy się tych rzeczy spodziewać.

Wraz z obrazkowymi stenogramami dla akcji Feynman wprowadził inny rodzaj stenogramów, reprezentujących wielkości numeryczne prawdopodobieństw. Gdy foton porusza się z jednego miejsca i czasu – na stenogramie, A – do innego – na stenogramie, B, przyporządkowana temu wielkość jest zapisana w stenogramie Feynmana P(A → B). Podobna wartość dla elektronu poruszającego się z C do D jest zapisywana jako E(C → D). Wielkość, która mówi nam, z jakim prawdopodobieństwem dojdzie do emisji lub absorpcji fotonu, nazwał ''j''. Jest to powiązane, choć nie jest tym samym, ze zmierzonym [[ładunek elektryczny|ładunkiem elektrycznym]] elektronu, ''e''.

QED jest oparta na założeniu, że złożone oddziaływania wielu elektronów i fotonów można przedstawić dopasowując do siebie odpowiedni zbiór przedstawionych wyżej trzech bloków, a następnie użyć wielkości prawdopodobieństwa do obliczenia każdej skomplikowanej interakcji. Okazuje się, że podstawowa idea QED może być wyklarowana przez założenie, że wspomniane powyżej wartości są zwykłymi, codziennymi [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwami]] (upraszczając książkę Feynmana). Zostanie to później skorygowane przez włączenie specyficznej kwantowej matematyki, za Feynmanem.

Podstawowe zasady rządzące prawdopodobieństwami są następujące: a) jeśli dane zdarzenie może zajść na kilka różnych sposobów, to prawdopodobieństwo jego zajścia jest '''sumą''' prawdopodobieństw zajścia każdego z tych sposobów, oraz b) jeśli proces zawiera pewną liczbę niezależnych podprocesów, to prawdopodobieństwo jego zajścia będzie '''iloczynem''' prawdopodobieństwa zajścia każdego z tych podprocesów.

=== Podstawowe konstrukcje ===
Załóżmy, że zaczynamy z jednym elektronem, położonym w konkretnym miejscu i czasie (punkt A) oraz tak samo określonym fotonem (w punkcie B). Typowym pytaniem, z fizycznego punktu widzenia, będzie: „Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w punkcie C (inne miejsce w późniejszym czasie) a fotonu w D?”. Najprostszym procesem do osiągnięcia takiego stanu końcowego jest przesunięcie elektronu z A do C (akcja elementarna) oraz fotonu z B do D (następna akcja elementarna). Znając prawdopodobieństwo każdego z tych podprocesów – E(A → C) oraz P(B → D) – możemy policzyć prawdopodobieństwo zajścia ich obu, poprzez pomnożenie ich przez siebie (używając zasady „b)”, wymienionej wyżej). To da nam prosto otrzymaną odpowiedź na nasze pytanie.

[[Plik:Compton Scattering.svg|thumb|left|200px|[[Zjawisko Comptona|Efekt Comptona]]]]
Istnieje jednak wiele możliwości otrzymania takiego rezultatu. Elektron może znaleźć się w punkcie E, gdzie zaabsorbuje foton, potem wyemitować kolejny foton w F, a następnie przemieścić się do C, gdzie zostanie wykryty, podczas gdy nowy foton trafi do D. Prawdopodobieństwo tego złożonego procesu może być ponownie policzone przez przypisanie prawdopodobieństwa poszczególnym akcjom: trzem dla elektronu, dwóm dla fotonu i po jednej dla emisji i absorpcji. Spodziewamy się znaleźć wynikowe prawdopodobieństwo przez pomnożenie przez siebie prawdopodobieństw zdarzeń w E i F dla każdej pozycji. Musimy następnie skorzystać z zasady a), aby dodać do siebie prawdopodobieństwa wszystkich możliwości dla E i F (nie jest to elementarna umiejętność, w praktyce wymaga [[całka|całkowania]]). Ale istnieje też inna możliwość – elektron najpierw przemieszcza się do G, gdzie emituje foton, który dociera do D. W tym czasie elektron przemieszcza się do H, gdzie absorbuje pierwszy foton, a następnie trafia do C. Ponownie możemy policzyć prawdopodobieństwo owych możliwości (dla wszystkich możliwych punktów G i H). Dodając prawdopodobieństwa tych dwóch dodatkowych możliwości do otrzymanego na początku prostego wyniku, otrzymujemy lepsze przybliżenie ogólnego prawdopodobieństwa procesu. Nawiasem mówiąc, ów proces oddziaływania elektronu z fotonem nazywa się [[Zjawisko Comptona|rozpraszaniem Comptona]].

