Tekst źródłowy strony Ekstrapolator rzędu zerowego

'''Ekstrapolator rzędu zerowego''' (interpolator rzędu zerowego, ang. ''zero-order hold'', ZOH) – matematyczny model, który opisuje układ dokonujący konwersji sygnału poprzez podtrzymanie wartości każdej z próbek przez jeden okres [[próbkowanie|próbkowania]].

Ekstrapolator rzędu zerowego posiada szereg zastosowań w elektronice i telekomunikacji. Służy do
* praktycznej rekonstrukcji sygnału wykonywanego przez [[przetwornik cyfrowo-analogowy]] – opisuje więc skutki konwersji [[sygnał dyskretny|sygnału dyskretnego]] na [[sygnał ciągły]] lub do
* [[dyskretyzacja (matematyka)|dyskretyzacji]] sygnału ciągłego.

== Model dla dziedziny czasu ==
[[Plik:Zeroorderhold.impulseresponse.svg|thumb|Rys. 1. [[Funkcja prostokątna]], przesunięta i przeskalowana względem czasu, wykorzystywana przy analizie ekstrapolatora zerowego rzędu w dziedzinie czasu.]]
[[Plik:Zeroorderhold.signal.svg|thumb|Rys. 2. Sygnał przedziałami ciągły <math>x_{ZOH}(t).</math>]]
[[Plik:Sampled.signal.svg|thumb|Rys. 3. Modulowana [[funkcja grzebieniowa|grzebieniowa funkcja Diraca]] <math>x_s(t).</math>]]
Ekstrapolator zerowego rzędu rekonstruuje następującą funkcję czasu ciągłego z ciągu próbek <math>x[n],</math> przy założeniu jednej próbki na dany przedział czasu <math>T{:}</math>
: <math>x_\mathrm{ZOH}(t) = \sum_{n= -\infty}^\infty x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2 -nT}{T} \right),</math>
gdzie <math>\mathrm{rect}()</math> jest [[funkcja prostokątna|funkcją prostokątną]].

Na rys. 1 przedstawiona jest funkcja <math>\mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2}{T} \right),</math> a na rys. 2 przedstawiony jest sygnał <math>x_\mathrm{ZOH}(t)</math> [[Funkcja schodkowa|przedziałami ciągły]].

== Model dla dziedziny częstotliwości ==
Powyższe równanie wyjściowe ekstrapolatora rzędu zerowego można modelować również jako wyjście stacjonarnego filtru liniowego z odpowiedzią impulsową równą [[Funkcja prostokątna|funkcji prostokątnej]] i z wejściem w postaci sekwencji [[Delta Diraca|impulsów diraca]] przeskalowanych do wartości próbek. Można wówczas przeanalizować filtr w dziedzinie częstotliwościowej, porównując z innymi metodami rekonstrukcji takimi jak [[wzór interpolacji Whittakera-Shannona]] (wynikający z [[Twierdzenie o próbkowaniu|twierdzenia Nyquista-Shannona]]) lub takimi jak [[ekstrapolator rzędu pierwszego]] albo [[Interpolacja liniowa]] pomiędzy wartościami próbek.

W metodzie tej, sekwencja [[Delta Diraca|impulsów diraca]], <math>x_s(t),</math> reprezentująca próbki dyskretne, <math>x[n],</math> poddawana jest filtracji [[Filtr dolnoprzepustowy|filtrem dolnoprzepustowym]] w celu rekonstrukcji sygnału [[Sygnał ciągły|sygnału ciągłego]] <math>x(t).</math>

Nawet jeśli nie jest to tym co [[przetwornik cyfrowo-analogowy]] wykonuje w rzeczywistości, to wyjście przetwornika cyfrowo-analogowego można zamodelować poprzez zastosowanie hipotetycznej sekwencji impulsów Diraca, <math>x_s(t),</math> do stacjonarnego filtru liniowego z takimi charakterystykami (które, dla stacjonarnego układu liniowego, można w pełni opisać za pomocą [[Charakterystyka impulsowa|odpowiedzi impulsowej]]) tak by każdy impuls wejściowy skutkował poprawnym stałym pulsem na wyjściu.