Istnieje ''nieskończona'' liczba procesów pośredniczących, w których coraz więcej fotonów jest emitowanych i absorbowanych. Dla każdej z tych możliwości istnieje odpowiedni diagram Feynmana, który ją opisuje. Oznacza to złożone obliczenia końcowych prawdopodobieństw, jednak im bardziej złożony przypadek rozważamy, tym mniejsza jest wynikająca z niego poprawka. Jest więc tylko kwestią czasu i zachodu, żeby znaleźć odpowiednio dokładną odpowiedź na początkowe pytanie. Jest to podstawowe podejście elektrodynamiki kwantowej. Aby policzyć prawdopodobieństwo ''każdego'' procesu oddziaływań pomiędzy elektronami i fotonami, należy znaleźć wszystkie możliwości, z których proces może być złożony, budując je z trzech podstawowych klocków. Każdy diagram zawiera pewną ilość obliczeń, kierowanych określonym zestawem zasad, aby odnaleźć odpowiadające mu prawdopodobieństwo.

Przedstawiony tu schemat wystarcza do pobieżnego opisu kwantowego, jednak należy w nim dokonać paru zmian konceptualnych. Jedna z nich jest to, że w naszym codziennym świecie istnieją pewne ograniczenia na przemieszczanie się cząstki z miejsca na miejsce, które nie obowiązują w świecie kwantowym. Istnieje możliwość przesunięcia się elektronu w A i fotonu w B do ''jakiegokolwiek miejsca i czasu we wszechświecie'' w ramach pojedynczej akcji. Zaliczają się do nich punkty, których nie da się osiągnąć nie przekraczając [[Prędkość światła|prędkości światła]] lub nawet we wcześniejszym czasie (cofający się w czasie elektron może być przedstawiony jako podążający z czasem [[pozyton]]).

=== Amplitudy prawdopodobieństwa ===
[[Plik:Feynmans QED probability amplitudes.gif|frame|Feynman zastąpił liczby zespolone obracającymi się strzałkami, wychodzącymi z miejsca emisji a kończącymi w miejscu detekcji cząstki. Suma wszystkich strzałek reprezentuje prawdopodobieństwo zajścia całego procesu. Na tym diagramie światło wyemitowane przez źródło S odbija się od segmentów lustra (niebieskich), po czym dociera do detektora w P. W obliczeniach należy wziąć pod uwagę wszystkie ścieżki. Graf poniżej pokazuje czas spędzony w każdej ze ścieżek.]]
[[Mechanika kwantowa]] wprowadza ważną zmianę w sposobie obliczania prawdopodobieństwa. Okazuje się, że wartości, które reprezentują prawdopodobieństwo, nie są zwykłymi liczbami, którymi określamy prawdopodobieństwo w naszym codziennym świecie, lecz [[Liczby zespolone|liczbami zespolonymi]], nazywanymi [[amplituda prawdopodobieństwa|amplitudami prawdopodobieństwa]].

Pragnąc uniknąć wprowadzania czytelnika w skomplikowaną matematykę, Feynman użył prostej, lecz trafnej reprezentacji prawdopodobieństwa w postaci strzałek na papierze lub ekranie (nie należy ich mylić ze strzałkami z diagramów Feynmana, które były dwuwymiarową reprezentacją połączenia przestrzeni 3D oraz czasu). Strzałki amplitudy są podstawą opisu świata w teorii kwantowej. Nie ma satysfakcjonującego wyjaśnienia, ''dlaczego'' są one potrzebne. Pragmatycznie jednak zakładamy, że są one podstawową częścią naszego opisu zjawisk kwantowych. Wiążą się one z naszym codziennym pojmowaniem prawdopodobieństwa przez prostą zasadę, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest '''kwadratem''' długości odpowiadającej mu strzałki. A zatem dla danego procesu, jeśli mamy dwie amplitudy prawdopodobieństwa, '''v''' i '''w''', prawdopodobieństwo całego procesu będzie dane przez
:: <math>P=|\mathbf{v}+\mathbf{w}|^2</math>

lub
:: <math>P=|\mathbf{v}\times\mathbf{w}|^2.</math>

Zasady rządzące dodawaniem lub mnożeniem są takie same, jak opisane wcześniej. Jednak w miejscu, gdzie spodziewalibyśmy się dodawać lub mnożyć prawdopodobieństwo, dodajemy lub mnożymy amplitudy prawdopodobieństwa w postaci liczb zespolonych.

[[Plik:AdditionComplexes.svg|thumb|200px|Dodawanie amplitud prawdopodobieństwa jako liczb zespolonych]]
[[Plik:MultiplicationComplexes.png|thumb|200px|Mnożenie amplitud prawdopodobieństwa jako liczb zespolonych]]

Dodawanie i mnożenie są znanymi operacjami w [[Teoria liczb|teorii liczb]] zespolonych. Sumę znajduje się następująco: załóżmy, że mamy dwie strzałki, z których druga zaczyna się na końcu pierwszej. Sumą będzie trzecia strzałka, zaczynająca się w punkcie startowym pierwszej, a kończąca na końcu drugiej. Wynikiem dwóch strzałek jest strzałka o długości będącej złożeniem długości dwóch strzałek wejściowych. Kierunek złożenia jest dany sumą kątów, dodanych do względnego kierunku odniesienia.

Przejście od prawdopodobieństwa do amplitudy prawdopodobieństwa komplikuje matematykę, jednak nie zmienia podstawowego podejścia. Zmiany wciąż jednak nie są wystarczające, gdyż nie uwzględniają ewentualnej polaryzacji, czyli orientacji w przestrzeni, elektronu i fotonu. Tak więc P(A → B) zawierać będzie 16 liczb zespolonych lub strzałek amplitudy prawdopodobieństwa. Potrzebne są również pewne niewielkie zmiany w traktowaniu wielkości ''j'', która może ulegać obrotowi, przez pomnożenie przez 90° dla niektórych polaryzacji.

Fakt, że elektron może być spolaryzowany jest kolejnym potrzebnym szczegółem, wynikającym z tego, że jest on [[Fermiony|fermionem]] i podlega [[statystyka Fermiego-Diraca|statystyce Fermiego-Diraca]]. Podstawowa zasada jest taka, że jeśli mamy amplitudę prawdopodobieństwa dla danego złożonego procesu wykorzystującego więcej niż jeden elektron, wtedy dołączamy (jak zawsze to robimy) uzupełniający diagram Feynmana, zawierający wymianę dwóch zdarzeń z elektronem, którego rezultatem jest odwrócenie amplitudy pierwszego zdarzenia. Najprostszym przypadkiem będzie rozważenie dwóch elektronów startujących z A i B i wychwytywanych w C i D. Amplituda będzie liczona jako „różnica”, E(A → D) × E(B → C) – E(A → C) × E(B → D), chociaż z naszego codziennego doświadczenia wynika, że powinna ona być sumą.

=== Propagatory ===
Na koniec mamy policzyć prawdopodobieństwa P(A → B) i E(C → D) odpowiednio dla fotonu i elektronu. Są to dokładnie rozwiązania [[równanie Diraca|równania Diraca]], opisujące amplitudę prawdopodobieństwa elektronu oraz [[równanie Kleina-Gordona|równania Kleina-Gordona]], opisującą podobną amplitudę dla fotonu. Są to tak zwane [[propagator Feynmana|propagatory Feynmana]]. Tłumaczenie do notacji używanej zwykle w literaturze jest następujące:
:: <math>P(\mbox{A to B}) \to D_F(x_B-x_A),\quad E(\mbox{C to D}) \to S_F(x_D-x_C),</math>

gdzie symbol stenograficzny, jak np. <math>x_A,</math> oznacza cztery [[liczby rzeczywiste]], określające czas i trzy współrzędne przestrzenne punktu A.