Rozpocznijmy zdefiniowaniem sygnału ciągłego w czasie na podstawie wartości próbek, jak powyżej, ale z użyciem [[Delta Diraca|funkcji delta]] zamiast funkcji prostokątnych:
: <math>\begin{align}
x_s(t) & = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]\cdot \delta\left(\frac{t - nT}{T}\right) \\
& {} = T \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]\cdot \delta(t - nT).
\end{align}</math>

Przeskalowanie z użyciem <math>T,</math> które wynika w naturalny sposób ze skalowania w czasie funkcji delta, przynosi wartość średnią <math>x_s(t)</math> równą średniej wartości próbek, tak, że potrzebny filtr dolnoprzepustowy będzie miał współczynnik wzmocnienia równy 1. Niektórzy autorzy korzystają ze skalowania, podczas gdy wielu innych pomija skalowanie czasowe i <math>T,</math> uzyskując w rezultacie model filtru dolnoprzepustowego z wzmocnieniem <math>T</math> i stąd zależność od jednostek pomiaru czasu.

[[Plik:Zeroorderhold.impulseresponse.svg|thumb|Rys. 4. Odpowiedź impulsowa ekstrapolatora rzędu zerowego <math>h_{ZOH}(t).</math> Funkcja ta jest identyczna z funkcją prostkątną pokazaną na rys. 1, z tą jednak różnicą, że teraz jest przeskalowana tak by jej pole powierzchni równe było 1, a więc aby filtr miał wzmocnienie równe 1.]]

Ekstrapolator rzędu zerowego to hipotetyczny [[Filtr (elektronika)|filtr]] albo stacjonarny układ liniowy, który dokonuje konwersji sekwencji modulowanych impulsów Diraca <math>x_s(t)</math> na sygnał przedziałami stały (pokazany na rys. 2):
: <math>x_\mathrm{ZOH}(t) = \sum_{n= -\infty}^\infty x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T}-\frac{1}{2} \right),</math>

co daje w efekcie [[Charakterystyka impulsowa|odpowiedź impusową]] (pokazaną na rys. 4) opisaną wzorem:
: <math>h_\mathrm{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T}-\frac{1}{2} \right) = \begin{cases}
\frac{1}{T} & \mbox{if } 0 \leqslant t < T \\
0 & \mbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}</math>

W efekcie otrzymuje się [[charakterystyka częstotliwościowa|charakterystykę częstotliwościową]], którą stanowi [[transformacja Fouriera|(ciągła) transformata Fouriera]] [[Charakterystyka impulsowa|odpowiedzi impulsowej]]
: <math>H_\mathrm{ZOH}(f) = \mathcal{F} \{h_\mathrm{ZOH}(t)\} = \frac{1 - e^{-i 2 \pi fT}}{i 2 \pi fT} = e^{-i \pi fT} \operatorname{sinc}(fT),</math>

: gdzie <math>\operatorname{sinc}(x)</math> to (znormalizowana) [[funkcja sinc]] <math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math> wykorzystywana w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów.

[[Transmitancja operatorowa|Transmitancja]] ekstrapolatora rzędu zerowego może być określona poprzez dokonanie podstawienia <math>s = i 2\pi f{:}</math>
: <math>H_\mathrm{ZOH}(s) = \mathcal{L} \{h_\mathrm{ZOH}(t)\} = \frac{1 - e^{-sT}}{sT}.</math>

W praktyce przetwornik analogowo-cyfrowy nie daje na swoim wyjściu sekwencji impulsów Diraca <math>x_s(t)</math> (co w przypadku filtrowania idealnie dolnoprzepustowego skutkowałoby przed próbkowaniem w tle unikalnym sygnałem o ograniczonym paśmie), ale zamiast tego na wyjściu pojawia się sekwencja pulsów o kształcie prostokątnym, <math>x_{ZOH}(t)</math> (funkcja przedziałami ciągła), co oznacza, że w działanie przetwornika wpisany jest efekt ekstrapolatora rzędu zerowego dla charakterystyki częstotliwościowej przetwornika, skutkujący łagodnym spadkiem wzmocnienia dla wyższych częstotliwości (spadek o 3,9224 dB dla [[częstotliwość Nyquista|częstotliwości Nyquista]], czemu odpowiada wzmocnienie o <math>\operatorname{sinc}(1/2) = 2/\pi</math>). Taki spadek jest konsekwencją własności ''podtrzymania'' tradycyjnego przetwornika cyfrowo-analogowego i '''nie''' jest skutkiem [[próbkowania z podtrzymaniem]] (ang. ''sample and hold''), które mogłoby poprzedzić konwencjonalny [[przetwornik analogowo-cyfrowy]].

== Zobacz też ==
* [[ekstrapolator rzędu pierwszego]]

[[Kategoria:Teoria sterowania]]
[[Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]