=== Renormalizacja masy ===
[[Plik:Electron self energy loop.svg|thumb|200px|Pętla [[energia własna elektronu|energii własnej elektronu]]]]
Problem z masą utrzymywał się przez dwadzieścia lat. Chociaż wychodzimy z założenia o trzech podstawowych „prostych” akcjach, zasady wymagają, że gdy chcemy policzyć amplitudę prawdopodobieństwa przejścia elektronu z punktu A do punktu B, musimy wziąć pod uwagę '''wszystkie''' możliwe drogi: każdy możliwy diagram Feynmana spełniający nasze warunki końcowe. Tak więc uwzględniamy sytuację, w której elektron wędruje do C, emituje foton, po czym absorbuje go w D, przed dojściem do B. Następnie powielamy ten proces dwukrotnie i więcej razy. W skrócie, mamy tutaj obraz podobny do [[fraktal]]a, w której, gdy spojrzymy z bliska na linię, okaże się, że składa się ona ze zbioru mniejszych akcji, i tak w nieskończoność. To bardzo trudna do ogarnięcia sytuacja. Jeśli dodawanie tylko trochę zmienionych szczegółów nie jest jeszcze zbyt złe, to powstaje katastrofa, kiedy takie drobne poprawki prowadzą do ''nieskończonych'' amplitud prawdopodobieństwa. Z czasem problem ten został „rozwiązany” przez [[renormalizacja|renormalizację]] (patrz niżej oraz artykuł o [[energia własna|renormalizacji]]). Niemniej sam Feynman pozostał tym nieusatysfakcjonowany, nazywając to „odjechaną procedurą”<ref name="feynbook2" />.

=== Konkluzje ===
W ramach powyższej konstrukcji fizycznej jesteśmy w stanie z dużą dokładnością policzyć pewne własności elektronów, między innymi [[magnetyczny moment dipolowy]]. Aczkolwiek co wskazał Feynman, zupełnie nie wyjaśnia, dlaczego cząstki, takie jak elektron, mają taką masę, a nie inną. „nie jest to teoria, która w adekwatny sposób wyjaśnia owe liczby. Używamy ich we wszystkich naszych teoriach, ale ich nie rozumiemy – czym one są, albo skąd się wzięły. Wierzę, że z fundamentalnego punktu widzenia, jest to bardzo interesujący i poważny problem.”<ref name=feynbook3>{{cytuj książkę |nazwisko=Feynman |imię=Richard |tytuł=QED: The Strange Theory of Light and Matter |url=https://archive.org/details/strangetheoryqed00feyn |rok=1985 |isbn=978-0-691-12575-6 |strony=[https://archive.org/details/strangetheoryqed00feyn/page/152 152] |wydawca=Princeton University Press}}</ref>.

== Opis matematyczny ==
Matematycznie, elektrodynamika kwantowa jest [[Grupa przemienna|abelową]] [[cechowanie (fizyka)|teorią cechowania]] z grupą symetrii [[Grupa okręgu|U(1)]]. [[Pole cechowania|Polem cechowania]] jest [[pole elektromagnetyczne]]. [[Lagranżjan]] teorii dla pola spinu ½ oddziałującego z polem elektromagnetycznym jest dany częścią rzeczywistą z formuły
:: <math>\mathcal{L}=\overline\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},</math>

gdzie:
: <math>\gamma^\mu</math> – [[Macierze gamma|macierze Diraca]],
: <math>\psi</math> – [[bispinor]] [[pole (fizyka)|pola]] cząstek o [[Spin (fizyka)|spinie]] połówkowym (np. pole [[elektron]]–[[pozyton]]),
: <math>\overline\psi\equiv\psi^\dagger\gamma^0,</math> – nazywane „psi z kreską”, odnoszone czasem do [[sprzężenie Diraca|sprzężenia Diraca]],
: <math>D_\mu \equiv \partial_\mu+ieA_\mu+ieB_\mu</math> – [[kowariantna pochodna cechowania]],
: <math>e</math> – [[stała struktury subtelnej]], równa [[ładunek elektryczny|ładunkowi elektrycznemu]] pola bispinorowego,
: <math>A_\mu</math> – [[kowariancja|kowariantny]] [[czteropotencjał]] pola elektromagnetycznego generowanego przez elektron,
: <math>B_\mu</math> – pole zewnętrzne przyłożone przez zewnętrzne źródło,
: <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math> – [[tensor pola elektromagnetycznego]].

Elektrodynamika opisuje zachowanie cząstek naładowanych elektrycznie, tłumacząc ich oddziaływania wymianą [[kwant]]ów pola elektromagnetycznego, czyli [[foton]]ów. Podstawowymi elementami teorii są [[pole elektromagnetyczne]] reprezentowane przez antysymetryczny [[tensor]] pola elektromagnetycznego '''F''' oraz pola materii reprezentowane przez [[funkcja falowa|funkcje falowe]].

[[Funkcjonał]] [[Działanie (fizyka)|działania]] teorii ma postać:
:: <math>S=\int d^4x L,</math>

gdzie funkcja Lagrange’a opisuje pole elektromagnetyczne i pole elektronów
:: <math>L= L_A+L_\psi,</math>
:: <math>L_A=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}</math>

z
:: <math>F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,</math>
:: <math>L_\psi=\overline\psi\left(i\gamma^\mu D_\mu-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)\right)\psi.</math>

D jest pochodną kowariantną
:: <math>D_\mu=\partial_\mu-ieA_\mu.</math>

A<sub>μ</sub>={A<sub>0</sub>=φ/c,-'''A'''} jest polem cechowania elektrodynamiki zbudowanym z potencjału skalarnego i φ i wektorowego tak jak w [[elektrodynamika klasyczna|elektrodynamice klasycznej]].

=== Równanie ruchu ===
Na początek, wstawiając definicję ''D'' do Lagranżjanu, otrzymujemy
:: <math>\mathcal{L} = i \overline\psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e\overline\psi\gamma_\mu (A^\mu+B^\mu) \psi -m \overline\psi \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.</math>

Następnie, możemy wstawić ten lagranżjan do [[równania Eulera-Lagrange’a]] ruchu dla pola:
:: <math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0.</math>

aby znaleźć równanie pola dla elektrodynamiki kwantowej.

Obliczamy dwa wyrażenia dla lagranżjanu
:: <math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) = \partial_\mu \left( i \overline\psi \gamma^\mu \right),</math>
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = -e\overline\psi\gamma_\mu (A^\mu+B^\mu) - m \overline\psi.</math>

Wstawiając je do równania Eulera-Lagrange’a, otrzymujemy
:: <math>i \partial_\mu \overline\psi \gamma^\mu + e\overline\psi\gamma_\mu (A^\mu+B^\mu) + m \overline\psi = 0,</math>

co jest sprzężeniem zespolonym do
:: <math>i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma_\mu (A^\mu+B^\mu) \psi - m \psi = 0.</math>

Wzięcie środkowego wyrażenia na prawą stronę przekształca to drugie równanie w
:: <math>i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = e \gamma_\mu (A^\mu+B^\mu) \psi.</math>

Lewa strona jest jak oryginalne [[równanie Diraca]], zaś prawa strona opisuje oddziaływanie z polem elektromagnetycznym.

Inne ważne równanie można otrzymać ponownie wstawiając lagranżjan do równania Eulera-Lagrange’a, tym razem dla pola, ''A''<sup>μ</sup>:
:: <math>\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0.</math>

Dwa wyrażenia tym razem przybiorą postać
:: <math>\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) = \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right),</math>
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = -e\overline\psi \gamma^\mu \psi.</math>

Te dwa równania, wstawione do wcześniejszego równania, dadzą nam
:: <math>\partial_\nu F^{\nu \mu} = e \overline\psi \gamma^\mu \psi.</math>

Teraz, jeżeli nałożymy [[warunek cechowania Lorentza]], tak, że dywergencja czteropotencjału zaniknie
:: <math>\partial_\mu A^\mu = 0,</math>

to otrzymamy
:: <math>\Box A^\mu=e\overline\psi \gamma^\mu \psi,</math>

co jest [[równanie falowe|równaniem falowym]] dla czteropotencjału, wersją QED klasycznego elektromagnetyzmu Maxwella z cechowaniem Lorentza.

== Diagramy Feynmana ==
Rozwinięcie powyższego funkcjonału w formalny [[szereg (matematyka)|szereg]] względem potęg [[Jądrowa stała sprzężenia spinowo-spinowego|stałej sprzężenia]] e prowadzi do wyrażeń całkowych opisujących [[prawdopodobieństwo]] przejść pomiędzy rozmaitymi [[stan kwantowy|stanami kwantowymi]] pola. Poszczególne wyrażenia w tym szeregu mają postać [[całka wielokrotna|całek wielokrotnych]] i mogą zostać zaprezentowane graficznie za pomocą symboliki [[diagram Feynmana|diagramów Feynmana]].

Poniżej opisano podstawowe procesy opisywane diagramami Feynmana o ile przyjmiemy przedstawienie teorii w [[reprezentacja (mechanika kwantowa)|reprezentacji]] przestrzeni położeń i czasu (a nie np. przestrzeni pędów). Należy przy tym być świadomym, że poniższe rysunki nie reprezentują żadnego z rzeczywistych procesów fizycznych i nie przedstawiają same w sobie żadnej treści fizycznej, mimo że używa się podczas ich opisu zwrotów typu zderzenie czy rozpraszanie. Każde z poniżej wypisanych wyrażeń ma następujący sens: pojedynczy diagram jest wkładem od pewnego formalnego wyrażenia matematycznego reprezentującego element operatorowy [[macierz rozpraszania|macierzy rozpraszania]]. Obiekt ten działając na funkcje falowe z odpowiedniej [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] stanów pola elektromagnetycznego, pozwala na zmianę tej funkcji podobnie jak inne operatory w mechanice kwantowej.

W szczególności obliczając kwadrat modułu takiego stanu otrzymujemy informacje o liczbowej wartości prawdopodobieństwa opisującym pewien proces fizyczny – prawdopodobieństwo zmiany pewnego stanu fizycznego do innego. Każdy z elementów tej [[macierz]]y jest sumą nieskończenie wielu diagramów Feynmana, z tym, że wykonując obliczenia ze skończoną dokładnością zwykle szereg ów urywamy, np. na trzeciej potędze stałej sprzężenia pól elektromagnetycznych.

Warto pamiętać, że sens fizyczny ma dopiero szereg złożony z nieskończenie wielu diagramów Feynmana, co więcej dopiero po wykonaniu procedury [[renormalizacja#kwantowa teoria pola|renormalizacji]], gdyż bez niej nawet poszczególne wyrażenia tego szeregu są niepoprawnie określone w sensie matematycznym (są rozbieżne). Występują procesy, w których [[elektron]], [[pozyton]] i [[foton]] powstają z niczego, a następnie spotykają się ze sobą. Ich uwzględnienie zmienia nieskończoność typu <math>1 + 2 + 3 + \dots</math> na „mniejszą” typu <math>1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \dots</math> i umożliwia renormalizację<ref>[[Steven Weinberg]], Sen o teorii ostatecznej, wydanie II, {{ISBN|83-7150-116-1}}, s. 95.</ref>.

== Przykłady diagramów Feynmana w elektrodynamice kwantowej ==
{{Osobna sekcja|Diagram Feynmana|Przykłady}}

== Sukcesy ==
[[Równanie Diraca|Teoria Diraca]] przewiduje, że [[Magnetyczny moment dipolowy|moment magnetyczny]] [[elektron]]u związany ze [[spin (fizyka)|spinem]] jest dwa razy większy niż klasyczny, a elektrodynamika kwantowa zwiększa tę wartość o czynnik 1,00115965214±3. Pomiary wskazują, natomiast, że czynnik ten wynosi 1,001159652188±4, więc QED daje najbliższy prawdzie wynik<ref>Steven Weinberg, Sen o teorii ostatecznej, wydanie II, {{ISBN|83-7150-116-1}}, s. 97.</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2023-05-22]:
* Don Lincoln, ''[https://www.youtube.com/watch?v=hHTWBc14-mk Quantum electrodynamics: theory]'' {{lang|en}}, kanał [[Fermilab]]u, 30 marca 2016;
* Don Lincoln, ''[https://www.youtube.com/watch?v=I7OdEfGOX7k QED: experimental evidence]'' {{lang|en}}, kanał [[Fermilab]]u, 20 kwietnia 2016.

{{Oddziaływania podstawowe}}
{{Działy fizyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Elektrodynamika kwantowa| ]]